第03講二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)本講義亮度：1構(gòu)建知識體系明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，深入淺出，力求打扎實基礎(chǔ)；2例題經(jīng)典力求熟練掌握各?？碱}型，提高分析能力；【題型一】二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【題型二】二次函數(shù)圖像與式子符號、數(shù)值的判定【題型三】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【題型四】利用二次函數(shù)對稱性求最短路徑【題型五】與二次函數(shù)有關(guān)的幾何問題3課后分層練習(xí)進一步鞏固所學(xué)內(nèi)容.1.掌握二次函數(shù)的一般形式及其圖象與性質(zhì)；2.掌握二次函數(shù)的頂點式及其圖象與性質(zhì)；3.掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.1二次函數(shù)的概念一般地，自變量x和因變量y之間滿足y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、2二次函數(shù)的解析式(1)一般式：y=ax(2)頂點式：y=ax-h2+k(3)交點式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中3二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)(1)二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax圖像開口方向開口向上開口向下對稱軸x=-頂點坐標(biāo)(-增減性當(dāng)x>-b2a時，y隨當(dāng)x<-b2a時，y隨x當(dāng)x>-b2a時，y隨當(dāng)x<-b2a時，y隨x最值當(dāng)x=-b2a時，y當(dāng)x=-b2a時，y(2)二次函數(shù)頂點式y(tǒng)=ax-h①當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，拋物線開口向下；②對稱軸x=h；③頂點坐標(biāo)(h,k).4二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)是與一元二次方程5二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)b2-4ac>0時，拋物線與x軸有當(dāng)b2-4ac=0時，拋物線與x軸有當(dāng)b2-4ac<0時，拋物線與x【題型一】二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【典題1】（2025·河北邯鄲·一模）如圖，拋物線l1:y1=a(x+1)2①無論x取何值，y2②l2可由l1向右平移3個單位，再向下平移③當(dāng)-3<x<1時，隨著x的增大，y1下列說法正確的是（

）A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③不正確 D．①②③都正確【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)頂點式的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)的平移等．根據(jù)題意逐一對序號進行判斷分析即可得到本題答案．【詳解】解：∵(x-2)∴-(x-2)∴y∴無論x取何值，y2總是負(fù)數(shù)，故①∵拋物線l1:y1=a∴當(dāng)x=1時，y=-2，即-2=a(1+1)2+2∴y∴l(xiāng)2可由l1向右平移3個單位，再向下平移3∵y∴隨著x的增大，y1-y故選：C．變式練習(xí)1（2025·黑龍江哈爾濱·二模）關(guān)于拋物線y=x-12+1A．拋物線開口向下B．對稱軸是x=-1C．頂點坐標(biāo)是(1,1)D．拋物線y=x2向左平移1個單位，再向上平移1【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)，以及二次函數(shù)的增減性．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．【詳解】A、拋物線y=x-12+1B、拋物線y=x-12+1C、拋物線y=x-12+1D、拋物線y=x2向左平移1個單位，再向上平移1個單位可得拋物線故選：C．2（2425八年級下·北京·期中）已知a<-1，點Aa-1,y1、Ba,y2、A．y1<yC．y3<y【答案】C【分析】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值大小，根據(jù)a的范圍確定a-1,1-a的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，進行判斷即可．【詳解】解：∵y=x-1∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=1，∴當(dāng)x<1時，y隨x的增大而減小，∵a<-1，∴a-1<-2<a，1-a>2，∴C1-a,y3關(guān)于x=1∵a-1<a<a+1<1，∴y3故選C3（2025·山東臨沂·一模）已知二次函數(shù)y=x2-2x-2≤x≤t-1，當(dāng)x=-2時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值，則A．2≤t≤5 B．0<t≤5 C．0<t≤2 D．t≥2【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性和增減性建立關(guān)于t的不等式組即可解決問題．