遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三二輪復習聯(lián)考（三）數(shù)學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.復數(shù)Z=Jr的虛部是（）

1+1

A.1B.—C.—D.—1

22

2.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且%-4=12,Ss-S2=3,則%=（）

A.5B.6C.7D.8

3.已知向量Z=（2,-1）,5=（4,3）,則向量Z在向量B方向上的投影向量是（）

4.已知函數(shù)/（x）=cos2x-cosx,則函數(shù)〃x）在區(qū)間［0,2對上的零點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

5.在高為變的正四棱臺ABC。-A4G2中，AB=2,A4=1,則此四棱臺的外接球的表

2

面積是（）

A.4兀B.6兀C.8兀D.1071

6.記曲線C：x2+/-2|x|-2|y|=0（x2+y2/0）,若直線ax+ay+l=0與曲線C相切，貝

（）

A.+4B.+2C.i—D.土一

42

7.計算："。+（"圓網(wǎng)翳運鬻二（）

A.立B.732^/3

C.D.1

3"I-

8.已知函數(shù)/（%）=卜2一詞一%2一〃,當%>0時，貝U4的取值范圍是（）

A.(—8,0]B.(—8,8]C.[0,8]D.[0,4]

二、多選題

9.已知拋物線C：V=8x的焦點為尸，過點尸的直線/與C交于A,B兩點，則下列說法

正確的是()

A.焦點P到拋物線C的準線的距離為8

111

B。\AF\+\BF\~2

C.若AB的中點的橫坐標為3,則明=20

D.若2忸同=|AF|,則%^=4正

10.已知函數(shù)/⑺二%376之+基+加，則()

A.3aeR,使得f(x)為單調(diào)函數(shù)

B.VaeR,〃x)的圖象恒有對稱中心

C.當a=2時，/(X2)>/(5X+4)

D.若X［,%,尤3是方程/(x)=0的三個不同的根，則占毛+玉馬+々尤3=9

11.已知VA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,A=60°,/A4c的平分線A￡>

交BC于D,4)=2,則下列說法正確的是()

A.46+c的最小值為66’

BDsinB

B.=-----------

CDsinC

C./八+7［的最大值是6

DDCD

D.VABC的周長的取值范圍是［4指,+s)

三、填空題

12.已知數(shù)列｛4,｝滿足。“+2=3%,%=1,則。9=.

13.已知=——是奇函數(shù)，則a+6=.

14.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3個不同的數(shù)，且這三個數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足

條件的這三個數(shù)之和為X；從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，且這兩個數(shù)之積為偶

數(shù)，記滿足條件的兩個數(shù)之和為y.則尸(X=y)=.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.某校有高一學生1800人，高二學生1200人，學校采取按比例分配的分層抽樣的方式從

中抽取100人進行體育測試.測試后，統(tǒng)計得到高一樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值為165,方

差為61,高二樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值為145,方差為31.

（1）計算總樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值和方差;

（2）將一分鐘跳繩次數(shù)2125視為及格，整理出以下列聯(lián)表:

及格不及格合計

高一52860

高二38240

合計9010100

試根據(jù)小概率值&=。。5的獨立性檢驗，分析一分鐘跳繩次數(shù)及格情況是否與年級有關(guān)；（結(jié)

果保留小數(shù)點后三位）

（3）如果將（2）表格中的所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立

性檢驗推斷一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年級之間的關(guān)聯(lián)性,結(jié)果還一樣嗎？請你試著解釋其

中的原因.

附：_______如一盼_____

n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

/獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知函數(shù)=+61nx.

⑴若曲線y=在點處的切線過點（0,9）,求。的值；

⑵求〃尤）的極值點.

22

17.己知橢圓C：.+方點A（2百,0）在橢圓。上.橢圓上關(guān)于原點對稱的任

意兩個不與點A重合的點P、。和點A連線的斜率之積為-g.

⑴求橢圓C的方程；

(2)若一條斜率存在且不為。的直線/交橢圓C于N兩點，且線段跖V的中點R的縱坐

標為-1,過R作直線/'，/.定點E(2,l)到直線廠的距離記為d,求d的最大值并求出對應(yīng)的

直線/'的方程.

18.如圖，底面為正方形的四棱錐尸—ABCD中，AD=2R1=2,PD=非,記/PAB=9,

。?0,兀).

