第05講易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰（直角）三角形中易漏解或多解

的問題之五大易錯(cuò)（5類熱點(diǎn)題型講練）

考點(diǎn)導(dǎo)航

目錄

【考點(diǎn)一求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】.............................1

【考點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】.............................2

【考點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】...................................2

【考點(diǎn)四求有關(guān)直角三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】...................................3

【考點(diǎn)五三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】.........................4

典型例題

【考點(diǎn)一求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023春?陜西漢中?七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知一個(gè)等腰三角形的三邊長分別為2x-l,x+1,3x-2,

且2》-1為腰長.求這個(gè)等腰三角形的周長.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?陜西西安?七年級(jí)?？计谀┑妊切蔚牡走呴L與其腰長的比值稱為這個(gè)等腰二角形的"優(yōu)美

比”.若等腰AABC的周長為20,其中一邊長為8,則它的“優(yōu)美比”為（）

■4441

A.5B.-C./或2D./或『

/3J3/

2.（2023春?湖南衡陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AABC是等腰三角形.如果它的兩條邊長分別為7cm和3cm,

那么它的周長是cm.

3.（2023春?江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為3和5,則這個(gè)三角形的

周長為—.

4.（2023春?甘肅張掖?七年級(jí)?？计谀┤簦ā?3）2+|6-耳=0,則以a、b為邊長的等腰三角形的周長是.

5.（2023秋?江西南昌?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若等腰三角形的三邊長分別為x,5,2x-3,則此等腰三角形的周

長可以是

6.（2022春?七年級(jí)單元測試）用一條長為35cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形.

⑴如果腰長是底邊長的3倍，那么各邊的長分別是多少？

⑵能圍成有一邊長為7cm的等腰三角形嗎？

【考點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023春?陜西寶雞?七年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是36。，則它的底角的度數(shù)是.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?云南文山?八年級(jí)校聯(lián)考期中）等腰三角形有一內(nèi)角為80。，則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)

為.

2.（2023春?福建漳州?七年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谀┒x：在一個(gè)等腰三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角等

于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱該三角形為“倍角等腰三角形"."倍角等腰三角形"的頂角度數(shù)是（）

A.90°B.45°或36°C.108°或90°D.90°或36°

3.若等腰三角形的一個(gè)外角為108。，則它的頂角為

4.（2022春?黑龍江黑河?八年級(jí)校考期末）等腰三角形的一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少20。，則這個(gè)等腰三角

形的頂角度數(shù)是.

5.（2022春,江西贛州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在"LBC中，ZB=20°,NA=105。，點(diǎn)尸在AABC的三邊

上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ARIC為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是.

【考點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023春?江西宜春?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB=10,BC=3,點(diǎn)E是A2

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊DC上運(yùn)動(dòng)，若VAPE是腰長為5的等腰三角形，則DP的長為.

【變式訓(xùn)練】

1.在EA8C中，&8=70。，過點(diǎn)A作一條直線，將0ABe分成兩個(gè)新的三角形.若這兩個(gè)三角形都是等腰三

角形，貝幅C的度數(shù)為.

2.在RbABC中，ZC=90°,有一個(gè)銳角為60。，AB=6,若點(diǎn)尸在球線A3上（不與點(diǎn)A,5重合），且

ZPCB=30°,則AP的長為.

3.（2022春?江西南昌?八年級(jí)江西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考期中）如圖，在AABC中，已知：ZACB=90°,

AB=10cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線8C以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1秒，連接PA,

當(dāng)AAB尸為等腰三角形時(shí)，/的值為.

4.（2023春?江西九江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知Rt^ABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,若AABC沿射線BC

方向平移〃2個(gè)單位得到ADE/，頂點(diǎn)A,B,C分別與頂點(diǎn)E,尸對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)A,D,E為頂點(diǎn)的三角

形是等腰三角形，則根的值是.

【考點(diǎn)四求有關(guān)直角三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023下,江西南昌?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，ZA=3O°,BC=6,

點(diǎn)尸，。分別是邊AS8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從A-以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。

從BfC以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)

過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，若V3PQ為直角三角形，則f的值為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?湖北武漢?八年級(jí)校聯(lián)考期中）在AABC中，AB=AC,其中一個(gè)內(nèi)角度數(shù)是40。，點(diǎn)。在直線

BC邊上,連接A。，若為直角三角形，則/ADC的度數(shù)為.

