18.3.2分式的混合運算第十八章

分式【2025新教材】人教版數(shù)學

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********18.3.2分式的混合運算一、教學目標理解并掌握分式混合運算的運算順序，能夠準確區(qū)分與有理數(shù)混合運算順序的異同，明確分式混合運算中各步驟的依據(jù)。熟練運用分式的加、減、乘、除及乘方運算法則進行分式的混合運算，能夠?qū)碗s的分式混合運算式子進行化簡求值，提高綜合運算能力和邏輯思維能力。通過解決分式混合運算的實際問題，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學態(tài)度和認真細致的計算習慣，體會數(shù)學知識在實際生活中的應用價值，增強數(shù)學學習的興趣和信心。二、知識回顧分式的基本運算規(guī)則：乘除法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即\(\frac{A}{B}??\frac{C}{D}=\frac{A??C}{B??D}\)；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即\(\frac{A}{B}?·\frac{C}{D}=\frac{A}{B}??\frac{D}{C}=\frac{A??D}{B??C}\)（\(B\neq0\)，\(C\neq0\)，\(D\neq0\)，其中\(zhòng)(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是整式）

。加減法則：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，即\(\frac{A}{C}\pm\frac{B}{C}=\frac{A\pmB}{C}\)；異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p，即\(\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{AD}{BD}\pm\frac{BC}{BD}=\frac{AD\pmBC}{BD}\)（\(B\neq0\)，\(D\neq0\)，其中\(zhòng)(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)是整式）

。乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方，\((\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}\)（\(B\neq0\)，\(n\)為正整數(shù)）。簡單運算練習：計算\(\frac{2x}{y}??\frac{y^2}{4x^2}\)，答案：\(\frac{y}{2x}\)。計算\(\frac{3}{a+1}+\frac{2}{a+1}\)，答案：\(\frac{5}{a+1}\)。計算\((\frac{x}{y})^3\)，答案：\(\frac{x^3}{y^3}\)。通過這些練習，喚醒學生對分式基本運算的記憶，為學習混合運算做好鋪墊。三、分式混合運算的順序運算順序規(guī)則：分式的混合運算順序與有理數(shù)的混合運算順序相同。先乘方，再乘除，最后加減。例如對于式子\((\frac{a})^2??\frac{c}egwesye+\frac{e}{f}\)，要先計算乘方\((\frac{a})^2=\frac{a^2}{b^2}\)，再進行乘除\(\frac{a^2}{b^2}??\frac{c}6uyem6u=\frac{a^2c}{b^2d}\)，最后進行加減\(\frac{a^2c}{b^2d}+\frac{e}{f}\)。如果有括號，先算括號里面的。括號的運算順序依次為小括號、中括號、大括號

