章末復(fù)習(xí)第三章

代數(shù)式【2024新教材】人教版數(shù)學(xué)

七年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********第三章

代數(shù)式

章末復(fù)習(xí)一、知識(shí)梳理（一）代數(shù)式的概念定義：用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方等）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也叫做代數(shù)式，如\(5\)，\(x\)，\(a+b\)，\(3x^2\)，\(\frac{m}{n}\)等

。強(qiáng)調(diào)代數(shù)式中不含有等號(hào)、不等號(hào)等關(guān)系符號(hào)，像\(a-5=3\)（等式）、\(x>2\)（不等式）都不屬于代數(shù)式。書寫規(guī)范：數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字寫在字母前面，乘號(hào)可省略或?qū)懗伞癨(\cdot\)”，帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)，如\(4a\)，\(\frac{5}{2}x\)。字母與字母相乘，乘號(hào)通常省略，按字母表順序書寫，如\(ab\)。除法運(yùn)算寫成分?jǐn)?shù)形式，如\(m\divn\)寫成\(\frac{m}{n}\)。代數(shù)式是和或差的形式且后面帶單位時(shí)，需用括號(hào)括起來，如\((a+b)\)米

。（二）列代數(shù)式一般步驟：分析數(shù)量關(guān)系，明確題目中各數(shù)量間的運(yùn)算、大小等關(guān)系

。設(shè)未知數(shù)，選取合適字母表示關(guān)鍵數(shù)量，其他數(shù)量用含此字母的代數(shù)式表示

。根據(jù)數(shù)量關(guān)系和設(shè)出的未知數(shù)，運(yùn)用運(yùn)算符號(hào)列出代數(shù)式

。常見數(shù)量關(guān)系表示：和差關(guān)系：如“\(a\)與\(b\)的和的\(3\)倍”表示為\(3(a+b)\)，“\(m\)比\(n\)的平方小\(5\)”表示為\(n^2-m=5\)（可變形為\(m=n^2-5\)）

。倍數(shù)關(guān)系：“\(x\)的\(\frac{1}{2}\)與\(y\)的\(3\)倍的差”表示為\(\frac{1}{2}x-3y\)，“\(a\)是\(b\)的\(k\)倍多\(c\)”表示為\(a=kb+c\)。實(shí)際問題關(guān)系：結(jié)合生活場景，如購買商品、行程問題等，根據(jù)相關(guān)公式和數(shù)量關(guān)系列代數(shù)式

。復(fù)雜數(shù)量關(guān)系分析方法：分段分析，將復(fù)雜關(guān)系分成簡單部分分別分析再綜合

。列表分析，通過列表呈現(xiàn)多個(gè)數(shù)量及其變化，便于理清關(guān)系

。（三）代數(shù)式的值概念：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。代數(shù)式的值由字母取值決定，字母取值要使代數(shù)式有意義

。求值方法：直接代入求值：明確字母取值，代入代數(shù)式，按運(yùn)算順序計(jì)算。代入時(shí)注意數(shù)字與字母對(duì)應(yīng)，字母值為負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)時(shí)合理添加括號(hào)

。利用公式列代數(shù)式求值：確定問題涉及的公式，將已知量用字母表示并代入公式列代數(shù)式，給定字母具體數(shù)值時(shí)進(jìn)行計(jì)算。要準(zhǔn)確理解公式中字母含義，注意運(yùn)算順序和符號(hào)

。（四）反比例關(guān)系（選學(xué)內(nèi)容）概念：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也變化，若對(duì)應(yīng)兩個(gè)數(shù)的乘積一定，這兩種量成反比例關(guān)系，用字母表示為\(xy=k\)（\(k\)為常數(shù)，\(ka?

0\)）

。判斷方法：分析兩種量是否相關(guān)聯(lián)，再看對(duì)應(yīng)乘積是否一定

。性質(zhì)：一個(gè)量增大，另一個(gè)量減?。环粗嗳?。反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)，\(ka?

