學(xué)年度下學(xué)期高一期末考試高一數(shù)學(xué)試卷全卷滿分分考試用時(shí)分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的以上信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.區(qū)域均無(wú)效.選擇題用鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求其共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得虛部.【詳解】，其共軛復(fù)數(shù)為，故的共軛復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：A2（）A.B.C.D.【答案】D第1頁(yè)/共22頁(yè)【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦的差角公式，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得結(jié)果.【詳解】.故選：D.3.已知，，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求解即可.【詳解】，，，在上的投影何量為，故選：C4.已知，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出，再由二倍角公式及齊次化可得【詳解】，，，故選：B第2頁(yè)/共22頁(yè)A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式將變成，再由平移變換可選出正確答案.【詳解】，只要把上所有點(diǎn)向左平移即可得到故選：C6.下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①空間中三條不同的直線，，滿足，，，則，，共面②已知直線，和平面，且，，則③如果平面平面，平面平面，那么平面平面④已知平面，，，且，，，則A0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)【答案】B【解析】④，由面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理可證明.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)與異面垂直時(shí)，此時(shí)不共面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，或，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，垂直于同一平面的兩個(gè)平面不一定垂直，如正方體左側(cè)面和右側(cè)面都垂直于上下底面，但左側(cè)面第3頁(yè)/共22頁(yè)和右側(cè)面不垂直，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，，設(shè)，在平面內(nèi)存在直線，使得，，，，，，，，，，，和相交，且，故④正確.故選：B7.海上某貨輪在處看燈塔，在貨輪的南偏東，距離為海里處；在處看燈塔，在貨輪的南偏西，距離為海里處，貨輪由處向正南航行到處時(shí)看燈塔在北偏東，則燈塔與處之間的距離為（）A.海里B.40海里C.海里D.海里【答案】C【解析】【分析】依題意可求出，再由正弦定理可得，再利用余弦定理可求解.詳解】如圖所示，依題意．第4頁(yè)/共22頁(yè)由己弦定理得，．在中，由余弦定理可得，所以，故選：C8.在三棱錐中，，，，，為的中點(diǎn)，三棱錐的外接球的表面積為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由直角三角形性質(zhì)可得為的外心，結(jié)合球體性質(zhì)可知平面，由等腰三角形性質(zhì)可知的外心在上且，進(jìn)而可得直線與平面所成角與互余，結(jié)合球的表面積可得，結(jié)合勾股定理可得，結(jié)合正弦定理可得，由勾股定理可得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理計(jì)算即可．【詳解】如圖，設(shè)球心為的外接圓圓心為，連接，第5頁(yè)/共22頁(yè)因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以為的外心，由為的外心，得三點(diǎn)共線，且．由題意得平面平面，則，故直線與平面所成角為的余角，所以直線與平面所成角的正弦值為，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，則，解得R=3，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，解得，所以，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為，故選：B36分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在正四棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，則（）A.B.平面C.D.平面【答案】BC【解析】第6頁(yè)/共22頁(yè)【分析】根據(jù)線線垂直、線面平行、線線平行的判定定理、性質(zhì)定理逐一證明即可.【詳解】對(duì)于A，為正四棱柱，在底面的射影為，平面，與不重直，與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，取的中點(diǎn)，連接，易知，四邊形為平行里邊形，，同理可知也為平行四邊形，，又，，四邊形為平行四邊形，，，平面平而，平面，故B正確；第7頁(yè)/共22頁(yè)對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，易知，四邊形平行四邊形，，同理可證平行四邊形，，又，，，四邊動(dòng)為平行四邊形，，，，四邊形為平行四邊行，，故C正確；對(duì)于D，連接則平面平面，第8頁(yè)/共22頁(yè)，，平面，平面，，，與不垂直，故與平面不可能垂直，故D錯(cuò)誤，故選：BC10.某新能源汽車公司對(duì)600輛量產(chǎn)車進(jìn)行電池續(xù)航測(cè)試，其中360輛為SUV車型，240輛為轎車車型.質(zhì)檢部門采用分層抽樣（按車型分層）抽取60輛車，實(shí)測(cè)滿電續(xù)航里程.經(jīng)計(jì)算：SUV車型樣本均值為4752046560輛樣本車的總方差為48.）A.SUV車型的樣本容量為36B.每輛轎車被抽入到樣本的概率為C.所有樣本車的平均續(xù)航里程為471公里D.轎車?yán)m(xù)航里程的樣本方差為30【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比公式，以及均值和方差公式，即可求解.【詳解】由題意可知，SUV車型應(yīng)抽取輛車，故A正確；轎車車型應(yīng)抽取輛車，每輛轎車被抽入到樣本的概率為，故B錯(cuò)誤；第9頁(yè)/共22頁(yè)設(shè)轎車?yán)m(xù)航里程的樣本方差為，由題意，，解得，故D正確.故選：ACD.通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示向量.類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對(duì)為復(fù)向量.，，、、、、，我們有如下運(yùn)算法則：①；②；③；④.則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，用定義求解即可；對(duì)于B，用，結(jié)合求解即可；對(duì)于C，用定義求出左右兩邊是否相等即可；對(duì)于D，左邊用和定義求出，右邊也求出，看是否相等即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橐驗(yàn)?，，所以，?0頁(yè)/共22頁(yè)對(duì)于C，，所以，，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，所以，故D正確;故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知圓臺(tái)的上底面直徑為1，下底面直徑為2，母線長(zhǎng)為1，則該圓臺(tái)的體積為__________.