陜西省安康市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期

期末質(zhì)量聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.書(shū)架上有4本不同的科學(xué)類書(shū)籍，4本不同的文史類書(shū)籍，若從書(shū)架中任選1本書(shū)，則

不同的選法有（）

A.4種B.8種C.12種D.16種

【答案】B

【解析】共有4+4=8種不同的選法.

故選：B

22

2.雙曲線三一-匕=1的漸近線方程為（

3m6m

B.y=±也尤

A.y=±V2x

2

C.y=±2xD.y=±—x

2

【答案】A

22

【解析】由三一—，二=0,得丁=2公，

3m6m

所以y=±y/2x，

即雙曲線的漸近線方程為y=±V2x.

故選：A

a1

3.曲線/(x)=3/——在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線的方程為()

X

A.10x+y-8=0B.10x-y-8=0

C.Sx-y-6=0D.8x+y-6=0

【答案】B

【解析】Mf(x)=3x3--,求導(dǎo)得/，(乃=9/+二,

XX

則/")=10,而/(1)=2,

所以所求切線方程為y—2=10(%—1),

即10x-y-8=0.

故選：B

4.已知兩個(gè)變量y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:

Xi3579

y618m3953

若y與x滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為￡=5.75X+0.25,則加=()

A.29B.30C.31D.32

【答案】A

116+HZ

【解析】由表格數(shù)據(jù)得元=5,9=―1，

因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)伍用在回歸方程9=5.75x+0.25上，

所以575x5+0.25=

解得m=29.

故選：A.

5.(/-xf的展開(kāi)式中含有一項(xiàng)的系數(shù)為()

A.10B.-10C.20D.-20

【答案】B

【解析】(V—xJ的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為心=《(/)“'(—X)'=(—l)'C，°f,

令10—r=7nr=3,所以C；(f](―x)3=—10/,

故(V-x]的展開(kāi)式中含有/項(xiàng)的系數(shù)為J。.

故選：B

6.某班舉辦知識(shí)競(jìng)賽，已知題庫(kù)中有A,8兩種類型的試題，A類試題的數(shù)量是B類試題數(shù)

量的兩倍，且甲答對(duì)A類試題的概率為:，答對(duì)B類試題的概率為從題庫(kù)中任選一題

作答，甲答對(duì)題目的概率為()

2457

A.-B.—C.-D.一

9999

【答案】C

【解析】設(shè)“選出A類試題”為事件A,“選出3類試題”為事件4,“甲答對(duì)題目”為事件8,

7117

則P(A)=g，P(4)=§，P(5lA)=5，P(BI4)=§,

21125

所以p(5)=p(5|A)P(A)+P(回A)^(A)=-x-+-x-=-.

故選：c.

7.3名男生和3名女生隨機(jī)站成一排，恰有2名女生相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）

A.332B.360C.432D.488

【答案】C

【解析】先選出2名女生排列有A；種排法，再將男生全排有A；種排法，最后將女生插空，

則不同的排法種數(shù)為A；A；A；=432.

故選：C

8.已知/是拋物線Uy?=2px（p＞0）的準(zhǔn)線，/與％軸交于點(diǎn)Af是。上一點(diǎn)，直線AA/

的斜率的最大值為（）

1p

A.1B.￡C.PD.—

22

【答案】A

【解析】易知當(dāng)直線AM與C相切時(shí)，設(shè)4W的方程為y=（x+9，

與V=2外聯(lián)立，可得左2/+,伏2一2卜+安-=0,

則4=[°伏2—2），—//=0,解得左=±i,故直線A"的斜率的最大值為1.

