13.3空間圖形的表面積和體積課程標準學(xué)習(xí)目標（1）能運用柱體、錐體、臺體的表面積、體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題.（2）培養(yǎng)空間想象能力和思維能力．（1）通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、錐體、臺體的表面積的求法.（2）了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式.（3）掌握柱體、錐體、臺體的體積公式，會利用它們求有關(guān)空間圖形的體積.（4）了解知識點01棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺是多面體，它們的各個面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個面的面積之和．計算時要分清面的形狀，準確算出每個面的面積再求和．棱柱、棱錐、棱臺底面與側(cè)面的形狀如下表：項目名稱底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底·高棱錐平面多邊形三角形面積=·底·高棱臺平面多邊形梯形面積=·（上底+下底）·高知識點詮釋：求多面體的表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．A． B． C． D．【答案】D故選：D.知識點02圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱、圓錐、圓臺是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們的側(cè)面展開為平面圖形，再去求其面積．1、圓柱的表面積2、圓錐的表面積3、圓臺的表面積知識點詮釋：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系．【即學(xué)即練2】（2024·高一·河南·期中）已知一個圓錐的底面半徑為1，高為1，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱，則此圓柱側(cè)面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出圓錐的軸截面，如圖：故選：D.知識點03柱體、錐體、臺體的體積1、柱體的體積公式2、錐體的體積公式3、臺體的體積公式圓臺的體積：如果圓臺的上、下底面半徑分別是r＇、r，高是h，那么它的體積是【答案】C故選：C.知識點04球的表面積和體積1、球的表面積（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積．（2）球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式S球=4πR2．即球面面積等于它的大圓面積的四倍．2、球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．【即學(xué)即練4】（2024·高一·河南·階段練習(xí)）已知兩平行的平面截球所得截面圓的面積分別為9π和16π，且兩截面間的距離為1，則該球的體積為．【解析】設(shè)球的半徑為R，依題意，截面圓的面積分別為9π和16π，則截面圓的半徑分別為3，4，當兩截面在球心的同一側(cè)時，因為兩截面間的距離為1，題型一：棱柱、棱錐、棱臺的表面積【答案】A過點作⊥于點，連接，則為正六棱臺的斜高，所以正六棱臺的斜高為，故選：A．【典例12】（2024·高二·新疆·階段練習(xí)）已知棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，則其表面積為（）【答案】C【解析】棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，故選：CA．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D故選：D．【變式12】（2024·高二·北京昌平·期末）《九章算術(shù)》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物，正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個側(cè)面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側(cè)面積為（

）【答案】B故選：B.【變式13】（2024·高一·廣東佛山·階段練習(xí)）已知正四棱臺的上、下底面的邊長分別是，高為2，則該四棱臺的表面積為（

）【答案】C【解析】根據(jù)題意可知：該四棱臺的側(cè)面都是上底邊長為2，下底邊長為4的等腰梯形，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】（求多面體表面積注意事項）1、多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和．2、解決有關(guān)棱臺的問題時，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決；二是把棱臺還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識來解決．題型二：棱柱、棱錐、棱臺的體積【答案】B【解析】如圖，分別為上底面和下底面的中心，連接，故選：B【變式21】（2024·高二·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，一個幾何體是由一個正三棱柱內(nèi)挖去一個倒圓錐組成，該三棱柱的底面正三角形的邊長為2，高為4．圓錐的底面內(nèi)切于該三棱柱的上底面，頂點在三棱柱下底面的中心處．(1)求該幾何體的體積；(2)求該幾何體的表面積．設(shè)正三角形的內(nèi)切圓半徑為，【解析】（1）連接，交于點，連接，（2）記的中點為，連接，，因為為線段的中點，所以到的距離等于到的距離的2倍，【解析】（1）（2）連接，交于O，連接，

【解析】（1）證明：連接，【方法技巧與總結(jié)】（求棱柱、棱錐、棱臺體積的注意事項）1、常見的求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．2、求幾何體體積時需注意的問題柱、錐、臺的體積的計算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算．題型三：圓柱、圓錐、圓臺的表面積【典例31】（2024·高三·河北石家莊·期末）某圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中內(nèi)接一個圓柱，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為（

