重難點(diǎn)突破06雙變量問題

■方法技巧總結(jié)____________________

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

?必考題型歸納____________________

題型一：雙變量單調(diào)問題

例1.(2023?全國,高三專題練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=(a+l)lnx+加+1.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求曲線了=〃x)在(1JQ))處的切線方程；

(2)設(shè)2,證明：對任意x2e(0,+co),|/(x1)-/(x2)|>4|x1-x21.

【解析】(1)當(dāng)。=2時(shí)，/(x)=31nx+2x2+l,.'./(1)=3,切點(diǎn)為(1,3)

求導(dǎo)/'(x)=±+4x,切線斜率后=/'⑴=7

X

，曲線尸/(X)在(1,7(1))處的切線方程為y=7x-4.

(2)QaV-2,/(x)的定義域?yàn)?0,+?0，求導(dǎo)/'(尤)=5+2辦=立二<0,

XX

.??/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

不妨假設(shè)龍1/2，|/(網(wǎng))-/(9)上4卜-司等價(jià)于f(x2)-f(xl)>4xl-4x2.

即/(9)+4%之/(國)+4匹.

令g(x)=/(x)+4x,貝IJg，(x)=￡±1+為》+4=2“x2+4x+"+l.

XX

八一o/\—4x?+4x—1-(2x—1)

QaW-2,x>0,；.gz(x)<----------------=—-------^-<0-

XX

從而g(x)在(0,+°°)單調(diào)減少，故g(%i)?g(X2)，即/(%2)+4工22/(再)+4石，

故對任意X],工2e(0,+8),|/(X)-/(x2)|>4[xl-x\.

例2.(2023?安徽,校聯(lián)考三模)設(shè)aeR,函數(shù)=aln(-x)+(a+1)/+1.

(I)討論函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)/(X)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線8x+y-2=0平行，且對任意為，ze(-8,0),

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/(占)一小2)

再W%，不等式〉加恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

玉-x2

【解析】(I)/⑺的定義域是(-*0).

/(x)=-+2(a+1)無=2("+1)"+"

XX

(1)當(dāng)aV-1時(shí)，/'(尤)>0,/(x)的定義域(一叫0)內(nèi)單增;

(2)當(dāng)一1<°<0時(shí)，由2(。+1)無2+。=0得,

此時(shí)/(x)在內(nèi)單增，在內(nèi)單減;

(3)當(dāng)心0時(shí)，r(x)<0,/(尤)的定義域(F,0)內(nèi)單減.

(II)因?yàn)槭?-1)=一8,所以2(。+?+a7,a=2.

-1

此時(shí)f(x)=2In(-無)++1.

由(I)知，。=2時(shí)，/(X)的定義域(f,0)內(nèi)單減.

不妨設(shè)超<尤1<。，

則"?二")>m，即|/(』)一/(七)|>同再一引，

即f(x2)+mx2>/(占)+叫恒成立.

令g(x)=/(x)+?nx,x<0,則g(x)在(-<?,0)內(nèi)單減,gPg'(x)<0.

,,22

g(x)=/(x)+m=—+6x+m<0,m<----6x,x<0.

xx

而-2-6x24百，當(dāng)且僅當(dāng)尤=一池時(shí)，-2一6》取得最小值4班，

%3X

所以加V4g,故實(shí)數(shù)加的取值范圍是卜應(yīng)46].

例3.(2023?福建漳州?高二福建省漳州第一中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(x)=(a-l)lnx+ox2+l.

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(II)若丘1時(shí)，任意的國>%>0,總有|/(尤])-/(X2)|>2[X]-X21,求實(shí)數(shù)。

的取值范圍.

