第04講線線、線面、面面平行的判定與性質(zhì)(核心考點(diǎn)講與練)

Q考點(diǎn)考向

1.平行直線

⑴平行公理

過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行.

⑵基本性質(zhì)4(空間平行線的傳遞性)

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

⑶定理

如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等.

2.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線,與平面。沒有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面。平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

平面外一條直線與此

a______

平面內(nèi)的一條直線平時(shí)Q,bua,

判定定理

行，則該直線平行于此allgallQ

平面

一條直線和一個(gè)平面

平行，則過這條直線的a//a,au8,

性質(zhì)定理

任一平面與此平面的QClB=b=a〃b

交線與該直線平行

3.平面與平面平行

⑴平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相

交直線與另一個(gè)平面auQ,baa,aAb=P,

判定定理

平行，則這兩個(gè)平面//a"B、6〃￡=>a〃￡

平行

兩個(gè)平面平行，則其

中一個(gè)平面內(nèi)的直線。aua=^a//￡

平行于另一個(gè)平面%/

性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同

時(shí)和第三個(gè)平面相a//P,aC\y=a,

交，那么它們的交線B0y=b=>a//b

平行

Q方法技巧

i.線面平行的證明方法

（1）定義法：一般用反證法；

（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語言敘述證明過

程；

（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面.

2.構(gòu)造平行直線的常用方法

（1）構(gòu)建三角形或梯形的中位線：可直接利用線段的中點(diǎn)、等腰三角形三線合一或利用平行四邊形對(duì)角

線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，從而構(gòu)建中位線；

（2）構(gòu)建平行四邊形：可以利用已知的平行關(guān)系（如梯形的上下底邊平行）或構(gòu)建平行關(guān)系（如構(gòu)造兩條直

線同時(shí)平行于已知直線），從而構(gòu)建平行四邊形.

應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，關(guān)鍵是過己知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平行，

還可以利用交線判斷已知平面內(nèi)的直線與已知直線的位置關(guān)系，即在已知平面內(nèi)所有和交線平行的直線都

與已知直線平行，所有和交線相交的直線都與已知直線異面.

3.判定平面與平面平行的4種方法

（1）面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)（不常用）；

（2）面面平行的判定定理（主要方法）；

（3）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（客觀題可用）；

（4）利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（客觀題可用）.

利用線面平行或面面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線

的位置.對(duì)于線段長或線段比例問題，常用平行線對(duì)應(yīng)線段成比例或相似三角形來解決.

Q能力拓展

題型一：線面平行的判定

1.（2021?上海市延安中學(xué)高二期中）已知正方體求證：耳c〃平面A^G.

2.（2021.上海市亭林中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E、F分別為棱A。、AB的

中點(diǎn).求證：E/7〃平面CBQ.

3.（2021?上海市徐匯中學(xué)高二階段練習(xí)）在正方體488-A4G，中，E是棱。〃的中點(diǎn).

（1）作出平面ABE與平面ABCD的交線，保留作圖痕跡；

（2）在棱G2上是否存在一點(diǎn)尸，使得男尸〃平面ABE,若存在，說明點(diǎn)F的位置，若不存在，請(qǐng)說明

理由.

題型二：線面平行的性質(zhì)

一、單選題

1.（2021.上海市第五十四中學(xué)高二階段練習(xí)）一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線與這兩

個(gè)平面交線的位置關(guān)系是（）

A.異面B.相交C.不能確定D.平行

二、填空題

2.（2021.上海.華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）a,b,c表示直線，M表示平面，給出下列

四個(gè)命題：

①若b//M,貝!|a〃b；②若bu",a//b,則

③若a_Lc,b_Lc,則a〃b；④若a_LA/,bA-M,則a〃b

其中正確命題有（填序號(hào)）

3.（2021?上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）若直線?！ㄆ矫鎍,直線6在平面c內(nèi)，則直線“與6的

位置關(guān)系為.

4.（2017?上海市建平中學(xué)高二期中）如圖，在正方體ABCOUB/C/Q中，AB=2,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)

尸在C。上.若EF〃平面AB/C,則線段EF的長度等于

解答題

5.（2021?上海市南洋模范中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間四邊形ABC。，E、F、G、H分別在A3、BC、

CD、ZM上.

