專題1.3三角形的內(nèi)角【十大題型】

【浙教版】

?題型梳理

【題型1三角形內(nèi)角和定理的證明】............................................................1

【題型2應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】........................................................2

【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】....................................................3

【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】..................................................4

【題型5三角形折疊中的角度問題】............................................................5

【題型6應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】................................................6

【題型7應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】..............................................8

【題型8三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】..................................................9

【題型9直角三角形的判定】..................................................................11

【題型10應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)倒角】.........................................................11

＞舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于

0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.

【題型1三角形內(nèi)角和定理的證明】

【例1】（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）定理：三角形的內(nèi)角和是180。.

已知：乙CED、乙C、乙D是的三個(gè)內(nèi)角.

求證：ZC+ZD+乙CED=180°.

有如下四個(gè)說法：①*表示內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②?表示NBEC；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳

角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形.其中正確的是（）

證明：如圖，過點(diǎn)E作直線Z6,

使得N8〃處

：./2=/D(*),

.,.Zl+Z_?_=180°,

AZC+ZD+ZCED=180°.

A.①②B.②③C.②④D.①③

【變式111（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖,將鉛筆放置在三角形ABC的邊AB上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn)A到

點(diǎn)B的方向，把鉛筆依次繞點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)/A、/C、/B的度數(shù)，觀察筆尖方

向的變化，該操作說明了

C

【變式12］（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180?！睍r(shí)，綜合實(shí)踐小組的同

學(xué)作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△28C的內(nèi)角和是180。”的有（）

①過點(diǎn)C作E尸〃45②延長ZC到點(diǎn)廠,③作于④過上一點(diǎn)。作

過點(diǎn)C作CE〃/8點(diǎn)DDE//BC,DF//AC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式13】（2023春?福建南平?八年級福建省南平第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在證明“三角形內(nèi)角和等于180”

這一命題時(shí)，小彬的思路如下.請寫出“求證”部分，補(bǔ)充第一步推理的依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明.

已知：如圖，AABC

求證：

證明：如圖，在BC邊上取點(diǎn)D過點(diǎn)。作。E〃A3交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。E〃AC交A8于點(diǎn)F.

'：DE//AB,

：.ZA=Z1,ZB=Z2（依據(jù)：）.

'：DF//AC,

；.N1=N3

【題型2應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】

【例2】（2023春?江蘇?八年級專題練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60。，那么這個(gè)等腰三

角形的頂角的度數(shù)為.

【變式21】（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為1:3:5,那么△4BC中最大角的度數(shù)

為

【變式22］（2023春?廣東江門?八年級?？茧A段練習(xí)）在△4BC中，ZC=40°,且NB:NA=4:3,貝UNB的

度數(shù)為.

【變式23］（2023春?廣東梅州?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖,LA=51°,48=20。，ZC=30°,求NBDC的

度數(shù).

【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】

【例3】（2023春?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△48。經(jīng)過平移得到4。石尸，DE分別交BC,AC于點(diǎn)

G,H,若NB=97°,ZC=40°,貝！UGHC的度數(shù)為（）

A.147°B.40°C.97°D.43°

【變式31】（2023春?山東濟(jì)寧?八年級統(tǒng)考期中）如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50。

方向，8島在A島的北偏東80。方向，C島在8島的北偏西40。方向.從C島看A、B島的視角/ACB為多

少？

【變式33］（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）己知：如圖，點(diǎn)3、C在線段的異側(cè)，點(diǎn)、E、尸分別是線

段48、CD上的點(diǎn)，/AEG=/AGE,ZC=ZDGC.

（1）求證：AB//CD；

(2)ZAGE+ZAHF=180°,求證：NB=/C；

（3）在（2）的條件下，若/BFC=4/C,求/。的度數(shù).

【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】

【例4】（2023春?廣東惠州?八年級惠州一中?？计谥校┤鐖D，乙4=70。，尸是AABC內(nèi)一點(diǎn),BP平分42BC,

CP平分"C8,則NBPC的度數(shù)為（）

A.105°B.115°C.125°D.135°

【變式41】（2023春?廣東東莞?八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，4。是BC邊上的高，2E是4847的平分

線，LEAD=5°,ZC=50°,求NB的度數(shù).

【變式42］（2023春?黑龍江大慶?八年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)E在4c上，點(diǎn)歹在C8的延長線上，AB與EF交

于點(diǎn)G,乙AGE=LCED,ED平分NCEF.