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.對(duì)于函數(shù),下列說(shuō)法正確的是（）

A./（%）有最小值但沒(méi)有最大值

B.對(duì)于任意的1?-8,0）,恒有/（x）＜0

C.”力僅有一個(gè)零點(diǎn)

D.〃尤）有兩個(gè)極值點(diǎn)

【答案】BC

【解析】AD選項(xiàng)，/（力=3/—二=-（3—J,

當(dāng)xe（—8,3）時(shí)，f'（x）＞0,當(dāng)xe（3,+?）時(shí)，/（x）＜0,

故/（九）在xe3）上單調(diào)遞增，在x?3,+8）上單調(diào)遞減，

故〃力有最大值但沒(méi)有最小值且“力只有一個(gè)極值點(diǎn)，AD錯(cuò)誤;

BC選項(xiàng)，由于e*>0恒成立，故當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，/(x)<0,

令〃尤)=0,得％=0,所以函數(shù)“力僅有一個(gè)零點(diǎn)，B,C正確.

故選：BC

10.己知數(shù)列滿足*±1,且/+M“+”“+1=2,么=",則下列說(shuō)法正確的是

4—1

()

A.數(shù)列｛4｝可能為常數(shù)列

B.數(shù)列也｝可能為等比數(shù)列

20

C.若4=2,則=221—2

Z=1

D.若囚=-g,記S“是數(shù)列<g-的前及項(xiàng)積，則Sn的最大值為S3

【答案】ABD

【解析】A.當(dāng)見(jiàn)+]=?！皶r(shí)，a；+a“=2,得?！?一2或a“=l(舍)，

此時(shí)凡=-2為常數(shù)列，故A正確;

2

B.%=——,產(chǎn)±1,

+1

二一+2

”"+1+2a.+14+2%=22+4

20，

%4+1T

1—l-an

—an+—1—1

若見(jiàn)=-2時(shí)，此時(shí)么=0,不是等比數(shù)列，

b

若為W-2時(shí)，胃=2,此時(shí)數(shù)列｛2｝為公比為2的等比數(shù)列，故B正確;

C.若q=2,?+2=4,

=222—4,故C錯(cuò)誤;

4—11-2

卜什5,q+2數(shù)列是首項(xiàng)為7,公比為】的等比數(shù)歹

口…一子々=心72

1(1丫t7[1c7777

—=7x-數(shù)列二單調(diào)遞減,S=-x—x——x...x--

n2

b?UJ2〃T\bn\1222”T

177,17,

當(dāng)〃=3時(shí)，區(qū)=初=/1，當(dāng)〃=4時(shí)，百底＜1，

所以S“的最大值為邑，故D正確.

故選：ABD

11.袋中共有5個(gè)除顏色外完全相同的球，其中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次隨機(jī)取1

個(gè)，有放回地取球，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若規(guī)定摸到3次紅球即停止取球，則恰好取4次停止取球的概率為生

625

B.若進(jìn)行了10次取球，記X為取到紅球的次數(shù)，則。（X）=q

C.若規(guī)定摸到3次紅球即停止取球，則在恰好取4次停止取球的條件下，第1次摸到紅球

的概率為:

D.若進(jìn)行了10次取球，恰好取到女次紅球的概率為《（0W左WKUeZ）,貝IJ當(dāng)人=6

時(shí)，鳥(niǎo)最大

【答案】BCD

3

【解析】每次取到紅球的概率為若規(guī)定摸到3次紅球即停止，則恰好取4次停止取球的

概率為C或。［x-=^,故A錯(cuò)誤；

5625

X?則￡＞（X）==￡,故B正確;

記恰好取4次停止取球?yàn)槭录嗀,第1次摸到紅球?yàn)槭录?,

則P網(wǎng)回|卜|,

「27,XP(AB)2

P(A3)=C；||x-,所以A)=故C正確;

5\/

當(dāng)4最大時(shí)，

c10!10!

2---；------>3-

（）（左）!’

女!（10-攵）!4+1!9—2（左+1）23（10—左）,解得左

所以《gwvg

10!3（11—左）22左

>2--

人!（10—左）！

又左eZ,所以左=6,當(dāng)k6時(shí)，號(hào)最大，故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)直線/的一個(gè)方向向量為為=。,2,1),平面e的一個(gè)法向量為沆=(1,1,1),則直線/

與平面。所成角的正弦值為.