【詳解】解：∵y=x∴對稱軸為直線x=1，對稱軸上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，∵-2≤x≤t-1，當(dāng)x=-2時，函數(shù)取得最大值，當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值，∴t-1≥1t-1-1≤1-∴2≤t≤5，故選：A．4（2025年河北省張家口市中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，直線l1從左至右交拋物線G，L于點M，N，P，Q，且兩條拋物線的頂點A，B都在直線l2上，已知MN=3，NP=1，PQ=5，則AB=（A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意得出MP=4，NQ=6，MQ=9，再結(jié)合拋物線的對稱性得到AB=MQ-1【詳解】解：由圖可知MP=MN+NP=3+1=4，NQ=PQ+NP=5+1=6，MQ=MN+NP+PQ=3+1+5=9，根據(jù)拋物線的對稱性可知AB=MQ-1故選：B．5（2025·安徽六安·三模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，且a<0）的圖象過點-3,m，-2,c，-1,nA．m-n>0 B．若c-m>2，則-1<a<0C．若c-n>-1，則m-n>-2 D．若c-n<-1，則m-n<-4【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及通過不等式的性質(zhì)確定式子的范圍，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．求出二次函數(shù)圖象與y軸的交點為0,c，可得拋物線的對稱軸為直線為x=-2+02=-1，從而得到b=2a【詳解】解：當(dāng)x=0時，y=c，∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點為0,c，∵圖象過點-2,c，∴拋物線的對稱軸為直線為x=-2+0∴-b∴b=2a，把點-3,m，-1,n，代入得：m=9a-3b+c，n=a-b+c，m-n=9a-3b+c∵a<0，∴m-n=4a<0，故A選項錯誤，不符合題意；若c-m>2，∴c-m=c-9a+3×2a-c=-3a>2，∴a<-23，故若c-n>-1，則c-a-b+c∴-1<a<0，∴-4<m-n=4a<0，故C錯誤，不符合題意；若c-n<-1，則a<-1，∴m-n=4a<-4，故D正確，符合題意；故選：D．【題型二】二次函數(shù)圖像與式子符號、數(shù)值的判定【典題1】（2025·四川綿陽·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分如圖所示，其對稱軸是直線x=-1，且該圖象過點A-3,0．有下列說法：①abc<0；②2a-b+c<0；③4a+2b+c<0；④若A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的各項系數(shù)與對稱軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線開口方向得到a>0，根據(jù)拋物線的對稱軸得b=2a>0，則2a-b=0，根據(jù)拋物線與y軸的交點在x軸下方得到c<0，得到abc<0，2a-b+c<0，于是可對①②進行判斷；由于x=2時，y>0，則得到4a+2b+c>0，則可對③進行判斷；通過點2,y2離對稱軸要比點-3,y【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a>0，∵拋物線對稱軸為直線x=-b∴b=2a>0，則2a-b=0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c<0，∴abc<0，2a-b+c<0，所以①②正確；∵對稱軸是直線x=-1，且該圖象過點A-3,0∴拋物線過點1,0∴x=2時，y>0，∴4a+2b+c>0，所以③錯誤；∵點2,y2離對稱軸要比點∴y1<y綜上可知，①②④正確，故選：B．變式練習(xí)1（2025·湖北·三模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸的一個交點為-1,0，對稱軸為直線A．a(chǎn)bc>0 B．c+5a=0 C．5a+b>0 D．a(chǎn)+b+c>0【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由函數(shù)圖象可得a>0，c<0，得出b<0，即可判斷A；根據(jù)對稱軸得出b=-4a，再結(jié)合當(dāng)x=-1時，a-b+c=0，即可判斷B、C；當(dāng)x=1時，a+b+c<0，即可判斷D．【詳解】解：由圖象可知，a>0，c<0，∵對稱軸為直線x=2>0，∴b<0，∴abc>0，故選項A不符合題意；當(dāng)x=-1時，a-b+c=0，∵x=-b∴b=-4a，∴a--4a+c=0，即c+5a=0，故選項∵b=-4a，∴5a+b=a>0，故選項C不符合題意；當(dāng)x=1時，a+b+c<0，故選項D符合題意；故選：D．2（2025·湖北十堰·三模）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為直線x=-2，與x軸的兩個交點為x1,0，A．4a-b=0 B．x1+x2=-2 C【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)對稱軸為x=-2，得出4a-b=0，即可判斷A，根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點為x1,0，x2,0，得出x1+x2=-4，即可判斷B，根據(jù)x2=-4-x1得出-1<【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c∴b=4a，即4a-b=0，故A正確，不符合題意，∵拋物線與x軸的兩個交點為x1,0，∴x1+x22∴x∵-4<∴3<-則-1<-4-x1∴c<0，故C正確，不符合題意，∵拋物線開口向下，x=-1時，y=a-b+c>0又∵b=4a∴a-4a+c>0即-3a+c>0，故D正確，不符合題意，故選：B．3（2425九年級上·四川南充·階段練習(xí)）如圖是拋物線y=ax2+bx+c的一部分，拋物線的對稱軸為直線x=1①abc<0；