⑴求證：ABWDE；

（2）若立尸=30。，/.AGE=50°,求NC的度數(shù).

【變式43】（2023春?八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在AABC中，點(diǎn)。在4B上，過點(diǎn)。作DEIIBC,交4C于點(diǎn)

E,DP平分以DE,交乙4cB的平分線于點(diǎn)P,CP與DE相交于點(diǎn)G,NACF的平分線CQ與OP相交于點(diǎn)0.

（1）若/4=50°,ZB=60°,貝UNDPC=°,NQ=°；

（2）若乙4=50。，當(dāng)NB的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，乙DPC、“的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；

（3）若乙4=十，則乙DPC=°,NQ=°；（用含x的代數(shù)式表示）；

（4）若&PCQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請直接寫出所有符合條件的N4的度數(shù).

【題型5三角形折疊中的角度問題】

【例5】（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，在△力BC中，NA=20。，點(diǎn)。在邊4C上（如圖1）,ABD

沿著BD翻折，使點(diǎn)力落在點(diǎn)4處，AB交力C于點(diǎn)E（如圖2）,再將ABCE沿著BE翻折，點(diǎn)C恰好落在BD上

的點(diǎn)L處，此時(shí)=66。（如圖3）,貝亞ABC的度數(shù)為（）

A

D

BC

圖1

A.66°

【變式51】（2023春?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在AABC中,44=60。，將△ABC沿DE翻折后,

點(diǎn)A落在8C邊上的點(diǎn)A處.若NAEC=70。，則乙4'DE的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【變式52】（2023春?甘肅定西?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在AABC中，乙4=20。，z5=60°,將點(diǎn)A與點(diǎn)8

分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，則NNCF的度數(shù)為（）

A.22°B.21°C.20°D.19°

【變式53］（2023?全國?八年級假期作業(yè)）己知，在ATIBC中，點(diǎn)￡在邊4B上，點(diǎn)。是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將

4B沿E、D所在直線進(jìn)行翻折得到NEFD.

(1)如圖，若NB=50°,則N4EF+4FDC=

（2）在圖中細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了N4EF,乙FDC,NB之間的關(guān)系，請您替小明寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并證明.

【題型6應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】

【例6】（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，a\\b,一塊含45。的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在直線匕上,

若N1=58。54',則/2的度數(shù)為（）

A.103°6'B.10406,C.103054,D.104°54'

【變式61】（2023春?八年級單元測試）如圖所示，有一塊直角三角板。EF（足夠大），其中NEDF=90。,

把直角三角板DEF放置在銳角AABC上，三角板DEF的兩邊DE、。尸恰好分別經(jīng)過3、C.

⑴若乙4=40。，則乙48。+N2CB=_°,乙DBC+乙DCB=_°,^ABD+/.ACD=_°,

(2)若N4=55°,貝UN4BD+AACD=_°.

（3）請你猜想一下乙4B。+NACD與乙4所滿足的數(shù)量關(guān)系.

【變式62］（2023春?八年級課時(shí)練習(xí)）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，NC=45。，Z.D=30°,

小明得到下列結(jié)論：

①如果42=30。，則2CIIDE；

②4BAE+ACAD=180°；

③如果BCII4D,則42=30。；

④如果NC4D=150°,貝!|44=ZC.

其中正確的結(jié)論有（）

【變式63】（2023春?八年級課時(shí)練習(xí)）小宋對三角板在平行線間的擺放進(jìn)行了探究

圖⑴圖⑵

（1）如圖（1）,已知allb,小宋把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線6上.若41=40。,直接寫出42的度數(shù);若N1=m°,

直接寫出N2的度數(shù)（用含m的式子表示）.

（2）如圖（2）,將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30。

角的直角三角板的直角頂點(diǎn)與45。角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)4,含30。角的直角三角板的斜邊與紙條一邊b重合，

含45。角的三角板的另一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊a上，求N1的度數(shù).

【題型7應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】

【例7】（2023春?廣東潮州?八年級統(tǒng)考期中）在AABC中，乙C＞乙B,4E平分NB4C,歹為射線4E上一點(diǎn)

（不與點(diǎn)E重合），且于。；

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且NC=50。，NB=30。時(shí)，求NEFD的度數(shù)；

（2）如果點(diǎn)尸在線段AE上（不與點(diǎn)A重合）時(shí)，如圖2,直接寫出NEF。、4NB的數(shù)量關(guān)系.

【變式71］（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，ABWCD,￡為線段上一點(diǎn)，ZBAD^n0,n^l5xy,

且W—1+(y-3尸=0.