）【答案】C【解析】由題意作圖如下：故選：C.A． B． C． D．【答案】A所以該圓錐的高為.故選：A【變式31】（2024·高三·遼寧·期末）已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值是（

）【答案】A故選：A.【變式32】（2024·高三·河北張家口·期末）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C故選：C．【變式33】（2024·高三·河南·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中將圓臺稱為“圓亭”.已知某圓亭的高為3，上底面半徑為1，下底面半徑為5，則此圓亭的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，可作該圓亭的軸截面，如圖所示：故選：D【答案】D故選：D【方法技巧與總結(jié)】（求旋轉(zhuǎn)體表面積注意事項）旋轉(zhuǎn)體中，求面積應(yīng)注意側(cè)面展開圖，上下面圓的周長是展開圖的弧長．圓臺通常還要還原為圓錐．題型四：圓柱、圓錐、圓臺的體積A． B． C． D．【答案】B故選：B.【典例42】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知某圓臺的上底面半徑為2，該圓臺內(nèi)切球的表面積為，則該圓臺的體積為（

）【答案】A【解析】設(shè)圓臺的下底面半徑為r，易知圓臺的軸截面與球的軸截面內(nèi)切，故選：A．【變式41】（2024·高一·貴州貴陽·期末）已知直角三角形三邊長分別為3，4，5，以其中一條邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周后得到一個幾何體，則該幾何體的最大體積為（

）【答案】C【解析】當以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)時，所得的幾何體是由兩個同底的圓錐拼接而成，如圖所示，故選：C.

【答案】C【解析】由題意知，直角梯形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓臺，故選：C【變式43】（2024·高一·貴州貴陽·階段練習(xí)）等腰直角三角形的斜邊為，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（

）【答案】B以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是以為底面圓的半徑，高分別為、的兩個圓錐拼接而成的組合體，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】（求幾何體積的常用方法）（1）公式法：直接代入公式求解．（2）等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的幾何體即可．（3）補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，棱臺補成棱錐等．（4）分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．題型五：簡單組合體的表面積