②2a+b=0；

③4a+2b+c>0；④3b>2c

⑤mam+b≤a+b其中正確的結(jié)論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖像可知：a<0，c>0，由對稱軸直線可知-b2a=1，可得出b=-2a>0，進而可判斷①②，由二次函數(shù)的對稱性可判斷③，當(dāng)x=-1時，y=a-b+c<0，結(jié)合b=-2a可判斷④【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像可知：a<0，c>0，∵-b∴b=-2a>0，∴abc<0，故①正確，2a+b=2a-2a=0，故②正確，∵拋物線的對稱軸為直線x=1，∴當(dāng)x=0和x=2時，y值相等，且當(dāng)x=0時，y=c>0，即y=ax2+bx+c=4a+2b+c>0當(dāng)x=-1時，y=a-b+c<0，∵b=-2a∴3a+c<0，∴3×即-3b+2c<0∴3b>2c，故④正確，∵拋物線開口向下，對稱軸為x=1，∴當(dāng)x=1時，y有最大值ymax當(dāng)x=m時，y=am∴am∴mam+b≤a+b，故綜上：①②③④⑤正確，故選∶D【題型三】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【典題1】（2425九年級下·陜西西安·期中）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與xx-4-3-115y0595-27A．a(chǎn)bc>0B．關(guān)于x的一元二次方程axC．當(dāng)-4<x<1時，y的取值范圍為0<y<5D．若點(-2,y1【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識點，熟練掌握其性質(zhì)并能靈活運用是解決此題的關(guān)鍵．利用待定系數(shù)法求出a,b,c的值即可判斷A，利用根的判別式即可判斷B，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，將x值代入解析式求出y值，比較大小即可判斷D．【詳解】解：把(-4,0),(-1,9),(1,5)代入y=ax得16a-4b+c=0a-b+c=9a+b+c=5，解得：∴abc>0，故A正確，不符合題意；當(dāng)y=9時，-x∴x∵Δ∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=9∵y=-x∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,9)，當(dāng)x=-4時，y=-1×(-4)當(dāng)x=1時，y=-1×1∵a<0，∴當(dāng)x<-1時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>-1時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=-1時，函數(shù)取最大值9，如圖所示，∴當(dāng)-4<x<1時，y的取值范圍為0<y≤9，故C錯誤，符合題意；當(dāng)x=-2時，y1當(dāng)x=0時，y2當(dāng)x=3時，y3=-1×∴y1=y故選：C．變式練習(xí)1（2025·陜西咸陽·二模）如圖，二次函數(shù)y=ax2-2x+c的圖象與x軸相交于點A-1,0，B，與y軸相交于點C0,-3A．該二次函數(shù)沒有最大值 B．當(dāng)x<1時，y隨x的增大而減小C．拋物線的頂點坐標(biāo)為12,-4 D．A，B【答案】C【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點，先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2-2x+c的圖象與x軸相交于點A-1,0，B，與∴a+2+c=0c=-3解得a=1c=-3∴y=x∵y=x∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，頂點為1,-4，故C不正確；∴該二次函數(shù)沒有最大值，故A正確，∴當(dāng)x<1時，y隨x的增大而減小，故B正確；∵y=x∴拋物線與x軸的交點為A-1,0，B∴AB=4，即A，B兩點之間的距離是4，故D正確．故選：C．2（2324九年級上·山東日照·期中）二次函數(shù)y=ax2+bx+c，自變量xx…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…下列說法正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．當(dāng)x>-3時，y隨x的增大而增大C．當(dāng)-4<x<-1時，y<0 D．二次函數(shù)的最小值是-2【答案】C【分析】本題考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，選出3點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項分析四個選項即可得出結(jié)論．