【解析】(I)/(X)=0+2辦=2收+"-1(%>0)

XX

①當(dāng)心1時(shí)”(無)>0,故/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)aV0時(shí)/(無)<0,故/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

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1-a

③當(dāng)0<°<1時(shí)，令/'(x)=0解得了=

2a

上￡時(shí)，小)<0；

則當(dāng)0<x<

2a

/小)〉故/村在(匕^)上單調(diào)遞減；在匕￡,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x>—0'b00

2av2a\22aa

綜上所述：當(dāng)時(shí),嚴(yán)⑺〉0故f(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增;

當(dāng)aVO時(shí)，r(x)<0故/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減;

當(dāng)0<a<l時(shí)，/(x)在(0,^^上單調(diào)遞減；在舊上單調(diào)遞增.

(II)由(I)知當(dāng)時(shí)/'(尤)>0故/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

對任意王>X2>0,/(x1)>/(X2).,./(X1)-/(X2)>2X1-2X2BP/(X1)-/(X2)>2X1-2X2

令g(x)=/(x)—2x,因?yàn)橛?gt;%2〉OJ(xJ—/(%2)>2再一2%

所以g(x)=/(x)-2x,在(0,+s)上單調(diào)遞增;所以g'(x)=0+2辦一2,即區(qū)士+2公一2N0在(O,+e)上

XX

恒成立

J.

,J1c1cl八2+74+1

—F2x|q22H—x>0,Q----------------

UJXl+2xl+2x

X

,、tt2

令/=2x+l,則工=號又因?yàn)閤>0,所以zl+j+lf2t+i?1t+3-2

32g+1

+當(dāng)且僅當(dāng)/=G時(shí)取等號，所以3、，

t/+——2乙

t

故不等式“-77^7恒成立的條件是a>3里即41Hl,+2.

，+?-22|_2J

所以，實(shí)數(shù)。的取值范圍為P等,+00).

yyt1

變式1.(2023,全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=loga%+.....-,meR,Q>0且

(1)當(dāng)。=2時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)“=e時(shí)，若對任意的國>%>0,不等式當(dāng)〃*)一一"")<!恒成立,求實(shí)數(shù)冽的取值范圍.

xx-x22

【解析】(1)函數(shù)/(無)的定義域?yàn)?0,+￥),

第3頁共43頁

將a=2代入/（x）的解析式，得/（x）=log2x+：-g，

1x-mIn2

求導(dǎo)得/（犬）=

xln2x2In2

當(dāng)加WO時(shí)，*（x）〉o,故/（X）在（0,+￥）上單調(diào)遞增;

當(dāng)加＞0時(shí)，令/可尤）=0,得尤=7〃ln2.

所以當(dāng)x?0,mln2）時(shí)，/（x）＜0,當(dāng)xe?ln2,包）時(shí)，/■?。?,于是〃x）在區(qū)間（0,冽M2）上單調(diào)遞

減，在區(qū)間（加ln2,+oo）上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)班40時(shí)，“X）在（0,+￥）上單調(diào)遞增；當(dāng)加＞0時(shí)，“X）在區(qū)間（O,mln2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間

（mln2,+oo）上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)。=e時(shí)，f（x）=InxH.......-.

因?yàn)樵伲境?,所以不等式*J‘仁）＜'可化為心+《＜3+；,

xx-x22再2匹x22X2

所以生工+/_＜也玉+與對任意的國＞o恒成立，所以函數(shù)8（。=則+：為（0,+￥）上的減函數(shù),

X]%2%2tt

所以8'（。=—吱-袈＜0在（0,+￥）上恒成立，可得2以與71型在（0,+￥）上恒成立，

設(shè)則〃?）=—ln，，令%'?）=0,得￡=1.

所以當(dāng)，武0,1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1,+￥）上單調(diào)遞減，

所以2）詼=硝）=1，得加

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為；，+81

變式2.（2023?天津南開?高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)[（x）=lnx+#+（2a+l）x.