（1）當(dāng)四邊形EFG"是平面四邊形時(shí)，試判斷E"、FG與8。三條直線的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）己知當(dāng)AC=a,BD=b,異面直線AC、8。所成角為0,當(dāng)四邊形EFGH是平行四邊形時(shí)，試判

斷E、F、G、H點(diǎn)在什么位置時(shí)，四邊形EFGH的面積最大，試求出最大面積并說明理由.

題型三：面面平行的判定

一、單選題

1.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）如圖為正方體ABC。-A//GQ,動(dòng)點(diǎn)M從丹點(diǎn)出發(fā)，在正方體表

面沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周后，再回到囪的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M與平面4。。的距離保持不變，運(yùn)動(dòng)的路程

尤與/之間滿足函數(shù)關(guān)系/=/（尤），則此函數(shù)圖象大致是（）

2.（2021?上海市七寶中學(xué)高二期中）在三棱臺(tái)ABCi-ABC中，點(diǎn)。在4片上，且A4J/BD,點(diǎn)〃是三

角形ABC1內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面瓦亞//平面AACG，則動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡是（）

A.三角形ABC邊界的一部分B.一個(gè)點(diǎn)

C.線段的一部分D.圓的一部分

3.（2020?上海虹口?高二期末）設(shè)口,〃是兩個(gè)不同的平面，m是直線且"zuc.“辦/?”是“a/?”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

4.（2020?上海交大附中高二期中）給出下列命題：

①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面；

②三條平行直線最多可以確定三個(gè)個(gè)平面；

③不同的兩條直線均垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行；

④一個(gè)平面中的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面平行；

其中說法正確的有（填序號(hào)）.

5.（2021.上海市亭林中學(xué)高二階段練習(xí)）正方體A8CD-A與G2中，平面A片2和平面8CQ的位置關(guān)系

為;

6.（2021.上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖，在棱長為2的正方體AB。-A瓦GQ中，E、F、G分

別為AB、BC、G2的中點(diǎn).點(diǎn)尸在底面"CD內(nèi)，若直線QP與平面EFG無公共點(diǎn)，則線段口尸的最小值

為___________.

7.（2021.上海市延安中學(xué)高二期中）已知正方體ABCD-A耳G2的體積為64,點(diǎn)瓦尸分別是線段8C,CG

的中點(diǎn)，點(diǎn)G在四邊形3C￡片內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），若直線AG與平面AE歹無交點(diǎn)，線段CG的取值范圍為

8.（2020?上海?華師大二附中高二期中）已知正三角形A3C的邊長4石，則到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都為2的平

面有一個(gè)；

、解答題

9.（2021?上海?位育中學(xué)高二期中）如圖，在斜三棱柱ABC-A耳C中，AC=BC,。為A8的中點(diǎn)，2為

4月的中點(diǎn)，平面ABC,平面A844,異面直線BG與AB1互相垂直.

⑴求證：平面AOC〃平面BRC；

（2）已知AC=aq=6,設(shè)CG到平面A的距離為X,試問X取何值時(shí)，三棱柱的體積最

大？并求出最大值.

題型四：面面平行證明線線平行

一、單選題

1.（2021?上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高二期中）已知正方體ABCO-A笈GR,平面萬和線段AA，BBt,

CC,,分別交于點(diǎn)E,F,G,H,則截面EFG”的形狀不可能是（）

A.梯形B.正方形C.長方形D.菱形

2.（2021?上海?高二專題練習(xí)）如圖，正方體ABC。-AqGR的棱長為1，尸為3c的中點(diǎn)，。為線段CG

上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S,給出下列三個(gè)結(jié)論:

①當(dāng)0<CQ<g時(shí)，S為四邊形;

②當(dāng)CQ=3時(shí)，S為等腰梯形；

③當(dāng)CQ=1時(shí)，s的面積為好；

2

以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

3.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）已知正三棱錐尸-ABC底面面積梟牝=3,點(diǎn)。在高PO上且

2PQ=QO，則經(jīng)過。點(diǎn)且平行于底面的截面面積為.