(1)證明：△P3C為直角三角形；

⑵當四棱錐尸-ABCD的體積最大時，求平面上4￡(與平面尸3C所成角的余弦值；

(3)記直線AC與平面P3C所成角為a,求sine的最大值.

19.對于非空數(shù)集S,T={|x-y||x,yeS},若T=S,則稱數(shù)集S具有性質(zhì)

⑴若數(shù)集S具有性質(zhì)證明：OeS；判斷鳥={0,1,2,3},S?={0,1,2,5}是否具有性質(zhì)Af,

并說明理由.

⑵若$=凡}(論3)滿足①4=0；②Vi"eN*,當時，都有

(i)判斷“數(shù)集S具有性質(zhì)是否是“數(shù)列{4}為等差數(shù)列”的充要條件，并說明理由；

(ii)已知數(shù)集S具有性質(zhì)M且a"=10/，AcS,求數(shù)集A具有性質(zhì)Af的概率.

試卷第4頁，共4頁

《遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三二輪復習聯(lián)考(三)數(shù)學試題》參考答案

題號12345678910

答案CAADDCBCBCDABD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】先化簡給定復數(shù)，再利用虛部的定義求解即可.

11-i1-i1i

【詳解】因為z=0T=而訴=可=5一5，

所以其虛部為-g,故c正確.

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)給定條件，求出公差及雙，進而求出處.

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，由%-%=12,得公差］=與乎=4,

又。5+。4+。3=85—82=3,即3%=3,解得%=1,

所以％=&+d=5.

故選：A

3.A

【分析】根據(jù)投影向量的公式可求投影向量.

a-b-8-3-1-,43、

【詳解】向量￡在向量B方向上的投影向量為片。=后。=《。=［不?，

故選：A.

4.D

【分析】由二倍角余弦公式結(jié)合求解一元二次方程得到［0,2兀］上的零點即可.

［詳角星］/(%)=cos2x-COSX=2cos2%-cosx-l=(2cosx+l)(cosx-1),

由/(x)=°，得co&x=l或cosx=—；,即無=2E或%=g+2E或%=空+2也，keZ.

所以函數(shù)在區(qū)間［0,2兀］的零點是0—,2兀4個.

故選:D

答案第1頁，共15頁

5.D

【分析】確定上底面和下底面的中心，連接兩個中心MN,分球心在線段上和延長線上

兩種情況，利用勾股定理列出方程即可求解.

【詳解】如圖，正四棱臺48。-ABC2中，M.N分別是上、下底面對角線交點，即上、

下底面中心，"N是正四棱臺的高，MN=—.

2

形=也NB=—x2=y/2,

1222

因此。在MN的延長線上（如圖），即在平面ABCD下方,

所以球表面積為S=4兀產(chǎn)=10兀.

故選：D.

6.C

【分析】根據(jù)方程確定曲線C,并畫出曲線與直線的示意圖，根據(jù)相切關(guān)系，數(shù)形結(jié)合及點

線距離列方程求參數(shù)值.

【詳解】當x20,y20,C:x2+y2—2x—2y=0,貝[|C:(x—l)-+(y—1)-=2,

當x20,y<0,C:x2+y2-2x+2y=0,貝I]C:(無一1了+(y+1了=2,

答案第2頁，共15頁

當x<0,”0,C:x2+y2+2x-2y=0,貝ljC:(x+1)?+(>-1)?=2,

當x<0,y<0,C:x2+y2+2x+2y=0,貝ljC:(x+iy+(y+l)2=2,

顯然awO,直線依+毆+1=0的斜率為-1,如下圖示，

則原點到直線的距離d=//，=20,所以a=土］

yla2+a24

故選：C

7.B

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系切化弦，再化簡計算求值.

cos20sin20

［詳解］tan20°+(1+V3tan20°)^0-°

,7cos20o+V3sin20°

_sin20°!<+后sin20°]限os20°-sin20°

cos20°I7cos20°Jcos20°+V3sin20°

_sin20°(cos20°+A/§sin20°Mcos20°-sin20°

-cos20°[cos20°Jcos20o+^sin20°

sin20°A/3COS20°-sin20°

=----------F-----------------------

cos20°cos20°

_A/3COS20°_JT-

cos200?

故選：B.

