專題2.1軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）

存一..知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1】軸對(duì)稱圖形

一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就

是它的對(duì)稱軸.

特別提醒：

軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分能夠互相重合.對(duì)稱軸有可能不只一條

【知識(shí)點(diǎn)2】軸對(duì)稱

1.軸對(duì)稱定義

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直

線對(duì)稱（或說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱），這條直線叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱

點(diǎn)

特別提醒：

軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合.成軸對(duì)稱的兩

個(gè)圖形一定全等.

2.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系

軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱圖形

和軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱圖形；反

過(guò)來(lái)，若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱軸）

對(duì)稱.

【知識(shí)點(diǎn)3】軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)

軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)

軸對(duì)稱的性質(zhì)：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分

線；

軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

在二.考點(diǎn)分類講解

【考點(diǎn)一】軸對(duì)稱》一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別

［例1］以下四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.&e修

【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可，一個(gè)圖形的一部分，沿著一條直線對(duì)折后

兩部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

解：A.找不到一條直線，沿該直線折疊后使兩邊重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；

B.找不到一條直線,沿該直線折疊后使兩邊重合,所以不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意;

C.找不到一條直線,沿該直線折疊后使兩邊重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意;

D.能找到一條直線,沿該直線折疊后使兩邊重合，所以是軸對(duì)稱圖形，故符合題意;

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

【變式】下面四個(gè)圖形分別是綠色食品、低碳、節(jié)能和節(jié)水標(biāo)志，是軸對(duì)稱圖形的是（）

?C⑥。

【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可，軸對(duì)稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個(gè)圖

形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.解：選項(xiàng)B、C、D均不能找到這樣的一條

直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對(duì)稱圖形；

選項(xiàng)A能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對(duì)稱圖形；

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

【考點(diǎn)二】軸對(duì)稱成軸對(duì)稱兩個(gè)圖形的識(shí)別

【例2】下列圖形中，與關(guān)于直線成軸對(duì)稱的是（）

【答案】B

【分析】認(rèn)真觀察各選項(xiàng)給出的圖形，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線進(jìn)行判斷.

解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸MN垂直平分，所以B

是符合要求的.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)；應(yīng)用對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的

線段被對(duì)稱軸垂直平分解題是正確解題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

【變式】如圖，線段A3與A?（AB=AZ'）不關(guān)于直線/成軸對(duì)稱的是（）

AAf

BB'

A.

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)仔細(xì)觀察各選項(xiàng)圖形即可得解.

解：觀察可知，B選項(xiàng)中，線段AB與⑷Q不關(guān)于直線/成軸對(duì)稱，

A、C、D選項(xiàng)線段與/9（48=/"）都關(guān)于直線/成軸對(duì)稱.

故選：B.

【點(diǎn)撥】此題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟記軸對(duì)稱的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三】軸對(duì)稱由軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷

【例3】如圖所示，AAUC與AABC關(guān)于直線成軸對(duì)稱，則線段4A與直線的關(guān)系正確的是

A.直線被線段A4'垂直平分B.線段A4'被直線垂直平分

C.直線經(jīng)過(guò)線段AA中點(diǎn)，但不垂直D.直線與線段A4'垂直，但不經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)

【答案】B

【分析】成軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，據(jù)此即可得到答案.

解：EIAA'UC'與AABC關(guān)于直線跖V成軸對(duì)稱，

回線段A4'被直線垂直平分.

故選：B

【點(diǎn)撥】此題考查了成軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握"成軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平

分”是解題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

［變式】如圖，與NADE關(guān)于直線/對(duì)稱，下列結(jié)論中：①A4BC^Z\ADE；②ZABC=ZADE；

③/垂直平分CE;④8c與DE的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)不一定在/上.其中正確的有（）

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

解：根據(jù)軸對(duì)稱的定義可得，與VADE關(guān)于直線/對(duì)稱，則①△ABC=△ADE正確.

因?yàn)槿绻麅蓚€(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線（中垂

線）；軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，

故②=③/垂直平分CE,正確.