（1）討論/（x）的單調(diào)性;

3

⑵當(dāng)°＜。時(shí)，證明-布-2；

（3）若對任意的不等正數(shù)三用，總有/（玉）一〃＞＞2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X]-x2

【解析】（1）由題意得：/（X）定義域?yàn)椋?,+e）,/⑺（如+伽+1）=（2“x+]）（x+l）；

當(dāng)aNO時(shí),2辦+1〉0,x+1＞0,0在（0,+0上恒成立,

\/（M在（0,+。）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＜0時(shí)，令/'（x）=0,解得：尤=-」-

2a

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.,.當(dāng)時(shí)，f^x)>0；當(dāng)xej；,+oo]時(shí)，/(x)<0；

\/（x）在（0,-上單調(diào)遞增，在1

+8上單調(diào)遞減;

綜上所述：當(dāng).20時(shí)，/（x）在（0,+。）上單調(diào)遞增；當(dāng).<0時(shí)，/（X）在jo,-』］上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減.

3只需證1"一：）一：一1"?一2,即證+：+

要證-丁-2

11_r

設(shè)g(x)=lnx-x+l,則g'(x)=__[=----,

XX

.,.當(dāng)xe(0,l)時(shí)，g,(x)>0；當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，g'(x)<0；

，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+⑹上單調(diào)遞減，；.g(x)1mx=g6=0；

又一J〉o，=+}+gp/(x)<--^--2.

2a\2a)\2a)la4a

(3)不妨設(shè)0<%<%,則由“不)一"％)>2得:/(X1)-/(X2)<2X1-2X2,

X]_X?

即f(玉)-2玉<f(%2)—2%2，

令〃(％)=/(力一2%,則〃(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

/./i'(x)=(x)-2=—+lax+2(2-1>014(0,+<x))上恒成立,

,.1X—1o、X—1X—1

即2a(x+1)一廠下，又x+l>°'一/而=口；

x2+x-(x-l)(2x+l)_-x2+2x+l

令加(x)=T——(x>0),則"(%)=

22

x2+x\

令，（x）=0,解得：x=\~41（舍）或%=也+1，

.,.當(dāng)了￡（0,加+1）時(shí)，m（x）>0；當(dāng)XE（亞+l,+oo）時(shí)，mr（x）<0；

.?.加⑺在（0,0+1）上單調(diào)遞增,在（亞+L+8）上單調(diào)遞減，

二.m（x）max=加（6+1）=彳3-28,2a>3-2A/2，解得：a>-―

3-272)

二.Q的取值范圍為-2—,+°0-

題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題

第5頁共43頁

(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=L—x+qlnx.

例4.

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

已知。措若/⑴存在兩個(gè)極值點(diǎn)3,且毛＜%,求等+等的取值范圍.

(2)

【解析】(1)函數(shù)"X)的定義域?yàn)?0,+?0，八月=-4-1+巴=-匚字口

XXX

當(dāng).V2時(shí)，x2-ax+l^(x2+l)-ax>2x-ax>0,當(dāng)且僅當(dāng)。=2,尤=1即“="，則f'(x)40,/⑴在(0,+切)上

單調(diào)遞減,

4a+Jq24

當(dāng)。＞2時(shí)，方程X?-辦+1=0有兩個(gè)正根為再=°一號二,x2

2

*八Q―JQ2_4或x>“+G^時(shí),/'(無)<0,當(dāng)時(shí),f'(x)>0,

30<x<--------

2222

于是得/(x)在(0,a-4)、(a+J]-4,+3上單調(diào)遞減,在(a-^la2-4a+J。？—4

.)上單調(diào)遞增;

22

(2)因/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)看,馬，且王＜工2，由(1)知。＞2,即2＜qeg,則xtx2=1,

顯然，/=°+—2-4對一(23是遞增的,從而有

22

XX

f(2)+/(l)=々/?)+X1/(X1)=1一只+QX21nx2+1一1+々玉1口/

項(xiàng)x2

=2—x；—x；+(石+%2)(%2In%2+再In再)=2—x；—x；+x；In%2+%；In再

4*gW=2-x2-+(x2-^r-)lnx(l<x<2),

'XX

22

g'(x)——2xH——+(2xH—Inx+(x2—?一+"+-21nx

''XXxX

1-x41+x4..1+x41-x4..、

=

—；—I----；—2Inx—；—(——~~\-2Inx),

x3X3x31+x4

12(1-馬2

1-r4-8x32_-8X4+2(1+X4):