2.（2023下?河南鄭州?七年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AQ是“RC的角平分線，CE是AMC的高，

ZBAC=60°,NACB=78。，點(diǎn)P為邊A3上一點(diǎn)，當(dāng)V3D廠為直角三角形時(shí)，則NAZm的度數(shù)為.

3.（2023下?江蘇宿遷?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,NC=40。，AH、分別是AABC

的高和角平分線，點(diǎn)￡為8C邊上一點(diǎn)，當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，則NCDE=。.

A

4.（2023下?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）己知在平面直角坐標(biāo)系中4-4,0）,B（3,0）,C（0,3）,點(diǎn)尸在x軸上

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【考點(diǎn)五三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023秋,山東泰安?七年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┑妊切我谎系闹芯€把三角形周長分為15

和12兩部分，則此三角形的底邊長為（）

A.7B.11C.7或11D.無法確定

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?遼寧沈陽?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45。，那么這個(gè)三角

形的頂角為（）

A.45°B.90°C.135°D.135°或45°

2.（2022秋?廣東惠州?八年級(jí)校考階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30。，則頂角的度數(shù)

為-.

3.己知一個(gè)等腰三角形的周長為45c",一腰上的中線將這個(gè)三角形的周長分為3:2的兩部分，則這個(gè)等腰

三角形的底長為.

4.（2022春?廣東廣州,八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在AABC中，AB^AC,AC上的中線3D把三角形的周長分

成24和30兩部分，則底邊BC的長為.

5.（2022?陜西?交大附中分校七年級(jí)期末）已知AABC中，ZB=20°,在A8邊上有一點(diǎn)D若CD將△ABC

分為兩個(gè)等腰三角形，則NA=.

第05講易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰（直角）三角形中易漏解或多解

的問題之五大易錯(cuò)（5類熱點(diǎn)題型講練）

考點(diǎn)導(dǎo)航

目錄

【考點(diǎn)一求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】.............................1

【考點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】.............................2

【考點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】...................................2

【考點(diǎn)四求有關(guān)直角三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】...................................3

【考點(diǎn)五三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】.........................4

典型例題

【考點(diǎn)一求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023春?陜西漢中?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)等腰三角形的三邊長分別為2x-l,x+1,3x-2,

且2x-l為腰長.求這個(gè)等腰三角形的周長.

【答案】這個(gè)等腰三角形的周長為10.

【分析】因?yàn)闆]有明確指出哪條邊是底邊哪個(gè)是腰，所以要分情況討論.

【詳解】解：①當(dāng)2x—l=x+l時(shí)，解得x=2,

則這個(gè)等腰三角形三條邊長分別為3、3、4,能構(gòu)成三角形，

此時(shí)這個(gè)等腰三角形的周長為3+3+4=10；

②當(dāng)2x-l=3x-2時(shí)，解x=l,

則這個(gè)等腰三角形三條邊長分別為1、2、1,不能構(gòu)成三角形（舍去）.

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長為10.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；在沒有明確給出腰和底邊時(shí)，要注意和已知條件聯(lián)系起來分情況

討論進(jìn)而求解.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?陜西西安?七年級(jí)校考期末）等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個(gè)等腰三角形的"優(yōu)美

比”.若等腰AABC的周長為20,其中一邊長為8,則它的“優(yōu)美比”為（）

i4441

A.萬B.—C.工或2D.工或萬

【答案】D

【分析】分8為腰長和底邊長，兩種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】解：當(dāng)8為腰長時(shí)，

團(tuán)等腰AABC的周長為20,

EIAABC的底邊長為：20-8-8=4,

團(tuán)"優(yōu)美比"為:=；；

oZ

當(dāng)8為底邊長時(shí)，

△ABC的腰長為：gx（20-8）=6,

團(tuán)"優(yōu)美比"為■8!=：4；

63

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義.熟練掌握等腰三角形的兩腰相等，是解題的關(guān)鍵.注意，分類討論.

2.（2023春,湖南衡陽?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AABC是等腰三角形.如果它的兩條邊長分別為7cm和3cm,

那么它的周長是cm.