【答案】述

3

【解析】設(shè)/與c所成角為。，設(shè)向量為=(1,2,1)與諭=(1,1,1)的夾角為夕，

sin。IcosH司-1+2+1—工20，所以直線/與平面a所成角的正弦值為拽L

33

故答案為：述

3

22(5、

13.已知耳，工分別為橢圓。：三+2=1(6＞。)的左、右焦點(diǎn)，為C上一點(diǎn)，則

C的離心率為，△尸耳耳內(nèi)切圓的半徑為.

【答案】2|2

【解析】第一空，將尸(2,；2225

代入C:營(yíng)+今=13>0）中，4+_9_=1，

9b9b"

222

即/=5，C=?-Z?=4)則橢圓方程為三+匯=1，

95

離心率為：e=^=^=^-=-

第二空，如圖所示,

易得耳(一2,0),6(2,0),「(2,；］,

貝UIE8I=4,|pgi=￡,IP耳|=J|相F+I百工|2=F，

JD

因?yàn)镾/Fe=g|《￡|-|P￡|=gr-C(C為三角形周長(zhǎng)，廠為內(nèi)切圓半徑).

5131512

又。=4+—+—=10,代入得—x4x—=—rxlO,解得r=—.

332323

22

故答案為：—；—.

33

14.設(shè)點(diǎn)P在曲線廣廣。上，點(diǎn)。在曲線y=lnx+a上，若的最小值為2夜，則

【答案】-1

【解析】因?yàn)閥=e”“與y=lnx+a互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線丁=%對(duì)稱，

又點(diǎn)尸在曲線y=ei上，點(diǎn)。在曲線y=lnx+a上，歸@的最小值為2及，

所以曲線>=1-"上的點(diǎn)尸到直線丁=龍的最小距離為J5，

設(shè)與直線y=x平行且與曲線y=e*-〃相切的切線的切點(diǎn)夕(五，兀)，

V=e，-a,e~-°=l,解得/=。，所以%=3一"=1，

得到切點(diǎn)p(a,l)，點(diǎn)尸到直線y=無(wú)即x—y=0的距離=

解得。=—1或3.

當(dāng)。=3時(shí),丁=643過(guò)點(diǎn)(0,1)和(3,1),尸無(wú)過(guò)點(diǎn)(0,0)和(3,3),

又-3>0，1<3,所以y=e?i與丁=無(wú)相交，不符合題意；

當(dāng)a=-l時(shí),令4%)=j1—%,則廣(力=尸-1,當(dāng)x=-1時(shí),/'(%)=0,

當(dāng)x<—1時(shí)，/'(x)<0,當(dāng)］>—1時(shí)，制q>0,

所以/(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(力3=/(-1)=6°+1=2>0，

所以e>i—%>0，即e'M>x恒成立，

所以>=1+1與丁=無(wú)不相交，符合題意.

綜上，a=-l.

故答案為：-1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列，且％+。3+45=18,。2=2Q.

(1)求｛4｝通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)％=-----,求數(shù)列出｝的前九項(xiàng)和5“.

anan+\

解：⑴設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為"嗎+%+。5=3色=18,解得。3=6.

4=2q,可得名—d=2(%—2d),解得d=2.所以二%+2(〃—3)=2〃.

74111

(2)b---------=-----------=------------,

"anan+i+nn+1'

所以S”=4+6,+&---1-b=(1|+|-----|H----F|--------|=1-------=-----

"123"I2八2［nn+1)n+1n+1

16.某電商平臺(tái)為了解消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機(jī)調(diào)查了200名消費(fèi)者的售后評(píng)

分，得到的數(shù)據(jù)如下表：

年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

(0,70]5236

(70,80]9141120

(80,90]33343025

(90,100]2123

把年齡在［20,40)內(nèi)的消費(fèi)者稱為青年，年齡在［40,60］內(nèi)的消費(fèi)者稱為中年，認(rèn)為評(píng)分小

于或等于80分的消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品不滿意，評(píng)分大于80分的消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品滿意.