【詳解】解：將點-4,0，-1,0，0,4代入到二次函數(shù)y=ax16a-4b+c=0a-b+c=0解得：a=1b=5∴二次函數(shù)的解析式為y=xA、a=1>0，拋物線開口向上，A不正確；B、y=x∴拋物線的對稱軸為直線x=-5∴當(dāng)x>-52時，y隨x的增大而增大，C、∵拋物線線與x軸交于點-4,0，-1,0，且拋物線開口向上，∴當(dāng)-4<x<-1時，y<0，故C正確；D、y=x2+5x+4=x+5故選：C．【題型四】利用二次函數(shù)對稱性求最短路徑【典題1】（2021九年級上·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在拋物線y=-x2上有A，B兩點，其橫坐標(biāo)分別為1，2；在y軸上有一動點C，當(dāng)BC+AC最小時，則點C的坐標(biāo)是（A．（0.0） B．（0，-1） C．（0，2） D．（0，-2）【答案】D【詳解】解：如圖，點A關(guān)于y軸的對稱點A′的橫坐標(biāo)為﹣1，連接A′B與y軸相交于點C，點C即為使AC+BC最短的點，當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣1，當(dāng)x＝2時，y＝﹣4，所以，點A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），設(shè)直線A′B為y=kx+b∴-k+b=-1∴k=-1b=-2∴y=-x-2當(dāng)x=0時，y=2即C（0，2）故選D變式練習(xí)1（2223九年級上·廣西百色·期中）如圖，拋物線y=x2-2x-3與y軸交于點A，與x軸的負(fù)半軸交于點B，點M是對稱軸上的一個動點，連接AMA．2 B．10 C．23 D．【答案】D【分析】設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C，連接MC，AC，根據(jù)解析式求得A,C的坐標(biāo)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出MB=MC，繼而得出AM+BM取得最小值，最小值為AC的長，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C，連接MC，AC，∵y=x2即x2解得：x1∴C3,0令x=0，解得y=-3，∴A0,-3∵點M是對稱軸上的一個動點，∴MB=MC，∵AM+BM=AM+CM≥AC∴當(dāng)A,M,C三點共線時，AM+BM取得最小值，最小值為AC的長，即32故選：D．【點睛】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)對稱性求線段和的最值，掌握二次函數(shù)對稱性是解題的關(guān)鍵．2（2324九年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于A-1,0，B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2，P是拋物線對稱軸上一動點，則A．10+26 B．5+52 C．52【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，兩點之間線段最短，勾股定理，先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)軸對稱及兩點之間線段最短確定點P的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：把點A-1,0代入y=ax2∵拋物線稱軸為直線x=2，∴-b∴b=-4a，把b=-4a代入a-b-5=0得，a--4a∴a=1，∴b=-4，∴拋物線解析式為y=x當(dāng)y=0時，x2解得x1=-1，∴B5,0當(dāng)x=0時，y=-5，∴C0,-5∴AC=12+如圖，連接BC，與對稱軸x=2相交于點P，∵點A和點B關(guān)于對稱軸x=2對稱，∴PA=PB，∴PA+PC=PB+PC=BC，根據(jù)兩點之間線段最短，此時△PAC周長的最小，則點P即為所求，∴△PAC周長最小值=AC+BC=26故選：C．【題型四】與二次函數(shù)有關(guān)的幾何問題【典題1】（2025·山東臨沂·二模）如圖，等腰直角三角形ABC的頂點A，B在拋物線y=-x2+cc>0上，點C在y軸上，∠ACB=90°．若A，B兩點的橫坐標(biāo)分別為m，n（A．m+n=1 B．mn=1 C．m-n=1 D．m【答案】C【分析】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，如圖，分別過點A和點B作y軸的垂線，垂足分別為M和N．證明△BCN≌【詳解】解：如圖，分別過點A和點B作y軸的垂線，垂足分別為M和N．將A，B兩點的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得點A的坐標(biāo)為m,-m2+c，點B∴AM=m，MO=-m2+c，BN=n∵△ABC是等腰直角三角形，∴CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BCN+∠ACM=∠ACM+∠CAM=90°，