⑵求證：ZPEC-ZAPE=135°.

（3）若尸點(diǎn)在射線D4上運(yùn)動(dòng)，直接寫出NAPE與NPEC之間的數(shù)量關(guān)系.（不考慮P與4、。重合的情況）

【變式72】（2023春?河南漂河?八年級校考期末）已知△ABC.

（1）如圖（1）,ZOZB,若ADXBC于點(diǎn)D,AE平分/BAC,你能找出/EAD與/B,ZC之間

的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由.

（2）如圖（2）,AE平分/BAC,F為AE上一點(diǎn)，F(xiàn)M±BC于點(diǎn)M,ZEFM與/B,/C之間有何

數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

【變式73]（2023春?浙江?八年級專題練習(xí)）如圖，AB〃CD,點(diǎn)E是A8上一點(diǎn)，連結(jié)CE.

（1）如圖1,若CE平分NAC。，過點(diǎn)E作EMLCE交C￡）于點(diǎn)試說明NA=2NCME；

（2）如圖2,若平分/CA8,Cf平分NDCE,且/廣=70。，求/ACE的度數(shù).

（3）如圖3,過點(diǎn)E作EMLCE交NOCE的平分線于點(diǎn)M,MNLCM交AB于點(diǎn)、N,CHLAB,垂足為X.若

NACH=[NEC8請直接寫出ZMNB與ZA之間的數(shù)量關(guān)系.

【題型8三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】

【例8】（2023春?福建廈門?八年級廈門一中?？计谥校┬露x：在AABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角

度數(shù)的〃倍⑴為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為“w倍角三角形”.例如，在△ABC中，若/A=90。，ZB

=60。，則/C=30。，因?yàn)镹A最大，NC最小，且NA=3NC,所以△ABC為“3倍角三角形”.

（1）在ADEF中，若NE=40。，ZF=60°,則△。瓦'為“倍角三角形

（2）如圖，在△ABC中，NC=36。，ZBAC.NABC的角平分線相交于點(diǎn)。，若△A3。為“6倍角三角形”，

請求出/A2D的度數(shù).

【變式81】（2023春?安徽六安?八年級校考期中）定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角a是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍時(shí)，

我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中a稱為“倍角”，如果一個(gè)“倍角三角形”的一個(gè)內(nèi)角為99。，那么倍角

a的度數(shù)是（）

A.99°B.99°或49.5°C.99°或54°D.99°或49.5°或54°

【變式82】（2023?全國?八年級專題練習(xí)）我們定義:

【概念理解】

在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角

形”.如：三個(gè)內(nèi)角分別為130。，40。，10。的三角形是“完美三角形”.

【簡單應(yīng)用】

如圖1,ZMON=72°,在射線OM上找一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作ABLOM交ON于點(diǎn)B,以A為端點(diǎn)作射線

AD,交線段OB于點(diǎn)C(點(diǎn)C不與O,B重合)

(1)NABO=_,AAOB(填“是"或“不是')”完美三角形”；

(2)若/ACB=90。，求證：△AOC是“完美三角形”.

【應(yīng)用拓展】

如圖2,點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC,作NADC的平分線交AC于點(diǎn)E,在DC上取點(diǎn)F,使NEFC+

乙BDC=180°,乙DEF=乙B.若仆BCD是“完美三角形”，求NB的度數(shù).

【變式83】(2023春?江蘇?八年級期末)定義：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與￡滿足2a=90。，那么

我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”.

(1)若AABC是“準(zhǔn)互余三角形"，ZC>90°,乙4=56。，貝UNB=°；

(2)若△ABC是直角三角形，^ACB=90°.

①如圖，若4。是NB4C的角平分線，請你判斷△4BD是否為“準(zhǔn)互余三角形”？并說明理由.

②點(diǎn)E是邊8c上一點(diǎn)，△力BE是“準(zhǔn)互余三角形"，若NB=28。，求N2EB的度數(shù).

【知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的判定】

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

【題型9直角三角形的判定】

【例9】（2023春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，NC=90。，zl=Z2,求證AADE是直角

三角形.

【變式91】（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:5,那么這個(gè)三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【變式92］（2023春?山東濱州?八年級統(tǒng)考期末）在下列條件：①N2+NB+NC=180°；②NAABZC=

1:2:3；③Z71=NB=2NC；④乙4=⑤乙4=NB=：N。中，能確定△ABC為直角三角

形