【答案】17

【分析】分兩種情況討論:①當(dāng)?shù)妊切蔚难L為3cm,底邊長為7cm時(shí)；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為7cm,

底邊長為3cm時(shí)，利用三角形的三邊關(guān)系分別求解，即可得到答案.

【詳解】解：分兩種情況討論：

①當(dāng)?shù)妊切蔚难L為3cm,底邊長為7cm時(shí)，

3+3=6v7,

二?不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為7cm,底邊長為3cm時(shí)，

?.-3+7=10>7,

???能構(gòu)成三角形，

，周長為3+7+7=17cm，

故答案為：17.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差

小于第三邊.

3.（2023春?江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為3和5,則這個(gè)三角形的

周長為—.

【答案】11或13/13或11

【分析】分3是腰長或5是腰長，兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：①3是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、5,

03+3=6>5,

團(tuán)此時(shí)能組成三角形，

這個(gè)三角形的周長為3+3+5=11；

②5是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為3、5、5,

此時(shí)能組成三角形，

國這個(gè)三角形的周長3+5+5=13,

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長是11或13.

故答案為：11或13.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于要分情況討論.

4.（2023春?甘肅張掖?七年級(jí)?？计谀┤簦?。-3）2+16-耳=0,則以a、b為邊長的等腰三角形的周長是.

【答案】15

【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出。、6的值，再討論。為腰長和底邊長，結(jié)合構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行求解

即可.

【詳解】解：0（a-3）2+|6-&|=O,（a-3）2>0,|6-&|>0,

0（a-3）2=|6-/?|=0,

團(tuán)a—3=0,6—b=0,

團(tuán)a=3,b=6,

當(dāng)腰長為3時(shí)，則該三角形的三邊長分別為3、3、6,

03+3=6,

國此時(shí)不能構(gòu)成三角形，

當(dāng)腰長為6時(shí)，則該三角形的三邊長分別為3、6、6,

團(tuán)6—3<6<6+3,

國此時(shí)能構(gòu)成三角形，

團(tuán)該等腰三角形的周長為3+6+6=15,

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)成三角形的條件，等腰三角形的定義，正確求出。、6的值是解

題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?江西南昌?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若等腰三角形的三邊長分別為x,5,2x-3,則此等腰三角形的周

長可以是.

【答案】11或13或17

【分析】先根據(jù)題中已知等腰三角形的三邊的長，而沒有指明哪個(gè)是腰，哪個(gè)是底邊，故應(yīng)該分三種情況

進(jìn)行分析求解即可.

【詳解】解：①當(dāng)2x-3是底邊時(shí)，則腰長為尤，5,

回％=5,

團(tuán)2x—3=7,

即三角形三邊長分別為5,5,7,根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可以構(gòu)成三角形，

團(tuán)等腰三角形的周長=5+5+7=17；

②當(dāng)5是底邊時(shí)，則腰長為x,2x-3,

Sx—2x—3,解得x=3,

即三角形三邊長分別為3,3,5,根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可以構(gòu)成三角形，

團(tuán)等腰三角形的周長=3+3+5=11；

③當(dāng)x是底邊時(shí)，則腰長為5,2x-3,

05=2x—3,解得x=4,

即三角形三邊長分別為5,5,4,根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可以構(gòu)成三角形，

團(tuán)等腰三角形的周長=5+5+4=14.

綜上所述，三角形的周長可以是11,14或17.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、解一元一次方程以及三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

分類討論，并用三邊關(guān)系定理檢驗(yàn).

6.（2022春?七年級(jí)單元測試）用一條長為35cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形.

⑴如果腰長是底邊長的3倍，那么各邊的長分別是多少？

⑵能圍成有一邊長為7cm的等腰三角形嗎？

【答案】（1）5cm,15cm,15cm

（2）能

【分析】（1）設(shè)該等腰三角形的底邊長為x,則腰長為3無，列出方程求解即可；

（2）根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系，分兩種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】（1）解：設(shè)該等腰三角形的底邊長為羽則腰長為3x,

x+3x+3x=35,

解得：x=5,

03x=3x5=15,

13該三角形的三邊長分別為5cm,15cm,15cm.

