1.3探索三角形全等的條件（4）

分層練習(xí)

基礎(chǔ)練

1.下列條件中，不能判定△ABCgAAEC的是（）

A.AB=A'B',ZA=ZA',AC=A'C

B.AB=A'B',ZA=ZA',ZB=NB'

C.AB=A'B'，ZA=ZA「NC=NC'

D.ZA=ZA',NB=NB'，NC=NC'

【答案】D

【分析】根據(jù)全等的判定定理及推論，對(duì)選項(xiàng)一一分析，選擇正確答案.

【詳解】解：A、AB=A'B',ZX=-ZA',AC=A'C,可用SAS判定△ABCgZWQC；

B、AB=A'B',ZA=ZA',可用ASA判定△ABCgZvlRC；

C、AB=A'B',ZA-ZA',/C=/C,可用AAS1判定AABC且

D、/=/B',/C=NC,不能判定AABC四△ARC'；

故選：D

2.如圖，AB=AC,若利用”AAS”判定AABE三A/ICD,則需要添加的一個(gè)直接條件是（）

A.AD=AEB.ZB=zCC.BE=CDD.^AEB=/.ADC

【答案】D

【分析】找到根據(jù)“AAS”判定AABEmAac。需要的條件，作出證明即可.

【詳解】解：還需添加的條件是N4EB=N4DC,理由是：

在ATlBE和△4CD中,

Z.AEB=Z.ADC

N4=Z.A

.AB=AC

△ABE三AaCDOMS）,

故選：D.

3.如圖所示，AB||CD,AE||FC,在下列選項(xiàng)中選擇一個(gè)其他條件，其中不能使△ABE三△CDF的選項(xiàng)

是（）

A.AB^CDB.AE^FCC.BF=DED.乙4="

【答案】D

【分析】首先根據(jù)AB||CD,AE||FC可得NB=4D,^AEB=乙CFD,根據(jù)BF=DE,可得BE=DF,再力口

上每個(gè)選項(xiàng)中的條件進(jìn)行分析，即可求解.

【詳解】解：'."AB||CD,AE||FC,

Z.B=Z-D,Z-AEB=Z.CFDf

選項(xiàng)A,AB=CD,與已知條件形成A4S,能判定△ABE三△CDF成立，不符合題意；

選項(xiàng)B,AE^FC,與已知條件形成44S,能判定A4BE三ACDF成立，不符合題意；

選項(xiàng)C,BF=DE,可得=與已知條件形成4S4能判定AABE三△CDF成立，不符合題意；

選項(xiàng)D,乙4=NC,與已知條件形成444不能判定AABE三ACDF成立，符合題意；

故選：D.

4.如圖，AB//CD,AD//BC,AE±BD,C尸，3。垂足分別為E、尸兩點(diǎn)，則圖中全等的三角形有（）

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法求解即可.判定三角形全等的方法有：SSS,SAS,AAS,ASA,乩（直

角三角形）.

【詳解】解：,：AB//CD,AD//BC,

J./.ABD=乙CDF,^ADB=Z.CBD,

...在AABO和ACOB中,

BD=DB

乙ABD=乙CDB

^ADB=乙CBD

：.LABD三△CDBQASA）；

：.AB=CD,AD=BC,

???在△ABE和產(chǎn)中，

AB=CD

乙ABD=4CDF,

ZAEB=^CFD

：.^ABE=LCDF{AAS）^

???在△ADE和aCB/中，

'AD=BC

Z.ADB=乙CBD,

Z-AED=乙CFB

：.^AED三△CFBQ44S）,

則圖中全等的三角形有：AABE?LCDF,^ADEq4CBF,^ABD^ACDB,共3對(duì).

故選：C.

5.如圖，D是上一點(diǎn)，。尸交AC于點(diǎn)E,DE=FE,FC||AB,AB=5fBD=1,貝兒尸的長(zhǎng)度為（）

A.2B.2.5C.4D.5

【答案】C

【分析】由FCIIAB,得乙F=乙ADE,乙FCE=乙4,即可根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”證明△CFE

ADE,貝IJCF=AD=AB-BD=4.

【詳解】解：FC||AB,

?.?乙F=A.ADE,Z.FCE=Z.A,

在^CFE和△ZDE中，

Z.F=^ADE

乙FCE=乙4,

、FE=DE

**?△CFE=△ADE（AAS），

CF=AD,

???AB=5,BD=1,

：.AD=AB-BD=5-1=4,

：.CF=4,

的長(zhǎng)度為4.

故選：C.