三、解答題

4.（2021?上海市徐匯中學(xué)高二期中）已知正三棱柱的所有棱長都是1

（1）畫經(jīng)過ABC三點(diǎn)的截面

（2）過棱8C作和底面成60二面角的截面，求此截面面積.

5.（2021.上海.復(fù)旦附中高二期中）已知正方體ABCD-A4G。的棱長為2,若N分別是CG，A，的

中點(diǎn)，作出過M,N,B三點(diǎn)的截面，并求出這截面的周長.

題型五：面面平行證明線面平行

一、單選題

1.（2019?上海?復(fù)旦附中高二期中）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A耳中，EEG分別是棱

A民BC,CG的中點(diǎn)，尸是底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線2P與平面E產(chǎn)G不存在公共點(diǎn)，則三角形心珞的

面積的最小值為

A.正B.1C.J2D.2

2

二、填空題

2.（2021?上海市七寶中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線。、6是平面a內(nèi)的兩條直線，且a、》均在平面夕外.則

46all/3,//6”是“。//尸”的條件.

3.（2021?上海市文來中學(xué)高二期中）如圖，長方體ABCO-ABIGQ中，AD=1,DR=2,AB=豆，E,F,G

分別為A8,BC，G2中點(diǎn)，點(diǎn)尸在平面ABCD內(nèi)，若直線已尸〃平面所G,則線段2尸長度的最小值是

三、解答題

4.（2021?上海浦東新?高二期中）已知尸是矩形ABC。所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),

求證：〃平面PAZ）.

題型六：空間平行的轉(zhuǎn)化

一、填空題

1.（2021.上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期中）過平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的直線有條

2.（2019?上海?復(fù)旦附中高二期中）如圖，在棱長為1的正方體ABC。-AAG2中，/是平面A耳2與平面

ABCD的交線，則點(diǎn)2至U/的距離是.

二、解答題

3.（2021.上海市延安中學(xué)高二期中）如圖，作出平面EPG截長方體所得的截面（不必寫出畫圖步驟，但

需保留作圖痕跡）.

［二鞏固提升

一、單選題

1.（2021?上海市徐匯中學(xué)高二期中）若/，機(jī)是平面a外的兩條不同直線，豆mlla,則“"/優(yōu)是"〃/a”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2021?上海?高二專題練習(xí)）在正方體中，E為。R上一點(diǎn)，且=P是側(cè)面CD2G上的動(dòng)點(diǎn)，

且〃平面ABE,則8/與平面CD2G所成角的正切值構(gòu)成的集合是（）

A.j|-jB.1-|A/13jC.D.||-A/13<m<|l

二、填空題

3.（2021?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖，四邊形EFG”為四面體ABCD的一個(gè)截面，若四邊

形EFGH為平行四邊形，AB=4,CD=6,則四邊形EFG”的周長的取值范圍是.

4.（2021.上海.位育中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)M為正方體4BCZ）-A4GR內(nèi)（含表面）的一點(diǎn)，過點(diǎn)M

的平面為a,有以下四個(gè)結(jié)論：（1）與&A和與G都平行的a有且只有一個(gè)；（2）過點(diǎn)M至少可以作兩條

直線與A4和8G所在的直線都相交；（3）與正方體的所有棱所成的角都相等的a有且只有四個(gè)；（4）過

點(diǎn)M可以作四條直線與正方體的所有棱所成的角都相等.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

5.（2021?上海市新場中學(xué)高二期中）以下五個(gè)命題，真命題的有.（填上全部真命題的序號(hào)）

（1）垂直于同一直線的兩條直線互相平行；

（2）若。、6是異面直線，則一定存在平面a過。且與b平行；

（3）若平面口內(nèi)有不在同一直線的三點(diǎn)A、B、C到平面口的距離都相等，則M"；

（4）分別位于兩個(gè)給定的不同平面￡、夕內(nèi)的兩條直線"、6一定是異面直線；

（5）已知直線。、b和平面a,。不在a內(nèi)，b在a內(nèi)，若a〃b,貝I」。平行a.

6.（2021.上海靜安.高二期末）如圖，在底面邊長為8cm,高為6cm的正三棱柱ABC-人用6中，若。為

棱的中點(diǎn)，則過BC和D的截面面積等于cm2.