【答案】C故選：C.【典例52】（2024·高二·陜西榆林·期末）如圖，“蘑菇”形狀的幾何體是由半個球體和一個圓柱體組成，球的半徑為2，圓柱的底面半徑為1，高為3，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D故選：D.【變式51】（2024·高一·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，一個幾何體的上半部分是一個圓柱體，下半部分是一個圓錐體，圓柱體的高為1m，圓錐體的高為2m，公共的底面是半徑為1m的圓形，那么這個幾何體的體積為，表面積為.【變式52】（2024·高一·廣西柳州·期中）如圖所示，圓錐的底面直徑和高均為4，過的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩余幾何體的表面積是．剩余幾何體的表面中，圓錐底面圓挖去以CF為直徑的圓（圓柱下底面圓），而挖去圓柱后，圓柱上底面圓（以DE為直徑的圓）成了表面的一部分，它與圓柱下底面圓全等，【方法技巧與總結(jié)】（1）組合體的側(cè)面積和表面積問題，首先要弄清楚它由哪些簡單空間圖形組成，然后再根據(jù)條件求各個空間圖形的基本量，注意方程思想的應(yīng)用．（2）在實際問題中，常通過計算物體的表面積來研究如何合理地用料，如何節(jié)省原材料等，在求解時應(yīng)結(jié)合實際，明確實際物體究竟是哪種空間圖形，哪些面計算在內(nèi)，哪些面在實際中沒有．題型六：組合體的體積【答案】又由已知側(cè)棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，故答案為：.【典例62】（2024·高三·北京·開學(xué)考試）“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）．若某“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，如圖所示，則該“十字貫穿體”的體積為．【解析】【變式62】（2024·高一·陜西西安·期中）如圖，一個密閉容器水平放置，圓柱底面直徑為2，高為10，圓錐母線長為2，里面有一個半徑為1的小球來回滾動，則小球無法碰觸到的空間部分的體積為.【解析】小球滾動形成的幾何體為圓柱和兩個半球．小球運動到左側(cè)與圓錐相切時的軸截面的圖形如圖所示：【答案】如圖，故答案為：.【變式64】（2024·高一·四川廣安·期中）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖是由邊長為的正方形和正三角形圍成的一個半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上.則該半正多面體共有個面，其體積為.【解析】將圖所示的半正多面體看作上、中、下三個部分，則上部包含個正方形、個正三角形；中部包含個正方形；下部包含個正方形、個正三角形；如圖所示，由圖知該圖形是由一個正方體截去12相同的三棱柱和8個相同的小正方體的得到的，其中三棱柱的高1，底面為斜邊為的等腰直角三角形，【答案】288故答案為：288【變式66】（2024·高一·貴州貴陽·期中）如圖，某幾何體的形狀類似膠囊，兩頭都是半球，中間是圓柱，其中圓柱的底面半徑與半球的半徑都為1，若該幾何體的表面積為，則其體積為.【答案】【解析】依題意，幾何體可視為半徑為1的球和底面圓半徑為1，高為的圓柱組合而成，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】求組合體體積的常用方法（1）補體法：將空間圖形補成易求解的空間圖形，如棱錐補成棱柱，棱臺補成棱錐等．（2）分割法：將空間圖形分割成易求解的幾部分，分別求體積．題型七：球的表面積與體積（外接球、內(nèi)切球、棱切球）【典例71】（2024·高二·上海·期末）若用與球心距離為3的平面截球體所得的圓面半徑為4，則球的體積為.【變式71】（2024·高一·重慶北碚·階段練習(xí)）一個倒置的圓錐形容器，其軸截面為等邊三角形，在其內(nèi)放置兩個球形物體，兩球體均與圓錐形容器側(cè)面相切，且兩球形物體也相切，則小球的體積與大球的體積之比為．【答案】【解析】根據(jù)題意可截取圓錐軸截面，故答案為：【變式72】（2024·高一·浙江·期中）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，其內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的高為．【答案】3故軸截面為等邊三角形（如圖所示），設(shè)分別為等邊三角形的內(nèi)切圓與邊的切點，故答案為：3.【答案】如圖.故答案為：【變式75】（2024·陜西西安·一模）一個正四棱柱底面邊長為2，高為，上底面對角線交點與下底面四個頂點構(gòu)成幾何體的內(nèi)切球表面積為.【答案】故答案為：.【答案】即與交點即為該幾何體外接球的球心.故答案為：.【答案】3故的最小值為3，故答案為：3【答案】故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（與球有關(guān)問題的注意事項）1、正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，此時球的半徑為r1＝a2，過在一個平面上的四個切點作截面如圖（12、球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有r2＝2a2，如圖（3、長方體的外接球長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3＝a2+b4、正方體的外接球正方體棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq\r(3)a．5、正四面體的外接球正四面體的棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為：2R＝eq\f(\r(6),2)a．6、有關(guān)球的截面問題常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決．一、單選題1．（2024·廣東湛江·一模）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，中國瓷器的發(fā)明是中華民族對世界文明的偉大貢獻．下圖是明清時期的一件圓臺形青花纏枝紋大花盆，其上口直徑為20cm，下底直徑為18cm，高為24cm，則其容積約為（

）【答案】C故選：C【答案】C【解析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，故選：C.【答案】A故選：AA． B． C． D．【答案】A故選：A【答案】D【解析】故選：D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可知留在容器內(nèi)水的體積為等于圓柱體積減去實心球的體積，故選：B【答案】D所以其外接圓的圓心是CD的中點，又四邊形ABCD為矩形的外接圓的圓心為AC，BD的交點，故選：D．二、多選題【答案】BD【解析】故選：BD【答案】AB對CD，顯然錯誤.故選：AB.【答案】ACD故選：ACD．三、填空題11．（2024·高一·廣西柳州·階段練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三