∴∠BCN=∠CAM，∴△BCN≌∴AM=CN=m，BN=CM=n，∴MN=CN+CM=m+n．又∵MN=NO-MO=m∴m2-n∵m>n>0，∴m+n≠0，∴m-n=1．故選C．【典題2】（2425九年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(0,3)．A點在原點的左側(cè)，B點的坐標(biāo)為(3,0)．點P(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大，并求出此時點P的坐標(biāo)和四邊形面積的最大值．【答案】(1)y=-(2)1,2(3)P(32【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用菱形的性質(zhì)求出P點的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)題意求出lBC:y=-x+3以及二次函數(shù)的對稱軸，由題意可知，點A和點B關(guān)于x=1對稱，當(dāng)點Q(1,y)在lBC（3）根據(jù)面積的和差，得到二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，求出點P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將B、C兩點坐標(biāo)代入得-9+3b+c=0c=3解得b=2c=3∴y=-x（2）解：設(shè)lBC將C(0,3)，(3,0)代入，b=33k+b=0解得k=-1故lBC∵y=-x對稱軸x=-b設(shè)點Q(1,y)，由題意可知，點A和點B關(guān)于x=1對稱，當(dāng)點Q(1,y)在lBC:y=-x+3上時，此時點Q(1,2)，（3）解：過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，則0<x<3，P(x,-x由（2）得lBC則Q點的坐標(biāo)為(x,-x+3)，PQ=-xS==-3當(dāng)x=32時，四邊形此時P點的坐標(biāo)為(32,154變式練習(xí)1（2025·廣東東莞·二模）如圖，點A是拋物線y=ax-32+k與y軸的交點，AB∥x軸交拋物線另一點于B，點C為該拋物線的頂點．若△ABCA．33 B．2 C．12 D【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=3，CD=33，C3,k，A0,9a+k【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D，∵拋物線y=ax-32+k的對稱軸為x=3，△ABC∴AD=3，CD=33，C∵當(dāng)x=0時，y=9a+k，∴A0,9a+k∴9a+k-k=33∴a=3故選：A．2（2025·廣東揭陽·一模）如圖，兩拋物線的函數(shù)解析式分別為y=x2和y=-xA．32 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，圖形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)得出陰影部分的面積等于三角形OAB的面積，進而根據(jù)求得A,B的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，解得：x=0y=0或x=1則兩拋物線的交點分別為原點和1,1設(shè)y=-x2+2x的頂點坐標(biāo)為A，與x又y=-x2+2x=-x-12當(dāng)y=0時，-x2+2x=0∴B2,0∴OA=AB=2，∴O∴三角形OAB是等腰直角三角形根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，陰影部分的面積等于等腰三角形OAB的面積，∴陰影部分面積為12故選：C．3（2025·安徽宣城·二模）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象的頂點與?ABOC的點C重合，且經(jīng)過點A，與OB交于點D，點B與點C的橫坐標(biāo)相同．若S?ABCD=8A．(-3+5,6-25) B．(-1,2) C．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，先求出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，得到b24=c，再根據(jù)平行四邊形的面積求出A-b,16b，代入二次函數(shù)解析式即可求出b,c，再求出直線【詳解】解：∵y=x∴二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象的頂點為-∵點C在x軸上，∴-b2-4c∵點B與點C的橫坐標(biāo)相同，四邊形ABCD是平行四邊形，且S?ABCD∴OC=AB=b2，∴A-b,∵二次函數(shù)y=x2+bx+c∴16b=b∴16b=b∴b=4，則c=4，∴A-4,4，二次函數(shù)的解析式為y=∴B-2,4設(shè)直線OB的解析式為y=kx，則4=-2k，解得：k=-2，∴直線OB的解析式為y=-2x，聯(lián)立y=-2xy=x2解得：x=-3+5或x=-3-∴xD=-3+5∴D-3+故選：A．4（2425九年級下·四川廣安·開學(xué)考試）如圖，已知拋物線y=ax2+bx-2(a≠0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，直線BD交拋物線于點D，并且D(2,3)(1)求拋物線的解析式；(2)已知點M為拋物線上一動點，且在第三象限，順次連接點B、M、C、A，求四邊形BMCA面積的最大值；【答案】(1)y=(2)四邊形BMCA面積最大值等于9【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計算等重要知識點，涉及考點眾多，有一定的難度．第（2）問面積最大值的問題，利用二次函數(shù)的最值解決．（1）利用已知條件求出點B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出四邊形BMCA面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．【詳解】（1）解：如圖，過點D作DE⊥x軸于點E，則DE=3，OE=2．∵tan∴BE=6，∴OB=BE-OE=4，∴B(-4,0)．∵點B(-4,0)、D(2,3)在拋物線y=ax∴16a-4b-2=04a+2b-2=3，解得a=∴拋物線的解析式為：y=1（2）解：令x=0，得y=-2，∴C(0,-2)，令y=0，得x=-4或1，∴A(1,0)．