8.C

【分析】分。>0,〃=。,。<。三種情況/(x)(0恒成立化簡，再結(jié)合參數(shù)分離應(yīng)用基本不等

式計算求參.

【詳解】函數(shù)"%)=卜2-同一尤2-a,當尤>0時，/(X)<O,

當4=0時，/(x)=|%2|-x2=0,符合題意；

當4<0時，函數(shù)/(尤)=|尤之一依卜尤2_。=彳2_辦_彳2_。=_依_°>0,不符合題意；

答案第3頁，共15頁

當〃>0時，函數(shù)/（%）=,—國—一〃<。恒成立，所以—%2—々4了2一奴4工2+々恒成立，

因為一Q<0<1,所以％2一成;<%2+々恒成立，

所以—%?—々f一女恒成立，即得?（%—1）=6一"W2d,

當％￡（0,1）時，Q一aW2%2恒成立，

7丫2

當xe（l,y）時，三恒成立，

x-1

L>0,<2r+1

令a（）=2"+2/+1=2。+2+1]恒成立，

t[f」I〃

因為/+2+，2）"+2=4,當且僅當r=l時取最小值4,

tVt

所以°42）+2+口=8,符合題意；

\^7min

則。的取值范圍是[0,8].

故選：C.

9.BCD

【分析】由拋物線方程確定焦點坐標，及準線方程可判斷A,通過斜率存在，或不存在兩種

情況討論，結(jié)合焦半徑公式可判斷B,結(jié)合B,及焦半徑公式可判斷C,通過2怛同=|A司確

定直線的斜率為2拒，得到直線的方程為x=^y+2,聯(lián)立拋物線方程求得A坐標,

即可求解.

【詳解】拋物線C:/=8x的焦點為*2,0）,準線/：X=-2,P（-2,0）,

所以焦點尸到拋物線C的準線的距離為4,A錯誤；

設(shè)4（再,％）,3（孫％）

當直線AB垂直于y軸，可得網(wǎng)=尤2=2,

答案第4頁，共15頁

...,111

所以|A同=忸典=4,得函+9=]

（丫2=o

當直線AB不垂直于y軸，設(shè)方程為犬=沖+2,由廠~,得y1-8my-16=0,

[x=my+2

fy.+y=8m22

則9IN，石々=v里.v五=4，

E%=T6'-88

1+1_1+1_（%]+工2）+4_（%+冗2）+41

5,B正確;

IAF||BF|占+2x2+2玉兀2+2（再+々）+42（xi+x2）+8

對于C,由A3的中點的橫坐標為3,可得：%+%=6,

|AF|+|BF|=^+A2+4=10,

1,1_|AF|+|BF|_1

乂網(wǎng)\BF\|AF||BF|2

所以|AF|忸同=20,C正確;

過點A,3作朋，/,8耳，/,直線AB與x軸分別交/與點EH,

設(shè)|AF|=2|FB|=2m,貝I]忸耳|=聞相|=2根，

\BE\BB.1,,

因叫〃照，則晶=笠=3,得怛同=3加，

AtL/i/LL

BB,1廠

貝iJcosN防用=-^=彳，貝hanN￡B4=2迎，

BE3

故直線AB的斜率為20，直線A8的方程為無=變＞+2,

答案第5頁，共15頁

與y2=8x聯(lián)立得丁-20-16=0,

解得％=4后,y2=-2A/2,

所以%=4,

可得：A(4,4A/2),

所以SAA8=:X2X4及=4拒，D正確

故選：BCD

10.ABD

【分析】A對函數(shù)求導，假設(shè)函數(shù)單調(diào)，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍，即可判

斷；B由/(%)=(%-a，+(9-3々2)(%一口)+m+9々一2a3,再結(jié)合

/(%)+/(2。-冗)=2(m+9〃-2/)即可判斷；C應(yīng)用特殊值x=0判斷；D由

/(司=(犬—玉)(%—%2)(%一天)并展開，結(jié)合已知表達式，即可判斷.