【答案】【解析】【分析】利用圓臺(tái)的軸截面求出圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】如圖所示，作圓臺(tái)的軸截面，依題意，則，過(guò)點(diǎn)作，則在中，，即圓臺(tái)的高為圓臺(tái)的體積，故答案為：13.若點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，則的最小值為__________.【答案】第11頁(yè)/共22頁(yè)【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱中心可列出等式，進(jìn)而求解.【詳解】是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，，，，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：14.中，點(diǎn)在邊BC上，，，，則面積的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可求出，進(jìn)而可求，利用面積相等可得，利用基本不等式結(jié)合三角形面積公式即可求解.【詳解】，，，，，整理得，第12頁(yè)/共22頁(yè)所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．故面積的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)，是不共線的兩個(gè)向量.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知向量，滿足，，，求.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)共線向量定理列出等式求解即可;（2）由垂直可得數(shù)量積為0，進(jìn)而可得，再由向量的模的計(jì)算公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】是兩個(gè)不共線的向量，，，，第13頁(yè)/共22頁(yè)【小問(wèn)2詳解】，，即，.16.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，.已知.（1）求角的大??；（2），延長(zhǎng)CA至，使點(diǎn)是線段CD的中點(diǎn)，，求邊的長(zhǎng)度.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)正余弦定理邊角互化，可得，利用余弦定理的推論可求角的余弦值，繼而可得角.（2，的關(guān)系可得，結(jié)合（1）中建立方程組即可求，得到邊的長(zhǎng)度.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得，即即，則，第14頁(yè)/共22頁(yè)【小問(wèn)2詳解】由題知，，，在中，，，又，所以，即由（1）知，即，所以，解得或即.17.某科技公司在招聘人工智能工程師的選拔過(guò)程中，對(duì)200名應(yīng)聘者進(jìn)行專業(yè)技能測(cè)試.應(yīng)聘者的測(cè)試分?jǐn)?shù)全部介于30分到80分之間，公司將所有分?jǐn)?shù)分成5組：，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.第15頁(yè)/共22頁(yè)（1）估計(jì)此次測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值；（2）公司計(jì)劃按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前50名的應(yīng)聘者進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，試估計(jì)這50名應(yīng)聘者的最低分?jǐn)?shù)；（3）試估計(jì)這200名應(yīng)聘者的分?jǐn)?shù)的方差，并判斷此次得分為63分和72分的兩名應(yīng)聘者的成績(jī)是否進(jìn)入到了范圍內(nèi)？（參考公式：，其中為各組頻數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.【答案】（1）（2）65（3），分的應(yīng)聘者的成績(jī)進(jìn)入到了的范圍內(nèi)，分的應(yīng)聘者的成績(jī)沒(méi)有進(jìn)入到了的范圍內(nèi).【解析】1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可；（2）依題意可知求第三四分位數(shù)所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖中方差的計(jì)算公式求解即可，然后求出即可判斷.【小問(wèn)1詳解】1－5組的頻率分別為，.【小問(wèn)2詳解】，這50名應(yīng)騁者的最低分?jǐn)?shù)為第三四分位數(shù)所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)，前3組的頻率之和為，前4組的頻率之和為，第三四分位數(shù)落在內(nèi)，設(shè)為m，則，解得這50名店騁者的量低分?jǐn)?shù)力65分.小問(wèn)3詳解】依題意，第16頁(yè)/共22頁(yè)，，，，分的應(yīng)聘者的成績(jī)進(jìn)入到了的范圍內(nèi)，分的應(yīng)聘者的成績(jī)沒(méi)有進(jìn)入到了的范圍內(nèi).18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，.（1）若平面.證明：；（2）若平面平面，，（i）證明：；（ii）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2iii）【解析】1）由題意可求出，進(jìn)而可知，由題可知所以可證平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理可證；（2i）利用面面直的性質(zhì)定理可得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可得可證平面，進(jìn)而可證ii）先找出二面角的平面角，在三角形中求解即可.【小問(wèn)1詳解】第17頁(yè)/共22頁(yè)在中，由余弦定理得，即，解得，，，底面，平面，，平面，平面，平面，平面，平面平面，，平面，平面，.【小問(wèn)2詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又平面，平面，，，平面，平面，平面，.（ii）由（i）知，，，，.第18頁(yè)/共22頁(yè)如圖：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，平面，平面，，，平面，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，為二面角的平面角，，，又，．由（i）知平面，平面，，，又，，，第19頁(yè)/共22頁(yè)在中，．即二面角的正弦值為.19.ABCDaE為F是邊，分別沿著折起，使A，B兩點(diǎn)重合于點(diǎn)S.（1）求證：；（2F是邊BC，，分別沿著ABC三點(diǎn)重合于點(diǎn)S，求三棱錐的外接球的表面積；（3），若，設(shè)直線與平面所成角為，求的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）（3）【解析】1）由題可知，根據(jù)線面垂直的判定即可證明平面，繼而得到；（2可放入以對(duì)角線就是其外接球直徑，求出體對(duì)角線長(zhǎng)即可得到外接圓面積；（3）利用等體積法可得點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)線面角的定義可得第20頁(yè)/共22頁(yè)【小問(wèn)1詳解】在正方形ABCD中,,