（2）解：當(dāng)?shù)走呴L為7cm時(shí)，

腰長為:x（35-7）=14（cm）,

即4—14V7V14+14,

團(tuán)能圍成底邊長為7cm,腰長為14cm時(shí)的等腰三角形;

當(dāng)腰長為7cm時(shí),

底邊長為35-7x2=21（cm）,

07+7<21,

團(tuán)不能圍成腰長為7cm的等腰三角形；

綜上：能圍成有一邊長為7cm的等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形兩腰

相等，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

【考點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023春?陜西寶雞?七年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是36。，則它的底角的度數(shù)是.

【答案】36?；?2°

【分析】分36。的角是是底角和頂角的情況分析，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：當(dāng)36。的角是底角時(shí)，則底角為36。，

當(dāng)36。的角是頂角時(shí)，則底角為g（180。-36。）=72。，

故答案為：36?；?2。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?云南文山?八年級(jí)校聯(lián)考期中）等腰三角形有一內(nèi)角為80。，則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)

為.

【答案】50。或80。

【分析】由于不明確80。的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應(yīng)分80。的角是頂角和底角兩種情況討論.

【詳解】分兩種情況：

①當(dāng)80。的角為等腰三角形的頂角時(shí)，

底角的度數(shù)=（180。-80。）+2=50。；

②當(dāng)80。的角為等腰三角形的底角時(shí)，其底角為80。，

故它的底角度數(shù)是50。或80。.

故答案為：50°或80。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解答此題時(shí)要注意80。的角是頂角和底角兩

種情況，不要漏解，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵.

2.（2023春?福建漳州?七年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)校考期末）定義：在一個(gè)等腰三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角等

于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，則稱該三角形為“倍角等腰三角形".“倍角等腰三角形"的頂角度數(shù)是（）

A.90°B.45?；?6°C.108°或90°D.90°或36°

【答案】D

【分析】設(shè)等腰三角形的頂角為廿，則底角為3180。7。）=90。-夫。，分兩種情況：當(dāng)頂角為底角的2倍

時(shí)，當(dāng)?shù)捉菫轫斀堑?倍時(shí)，分別列出方程求出尤的值即可.

【詳解】解：設(shè)等腰三角形的頂角為x°,則底角為:（180。-產(chǎn)）=90。-3K，

當(dāng)頂角為底角的2倍時(shí)，x=2^90°-1^,

解得：％=90；

當(dāng)?shù)捉菫轫斀堑?倍時(shí)，2x=90°-1x,

解得：x=36；

綜上分析可知，"倍角等腰三角形"的頂角度數(shù)是90。或36。，故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意進(jìn)行分類討論.

3.若等腰三角形的一個(gè)外角為108。，則它的頂角為

【答案】72?；?6。

【分析】分108。的外角為頂角的外角和底角的外角兩種情況討論即可.

【詳解】分為兩種情況：（1）當(dāng)這個(gè)108。的外角為等腰三角形頂角的外角時(shí)，則其頂角為180。-108。=72。；

（2）當(dāng)這個(gè)108。的外角為等腰三角形底角的外角時(shí)，則其底角為180。-108。=72。，頂角為180。-72。><2=36。；

故答案為：72?；?6。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角定義及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定

理和等腰三角形的性質(zhì).

4.（2022春?黑龍江黑河?八年級(jí)?？计谀┑妊切蔚囊粋€(gè)角比另一個(gè)角的2倍少20。，則這個(gè)等腰三角

形的頂角度數(shù)是.

【答案】44?；?0?；?40。

【分析】設(shè)另一個(gè)角是x,表示出一個(gè)角是2x-20。，然后分①x是頂角，2x-20。是底角，②x是底角，

2x-20。是頂角，③x與2彳-20。都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。與等腰三角形兩底角相等列出方程

求解即可.

【詳解】解：設(shè)另一個(gè)角是尤，表示出一個(gè)角是2x-20。，

①x是頂角，2x-20。是底角時(shí)，》+2（2龍-20。）=180。，

解得x=44。，

所以，頂角是44。；

②x是底角，2x-20。是頂角時(shí)，2x+（2x-20。）=180。，

解得x=50。，

所以，頂角是2x50?！?0。=80。；

③X與2%-20。都是底角時(shí)，x=2x-2Q0,

解得x=20。，

所以，頂角是180°-20°x2=140°；

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是44?；?0?；?40。.