0\)）圖像是雙曲線

。二、典型例題講解（一）代數(shù)式的書寫與判斷例1：下列式子中，哪些是代數(shù)式？①\(3x-1\)②\(2+3=5\)③\(a\)④\(x\geq0\)⑤\(\frac{1}{x+y}\)分析：根據(jù)代數(shù)式定義，式子中不能有等號(hào)、不等號(hào)等關(guān)系符號(hào)。①③⑤是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和字母連接而成，或單獨(dú)的數(shù)、字母，屬于代數(shù)式；②是等式，④是不等式，不屬于代數(shù)式

。解答：①③⑤是代數(shù)式，②④不是代數(shù)式

。例2：將下列數(shù)量關(guān)系用代數(shù)式正確表示：\(a\)與\(b\)的\(2\)倍的差的平方分析：先表示出\(b\)的\(2\)倍為\(2b\)，再求\(a\)與\(2b\)的差為\(a-2b\)，最后對(duì)差求平方

。解答：\((a-2b)^2\)。比\(m\)的立方少\(\frac{1}{3}\)的數(shù)分析：\(m\)的立方是\(m^3\)，比它少\(\frac{1}{3}\)，用\(m^3\)減去\(\frac{1}{3}\)。解答：\(m^3-\frac{1}{3}\)。（二）列代數(shù)式例3：用代數(shù)式表示：某商店購進(jìn)一批商品，每件進(jìn)價(jià)為\(a\)元，售價(jià)提高\(yùn)(40\%\)后標(biāo)價(jià)，再打\(8\)折銷售，此時(shí)售價(jià)是多少元？分析：售價(jià)提高\(yùn)(40\%\)后的標(biāo)價(jià)為\(a(1+40\%)\)元，在此基礎(chǔ)上打\(8\)折，即標(biāo)價(jià)乘以\(0.8\)。解答：此時(shí)售價(jià)為\(a(1+40\%)??0.8=1.12a\)元

。一個(gè)梯形的上底為\(a\)，下底為\(b\)，高為\(h\)，若上底增加\(2\)，下底減少\(2\)，高不變，梯形面積會(huì)發(fā)生變化嗎？用代數(shù)式表示變化前后的梯形面積。分析：根據(jù)梯形面積公式\(S=\frac{(????o?+????o?)??é??}{2}\)，變化前面積為\(\frac{(a+b)h}{2}\)；變化后上底為\(a+2\)，下底為\(b-2\)，面積為\(\frac{(a+2+b-2)h}{2}=\frac{(a+b)h}{2}\)。解答：變化前梯形面積\(S_1=\frac{(a+b)h}{2}\)，變化后梯形面積\(S_2=\frac{(a+b)h}{2}\)，面積不變

。（三）代數(shù)式的值例4：當(dāng)\(x=-2\)，\(y=\frac{1}{3}\)時(shí)，求代數(shù)式\(\frac{3x-2y}{xy}\)的值。分析：將\(x=-2\)，\(y=\frac{1}{3}\)代入代數(shù)式，先分別計(jì)算分子\(3x-2y=3??(-2)-2??\frac{1}{3}=-6-\frac{2}{3}=-\frac{20}{3}\)，分母\(xy=(-2)??\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\)，再進(jìn)行除法運(yùn)算

。解答：當(dāng)\(x=-2\)，\(y=\frac{1}{3}\)時(shí)，\(\begin{align*}\frac{3x-2y}{xy}&=\frac{-\frac{20}{3}}{-\frac{2}{3}}\\&=-\frac{20}{3}??(-\frac{3}{2})\\&=10\end{align*}\)例5：已知圓的半徑\(r=5\)厘米，根據(jù)圓的面積公式\(S=\pir^2\)，求圓的面積（\(\pi\)取\(3.14\)）。分析：將\(r=5\)，\(\pi=3.14\)代入圓的面積公式\(S=\pir^2\)進(jìn)行計(jì)算

。解答：當(dāng)\(r=5\)，\(\pi=3.14\)時(shí)，\(S=3.14??5^2=3.14??25=78.5\)平方厘米

。三、易錯(cuò)點(diǎn)剖析（一）代數(shù)式書寫易錯(cuò)點(diǎn)數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字未寫在字母前面，或帶分?jǐn)?shù)未化為假分?jǐn)?shù)

。如誤將\(3??a\)寫成\(a3\)，\(2\frac{1}{2}x\)未寫成\(\frac{5}{2}x\)。除法運(yùn)算未寫成分?jǐn)?shù)形式，如把\(m\divn\)寫成\(m?·n\)。和差形式帶單位時(shí)，未加括號(hào)，如\(a+b\)米應(yīng)寫成\((a+b)\)米