設(shè)點M坐標(biāo)為(m，n)(m<0，n<0)，如圖所示，過點M作MF⊥x軸于點F，則MF=-n，OF=-m，BF=4+m．∴===-2n-m+1∵點M(m,n)在拋物線y=1∴n=1S四邊形∴當(dāng)m=-2時，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為9．【A組基礎(chǔ)題】1（2425九年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）拋物線y=xA．1,-6 B．-1,-6 C．-1,-7 D．-1,-5【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，把y=x【詳解】解：∵y=x∴拋物線y=x2+2x-6故選：C．2（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=2x-32+1A．圖象開口向下B．圖象的對稱軸為直線x=-3C．圖象向左平移1個單位得到y(tǒng)=2D．當(dāng)x<3時，y隨x的增大而增大【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y=a(x-h)2+k中，對稱軸為x=h【詳解】解：∵y=2(x-3)2+1中的a=2>0∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x=3，當(dāng)x<3時，y隨x的增大而減小，∴選項A、B、D不符合題意；∵二次函數(shù)y=2(x-3)2+1圖象向左平移1個單位得到y(tǒng)=2∴選項C符合題意．故選：C．3（2425九年級上·山東淄博·期末）已知A-3,y1，B1,y2，C2,y3在函數(shù)y=-A．y1>yC．y3>y【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)即可判定，解題的關(guān)鍵掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．【詳解】解：由二次函數(shù)y=-x+22+m則圖象上的點離對稱軸越遠則y的值越小，∵-3--2=1，1--2∴1<3<4，∴y1故選：B．4（2025·湖北隨州·二模）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x=-1，且過點0,1，有以下四個結(jié)論：①abc>0，②a-b+c<0，③3a+c<0，④若頂點坐標(biāo)為-1,2，當(dāng)m≤x≤1時，y有最大值為2、最小值為-2，此時m的取值范圍是A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．①：根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸-b2a=-1，c=1，即可判斷出abc>0；②：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=-1時，函數(shù)值大于0，代入即可判斷；③：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1時，函數(shù)值小于0【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x=-1∴-b2a=-1∴ab>0，∴abc>0，故①正確；從圖中可以看出，當(dāng)x=-1時，函數(shù)值大于0，因此將x=-1代入得，-12?a+-1?b+c>0，即∵-b∴b=2a，從圖中可以看出，當(dāng)x=1時，函數(shù)值小于0，∴a+b+c<0，∴3a+c<0，故③正確；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax+12+2，將0,1解得a=-1，∴二次函數(shù)的解析式為y=-x+1∴當(dāng)x=1或x=-3時，y=-2；∴根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，得到-3≤m≤-1，故④正確；綜上所述，①③④均正確，故有3個正確結(jié)論，故選B．5（2025·河北滄州·一模）已知點P為拋物線C:y=12x2-32x-2上一點，在透明膠片上描畫出包含點P的拋物線C的一段，向上平移該膠片得到點P'和拋物線C'，如圖．已知拋物線C'A．-12 B．158 C．23【答案】D【分析】本題考查了拋物線的平移，正確理解題意、明確求解的方法是解題關(guān)鍵．先求出平移前的頂點，結(jié)合平移后的頂點，求出這兩點間的距離,再根據(jù)DP=DP【詳解】解：∵拋物線C:y=1∴平移前的頂點縱坐標(biāo)為-25∵平移后的拋物線的頂點縱坐標(biāo)為158∴平移的距離為158∵DP=DP∴頂點D在線段PP∴平移得到的點P'的縱坐標(biāo)為15故答案為：D．6（2025·西藏日喀則·一模）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸相交于點A(-3,0)，B(1,0)①abc>0②3b+2c>0③對任意實數(shù)m,am④若點-4,y1，12,yA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、拋物線與x軸的交點，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．依據(jù)題意，根據(jù)拋物線與x軸相交于點A(-3,0)，B(1,0)，求出其對稱軸，再由拋物線的開口方向，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷得解．【詳解】解：∵拋物線與x軸相交于點A(-3,0)，B(1,0)，∴對稱軸是直線x=-3+1∴-b∴b=2a．又圖象可得，a>0，c<0，∴b=2a>0．∴abc<0，故①錯誤．