故答案為：44。或80。或140。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于分情況討論，特別是

這兩個(gè)角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯(cuò).

5.（2022春,江西贛州,八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在AABC中，ZB=20°,NA=105。，點(diǎn)尸在AABC的三邊

上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△R1C為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是.

【答案】105。或55。或70。

【分析】作出圖形，然后分點(diǎn)尸在A3上與3c上兩種情況討論求解.

【詳解】解：①如圖1,

A

圖1

點(diǎn)尸在AB上時(shí)，AP=AC,頂角為NA=105。，

@EIZB=20o,ZA=105°,

aZC=180°-20°-105°=55°,

如圖2,點(diǎn)尸在BC上時(shí)，若AC=PC,

頂角為NC=55。，

如圖3,若AC=AP,

貝l|頂角為NC4P=180°—2NC=180°—2義55°=70°,

綜上所述，頂角為105。或55。或70。.

故答案為：105?；?5?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，注意要分情況討論求解.

【考點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023春?江西宜春?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB=10,BC=3,點(diǎn)E是A3

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊DC上運(yùn)動(dòng)，若V4石是腰長為5的等腰三角形，則。P的長為

D

【答案】4或1或9

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD=3C=3,?D90?,求出AE,畫出符合題意的三種情況，再根據(jù)勾股

定理求出答案即可.

【詳解】解：?.?至=10,E為的中點(diǎn),

AE=BE=5,

,?,四邊形A5CD是矩形，BC=3,

：.AD=BC=39?D90?,

有三種情況：①AP=PE=5,作AE的垂直平分線MN,MN交AB于N,

即/W=A?=2.5,則DP=/W=2.5,

AO2+DP2=32+2.52豐52，

即此種情況不存在；

②當(dāng)AP=A￡=5時(shí)，由勾股定理得：DP=y]AP2-Ab2=A/52-32=4；

③當(dāng)PE=AE=5時(shí)，有尸和P兩種情況，過尸作PNLAB于N,

由勾股定理得：NE=yJPE2-PN-=752-32=4-

即DP=5—4=1；DP'=5+4=9,

所以DP的長是4或1或9,

故答案為：4或1或9.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出符合的所有情況是解此

題的關(guān)鍵，用了分類討論思想.

【變式訓(xùn)練】

1.在0ABe中，0B=7O°,過點(diǎn)A作一條直線，將0ABe分成兩個(gè)新的三角形.若這兩個(gè)三角形都是等腰三

角形，則回C的度數(shù)為.

【答案】20。或27.5。或35°

【分析】分三種情況討論：①當(dāng)國8為等腰三角形的頂角時(shí)；②當(dāng)0ADB為等腰0AD8的頂角時(shí)；③當(dāng)回

為等腰0ADB的頂角時(shí)；綜合三種情況即可.

【詳解】解：設(shè)過點(diǎn)A且將0ABe分成兩個(gè)等腰三角形的直線交于點(diǎn)。，分三種情況討論.

①當(dāng)EIB為等腰EIAOB的頂角時(shí)，如圖1,

又EBAOC是等腰三角形，DA=DC,

aaC=：EIAOB=27.5°；

②當(dāng)MOB為等腰0AOB的頂角時(shí)，如圖2,

圖2

SiAD^BD,M=70°,

0324。=08=70°,

的402=180°-70°x2=40°,

又函AOC是等腰三角形，DA=DC,

EBC=；0AZ)B=2O°；

③當(dāng)BDAB為等腰她QB的頂角時(shí)，如圖3,

圖3

則她。8=而=70。,

又甌AOC是等腰三角形，DA=DC,

EBC=；0AZ）B=35。.

故答案為：20。或27.5?；?5。.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用這

些性質(zhì)和定理.

2.在Rt"LBC中，ZC=90°,有一個(gè)銳角為60。，AB=6,若點(diǎn)尸在耳線45上（不與點(diǎn)A,8重合），且

NPCB=30°,則AP的長為.

9

【答案】1或9或3

【分析】分fflABC=60、M8C=30。兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可.

