5向心加速度[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系式.3.能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問(wèn)題.一、向心加速度的方向1.定義：任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度都指向圓心，這個(gè)加速度叫做向心加速度.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度的作用只改變速度的方向，對(duì)速度的大小無(wú)影響.二、向心加速度的大小1.向心加速度公式(1)基本公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r.(2)拓展公式an＝eq\f(4π2,T2)·r＝ωv.2.向心加速度的公式既適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng).[即學(xué)即用]1.判斷下列說(shuō)法的正誤.(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度的方向始終不變.(×)(2)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng).(×)(3)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度的大小不變.(√)(4)根據(jù)a＝eq\f(v2,r)知加速度a與半徑r成反比.(×)(5)根據(jù)a＝ω2r知加速度a與半徑r成正比.(×)2.在長(zhǎng)0.2m的細(xì)繩的一端系一小球，繩的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6m/s的速度在桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球運(yùn)動(dòng)的角速度為________，向心加速度為________.答案3rad/s1.8m/s2解析角速度ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(0.6,0.2)rad/s＝3rad/s小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度an＝eq\f(v2,r)＝eq\f(0.62,0.2)m/s2＝1.8m/s2.一、向心加速度及其方向[導(dǎo)學(xué)探究]如圖1甲所示，表示地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(近似的)；如圖乙所示，表示光滑桌面上一個(gè)小球由于細(xì)線的牽引，繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動(dòng).圖1(1)在勻速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，地球、小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化嗎？若變化，變化的原因是什么？(2)地球受到的力沿什么方向？小球受到幾個(gè)力的作用，合力沿什么方向？(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種什么性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)呢？答案(1)地球和小球的速度方向不斷發(fā)生變化，所以運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化.運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的原因是因?yàn)槭艿搅Φ淖饔?(2)地球受到太陽(yáng)的引力作用，方向沿半徑指向圓心.小球受到重力、支持力、線的拉力作用，合力等于線的拉力，方向沿半徑指向圓心.(3)物體的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是時(shí)刻沿半徑指向圓心，即加速度方向是變化的.勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一種變加速曲線運(yùn)動(dòng).[知識(shí)深化]對(duì)向心加速度及方向的理解1.向心加速度的方向：總指向圓心，方向時(shí)刻改變.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度的作用只改變速度的方向，對(duì)速度的大小無(wú)影響.3.圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：不論向心加速度an的大小是否變化，其方向時(shí)刻改變，所以圓周運(yùn)動(dòng)的加速度時(shí)刻發(fā)生變化，圓周運(yùn)動(dòng)是變加速曲線運(yùn)動(dòng).例1下列關(guān)于向心加速度的說(shuō)法中正確的是()A.向心加速度表示做圓周運(yùn)動(dòng)的物體速率改變的快慢B.向心加速度描述線速度方向變化的快慢C.在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度是恒定的D.勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)答案B解析勻速圓周運(yùn)動(dòng)中速率不變，向心加速度只改變速度的方向，A錯(cuò)，B正確；向心加速度的大小不變，方向時(shí)刻變化，故C、D錯(cuò)誤.