。如計算\([(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})?·(\frac{x+y}{xy})]^2\)，先算小括號里的\(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}\)，再算中括號里的除法\((\frac{x^2-y^2}{xy})?·(\frac{x+y}{xy})=x-y\)，最后算乘方\((x-y)^2\)。與有理數(shù)混合運算對比：強調(diào)分式混合運算和有理數(shù)混合運算順序在本質(zhì)上是一致的，都是先進行高級運算（乘方），再進行中級運算（乘除），最后進行低級運算（加減），有括號先算括號內(nèi)。但分式運算中涉及分式的通分、約分等特殊操作，需要更加仔細。四、典型例題精講例1計算\((\frac{x^2}{x-1}-x-1)?·\frac{x}{x^2-1}\)分析：先對括號內(nèi)的式子進行化簡，將\(-x-1\)變形為\(-(x+1)\)，然后通分計算；再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，根據(jù)平方差公式\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)進行約分計算。解答：\(\begin{align*}&(\frac{x^2}{x-1}-x-1)?·\frac{x}{x^2-1}\\=&[\frac{x^2}{x-1}-(x+1)]?·\frac{x}{x^2-1}\\=&[\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}]?·\frac{x}{x^2-1}\\=&\frac{x^2-(x^2-1)}{x-1}?·\frac{x}{x^2-1}\\=&\frac{x^2-x^2+1}{x-1}?·\frac{x}{x^2-1}\\=&\frac{1}{x-1}??\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&\frac{x+1}{x}\end{align*}\)例2計算\((\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{a^2-2ab+b^2})?·(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2})\)分析：先分別對兩個括號內(nèi)的式子進行通分計算，其中\(zhòng)(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)，\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)；再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分后得出結(jié)果。解答：\(\begin{align*}&(\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{a^2-2ab+b^2})?·(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2})\\=&[\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{(a-b)^2}]?·[\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{(a+b)(a-b)}]\\=&\frac{a(a-b)-a^2}{(a-b)^2}?·\frac{a(a-b)-a^2}{(a+b)(a-b)}\\=&\frac{a^2-ab-a^2}{(a-b)^2}?·\frac{a^2-ab-a^2}{(a+b)(a-b)}\\=&\frac{-ab}{(a-b)^2}??\frac{(a+b)(a-b)}{-ab}\\=&\frac{a+b}{a-b}\end{align*}\)例3先化簡，再求值：\((\frac{3x}{x-2}-\frac{x}{x+2})?·\frac{x}{x^2-4}\)，其中\(zhòng)(x=\frac{1}{2}\)分析：先對括號內(nèi)的式子通分計算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用平方差公式\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)約分化簡，最后代入\(x\)的值求值。解答：\(\begin{align*}&(\frac{3x}{x-2}-\frac{x}{x+2})?·\frac{x}{x^2-4}\\=&[\frac{3x(x+2)}{(x-2)(x+2)}-\frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)}]?·\frac{x}{x^2-4}\\=&\frac{3x^2+6x-x^2+2x}{(x-2)(x+2)}?·\frac{x}{x^2-4}\\=&\frac{2x^2+8x}{(x-2)(x+2)}??\frac{(x+2)(x-2)}{x}\\=&\frac{2x(x+4)}{(x-2)(x+2)}??\frac{(x+2)(x-2)}{x}\\=&2(x+4)\end{align*}\)當\(x=\frac{1}{2}\)時，原式\(=2??(\frac{1}{2}+4)=2??\frac{9}{2}=9\)五、課堂練習基礎練習：計算\((\frac{2a}{a+1}-\frac{a}{a-1})??\frac{a^2-1}{a}\)計算\((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-x})?·\frac{x^2+2x+1}{x^2}\)計算\((\frac{3}{x-1}-\frac{1}{x+1})??\frac{x^2-1}{x}\)提高練習：先化簡，再求值：\((\frac{x}{x^2-2x}-\frac{1}{x-2})?·\frac{x-1}{x^2-4}\)，其中\(zhòng)(x=3\)。計算\((\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a^2-1})??(a^2-1)\)拓展練習：已知\(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3\)，求\(\frac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}\)的值（提示：對已知條件進行變形，再將其代入所求式子）。某工廠生產(chǎn)一批零件，原計劃每天生產(chǎn)\(a\)個，需要\(b\)天完成。實際每天生產(chǎn)的零件數(shù)比原計劃多\(c\)個，那么實際完成這批零件需要多少天？實際完成比原計劃提前了多少天？（用分式表示，并進行化簡）六、易錯點總結(jié)與規(guī)避運算順序錯誤：部分學生容易不按照“先乘方，再乘除，最后加減，有括號先算括號內(nèi)”的順序進行計算。在計算前，可以用不同符號標記出式子中的乘方、乘除、加減運算，明確計算順序，避免跳步。符號處理不當：在分式的運算中，符號的變化較為復雜，如去括號、分子分母的負號處理等。在去括號時，要嚴格遵循去括號法則；對于分式的分子、分母或分式本身的負號，可根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行統(tǒng)一處理，將負號盡量統(tǒng)一到分子或分式本身。約分和通分錯誤：在混合運算中，約分和通分頻繁使用，容易出現(xiàn)找錯公因式、通分計算錯誤等問題。約分前要對分子分母進行徹底的因式分解；通分要準確確定最簡公分母，通分后分子的計算要仔細，避免漏乘。代入求值錯誤：在化簡后代入數(shù)值計算時，可能出現(xiàn)代入錯誤或計算失誤。代入數(shù)值前，要檢查化簡結(jié)果是否正確；代入時要注意數(shù)值與字母的對應關系，計算過程要認真仔細，可進行適當?shù)尿炈?。七、課堂小結(jié)運算順序：牢記分式混合運算的順序與有理數(shù)混合運算順序一致，先乘方，再乘除，最后加減，有括號先算括號內(nèi)。運算要點：熟練運用分式的各種運算法則，注意符號處理、約分通分的準確性，在化簡求值時要保證每一步的計算正確。實際應用：分式混合運算在解決工程、行程、分配等實際問題中具有重要作用，能夠幫助我們建立數(shù)學模型，通過運算得出實際問題的答案。八、課后作業(yè)完成教材課后相關習題，鞏固分式混合運算的方法和技巧。拓展作業(yè)：化簡\((\frac{2m}{m^2-4}-\frac{1}{m-2})?·(1-\frac{1}{m+2})\)，并求當\(m=-1\)時的值。已知\(a^2-5a+1=0\)，求\(a^2+\frac{1}{a^2}\)和\(a^4+\frac{1}{a^4}\)的值（提示：先由\(a^2-5a+1=0\)得出\(a+\frac{1}{a}\)的值，再利用完全平方公式逐步計算）。這份課件圍繞分式混合運算，從多方面助力知識掌握。若你覺得例題難度不合適，或練習量需要調(diào)整，以及有其他修改需求，隨時告訴我，我會進一步優(yōu)化。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解學習目標會進行簡單分式的加減乘除運算，能從數(shù)的四則運算類比分式的四則混合運算.明確分式混合運算的順序，熟練地進行分式的混合運算.復習導入（1）乘法（3）乘方（2）除法（4）加減法分式運算的法則同分母加減異分母加減探究新知計算：(–2)2×4–9÷(-3)2解：原式=____________=____________=____________4×4–9÷916