【詳解】A：由題設(shè)/'(句=3]2—6砒+9=3(f—2依+3),所以尸(九)是開口向上的拋物線,

要使/(可為單調(diào)函數(shù)，只需％2_2ox+3N0恒成立，即A=4〃—1240,得-

所以加￡R,使得"％)為單調(diào)函數(shù)，對；

B：對于/(%)=九3—3以2+9x+m=(x-6z)3+(9-36z2)(x-tz)+m+96Z-2?3,

所以/(%)+f(2a-x)=2(m+9a-2a3),即恒關(guān)于點(〃,m+9a-2/)對稱，對；

C：由題設(shè)/(x)=X3_6f+9x+加，若％=0,顯然“？)=/(())=加</(5%+4)=/(4)=4+加，

錯；

D：由題設(shè)/(%)=(%—%)(%一X2)(%一毛)=三一(項+W+毛)%2+(可%2+%2七+%毛)%一為了2%3，

又/(%)=%3—3冰2+9%+根，則+%%3+%2%3=9,對.

故選：ABD

11.ACD

【分析】A應(yīng)用等面積法及三角形面積公式可得‘+!=也，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換

bc2

求最值；B應(yīng)用正弦定理及NB4T>=NC4。即可判斷；C由正弦定理及已知得

答案第6頁，共15頁

11l

——+——=sinB+sinC=5/3sin(B+30°),即可求最值；D應(yīng)用余弦定理及基本不等式得

BDCD

8_________________

匕+。之耳、a=y/(b+c)2-2A/3(Z?+c)，即可求周長范圍.

【詳解】A：由等面積法有助+久斗⑺,即

—besinZBAC=—APcsinZBAD+—ADbsinZCAD,

222

由A0=2,A=ZBAC=60°f/R4C的平分線AD交BC于。，

所以^^Z?c=Z?+c，BP—+—=—，

2bc2

z.72....112/廠4bc、、2_14b。、/r-

所以4Z?+c=—j=?(4Z?+c)(—F—)=—j=?(5H------1—)>—f=?(5+2J-------)=6J3,

<3bc<3cb<3\cb

當且僅當b=G,c=2百時取等號，故4b+c的最小值為6vL故A對;

BDADCDAD

B：在中,在中

sin/BADsinBsinZCADsinC'

由—BAC的平分線AZ）交BC于O,即NBW=NC4D,故些=吧2，故B錯;

CDsinB

ADsinABAD_1iADsinZCAD1

C：由4=44。=60。，則80=,CD=-----；-------=—

sin5sinBsinCsinC

所以=sinB+sinC=sinB+sin(120°-B)=^sinB+^-cosB=^3sin(B+30°),

又0。<3<120。，即8=60。時，一二+」一的最大值是故C對;

BDCD

,貝k如互，ikb+c<^(b+c)2

48

84

所以"cN耳，當且僅當6=c=耳時取等號,

由“2=62+02-2bccosZBAC=(b+c)2-3bc=(b+c)2-2^3(Z?+c)，

所以a=JS+c)2_2?6+c)，故三角形周長為、+c+Js+c)2—2Gs+c)，

8_________________8

令/=耳，則周長L=/+而—2?=t+加一回2-3在［耳,+00）上單調(diào)遞增,

所以LN&幃）2-2品+=卡+卡=4舊，即周長范圍是［4括,+8）,故D對.

故選：ACD

12.81

【分析】利用遞推賦值，即可求得結(jié)果.

答案第7頁，共15頁

【詳解】由%+2=3。“，所以%=3%=32a5=3%3=3%=81,

故答案為：81

13.1

【分析】根據(jù)已知函數(shù)是奇函數(shù)，可得《x)=e“i+6eT為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義列式，

結(jié)合指數(shù)運算計算求解.

【詳解】因為〃x)=4=_1八一為奇函數(shù),

e+be+be

所以《x)=e“E+為奇函數(shù)，

(0)=l+b=O,即6=一1,

則t(-x)=em+x-ex=-er-x+ex=V(x)恒成立，

則es+2x_e2*=-非+1,所以a=2,

當a=21=-1時，f(x\=^L,經(jīng)檢驗符合題意，

v7e2x-l

所以a+6=1.

故答案為：L

55

14.-----/-----

518518

【分析】先分別求出滿足這兩個條件的情況總數(shù)，再找到滿足x=y的情況，結(jié)合古典概型

的概率公式求解即可.

【詳解】從1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3個不同的數(shù)，要滿足三個數(shù)之積為偶數(shù),

則這三個數(shù)中至少有1個偶數(shù)，總共有C；-C；=74種取法，

從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，且這兩個數(shù)之積為偶數(shù)，

則這兩個數(shù)中至少有1個偶數(shù)，總共有C；-C；=7種取法.