令h(x)=----+21nx(l<x<2),h\x)=+>0,

1+x(l+/)2x(1+x4)2x(1+x4)2x

即〃(X)在(1,2)上單調(diào)遞增,〃(x)＞〃⑴=0,貝!)g'(x)＞o,于是得g(無)在(1,2)上單調(diào)遞增,

159

從而得g(l)<g(M<g(2),即。<g(x)<丁2-"

所以等+等的取值范圍(。爭2一%

例5.(2023?新疆?高二克拉瑪依市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+——QX(Q￡R)

⑴若。=1,求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程;

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(2)當(dāng)。>0時(shí)，討論/G)的單調(diào)性；

13

(3)設(shè)/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)X”三且再<工2，若0<X]<5求證：/(X1)-/(X2)>--In2.

【解析】(1)若。=1,貝!]/(》)=lnx+--x,所以/(1)=0,又/，(x)=g+2x-l,所以/'(1)=2,即/G)

在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率為2,所以切線方程為2x-y-2=0.

(2)/(%)的定義域?yàn)?0,+oo),/,(x)=-+2x-a=2X-ay+1,設(shè)〃(x)=2x2-ax+l,^A=a2-8(a>0).

XX

①當(dāng)AWO時(shí)，即0<屋20時(shí)，A(x)>0,即/■'(x)20,此時(shí)/(x)在(0,+oo)為單調(diào)遞增函數(shù).

②當(dāng)△>()時(shí)，即0>2夜時(shí)，設(shè)〃(x)=0兩根為瓦2=丑孚^(占<馬).

當(dāng)尤€(0,不)”X2，+8)時(shí),A(x)>0,即/%：)>0,即/(X)的增區(qū)間為(o,xj,(x2,+oo).

當(dāng)xe(xiM)時(shí)，"(x)<0,即—(x)<0,即/(x)的減區(qū)間為(占,馬).

綜上：當(dāng)0<aV20時(shí)，/G)的單增區(qū)間為(0,+的；

“，,__,,,,,?,__入a—A/0-—8a+—8

^3a>2A/2時(shí),f(x)的增區(qū)間為0,-,--------------,+0°，

44

\7\7

減區(qū)間為(""2-8,4+J/心)

44

(3)由(2)/7x)=—+2x-a=———a%+1〉0,

XX

因?yàn)?(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以2%2一必+1=0存在兩個(gè)互異的正實(shí)數(shù)根國,馬,

a112=^1_=2%2

所以演+工2=彳，占%2=彳，則％2=廠，所以々J_1，

2232項(xiàng)

所以/(再)_/(工2)=In芭+x；—西一(in/—￥+)

=In—+[x；-x；—2(X]+12)(/一'2)]=In%+(-x；+x；)

,21

=In2+2In%]-X]+—~#

2%1

令g(xj=ln2+21nx「x；+士，則'f\=l_2x__L=J,

.；0<X1<g,.../(玉)<0,g(xj在上單調(diào)遞減，

???g(xj>g]￡]，而g]￡|=：Tn2,

>ln2

即g(xj>1-ln2,：./(^)-/(^2)---

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例6.（2023?山東東營?高二東營市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)/（無）=%2+辦+2111%（。為常數(shù)）

⑴討論/'（x）的單調(diào)性

Q

（2）若函數(shù)[（X）存在兩個(gè)極值點(diǎn)知x2（X1<x2）,且X2-X1V],求/（匹）-/仁）的范圍.

