2025屆湖南省高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(★★)1.已知集合，則（）

A．B．C．D．(★★)2.設(shè)為虛數(shù)單位，則（）

A．5B．C．D．(★)3.已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A．B．C．8D．16(★★★)4.如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、.設(shè)，，則的值為（）

A．B．C．D．(★★)5.在平面直角坐標(biāo)系中，為角的終邊上一點(diǎn)，將角的終邊繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到角，則的值為（）

A．B．C．D．(★★★)6.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，現(xiàn)將、、、、的函數(shù)值排成一列，則組成的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A．B．C．D．(★★★)7.若直線與圓交于、兩點(diǎn)，則的取值不可能為（）

A．B．C．D．(★★★)8.對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，若存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).若存在個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱為“型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）

A．B．C．D．二、多選題(★★)9.若，則下列結(jié)論正確的有（）

A．B．?dāng)?shù)據(jù)的30%分位數(shù)為5C．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3D．若，隨機(jī)變量，則(★★★)10.閱讀材料:在空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為（、、不全為零）的平面的方程為.根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：已知、、、、，則（）

A．直線與平面所成角的正弦值為B．三棱錐的體積為C．平面的方程為D．在上的投影向量的坐標(biāo)為(★★★★)11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，設(shè)，，且，若，，則（）

A．B．C．D．三、填空題(★★)12.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_________________.(★★★)13.蒙日是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”，且其方程為.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，、為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上.若恒為銳角，根據(jù)蒙日?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_______.(★★★)14.2021年小米重新設(shè)計(jì)了自己的品牌形象.新舊圖像如圖所示，舊logo是一個(gè)正方形，新logo可看作一個(gè)直徑為邊長(zhǎng)的一半的圓在原正方形中運(yùn)動(dòng)，保留它運(yùn)動(dòng)過(guò)程覆蓋的區(qū)域就是新logo.類比推理，現(xiàn)有一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，一個(gè)直徑為1的球在正方體內(nèi)部滾動(dòng)，將該球可到達(dá)的區(qū)域保留，不可到達(dá)的區(qū)域割去，得到一個(gè)幾何體，我們稱之為“小米正方體”，則“小米正方體”的體積為_(kāi)______.四、解答題(★★★)15.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.(1)求角的大?。?2)若，且的面積為，求的值.(★★★)16.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，半圓面平面，點(diǎn)為半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合）.(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)為半圓弧上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，求二面角的正弦值.(★★★)17.高三某班為緩解學(xué)生高考?jí)毫?，班委?huì)決定在周班會(huì)課上進(jìn)行“聽(tīng)音樂(lè)、猜歌名”的趣味游戲比賽，現(xiàn)將全班學(xué)生分為組，每組人，剩余的學(xué)生做裁判.比賽規(guī)則如下:比賽共分為兩輪，第一輪比賽中個(gè)小組分三場(chǎng)進(jìn)行比賽，每場(chǎng)比賽有個(gè)小組參加，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)猜對(duì)歌名最多的小組獲勝，獲勝的三個(gè)小組進(jìn)入第二輪比賽，第二輪進(jìn)行一場(chǎng)比賽，選出獲勝隊(duì)伍.已知甲、乙、丙個(gè)小組的學(xué)生能成功猜對(duì)歌名的概率分別為、、.(1)現(xiàn)從乙組中任選一名學(xué)生進(jìn)行歌曲試猜，記首歌曲中猜對(duì)的歌曲數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；(2)若從甲、乙、丙個(gè)小組中任選一名學(xué)生參加猜歌游戲，求該學(xué)生猜對(duì)歌曲的概率；(3)若第二輪比賽中丁、戊兩組并列第一，則設(shè)置以下游戲決定最終獲勝的小組，游戲規(guī)則如下：從丁、戊小組中任選一名代表，從裝有個(gè)白球和個(gè)紅球的不透明的盒子中有放回地隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出白球記分，摸出紅球記分，以分開(kāi)始計(jì)分，恰好獲得分或分則結(jié)束摸球.若該代表獲得分，則該代表所在小組獲得勝利，否則另外一組獲得勝利.若該代表來(lái)自丁組，試估計(jì)丁組獲勝的概率.(★★★★)18.已知直線與雙曲線及其漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明:；(3)若，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)向雙曲線作切線，其斜率分別為，，問(wèn)是否存在這樣的，使得為定值?若存在，求出的值及定值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(★★★★)19.若函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，則稱該公共點(diǎn)為函數(shù)與的一個(gè)“公切點(diǎn)”.(1)若