又X1mli=6,Xm”=24，L=3，L=9,

接下來，找出X和丫相等的情況：

當X=y=6時，滿足條件的取法情況有{1,2,3}?{2,4},共I種情況；

當X=1=7時,滿足條件的取法情況有{1,2,4}?{2,5},{3,4},共2種情況；

當x=y=8時，無滿足條件的情況；

答案第8頁，共15頁

當X=y=9時，滿足條件的取法情況有{1,2,6},{2,3,4}?{4,5},共2種情況,

所以…二片5

518

故答案為：——.

15.(1)均值157,方差145

⑵無關(guān)

（3）不一樣，結(jié)論變?yōu)橛嘘P(guān)，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣計算均值和方差即可;

（2）根據(jù)卡方檢驗，即可判斷;

（3）計算出新的卡方即可進行判斷.

【詳解】（1）高一人數(shù)占比黑=06,故樣本量為0.6x100=60,同理高二樣本量為40,

所以總樣本均值為‘0?I'。；。？MS=990；0；800=^7,

總樣木方差為6°?敏（165-15斤+40?篇（145-157）&14500,H5

100100

（2）零假設(shè)為一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年級無關(guān),

2

2_100倉?522-8?38)?,

根據(jù)列聯(lián)表,C-r-；；1.oD^3.841,

60倉NO90?10

所以根據(jù)小概率值1=0。5的獨立性檢驗，推斷/成立，即一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年

級無關(guān).

（3）將（2）表格中的所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍,

2_1000倉作52020-80?380)2

火！JC—~；1o.D1o3.841,

600倉科00900?100

所以根據(jù)小概率值a=0。5的獨立性檢驗，推斷/不成立，即一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與

年級有關(guān)，

所以將（2）表格中的所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，結(jié)果不一樣，

因為樣本量增大使得相對差異的絕對值增大，導致卡方統(tǒng)計量顯著上升.

16.（1）1；

（2）答案見解析.

【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義來求切線斜率，并寫出切線方程，代入點即可求值;

答案第9頁，共15頁

(2)利用導數(shù)研究正負，即可判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值點.

【詳解】(1)求導得尸(無)=24尤-4)+2則/⑴=-6。+6,又有/⑴=9%

所以曲線y=〃x)在點(I"⑴)處的切線方程為：y-9?=(-6O+6)(x-l),

又由切線過點(0,9),貝”―9。=—(-6。+6)=。=1；

(2)由(1)可知，f'(x)=2a(x-4)+-=2ar~SaX+6(x>0),

XX

令夕(％)=2ax2-Sax+6,貝lj°(0)=6.

①當a=0時，對xe(0,??),有/(無)=9>0"(尤)單調(diào)遞增，無極值.

②當。<0時，0(x)的圖象開口向下，且對稱軸為直線x=2,

又0(0)=6,則°(x)=0在x>0時有一根%=2-迎二網(wǎng)，

a

xe(0,%)時，<p(x)>Q,f\x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

尤e(丹,+?)時，o(x)<0,f'(x)<0J(x)單調(diào)遞減.

所以/(x)在4處取得極大值，極大值點為%=2-'I-3a.

a

③當。>0時，9(無)的圖象開口向上，A=64a2-48?.

3

i.當AV0,即:時，有夕(%)20,所以當尤>0時，

4

有廣(%)20"(九)單調(diào)遞增，無極值點.

3

ii.當△>(),即〃〉一時，在%>0時，0(%)=0,

4

行人士日Cv4^2—3(1y4片-3a

有兩個左艮/=2---------------,x=2H----------------.

a3a

Xe(o,w)時，<p(x)>0,/V)>0,f(x)單調(diào)遞增；

xe(冷蒼)時,夕(x)<0,/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

xe(%,+co)時,(p(x)>0,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

/(x)有極大值點4=2-’極小值點尤J=2+"片一3a

aa

綜上所述，

3

當時，單調(diào)遞增，無極值點；

4

答案第10頁，共15頁

當。＜0時，/XX)的極大值點為2--3“,無極小值點；

a

當時，/(X)的極大值點為2—:3”,極小值點為2+.4,-3“

4aa

(2),lf:2x—y+2=0.