7.（2021?上海?曹楊二中高二期末）若直線/上有三點(diǎn)A、B、C到平面a的距離均為1,則直線/與平面a

的位置關(guān)系為.

8.（2021?上海南匯中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體A2CZ）-AqGA中，E、F、K分別

為線段A，、G2、FC的中點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論:

①直線AE、CF、。，共點(diǎn)；

②直線AE、8K為異面直線；

③四面體的體積為9；

6

④線段AB上存在一點(diǎn)N使得直線AE//平面NFC.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

9.（2021?上海.高二專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，瓦尸分別為AB,。的中點(diǎn)，過E尸任作一個(gè)平

面a分別與直線3CAD相交于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論正確的是.①對(duì)于任意的平面a,都有直

線GF,EH,3D相交于同一點(diǎn)；②存在一個(gè)平面與，使得點(diǎn)G在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的延長線

上；③對(duì)于任意的平面都有SWGUSAMH；④對(duì)于任意的平面a,當(dāng)G,H在線段上時(shí)，幾何

體AC-EGFH的體積是一個(gè)定值.

三、解答題

10.(2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí))如圖，長方體ABCD4/B/C/。/中，AB=AD=1,A4/=2,

點(diǎn)P為?！?gt;/的中點(diǎn).

(1)求證：直線8￡>/〃平面fi4C；

(2)求異面直線BD］與AP所成角的大小.

11.(2021?上海市市西中學(xué)高二期中)正四棱錐P—ABCZ),棱長都為2,E、F、G分別是棱B4、PB、PC

的中點(diǎn)

G

⑴求證：平面EFG//平面ABC。；

（2）求直線AB到平面PCD的距離

12.（2021?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）如圖，空間四邊形ABCD中，E、H分別是A3、

的中點(diǎn)，八G分別是吟。上的點(diǎn)，且告?求證：直線反與G”的交點(diǎn)在直線4c上.

（2）如圖，。〃四，點(diǎn)尸是平面。、夕外一點(diǎn)，從點(diǎn)尸引三條不共面的射線上4,PB,PC,與平面1分

別相交于點(diǎn)A、B、C,與平面￡分別相交于A,Br,C,求證△NBC-AABC，

TT

B（2021?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖’菱形川。的邊長為1,ZABC="。為平面A28

外一點(diǎn)，04,平面ABC。，04=2,M,N分別為04與BC的中點(diǎn).

o

（1）證明：MN〃平面OCZ）；

（2）求異面直線AB與MD所成角的大小;

（3）求點(diǎn)B到平面OCD的距離.

14.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高二階段練習(xí)）已知在正方體-ABC，中，M,N,P分別為GQ，AD,

CG的中點(diǎn)，棱長為1，

（1）求證：〃平面

（2）過M,N,P三點(diǎn)作正方體的截面，畫出截面（保留作圖痕跡），并計(jì)算截面的周長.

15.（2021.上海?位育中學(xué)高二階段練習(xí)）用中文表述直線與平面平行的判定定理，并加以證明.

16.（2021.上海市徐匯中學(xué)高二階段練習(xí)）四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，上4,平面ABCD,E

為尸D的中點(diǎn).

（1）證明：P3〃平面AEC；

(2)設(shè)AB=2,4)=4,求8到平面PAC的距離.

17.（2021.上海?華師大二附中高二階段練習(xí)）（1）請(qǐng)用文字語言敘述直線與平面平行的判定定理;

”的形式，并用反證法證明;

（3）如圖，在正方體中，點(diǎn)N在3D上，點(diǎn)M在瓦C,^,CM=DN,求證：〃平面

AA^B（用（1）中所寫定理證明）

18.（2021.上海市建平中學(xué)高二期中）在四棱錐尸-A5CD中，底面ABCD是正方形，上4,平面ABCD,

PA=2,AB=1.

(1)分別取側(cè)棱尸8、/>￡>中點(diǎn)E、F,證明：直線所與平面ABCD平行;

(2)求四棱錐尸-ABCD的表面積.

19.(2021?上海市延安中學(xué)高二期中)如圖所示，有矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)尸，24,平面ABCD,

AD=2,AB=