。（二）列代數(shù)式易錯(cuò)點(diǎn)分析數(shù)量關(guān)系錯(cuò)誤，導(dǎo)致代數(shù)式列寫錯(cuò)誤。例如，“\(a\)與\(b\)的和的平方”誤寫成\(a+b^2\)，正確的是\((a+b)^2\)。設(shè)未知數(shù)不明確，或未根據(jù)設(shè)出的未知數(shù)正確表示其他數(shù)量

。（三）求代數(shù)式的值易錯(cuò)點(diǎn)代入數(shù)值時(shí)，數(shù)字與字母對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤

。字母值為負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)時(shí)，未合理添加括號(hào)，導(dǎo)致運(yùn)算順序錯(cuò)誤

。如計(jì)算\(x^2-2y\)，當(dāng)\(x=-2\)，\(y=\frac{1}{2}\)時(shí)，誤算為\(-2^2-2??\frac{1}{2}\)，正確的是\((-2)^2-2??\frac{1}{2}\)。利用公式求值時(shí)，對(duì)公式中字母含義理解錯(cuò)誤，或運(yùn)算順序錯(cuò)誤

。四、課堂總結(jié)知識(shí)回顧：全面回顧代數(shù)式的概念、列代數(shù)式的方法、代數(shù)式求值的方式以及反比例關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，梳理各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系

。方法歸納：總結(jié)代數(shù)式書寫規(guī)范、列代數(shù)式的步驟和技巧、求代數(shù)式的值的注意事項(xiàng)，以及判斷反比例關(guān)系的方法，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)體系

。學(xué)習(xí)建議：鼓勵(lì)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中多觀察生活中的數(shù)量關(guān)系，加強(qiáng)列代數(shù)式和求代數(shù)式的值的練習(xí)，注意避免易錯(cuò)點(diǎn)，提高運(yùn)用代數(shù)式解決實(shí)際問題的能力

。五、作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)判斷下列式子是否為代數(shù)式：\(5-3x\)\(a=2\)\(\frac{1}{x}\)\(x>1\)用代數(shù)式表示：\(a\)的\(3\)倍與\(b\)的和的一半比\(m\)的平方小\(3\)的數(shù)某商品原價(jià)為\(p\)元，先降價(jià)\(10\%\)，再提價(jià)\(10\%\)，此時(shí)的價(jià)格當(dāng)\(m=-1\)，\(n=2\)時(shí)，求代數(shù)式\(m^2+2mn-n^2\)的值。拓展作業(yè)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為\(50\)元，出廠價(jià)為\(80\)元。若該廠每月生產(chǎn)\(x\)件產(chǎn)品，用代數(shù)式表示每月的利潤（利潤=出廠價(jià)

×

數(shù)量-成本

×

數(shù)量）；當(dāng)\(x=1000\)時(shí)，求每月的利潤

。觀察下列等式：\(1=1^2\)，\(1+3=2^2\)，\(1+3+5=3^2\)，\(1+3+5+7=4^2\)，……，用含\(n\)（\(n\)為正整數(shù)）的代數(shù)式表示這一規(guī)律，并求\(1+3+5+\cdots+2023\)的值

。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解知識(shí)梳理代數(shù)式代數(shù)式的定義列代數(shù)式代數(shù)式的值本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖知識(shí)梳理代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫作代數(shù)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式，例如，2，t都是代數(shù)式.知識(shí)梳理類型書寫規(guī)定示例數(shù)與字母相乘或字母與字母相乘.通常將乘號(hào)寫作“·”或省略不寫.相同字母寫成冪的形式.如2×m寫成2·m或2m.如m×n寫成m·n或mn.m·m寫成m2.數(shù)字因數(shù)是1或-1.“1”常省略不寫.如1×a寫成a，-1×a寫成-a.帶分?jǐn)?shù)與字母相乘.將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù).除法運(yùn)算.用分?jǐn)?shù)線.代數(shù)式是和或差的形式且后面有單位.把式子用括號(hào)括起來.如（a-b）千克.代數(shù)式的書寫要求：知識(shí)梳理列代數(shù)式在解決一些數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題時(shí)，需要先把問題中的數(shù)量關(guān)系用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來，也就是列代數(shù)式.列代數(shù)式的步驟：(1)分析條件，找出數(shù)量關(guān)系.(2)用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來.知識(shí)梳理