【解析】（1）Vf\x）=2x+?+--^+ax+1,

XX

A=a2-16,當(dāng)一44a44時(shí)，A<0,f'（x）>0,/（x）在定義域（0,+旬上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>4時(shí)，在定義域（0,+s）上/'（x）>0,

:.a>4時(shí)，/（x）在定義域（0,+8）上單調(diào)遞增;

當(dāng)°<-4時(shí)，令/'（無）=0得％=士工1三5,?一“+'"一電，

1424

%€（0,%1）,xe（x2，+oo）時(shí)，f'{x}>0；xe（x”X2）時(shí)/''（x）<0,

則/（x）在（O,xJ,（%,+8）上單調(diào)遞增，在（玉/2）上單調(diào)遞減.

綜上可知：當(dāng)。2-4時(shí)，/（x）在定義域（0,+司上單調(diào)遞增；

當(dāng)。〈-4時(shí)，/（x）在（0,再），（馬,+8）上單調(diào)遞增，在（國,々）上單調(diào)遞減.（其中再=士字三亞

—4+JQ2—16、

X、—）

24

（2）由（1）知/J）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則4〈-4,

2x2+ax+2

f\x）=2x+a+-==0n2f+ax+2=（的二根為外,三,

XX

a

則</+々—2,0<X1<1<x2

再入2=1

/(xj—/(工2)=(工；+ax1+2In再)—(x；+ax?+2Inx?)=(玉-x2)+Q(再—％)+21n--

—(x；—x；)-2(X]—/)(玉+%)+2In~~_x；+2In———x；—--2Inx；,

V7

x2X2%2

o

t—x；,%—^3x1—8%—3?01<々43,/￡(1,9].

則/'(占)一/(X2)=gQ)=.-l_21n/,g'(t)=l+l.--=^~^>0,

Ittt

on

.，.g(。在0,9]遞增，g(l)<g(Z)<g(9)0<g(0<--4In3.

即/㈤-小)的范圍是?-41!!3

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變式3.(2023?山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=lnr+g(a-x)2,其中aeR.

⑴當(dāng)”=1時(shí)，求函數(shù)/(x)在(1J。))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

⑶若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn))|的取值范圍為\-ln2,￡-21n2］，求。的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(xHlnx+ga-x)2,定義域?yàn)?0,+功，

所以廣(x)=：-(l-x),

所以后=八1)=1,又〃1)=0,

所以函數(shù)/(無)在(1,/。))處的切線方程為y=x-i,gpx-j,-i=o.

(2)/(X)的定義域是(0,+司，

/(X)=lnx+；尤2—辦+)“2,/,(X)='+x-a=——ax+^,

令g(x)=x?-"+l,則A=/_4.

①當(dāng)aVO或AV0,即0V2時(shí)，/'(無)20恒成立，所以/(x)在(0,+司上單調(diào)遞增.

②當(dāng)即。>2時(shí)，由八x)>0,得o<x<H三或X>KT1三；

［A>022

由/'(x)<0,得佇今三

7

所以〃x)在卜"亭“)和竺孚m,+s上單調(diào)遞增，在］匕，三,￡!^手,上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)aV2時(shí)，/(X)在(0,+“)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>2時(shí)，/(x)在卜匕|三)和竺￥^4,+3上單調(diào)遞增，在［匕手馬,小手)上單調(diào)遞減

(3)由(2)當(dāng)°42時(shí)，/⑶在(0,+功上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)"X)無極值；

當(dāng)。>2時(shí)，/(“有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程公-依+1=0有兩個(gè)正根占，馬，

所以再“2=1,再+%2=。，則/(x)在(%,馬)上是減函數(shù).所以/(項(xiàng))〉/(%2)，

22

因?yàn)?(x)=lnx+^-x-ax+^af

所以|/(12)-/(再)|=/(%)-f^2)

11212八1212、

―In項(xiàng)H—%—ctXy~\—u_In%2—/一ax2—u

第9頁共43頁

—In——+—^x；-%2)-Q(X]-)

x2x

=ln5__i_：

x22X1X2

=In五-n+二,

x22X22xl

令々土（0</<1）,則〃再）一/（X2）=〃3=ln"；t+；,

工22Zt

2

/?，）=111-t+2t-l一("I)?n

2t,2

所以〃（。在（0,1）上單調(diào)遞減,

乂拈1=\-In2"^-21n2,J.A(1)=|-ln2</z(0<y-21n2=

所以卜4

2

(x}+x2)1c

由力——^-=，+-+2/G

XxX2t

又⑺；1在

g=/++2上單調(diào)遞減,

所以|9<02<2個(gè)5且。>2,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（竽］.