6.如圖，已知AB=DE,要證明AABC0△Z）EE

（1）若以“ASA”為依據(jù),還需要添加一個(gè)條件為

（2）若以“AAS，為依據(jù),還需要添加一個(gè)條件為

ZACB=ZDFE

【分析】（1）根據(jù)邊角邊的條件先找到對(duì)應(yīng)邊，再寫出條件，最后給出證明;

（2）根據(jù)角角邊的條件先找到角，再寫出條件，最后寫理由.

【詳解】解：（1）；乙4BC=NOEF,AB=DE,要使A2BC三△￡>￡小且以“SAS”為依據(jù),

；?還要添加的條件為：乙4=4。；

在△ABC和△DEF中

-/.A=/.D

AB=DE

./-ABC=4DEF

：.AABC=△DEF(ASA)

故答案為乙4=ND；

(2)-：^ABC=^DEF,AB=DE,要使△ABC三△DEF,且以“A4S”為依據(jù),

,還要添加的條件為：UCB=乙DFE.

在AABC和ADEF中

2ACB=乙DFE

乙ABC=4DEF

.AB=DE

：.4ABC3bDEFCAAS)

故答案為42CB=乙DFE.

BEC

7.如圖，已知△ABC三分別是△ABC和AAiBiCi的高，則圖中全等三角形共有

對(duì).

【答案】3

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出4B=44,乙8=42，Z_C=NC「AC=46，根據(jù)高的定義求出

^ADB=N&DiBi=90°,乙ADC="山心=90°,根據(jù)AAS推出兩個(gè)三角形全等即可.

【詳解】解：；A4BC三AZiBiG，

??AB=ArBr,Z-B=（Bi，Z.C=Z_C「AC=A1C1f

".'AD,4￡）i分別是和△&aG的高，

：.AADB="也/=90°,AADC="也的=90°,

在^ABD^AA1B1D1中，

Z-ADB=^A1D1B1

Z-B—乙B、,

、AB=A1B1

△ABD三△4IBIDI（AAS），

同理△ZCO三

除已知兩三角形全等外，有△480三△41/01,△4C0三2141的。1，

故答案為：3.

8.如圖，在AAC8中，ZACB=90°,AC=8C,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,5）,則A點(diǎn)

【分析】先作輔助線10C、BE10C,通過導(dǎo)角證明NC4D=N8CE,再證明△4DC三△CEB,得到

AD的長(zhǎng)度（A的縱坐標(biāo)長(zhǎng)度）、DC長(zhǎng)度（加上OC得到A橫坐標(biāo)長(zhǎng)度），根據(jù)A點(diǎn)所在象限的符號(hào)，確定A

點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作4D10C于點(diǎn)。，過點(diǎn)8作BE1OC于點(diǎn)E

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,5)

??.OC=2,O￡=l,BE=5

ZACB=90°

??.Z,ACD+4CAD=90。,zACD+乙BCE=90°

?，?Z-CAD=乙BCE

在AADC和ACEB中，

(/.ADC=乙BEC=90°

\^CAD=乙BCE

14c=BC

ADC三△CEBQ44S)

DC=BE=5,AD=CE=1+2=3

1?.OD=2+5=7

點(diǎn)的坐標(biāo)是(7,3).

9.如圖，AB//CD,AB=CD,求證：EO=FO.請(qǐng)將下面的推理過程及依據(jù)補(bǔ)充完整.

證明：???4B//CD,

乙B=L.C()

Z.AOB=Z.DOC

在AAOB與ADOC中，NB=NC,

()

AOBDOC()

OB=OC()

Z.B=ZC

在ABOE與AC。尸中，［OB=OC,

()

.-.△BOE^ACOF()

;.EO=FO.

【答案】?jī)芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；AB=CD-,AAS；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；/BOE=/COF；ASA

【分析】利用AAS證明△AOBg/iOOC,再利用ASA證明ABOE<△COF即可證明EO=FO.

【詳解】證明：：筋//。，

.?.N8=/C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

/.AOB=Z.DOC

在AAOB與ADOC中，NB=NC,

AB=CD

AAOB^ADOC（AAS）,

：.OB=OC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

,乙B—Z.C

在ABOE與ACO尸中，OB=0C,

Z.BOE=Z.COF

：./\BOE^/\COF（ASA）

：.EO=FO.

10.如圖，AB交CD于點(diǎn)0,在AAOC與4B0D中，有下列三個(gè)條件：①。C=0D,②AC=BD,③乙4=NB.請(qǐng)

你在上述三個(gè)條件中選擇兩個(gè)為條件，另一個(gè)能作為這兩個(gè)條件推出來的結(jié)論，并證明你的結(jié)論（只要求

寫出一種正確的選法，若多選的只按第一種選法評(píng)分，后面的選法不給分）

（2）證明你的結(jié)論.

【答案】（1）。。=。。，N4=NB,AC=BD；（2）見解析

【分析】（1）選擇。C=。。，乙4=NB作為條件，可得到結(jié)論AC=BD；

（2）利用對(duì)頂角相等，得至=再由角角邊證明AAOC也△BOZ）即可.