因?yàn)槌奢S對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線如果相交，那么，交點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上，故④與

DE的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)不一定在/上，錯(cuò)誤.

正確的有3個(gè)，

故選:B

【點(diǎn)撥】此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)

稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線（中垂線）；軸對(duì)稱圖形的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)

角相等.

【考點(diǎn)四】軸對(duì)稱由軸對(duì)稱圖形的特征求解

【例4】如圖，AABC和VADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，BC和DE的交點(diǎn)/在直線MN上.

(1)圖中點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)—，NE的對(duì)應(yīng)角是一；

(2)若ED=9,BF=6,求砂的長(zhǎng)；

(3)連接BD和EC,判斷8。和EC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴D;ZE-,(2)3;(3)平行，理由見(jiàn)分析

【分析】(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線,

根據(jù)對(duì)應(yīng)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得到。尸=3尸=6,再根據(jù)￡F=即-止即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得WEC,MNVBD,由平行線的判定即可得出結(jié)論.

(1)解：回AABC和VADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，BC和DE的交點(diǎn)/在直線上，

國(guó)圖中點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。，/E的對(duì)應(yīng)角是NC,

故答案為：D；/E；

(2)回即=9,BF=6,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。，8C和DE的交點(diǎn)F在直線上,

國(guó)DF=BF=6,

⑦EF=ED—DF=9—6=3,

回跖的長(zhǎng)為3；

(3)平行.理由如下：

回AABC和VADE關(guān)于直線MN對(duì)稱，BC和DE的交點(diǎn)廠在直線MN上,

^MNIEC,MN±BD,

aEC〃BD,

團(tuán)友)和EC的位置關(guān)系為：平行.

M

【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的判定，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【舉一反三】

【變式1】如圖，尸在/A03內(nèi)，點(diǎn)M,N分別是點(diǎn)尸關(guān)于A。8°的對(duì)稱點(diǎn)，肋V分別交04,OB

于E,F.

⑴若！PEF的周長(zhǎng)是10cm,求MN的長(zhǎng)；

⑵若ZAOB=30°，試求AMON的度數(shù).

【答案】⑴10cm；⑵60。

【分析】(1)由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EM=EP,FP=—V，由三角形周長(zhǎng)公式得到PE+EF+PF=10cm,

貝lj￡M+EF+7W=10cm,即跖V=10cm；

(2)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到NAOM=NAOP,4BON=/BOP,進(jìn)一步推出ZMON=2ZAOB=60°?

(1)解：回點(diǎn)M,N分別是點(diǎn)P關(guān)于AQ30的對(duì)稱點(diǎn)，

國(guó)EM=EP,FP=FN,

團(tuán)！詆的周長(zhǎng)是10cm,

國(guó)PE+EF+PF=10cm,

0￡M+￡F+7W-lOcm,即腦V=10cm；

(2)解：如圖所示，連接OAf,ON,OP,

國(guó)點(diǎn)N分別是點(diǎn)尸關(guān)于AQ80的對(duì)稱點(diǎn)，

^ZAOM=ZAOP,/BON=/BOP,

回/MON=AAOM+ZAOP+NBOP+/BON=2(ZAOP+ZBOP)=2/AOB=60°

M

A

O'''

N

【點(diǎn)撥】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，正確得到項(xiàng)f=EP,FP=FN,以、

ZAOM=ZAOP,ZBON=ZBOP是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖1,點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在直線/的同側(cè)，點(diǎn)4與A關(guān)于直線/對(duì)稱,連接A3交/于點(diǎn)P,設(shè)

AB=a-

圖1

（1）求AP+P3；

⑵若點(diǎn)M是直線/上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn).求證：AM+MB>AP+PB^

⑶如圖2,在/上求作一點(diǎn)"，使AAf+BM最小.作法：

B.

A.

圖2

【答案】（1）AP+P3=a；（2）見(jiàn)分析；（3）見(jiàn)分析

【分析】（1）利用軸對(duì)稱性質(zhì)得到邊長(zhǎng)關(guān)系即可求出；（2）利用軸對(duì)稱換邊，再使用三角形三邊大小

關(guān)系證明即可；（3）利用最短路徑寫出作法即可.