∵B(1,0)在拋物線上，∴a+b+c=0．又b=2a，∴32∴3b+2c=0，故②錯誤．∵對稱軸是直線x=-1，且拋物線開口向上，∴當(dāng)x=-1時，y取最小值為a-b+c．∴對應(yīng)任意的m，當(dāng)x=m時，函數(shù)值y=am∴am2+bm≥a-b∵拋物線開口向上，∴拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值越?。帧遼-4-(-1)|=3>|1∴y1>綜上，正確的有1個．故選：A．7（2425九年級上·廣東廣州·期中）拋物線y=-x2+bx+c(1)求這條拋物線的解析式；(2)如圖，點P是拋物線對稱軸上一點，連接AP，BP，當(dāng)AP+BP最小時，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=-(2)1,2【分析】（1）把A點和B點坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c后解方程組求出b（2）拋物線與x軸的另一個交點為C,利用配方法求出拋物線的對稱軸為直線x=1，進而求出點C的坐標(biāo)，連接BC交直線x=1于P點，利用兩點之間線段最短可判斷此時PA+PB最小，接著求出直線BC的解析式，進而求解．【詳解】（1）解：把A-1,0,B0,3-1-b+c=0c=3解得b=2∴拋物線解析式為y=-x（2）解：設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C，∵y=-x∴拋物線的對稱軸為直線x=1，當(dāng)y=0時，-x解得x1=-1∴C3,0連接BC交直線x=1于P點，如下圖∵PA=PC，∴PA+PB=PB+PC=BC，∴此時PA+PB最小，設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，把C3,03m+n=0n=3解得m=-1n=3∴直線BC的解析式為y=-x+3，當(dāng)x=1時，y=-x+3=2，∴P點坐標(biāo)為1,2．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)和最短路線問題．在利用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．8（2425九年級下·廣東中山·開學(xué)考試）如圖，已知直線y=-12x+2與x軸、y軸交于B，A兩點，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A，B，點P為線段OB上一個動點，過點P作垂直于x軸的直線交拋物線于點N，交直線AB于點(1)求拋物線解析式；(2)當(dāng)MN=2MP，求t的值；(3)若點N到直線AB的距離為d，求d的最大值；【答案】(1)y=-(2)t=1(3)8【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等等，通過把求線段的長轉(zhuǎn)換成點P橫坐標(biāo)的二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、B的坐標(biāo)，再把A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出拋物線解析式即可；（2）由Pt,0，得Mt，-12t+2，Nt，（3）如圖所示，連接NA、NB，設(shè)點N到AB的距離為d，設(shè)，同理得到MN=-t2+4t，利用勾股定理求出AB=25，根據(jù)S△ANB=-2(t-2)2【詳解】（1）解：直線y=-12x+2中，x=0時，y=2；y=0∴點A的坐標(biāo)為0,2，點B的坐標(biāo)為4,0．∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A∴c=2-16+4b+c=0解得：b=7∴拋物線的解析式為y=-x（2）解：∵設(shè)點Pt,0（0≤t≤4），則點Mt，∴MN=-t2+∵MN=2MP，∴-t解得：t=1或4（與點B重合，舍去），∴t=1；（3）解：點N到直線AB的距離為d，求d的最大值即為求△ANB面積的最大值，連接NA、∵點B4,0∴OB=4，由（2）得：MN=-t∴S△ANB∴△ANB面積最大為8，∵AB=O∴S△ANB解得d=8即d的最大值為85【B組提高題】1（2025·浙江·二模）已知二次函數(shù)y=x2-2x，當(dāng)-1≤x≤n時，函數(shù)的最大值與最小值的和為2，則nA．-1≤n≤1 B．-1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的增減性，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由y=x2-2x=【詳解】解：由y=x2-2x=又當(dāng)-1≤x≤n時，函數(shù)的最大值與最小值的和為2，當(dāng)n<1時，根據(jù)對稱軸左側(cè)，y隨故x=-1時，函數(shù)取得最大值，且為y=x當(dāng)x=n時，函數(shù)取得最小值，且為n2根據(jù)題意，得n2解得n=1，與n<故n<當(dāng)1≤n≤3時；根據(jù)對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=-1時，函數(shù)取得最大值，且為y=x當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值，且為-1，此時函數(shù)的最大值與最小值的和為2，∴當(dāng)1≤n≤3時，符合題意；當(dāng)n>3時；根據(jù)對稱軸右側(cè)，y隨當(dāng)x=n時，函數(shù)取得最大值，且為y=x當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值，且為-1，根據(jù)函數(shù)的最大值與最小值的和為2，得n-12解得