(1)完成如下表格，依據(jù)小概率值0.1的/2獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷消費(fèi)者對(duì)新

產(chǎn)品的滿意度與年齡有關(guān)？

滿意不滿意合計(jì)

青年

中年

合計(jì)

(2)從表中評(píng)分在90分以上的消費(fèi)者中任意選取3人電話回訪，記X為3人里面青年的

人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

附：z2.n-a+b+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

200(70x40—30x60)2

?2.198<2,706=x

100x100x130x700x

根據(jù)小概率值a=0」的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷“°不成立，即可認(rèn)為"o成立，

即不能推斷消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的滿意度與年齡有關(guān).

(2)依題意，90分以上的有8人，其中青年人數(shù)為3,則X的所有可能值是0」,2,3,

5C'C|_15

P(X=0=當(dāng)___pry—i\—3,

C；28C；-28

15C：C；1

P(X=2=三產(chǎn)=—,P(X=3=4^

C；56Co：56

所以X的分布列為:

X0123

515151

P

28285656

?E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=-

282856568

17.己知函數(shù)/(x)=ae*-3x.

(1)討論/(九)的單調(diào)性；

(2)若/(%)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

解：（1）由題意知函數(shù)/（尤）的定義域?yàn)镽J'（x）=ae*—3.

當(dāng)aWO時(shí)，/'（1）<0恒成立，〃龍）在R上單調(diào)遞減;

3

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(尤)<0,得x<ln—,

3

由r(x)>0,得x>ln一,

所以/（同在上單調(diào)遞減，在In—,+oo上單調(diào)遞增.

aa

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/（九）在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/（力在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由題可知。為非正數(shù)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，所以。>0,

又因?yàn)閄—+8時(shí)，+00,%―一。時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn),

33

所以3—31n—<0,解得?！匆唬?/p>

故”的取值范圍為

18.學(xué)校組織一項(xiàng)競(jìng)賽，在初賽中有三輪答題，三輪答題相互獨(dú)立，三輪答題至少兩輪合

格即視為通過(guò)初賽，進(jìn)入決賽.已知甲在初賽中每輪答題合格的概率均為g.

（1）求甲在通過(guò)初賽條件下，第三輪答題沒(méi)有合格的概率.

（2）已知決賽共有A,3,C,D,E五道題，參賽人從中抽出三道題回答，每題的分值如下:

分值1020202030

答對(duì)該試題可得相應(yīng)的分值，答錯(cuò)不得分，得分不低于60分可以獲得一等獎(jiǎng).已知參加決

賽的學(xué)生乙答對(duì)A題的概率為答對(duì)題的概率均為答對(duì)E題的概率為工，

323

求乙獲得一等獎(jiǎng)的概率.

解：（1）設(shè)A事件為甲通過(guò)了初賽，B事件為甲第三輪答題沒(méi)有合格，

則P(A)=G]

111

P(AB)=—x—x

228

1

。（叫_8」

所以甲在通過(guò)初賽的條件下,第三輪答題沒(méi)有合格的概率為P(B|A)=

P（A）￡4

2

C12111

(2)若乙在8c。中只抽到了一題，則獲得一等獎(jiǎng)的概率二布;

L?5J乙JJV/

C21111

若乙在5C,。中抽到了兩題，則獲得一等獎(jiǎng)的概率2=溫'不><5Xa=而；

4乙J1"V/

C31111

若乙在5CQ中抽到了三題，則獲得一等獎(jiǎng)的概率6=消乂5、5><5=而，

17

故乙獲得一等獎(jiǎng)的概率P=《+A+6=——

3240

19.若函數(shù)/(X)滿足對(duì)任意XW(O,1)D(1,+8),(X-1)/(%)-/<0成立，則稱

/(%)為“反轉(zhuǎn)函數(shù)

(1)若/(司=以2-工是“反轉(zhuǎn)函數(shù)”，求“取值范圍.

(2)①證明：g(x)=lnx+—為“反轉(zhuǎn)函數(shù)”.

X

②設(shè)"wN“，證明：—I----1----l~???H------>—In(7?+1).

234n+13'7

解：⑴當(dāng)X￡(O,1)時(shí)，由(x—l)/(x)-/Qj<0,得

所以/（%）>/（—］，所GV?----—九，即---------）>—（X----）,

\JXXX