【詳解】解：當(dāng)0ABe=60。時(shí)，貝幅54。=30。，

SBC=-AB=3,

2

AC=yjAB2-BC2=3A/3，

當(dāng)點(diǎn)尸在線段AB上時(shí)，如圖,

51ZPCB=30°,

00BPC=9O°,gpPCSAB,

ElAP=AC-cosZBAC=3A/3X-=-；

22

當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上時(shí)，

0ZPCB=30°,SPBC=SiPCB+SCPB,

0ECPB=3O°,

00CPB=EIPCB,

EIPB=BC=3,

SAP=AB+PB=9；

當(dāng)EIABC=30。時(shí)，則回8AC=60。，如圖，

^\AC=-AB=3

2f

0ZPCB=3O°,

的APC=60°,

釀ACP=60°,

WBAPC=^PAC=^\ACP,

回財(cái)PC為等邊三角形，

m=AC=3.

綜上所述，鉆的長為1或9或3.

9

故答案為：/或9或3

【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等邊三角形的

判定和性質(zhì)等，分類求解是本題解題的關(guān)鍵.

3.（2022春?江西南昌?八年級(jí)江西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在AABC中，已知：ZACB=90°,

AB=10cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)3出發(fā),沿射線BC以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r秒，連接PA,

當(dāng)AAB尸為等腰三角形時(shí)，，的值為.

【答案】325或g5或4

162

【分析】根據(jù)勾股定理先求出BC的長，再分三類：當(dāng)AB=AP時(shí)，當(dāng)54=3尸時(shí)，當(dāng)上4=尸5時(shí)，分別進(jìn)

行討論即可得到答案.

【詳解】解：在AABC中，ZACB=90°,

由勾股定理得：BC=ylAB2-AC2=7102-62=8cm-

；AAB尸為等腰三角形，

當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖所示，

貝！j3P=23C=16cm,

即/'=16+4=4s,

當(dāng)54=3尸=10a然時(shí)，如圖所示,

貝（Jr=10+4=gs,

當(dāng)上4=尸3時(shí)，如圖所示，^PA=PB=x,貝|PC=8-x,

在RRAC尸中，由勾股定理得:

PC2+AC2=AP2,

即（8—x1+6*wx2,

解得x=午25，

4

綜上所述：f的值為g25s或5白或4s,

162

故答案為：325或|5■或4.

162

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?江西九江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知Rt^A5C中，ZC=90°,AC=3,BC=4,若AABC沿射線BC

方向平移相個(gè)單位得到ADE/L頂點(diǎn)A,B,C分別與頂點(diǎn)D,E,尸對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)A,D,E為頂點(diǎn)的三角

形是等腰三角形，則根的值是.

【答案】925或5或8

8

【分析】%AD=DE,AE=AD=m,/場=DE三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】解：0ZC=9O°,AC=3,BC=4,

0A5=V32+42=5>

△ABC沿射線8C方向平移m個(gè)單位得到QEF,

團(tuán)AD=BE=CF=m,DE=AB=5,DF=AC=3,EF=BC=4,

點(diǎn)A,D,E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況

①當(dāng)AD=DE'時(shí)：如圖，此時(shí)根=5；

在RSACE中，AE2=AC2+CE2,即：tn2=9+（4-/77）2,

解得：加=25?；

O

③當(dāng)石時(shí)，如圖：

止匕時(shí)AE=A3,

團(tuán)NACB=90。，

團(tuán)BC=CE=4,

回相=BE=BC+CE=8；

25

綜上：m=一,5或8；

8

故答案為：q25或5或8.

O

【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì).根據(jù)題意，準(zhǔn)確的畫圖，利用數(shù)形結(jié)合和

分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四求有關(guān)直角三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023下?江西南昌?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt/VLBC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=6,

點(diǎn)尸，。分別是邊A-上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸從Af3fA以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。

從BfC以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)

過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒，若VBP。為直角三角形，則r的值為.

C

【答案】】或封或白

【分析】先利用直角三角形的性質(zhì)可得AB=23C=12,23=60。，再根據(jù)點(diǎn)P,。的運(yùn)動(dòng)路徑和速度求出,

的取值范圍為0</46,然后分ZBQP=90°和/BPQ=900兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)求解即可

得出答案.