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115先乘方再乘除后加減有理數(shù)的混合運算中，如果有括號，先算括號里的運算.知識點1分式的混合運算計算：這道題包含了哪些運算？運算順序又是怎樣的？分式的混合運算順序：先乘方，再乘除，然后加減，如果有括號先進行括號里的運算.運算結(jié)果要化為最簡分式或整式.

例3

計算：先算乘方統(tǒng)一為乘法計算乘法通分按同分母分式相加減法則計算約分分式混合運算的計算方法：方法（1）將各分式的分子、分母分解因式后，再

進行計算；（2）運算順序：先乘方，再乘除，然后加減；（3）注意處理好每一步運算中遇到的符號；（4）計算結(jié)果要約分為最簡分式或整式.練習計算：乘法分配律先約分知識點2分式運算的實際應用

例4

張華和李明同時從甲地沿同一路線步行去乙地.張華在前半段路程的平均行走速度是akm/h，在后半段路程的平均行走速度是bkm/h；李明全程的平均行走速度是km/h.如果a

≠

b，兩人誰先到達乙地？路程=速度×時間解：設從甲地到乙地的路程為skm.

李明從甲地到乙地的時間(單位：h)為：張華從甲地到乙地的時間(單位：h)為：兩人的時間差為：因為s，a，b

均大于0，且a

≠b，所以因此，李明先到達乙地.解：即兩隊共同工作一天完成這項工程的1.甲工程隊完成一項工程需n天，乙工程隊要比甲工程隊多用3天才能完成這項工程，兩隊共同工作一天完成這項工程的幾分之幾？練習【教材P155練習第2題】解：即今年與去年相比，森林面積增長