247

—V2+(ci—2)x+a—3

變式4.（2023?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（力=」上——1----------(x>0)

⑴討論函數(shù)“X）的單調(diào)性;

（2）若函數(shù)/（X）存在兩個(gè)極值點(diǎn)為/2，記〃（項(xiàng)/2）=/（項(xiàng)）/（%2）,求〃（占，X2）的取值范圍.

【解析】（1）/（X）的定義域?yàn)椋?,+8）,對/（X）求導(dǎo)得:

ev(-2、+Q-2)-e"[-x?+(Q-2,+Q-3j]

X2—CIX+1

e2xe

令g(x)=一辦+1,X>0

1）若aWO,則g（x）>0,即戶的>0,所以/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增.

2）若?！?,

①當(dāng)A40時(shí)，即0<aV2,則g（x）",即/'（無”0,所以/（x）在（0,+"）上單調(diào)遞增.

第10頁共43頁

②當(dāng)A>0時(shí)，即a>2,由g（x）=O,得匹，="±的一4

-2

當(dāng)xe（O,”于a）U（“+手工+oo）時(shí),/（）>0

當(dāng)xe（匕『4,"斗三時(shí)，r（x）<0

綜上所述，當(dāng)aV2時(shí)，/（X）在（0,+力）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>2時(shí)，/（x）在J。,匕手三,+8'上是單調(diào)遞增的,

在（佇g(shù)三，空與三）上是單調(diào)遞減的.

（2）由（1）知，f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于/（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)不，%滿足尤2-辦+1=0,

所以xrx2=1,xx+x2=a,

+(a—2)/+q—3a—2—2x

所以〃%）=x

e*eX1

-%；+(a-2)、2+a-3a—2-2x

同理〃%)=2

a-2-2再a-2—2%2

”（再#2）=/（占）/（工2）=

鏟eX2

(Q—2)2-2(Q-2)(%]+xj+4x^2

Jl+盯

(Q—2)2—2(Q—2)(為+毛)+4為馬8-a2

所以為（%,％2）=

QX\+X2

8—/,所以。⑷=--2"8

令夕⑷=

所以9（〃）在（2,4）上是單調(diào)遞減的，在（4,+8）上是單調(diào)遞增的

AQ

因?yàn)橄Γ?）=w，夕（4）=--,且當(dāng)a￡（4,+oo）,夕（4）<夕（4）<0.

ee

）所以〃區(qū)）的取值范圍是［-］）

所9（〃）￡J/,,zg,.

變式5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=g，+l）+a（lnx-4x+l）.

（1）討論;'（x）的單調(diào)性；

（2）若/1（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)看,x『且/（占）+/（%）2/'（%％）-40,求。的取值范圍.

【解析】（1）由題意，函數(shù)f（x）=g（x2+l）+a（lnx-4x+l）,

第11頁共43頁

PJMr(x)-4/+-=x2-Aax+a,其中x>0,

XX

當(dāng)A=16/-4aW0時(shí)，即時(shí)，f^x)>0,所以f(x)在(O,+⑼上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃<0時(shí)，令/'(x)=O,即X2_4QX+Q=0，

解得x1=2a-44/-q<0,x2=2a+44得-〃>0,

當(dāng)x0(0,2a+“a2一a)時(shí)，,/"(x)<0,7(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)XE(2Q+而。；+8)時(shí)，/牛)>0，/⑴單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,2。+“^匚Z)單調(diào)遞減，在(2a+，4“2—生+⑹單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令/'(x)=0,即4?+q=0,