解：（1）：點(diǎn)A與A關(guān)于直線/對(duì)稱，

:.AP=ArP,

AP+PB=AP+PB=AB,

AB=a,

/.AP+PB=a.

(2)連接AM,

圖1

?.?點(diǎn)H與A關(guān)于直線/對(duì)稱，

:.AM=AM,AP=AP,

:.AM+MB=A!M+MB,AP+PB=AP+PB=A!B,

ZVTMB中AM+MB>A3,

:.AM+MB>AP+PB.

(3)作點(diǎn)A關(guān)于直線/對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB交直線/于點(diǎn)M,如下圖所示.

B,

A./

I/

Itt

:j'M________7

I/I

圖2

【點(diǎn)撥】本題考查最短路徑的畫法和證明，軸對(duì)稱的性質(zhì)為對(duì)稱軸上的點(diǎn)到關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)對(duì)

應(yīng)點(diǎn)的距離相等.求解在直線上找一點(diǎn)使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩點(diǎn)的距離和最小，作法為作其中一點(diǎn)關(guān)于直

線的對(duì)稱點(diǎn)，連接另一點(diǎn)與直線的交點(diǎn).

【考點(diǎn)五】軸對(duì)稱Ae軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用

【例5】已知：如圖，CDEF是一個(gè)長(zhǎng)方形的臺(tái)球面，有A、8兩球分別位于圖中所在位置，試問(wèn)怎

樣撞擊球A,才能使A先碰到臺(tái)邊小反彈后再擊中球8?在圖中畫出A球的運(yùn)動(dòng)線路.

E,-------------------------------

B.

A.

FC

【分析】首先作出點(diǎn)A關(guān)于FC的對(duì)稱點(diǎn)），再連接AB交尸C于點(diǎn)尸，連接AP,PB,可得A球的

運(yùn)動(dòng)路線.

解：如圖所示：運(yùn)動(dòng)路線：A-PfB.

【點(diǎn)撥】本題主要考查生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì).

【舉一反三】

【變式】茅坪民族中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成兩直條（如圖中的A。，BO）,40桌面

上擺滿了桔子，8。桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請(qǐng)

你在下圖幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？

A0

C

R

【分析】本題意思是在AO上找一點(diǎn)。，在80上找一點(diǎn)E,使ACDE的周長(zhǎng)最小.如果設(shè)點(diǎn)C關(guān)于A0

的對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)于80的對(duì)稱點(diǎn)是N,當(dāng)點(diǎn)￡?、￡在上時(shí)，ACDE的周長(zhǎng)為c￡）+r>E+EC=MN,

此時(shí)周長(zhǎng)最小.

解：①分別作點(diǎn)C關(guān)于04、08的對(duì)稱點(diǎn)是A/、N,②連接MN,分別交0A于08于￡

則C玲。玲E玲C為所求的行走路線.

?4_______________I弋。?

CN

B

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用對(duì)稱性的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)五】軸對(duì)稱》一軸對(duì)稱性質(zhì)>?”折疊問(wèn)題

【例6】如圖所示，一個(gè)四邊形紙片ABC。，Z5=ZD=90°,把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)B落在

邊上的8,點(diǎn)，AE是折痕.

(1)試判斷B'E與。C的位置關(guān)系；

(2)如果NC=130。，求EA仍的度數(shù).

【答案】(1)3'E〃￡)C,理由見(jiàn)分析；⑵NAEB=65。

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NAB'E=NB=90。，再由？。90?,可得=即可求解；

(2)由(1)得，B'E//DC1可得NBEB'=NC=130。，再由折疊的性質(zhì)可得/4￡8=/4￡笈，求出

NAEB=LNBEB，=65°，即可求解?

2

解：(1)B'E//DC■,

回AB是A3的折疊后形成的，

^ZAB'E=ZB=ZD=90°,

回B'E〃DC；

(2)由(L)得，PE//DC,

g|N8EB'=NC=130°,

由折疊可知，ZAEB^ZAEB

NAEB」NBEB，=65。

a2.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的