【詳解】解：（1）選擇的條件為0C=。。，乙A=4B,需要證明的結(jié)論為：AC=BD；

（2）由對(duì)頂角相等可知：乙40c=eBOD,

在AAOC和ABO。中，

乙4=乙B

Z.AOC=Z.BOD,

、QC=OD

：.△N08ABOD(AAS),

：.AC=BD.

11.如圖，已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，上DCE=幺A=CB,CD=CE.

⑴求證：AACD=ABEC；

(2)求證：AB=AD+BE.

【分析】(1)由NOCE=4/得NO+NZCO=乙ACD+乙BCE,即NO=從而即可證得△ZCD=ABEC；

(2)由△ZC。三ZiBEC可得4。=BC,AC=BE,即可得到ZC+BC=4。+BE,從而即可得證.

【詳解】(1)證明：?.?"。￡二乙4,

??.Z.D+Z.ACD=Z.ACD+乙BCE,

Z.D=Z-BCE,

在△4CD和△BEC中，

乙A=/LB

Z-D=Z-BCE,

.CD=EC

ACD=△BEC(AAS)；

(2)解：*/△ACD經(jīng)ABEC,

???AD—BC,AC—BE,

AC+BC=AD+BE,

AB=AD+BE.

12.一個(gè)等腰直角三角板如圖擱置在兩柜之間，且點(diǎn)D,GE在同一直線上，已知稍高的柜高A0為80cm,

兩柜距離DE為140cm.求稍矮的柜高BE.

【答案】60cm

【分析】首先證明△40C三ZkCEB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得4。=CE,DC=BE,進(jìn)而可得CE的長(zhǎng),

然后可得0C的長(zhǎng)度，從而求出5萬長(zhǎng).

【詳解】解：由題意得：^ADC=/.ACB=^BEC=90°,AC=BC,

???AACB=90°,

??.AACD+乙BCE=90°,

???乙BEC=90°,

???乙BCE+乙CBE=90°,

Z.ACD=Z.CBE,

乙40c=乙BEC

在ZL4DC和4CEB中，\/_ACD=乙CBE,

AC=BC

???△/DC三△CEB(A4S),

???AD=CE,DC=BE,

AD=80cm,

CE=80cm,

??，DE=140cm,

DC=60cm,

BE=60cm.

提升練

如圖，已知點(diǎn)〃是力B的中點(diǎn)，DC是過點(diǎn)M的一條直線，且乙4cM=NBDM,AE1CD,BF1CD,垂足

分別為點(diǎn)E,F.

(1)試說明：AAME三ABMF；

(2)猜想MF與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)由題意可得2M=BM、^AEM=Z5FM=90°,再結(jié)合乙4cM=NBDM運(yùn)用心$即可證明結(jié)

論；

(2)由題意可得乙4EM=乙BFM=90°,再根據(jù)△AMEBMF可得EM=FM,AE=BF,進(jìn)而證明4

ACEBOF(AAS)可得=CE,然后根據(jù)線段的和差以及等量代換即可解答.

【詳解】(1)解：,點(diǎn)M是的中點(diǎn)，

：.AM=BM,

1CD,BF1CD.

：.Z.AEM=乙BFM=90°.

在△4ME和ABM尸中，

'乙4EM=乙BFM=90°

乙AME=乙BMF

AM=AM

：.△AMEBMF(AAS).

(2)解：猜想：2MF=CD.理由如下：

'?'AE1CD,BF1CD,

：.Z.AEM=乙BFM=90°.

V△AMEWABMF,

???EM=FM,AE=BF.

在△/CE和△BDF中，

\LAEC=乙BFD=90°

乙4cM=乙BDM

、AE=BF

△ACE=△80F(AAS).

：.DF=CE.

VDF=CD+CF,CE=EF+CF,

ACD=EF.

VEF=EM+FM,EM=FM.

A2MF=CD.

拓展練

直角三角形ABC中，乙4cB=90。，直線/過點(diǎn)C.

(1)當(dāng)4C=8C時(shí)，如圖，分別過點(diǎn)2,B作于點(diǎn)D,BELI于點(diǎn)E.

求證：4ACDm4CBE.

B

(2)當(dāng)4C=8,BC=6時(shí)，如圖，點(diǎn)B與點(diǎn)尸關(guān)于直線Z對(duì)稱，連接正，CF,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)4出發(fā)，以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AC邊向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿F-C-8一

C-F向終點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M,N到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)“作用。1I于點(diǎn)D,過點(diǎn)N作NE1/于點(diǎn)E,

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

①CM=,當(dāng)N在尸一C路徑上時(shí)，CN=.(用含t的代