解得再=2。-"得一a>0,%=2。+,4得-a>0，

當(dāng)XE(0,2Q+府"時(shí)，/牛)>0,〃x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x￡(2a-飛4/-a,2a+，4(/-q)時(shí)，/'(')<。，/(工)單調(diào)遞減；

當(dāng)、￡(2〃+“^二7,+00)時(shí)，/牛)>0，/(x)單調(diào)遞增，

(2)由(1)值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)玉,々，且石+%2=4a,石工2二。，

因?yàn)?(占)+/(%2)"'(中2)-4”,

所以—（%；+l）+q（lnX]—4%1+1）+5（x；+l）+a（lnx2-4%+1）-%/-4aH---------4。，

x{x2

+x2xx

整理得—（再2）~i2+〃In再入2—4〃（再+x2）+2a+l>xxx2-Sa+—^—,

2x1x2

所以8Q2-a+a\na-l6a2+2。+12a-8。+1,即Sa2一8a-aIna?0,

因?yàn)閍>L可得8a-8-lnQ?0,

4

令g(a)=8a—8-lna,a〉；，貝!Jg'(q)=8—工>0,

所以g(a)在(：,+s)為單調(diào)遞增函數(shù)，

又因?yàn)間(l)=0,所以當(dāng)ae(：,l］時(shí)，g(fl)<0,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為

變式6.(2023?吉林長春?高二長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥?設(shè)函數(shù)/(x)=ae2T+(l-x)e'+a(aeR).

(1)當(dāng)a=；時(shí)，求g(x)=/''(x)e2f的單調(diào)區(qū)間；

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(2)若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)芭,馬(xj<x2),

①求a的取值范圍；

②證明：Xj+2x2>3.

p-2p2x-2p-2

【解析】(1)當(dāng)。=三-時(shí)，/(x)=+(1-x)ex+,/r(x)=e2x-2-xex,

故g(x)=e"-xe2,

所以g'(x)=ex-e2,

當(dāng)xw(—“,2)時(shí)，g\x)<0；當(dāng)x￡(2,+oo)時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-叫2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8).

(2)①/'(x)=e，(2ae「x),依據(jù)題意可知尸(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

即2"e，-x=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根外,三.

X

由2ae"-x=0,得。=-T>

ie

所以2“e*-x=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根可轉(zhuǎn)化為

X

函數(shù)歹=。和歹=的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

2e

V1—Y

令〃(x)=K，則/(x)=3，

2e2e

由〃(x)>0,解得x<l；由"(x)<0,解得x>l；

所以6(X)在(-*1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減,

所以為(x)V/〃l)=二

2e

又當(dāng)%>0時(shí)，h(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0,

因?yàn)?gt;與V=〃(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以。J。,]

②由①可知2ae、-x=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根毛,超，

所以不等式占+2%>3等價(jià)于

=2湛+4E=與(爐+2日=言者(泊*+3>：.

令1=再一％2,貝!U<0,且玉+2々>3等價(jià)于J—(e'+2)>3.

e-1v7

所以只要不等式(3—)8-2-3>0在f<0時(shí)成立即可.

設(shè)函數(shù)機(jī)⑺=(3-t)e'-21-3(/<0),則=(2-/)e'-2(/<0),

設(shè)p(0-(2-0ef-2(t<0),則p'(t)=(l-t)e'>0(t<0),

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故p(t)=m\t)在(f,0)單調(diào)遞增，得加。)<〃?0)=0,

所以m(t)在(-oo,0)單調(diào)遞減,m(t)>m(0)=0.

綜上，原不等式網(wǎng)+2工2>3成立.

題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題

例7.(2023?黑龍江牡丹江?高三牡丹江一中?？计谀?已知aeR,函數(shù)/(x)=xln2x-x+2+2.

2x

(1)當(dāng)“=0時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若/(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)外，x2(X]<x2).

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(ii)證明：lnx1+21n.r2<-1-31n2(e=2.71828……為自然對數(shù)的底數(shù)).