【分析】(1)設(shè)尸(%，%),。(-%,-%)且七大±26，根據(jù)"思2=—及點在橢圓上求橢圓

參數(shù)值，即可得方程；

,y+V,1

(2)設(shè)/：＞="+根，加(%,乂),陽九2，%)，點差法得%------=一”進而得到尺G匕T),則

l':x+ky-2k=0,最后由(-5)?金尸=-1求參數(shù)，直線/'與直線所垂直時，點E(2,l)到直線

k

/'的距離最大，應(yīng)用點線距離公式求d的最大值.

【詳解】(1)設(shè)尸(%,%),。(70,-%)且毛3±26，則左”=X'心。=X有'

所以"以2=號rT'

222

又P在橢圓上，即W+四=1,可得*=匕2(1_1),

aba

所以

由A在橢圓上，即。=1，即1=12,故/(1_￡)=_鼻2

可得〃=4,

22

綜上，橢圓方程為土+匕=1;

124

(2)由題意，直線/的斜率存在，設(shè)/:y=Ax+m,"&,%),%(三,%),

作差得m+”=°，

由日+K=1,

124

整理有人出=￡

3

因為線段肱V的中點R,則尺(五產(chǎn),且%+%=-2,

所以八一一=一；，可得弘="上，故R(3k,-1),

%+%232

所以直線/'：y+l=(X-3Q,即/':x+矽一2k=0,過定點尸(0,2),

答案第11頁，共15頁

當直線r與直線EF垂直時，點E（2,l）到直線V的距離最大

“maxHEF1=7（2-0）2+（1-2）2=亞，

由/斯=/三=-；，而（一J）?心F=T，可得上=-；，經(jīng)檢驗滿足題設(shè)，

U一乙乙K乙

所以d的最大值為石，直線/'：2x-y+2=0.

18.（1）證明見解析

⑵？

⑶坐

4

【分析】（1）由勾股定理逆定理得再結(jié)合正方形的性質(zhì)得ABPALBC,

根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)即可證明；

（2）建立空間直角坐標系，由面面角的向量公式求解即可；

（3）建立空間直角坐標系，由線面角的向量公式及導數(shù)即可求解.

【詳解】（1）證明：在△PAD中，因為PA?+A￡>2=2?=5=PC?,

所以△PAD為直角三角形，即四，AD,

又因為四邊形ABCD為正方形，所以AD//BC,AB，3C,則R4J_BC,

因為PACAJB=A，尸A,A3u平面PAB,

所以平面/LB,又P8u平面

所以3CLPB,所以APBC為直角三角形.

（2）當四棱錐尸-ABCD的體積最大時，PAL平面A2CZ）,

因為ABu平面ABC。，所以PA_LAB,

又4204。=4,4尸,4。<=平面巳4￡）,所以AB_L平面PAD,

以A為原點，以所在直線為工，，衣軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則A（0,0,0）,P（0,0,l）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,

則麗=（一2,0,1）,麗=（一2,-2,1）,平面PAD的一個法向量為荏=（2,0,0）,

答案第12頁，共15頁

設(shè)平面PBC的一個法向量為n=(x,y,z

BP-n=-2x+z=0

則取x=l,則亢=(1,0,2),

CP-n=-2.r-2y+z=0

(3)以A為原點，以4氏A。所在直線為工，>軸，以過點A垂直于平面ABC。的直線為z軸,

建立空間直角坐標系，如圖所示,

因為=所以p(cos，,0,sin，),

則BP=(cos0-2,0,sin,CP=(cos0-2,-2,sin6),

設(shè)平面PBC的一個法向量為沆=(5,%,Zo),

BP-m-x0(cos6-2)+z。sin6=0sin0

則<取z°=-l則m=,0,-1

cos0-2

CP-m=x0(cos6-2)-2%+z0sin=0

因為正=(2,2,0),

sin。sin。

26

cos^-2cos^-2

則sina=cosm

2

sin。sin<9

2V2XI+1

cos0-2cos8-2

、門rz、cosx-2/八、r/,-sin2x(cosx-2)cosx_2cosx-l

設(shè)/⑴=FT”(°‘江則"、)=------

sin2xsin2x

令尸(%)=。得

廣貝在［單調(diào)遞增，

當時,(x)>0,U/(x)ogj

r?<o,則/a)在，單調(diào)遞減,

當尤時,