知識(shí)梳理代數(shù)式的值：一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果，叫作代數(shù)式的值.當(dāng)字母取不同的數(shù)值時(shí)，代數(shù)式的值一般也不同.求代數(shù)式的值的步驟：1.代.2.算.3.驗(yàn).隨堂練習(xí)1.用代數(shù)式表示：(1)比a的3倍小4的數(shù).(2)a的一半與b的和的平方.(3)我國自主研發(fā)的一種近防炮，每分鐘可發(fā)射10

000發(fā)炮彈.近防炮tmin能發(fā)射多少發(fā)炮彈？(4)購買n件單價(jià)為c元的商品要花多少元？若支付1000元還有剩余，應(yīng)找回多少元？cn元.3a-4.

10

000t發(fā).(1000-cn)元.隨堂練習(xí)解：(1)最高氣溫是（t+15）℃.

（2）第一次降價(jià)后的售價(jià)是0.8b元.第二次降價(jià)后的售價(jià)是（0.8b-10）元.2.用代數(shù)式表示：（1）某地冬季一天的溫差是15℃，這天的最低氣溫是t℃，最高氣溫是多少？（2）某種商品原價(jià)為每件b元，第一次降價(jià)打8折，第二次降價(jià)每件又降10元，第一次降價(jià)后的售價(jià)是多少元?第二次降價(jià)后的售價(jià)是多少元隨堂練習(xí)3.說出下列各組代數(shù)式的意義有什么不同?(1)3x-4與3(x-4);(2)a2-b2與(a-b)2

.解：(1)3x-4的意義是x的3倍與4的差，3(x-4)的意義是x與4的差的3倍.(2)a2-b2的意義是a的平方與b的平方的差，或者a與b的平方的差，(a-b)2的意義是a與b的差的平方.隨堂練習(xí)4.(1)若一個(gè)長方形的長為p，寬為q，則2(p+q)表示什么？(2)舉兩個(gè)例子說明代數(shù)式3a+2b表示的實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系.解：(1)2(p+q)表示長方形的周長，(2)例：①筆的單價(jià)是a元，筆記本的單價(jià)是b元，買3支筆，2個(gè)筆記本的花費(fèi)是(3a+2b)元.②蘋果的單價(jià)是3元/kg,香蕉的單價(jià)是2元/kg,買akg蘋果，bkg香蕉共花費(fèi)(3a+2b)元.③甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共修一條路，甲工程隊(duì)每天修akm,乙工程隊(duì)每天修bkm,甲工程隊(duì)工作3天，乙工程隊(duì)工作2天共修了(3a+2b)km.隨堂練習(xí)5.用一根繩子圍成一個(gè)長方形，相鄰兩邊的長分別為xm和ym.(1)當(dāng)繩子的長為12m時(shí)，用式子表示y與x的關(guān)系；(2)當(dāng)長方形的面積為12m2時(shí)，用式子表示y與x的關(guān)系；解：(1)2(x+y)=12.(2)xy=12.隨堂練習(xí)5.用一根繩子圍成一個(gè)長方形，相鄰兩邊的長分別為xm和ym.(3)當(dāng)長方形的周長一定時(shí)，相鄰兩邊的長成反比例關(guān)系嗎？當(dāng)長方形的面積一定時(shí)呢？為什么？解：(3)當(dāng)周長一定時(shí)，x與y的和一定，x與y不成反比例關(guān)系.當(dāng)面積一定時(shí)，x與y的積一定，x與y成反比例關(guān)系.隨堂練習(xí)6.若2b-a=5，求代數(shù)式5(a﹣2b)2﹣3(a﹣2b)﹣60的值.解：因?yàn)?b﹣a=5，所以a﹣2b=﹣5，所以原式=5×(﹣5)2﹣3×(﹣5)﹣60=125+15﹣60=80.隨堂練習(xí)

隨堂練習(xí)8.用含字母的式子填空：(1)長方形的寬為4，長比寬多a，則長方形的長為______，面積為_________；(2)一件襯衣的進(jìn)價(jià)為a元，售價(jià)為2a元，則每件襯衣的利潤為_______元；(3)一個(gè)數(shù)的倒數(shù)為a，則這個(gè)數(shù)是_____.4＋a4(4