【解析】(1)當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=xln2x-x+2(x>0),則/''(x)=ln2尤，

故當(dāng)0<尤時(shí)，/,(x)<0,當(dāng)x>g■時(shí)，f^[x)>0,

故/(X)的遞減區(qū)間為[og],遞增區(qū)間為&,+，(，

極小值為/[g]=|,無極大值；

(2)(i)因?yàn)閞(x)=卜2尤=2廠1等一%>0),

令g(x)=2—In2x-Q(X>0),問題可轉(zhuǎn)化函數(shù)g(x)有個(gè)不同的零點(diǎn)再、x2,

又g'(x)-In2x+2x=2x(2ln2x+l),令=0=x=—\=

12Ve

故函數(shù)g(x)在

即〃〉」

4e

當(dāng)aZO時(shí)，在xe時(shí),函數(shù)gOQWZflnZxvO,不符題意,

1fln

當(dāng)——<。<0時(shí)，則g-ea>0,

4e12J

即當(dāng)<。<0時(shí)，存在再,+°0,

4e

使得了⑴在(0,演)上遞增，在(再,9)上遞減，在(工2，+°°)上遞增，

故/(X)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)玉、々的a的取值范圍為；

第14頁共43頁

且x；In2x1=x；In2x2,

令日川則叫=等心肝普

r+2)In/e

乂In%1+21nx<—1-31n2oIn2x+2In2x<—^o

2x2^―<~2

令機(jī)=/（小>1）,即只要證明（加+2））加〉e（m>l）,即ln〃？>e（〃7l）

m-1m+2

3(m2-l)

令F(m)=Inm-

m2+4m+l

則

6m(m2+4m+1)-3(m2-1\2m+4)

F'(m)=—\2

mm9+4m+1)

4

112(加2+加+1)m477+1(m—1/

m(m2+4m+l)m2+4m+l)n(m2+4m+

故尸(加)在(1,+s)上遞增，且尸⑴=0,所以尸(冽)>0,即m加〉」_____L,

m2+4m+l

2

U而e(m-l)3(m-l)e(m-i)(〃L1)[(3-e)/+(9-4e)加+6-e]

m+2m2+4m+1m+2+4加+1)(加+2)

又因?yàn)槎魏瘮?shù)>=(3—e)冽2+(9—4e)加+6—e的判另I」式A=12e?—36e+9<314x2.722—12x2.72+3]<0,

即(3-e)?。?(9-4e)加+6-e>0,即出二〉'""々)，

m+2

所以(加+2)ln〃？>0在(1,+8)上恒成立,故1呻+21nx2<-J31n2.

m-12

例8.（2023?內(nèi)蒙古?高三霍林郭勒市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（工）=1-｝，-冰缶?區(qū).

（1）討論〃x）的單調(diào)性；

（2）若/⑴存在兩個(gè)極值點(diǎn)和巧,證明：2-</（匹）_/昆）<0.

%1~X2

【解析】（1）Vf\x）=ex+e~x-a>2-a,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立.

當(dāng)〃<2時(shí)，恒有/'（x）20,則/（%）在R上單調(diào)遞增;

當(dāng)。>2時(shí),/,（x）=e^（e2x-flet+l）,令仁3，g（t）=t2-at+l.

VA=a2-4>0,方程/一0+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

??乙=——-----，L=——------，顯然。<4<%2，

1222

.?.當(dāng)fe（O,%）和&,+8）時(shí),g（Z）>0；當(dāng)，（心口時(shí),g（，）<°.

第15頁共43頁

，當(dāng)xe(-00,In%)和(in芍,+00)時(shí),f'(x)>0,/(%)在(-oo,ln%)和(in5+00)上單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(ln/1,ln：2)時(shí)，八%)<0,，/(》)在(111%,111/2)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)aV2時(shí)，〃x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃>2時(shí)，/(X)在(-00,111%)和(1115+8)上單調(diào)遞增，在(111九1型2)上單調(diào)遞減.

(2)證明：由(1)知，當(dāng)。