【詳解】解：,在RtZXABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=6,

.-.AB=2BC=12,4=60。，

.??點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8所需時(shí)間為等=。=4（秒），最后返回到點(diǎn)A所需時(shí)間為一=8（秒）；

點(diǎn)。從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C所需時(shí)間為早=6（秒），

??,當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，

:.Q<t<6,

由題意，分以下兩種情況：

（1）如圖，當(dāng)乙8。尸=90。時(shí)，VBPQ為直角三角形，

C

①當(dāng)0＜/44時(shí)，AP=3t,BP=AB-AP=12-3t,BQ=t,ZBPQ=90°-ZB=30°,

在RMBP。中，BP=2BQ,即12-3/=2L

12

解得"了＜4,符合題設(shè)；

②當(dāng)4v，＜6時(shí)，BP=3t-12f

在尸Q中，BP=2BQ,即3，—12=2，，

解得，=12>6,不符題設(shè)，舍去；

（2）如圖，當(dāng)尸。=90。時(shí)，V5PQ為直角三角形,

c

①當(dāng)0<tW4時(shí)，AP=3t,BP=AB-AP^12-3t,BQ=t,ZBQP=90°-ZB=30°,

在RtABP。中，BQ=2BP,即7=2(12—3。，

解得"彳24<4,符合題設(shè)；

②當(dāng)4</W6時(shí)，BP=3t-12,

在RUBP。中,BQ=2BP,即/=2(3—12),

24

解得:彳，符合題設(shè)；

綜上，/的值是當(dāng)或衛(wèi)或多，

575

故答案為：912或日24或彳32.

【點(diǎn)睛】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識(shí)點(diǎn)，正確判斷出，的

取值范圍，并分情況討論是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?湖北武漢?八年級(jí)校聯(lián)考期中)在A/RC中，AB=AC,其中一個(gè)內(nèi)角度數(shù)是40。，點(diǎn)。在直線

BC邊上,連接AO,若為直角三角形，則NADC的度數(shù)為.

【答案】130。、90。或20°

【分析】根據(jù)題意分為若ZB=NC=4O。及/BAC=40。進(jìn)行討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性

質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖1,在&4BC中，AB^AC,若NB=NC=40。，

圖1

,?,點(diǎn)O在直線8C邊上，為直角三角形，且當(dāng)/&4。=90。時(shí),

.■.ZADC=ZB+ZBA￡>=40°+90o=130°；

如圖2,在AABC中，AB=AC,若NB=NC=40。，

???點(diǎn)。在直線BC邊上，△鈿￡)為直角三角形，且當(dāng)NADB=90。時(shí),

A

圖2

.-.ZADC=90°；

如圖3,在AABC中，AB=AC,若N84c=40。,

???點(diǎn)。在直線BC邊上，為直角三角形，且當(dāng)NAD3=90。時(shí),

.-.ZADC=90°；

如圖4,在AABC中，AB^AC,若NBAC=40。，

圖4

,??點(diǎn)。在直線8C邊上，為直角三角形，且當(dāng)440=90。時(shí)，

:.NB=ZACB=70。,

.-.ZADC=90°-ZB=20°；

故答案為：130。、90?；?0。

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需

要的條件，利用等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答.

2.（2023下?河南鄭州?七年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，AO是AABC的角平分線，CE是廿RC的高,

ZBAC=6Oa,NACB=78。，點(diǎn)尸為邊A3上一點(diǎn)，當(dāng)VBZ乃為直角三角形時(shí)，則的度數(shù)為.

A

B"-----D~~"

【答案】60°或18。

【分析】分情況討論：①當(dāng)/血＞=90。時(shí)，②當(dāng)NBQF=90。時(shí)，根據(jù)角平分線和三角形高線的定義分別

求解即可.

【詳解】解：如圖所示，當(dāng)/血＞=90。時(shí)，

團(tuán)4￡＞是AABC的角平分線，ZBAC=60°,

51ZBAD=30°,

EIRtAAZJP中，ZADF=60°；

如圖，當(dāng)/3￡方=90。時(shí)，

同理可得ZBAD=ZDAC=30°,

0ZACS=78°,

0ZADB=ZDAC+ZACB=300+78°=108°,

團(tuán)ZADF=ZADB-ZBDF=108°-90°=18°,

綜上所述：NADP的度數(shù)為60°或18。.

故答案為：60。或18。.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線和高線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握分類討論的思想

是解題的關(guān)鍵.

3.（2023下?江蘇宿遷七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，ZBAC=90°,ZC=40°,AH、應(yīng)（分別是AABC

的高和角平分線，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，當(dāng)ABDE為直角三角形時(shí)，貝。NCDE=。.

A

【答案】50或25/25或50

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得NASC=50。，由角平分線的定義得/D6C=25。，當(dāng)為直角三角

形時(shí)，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：回ZBAC=90°,ZC=40°,

ElZABC=90°-40°=50°

團(tuán)3。平分，A3c

EIZDBC」NABC=25°

2

當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，有以下兩種情況：

①當(dāng)N3ED=90。時(shí)，如圖1,

EINC=40°,

ElZCDE=90°-40°=50°；

②當(dāng)/3DE=90。時(shí)，如圖2,

0ABED=90°-25°=65°,

SZBED=ZC+ZCDB,

0ZCDE=65°-40°=25°,

綜上，NCDE的度數(shù)為50°或25。.

故答案為：50或25.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知"三角形的外角的性質(zhì)”是解答此

題的關(guān)鍵.

4.（2023下?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中4（-4,0）,3（3,0）,C（0,3）,點(diǎn)尸在x軸上

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【答案】（。，0）或U，。）或（一3,0）

4

【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P、A、2在x軸上，所以P、A、2三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.再分Rt^PAC和M△尸3c兩種

情況進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：回點(diǎn)尸、48在x軸上，

SP、A、8三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.當(dāng)4c為直角三角形時(shí)，

①NAPC=90。，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0,0）；

@ZACP=90°時(shí)，

0ZACP=90°

HAC2+PC2=AP2,

42+32+/M2+32=（4+/H）2,

90

解得加=:，團(tuán)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（二,0）.

44

當(dāng)aPBC為直角三角形時(shí)，

①/BPC=90。，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0,0）；

（2）ZBCP=90°時(shí)，

ElZBCP=90o,COLPB,

.?.尸0=50=3甩點(diǎn)「的坐標(biāo)為（-3,0）.

o

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,0）或（-.0）或（-3,0）.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.解題的關(guān)鍵是不重復(fù)不遺

漏的進(jìn)行分類.

【考點(diǎn)五三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】

例題：（2023秋,山東泰安?七年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┑妊切我谎系闹芯€把三角形周長分為15

和12兩部分，則此三角形的底邊長為（）

A.7B.11C.7或11D.無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)"》=DC=x,BC=y,然后分兩種情況列出方程組求解，再根據(jù)三角形的

三邊關(guān)系判斷即可求解.

【詳解】解：如圖所示,

根據(jù)等腰三角形的定義和三角形中線的性質(zhì)得：AD=DC=^-AC=^-AB.

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可設(shè)AD=DC=x,BC=y,

^\AB=2x.

x+2x=15y\x+2x=12

由題意得:y+x=12或jy+x=15

A,fx=5」、[x=4

解得：或口.

U=7[y=ll

[x=5

當(dāng)1r時(shí)，即此時(shí)等腰三角形的三邊為10,10,7,

[y=7

vl0+7>10,符合三角形的三邊關(guān)系,

，此情況成立；

fx=4

當(dāng)「時(shí)，即此時(shí)等腰三角形的三邊為8,8,11,

[y=ii

???8+8>11,符合三角形的三邊關(guān)系，

此情況成立.

綜上可知這個(gè)等腰三角形的底邊長是7或11.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì).利用分類討論的思想是解題

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?遼寧沈陽?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45。，那么這個(gè)三角

形的頂角為（）

A.45°B.90°C.135°D.135°或45°

【答案】D

【分析】分三角形是銳角三角形時(shí)，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時(shí)，利用三角

形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

【詳解】如圖1,三角形是銳角三角時(shí)，

A

圖1

EIN4CD=45°,

團(tuán)頂角NA=90°—45°=45°；

0Z>1CD=45O,

國頂角/區(qū)4c=45°+90°=135°,

綜上所述，頂角等于45?；?35。.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀.

2.（2022秋?廣東惠州?