二、向心加速度的大小[導(dǎo)學(xué)探究](1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向不斷發(fā)生變化，如圖2所示，經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間，線速度由vA變?yōu)関B，圓周的半徑為r.圖2試根據(jù)加速度的定義式推導(dǎo)向心加速度大小的公式.(2)結(jié)合v＝ωr推導(dǎo)可得向心加速度與角速度關(guān)系的表達(dá)式為：an＝________.(3)有人說(shuō)：根據(jù)an＝eq\f(v2,r)可知，向心加速度與半徑成反比，根據(jù)an＝ω2r可知，向心加速度與半徑成正比，這是矛盾的.你認(rèn)為呢？(2)由v＝ωr，代入an＝eq\f(v\o\al(A,2),r)可得an＝ω2r.(3)不矛盾.說(shuō)向心加速度與半徑成反比是在線速度一定的情況下；說(shuō)向心加速度與半徑成正比是在角速度一定的情況下，所以二者并不矛盾.[知識(shí)深化]1.向心加速度的幾種表達(dá)式：an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝ωv.2.向心加速度與半徑的關(guān)系(如圖3所示)圖33.向心加速度公式也適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)(1)物體做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度不是指向圓心，但它可以分解為沿切線方向的分量和指向圓心方向的分量，其中指向圓心方向的分量就是向心加速度，此時(shí)向心加速度仍滿足：an＝eq\f(v2,r)＝ω2r.(2)無(wú)論是勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是變速圓周運(yùn)動(dòng)，向心加速度都指向圓心.例2如圖4所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，A、B為球體上兩點(diǎn)，下列幾種說(shuō)法中正確的是()圖4A.A、B兩點(diǎn)具有相同的角速度B.A、B兩點(diǎn)具有相同的線速度C.A、B兩點(diǎn)的向心加速度的方向都指向球心D.A、B兩點(diǎn)的向心加速度之比為eq\f(2,1)答案A解析A、B為球體上兩點(diǎn)，因此，A、B兩點(diǎn)的角速度與球體繞軸O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，A對(duì)；如圖所示，A以P為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，B以Q為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，因此，A、B兩點(diǎn)的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯(cuò)；設(shè)球的半徑為R，則A運(yùn)動(dòng)的半徑rA＝Rsin60°，B運(yùn)動(dòng)的半徑rB＝Rsin30°，eq\f(vA,vB)＝eq\f(ωrA,ωrB)＝eq\f(sin60°,sin30°)＝eq\r(3)，B錯(cuò)；eq\f(aA,aB)＝eq\f(ω2rA,ω2rB)＝eq\r(3)，D錯(cuò).故選A.例3如圖5所示，O1為皮帶傳動(dòng)的主動(dòng)輪的軸心，主動(dòng)輪半徑為r1，O2從動(dòng)輪的軸心，從動(dòng)輪半徑為r2，r3為固定在從動(dòng)輪上的小輪半徑.已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分別是三個(gè)輪邊緣上的點(diǎn)，則點(diǎn)A、B、C的向心加速度之比是(假設(shè)皮帶不打滑)()圖5A.1∶2∶3 B.2∶4∶3C.8∶4∶3 D.3∶6∶2答案C解析因?yàn)槠Р淮蚧珹點(diǎn)與B點(diǎn)的線速度大小相同，都等于皮帶運(yùn)動(dòng)的速率.根據(jù)向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.由于B、C是固定在同一個(gè)輪上的兩點(diǎn)，所以它們的角速度相同.根據(jù)向心加速度公式an＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故選C.討論圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與線速度、角速度、半徑的關(guān)系，可以分為兩類問(wèn)題：(1)皮帶傳動(dòng)問(wèn)題，兩輪邊緣線速度大小相等，常選擇公式an＝eq\f(v2,r).(2)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，各點(diǎn)角速度相等，常選擇公式an＝ω2r.針對(duì)訓(xùn)練如圖6所示，壓路機(jī)大輪的半徑R是小輪半徑r的2倍.壓路機(jī)勻速行駛時(shí)，大輪邊緣上A點(diǎn)的向心加速度是12cm/s2，那么小輪邊緣上B點(diǎn)的向心加速度是多少？大輪上距軸心距離為eq\f(R,3)的C點(diǎn)的向心加速度大小是多少？圖6答案aB＝0.24m/s2aC＝0.04m/s2解析大輪邊緣上A點(diǎn)的線速度大小與小輪邊緣上B點(diǎn)的線速度大小相等.由aA＝eq\f(v2,R)和aB＝eq\f(v2,r)得aB＝eq\f(R,r)aA＝24cm/s2＝0.24m/s2；C點(diǎn)和A點(diǎn)同在大輪上，角速度相同，由aA＝ω2R和aC＝ω2·eq\f(R,3)得aC＝eq\f(aA,3)＝4cm/s2＝0.04m/s2.1.(向心加速度的概念)(多選)關(guān)于向心加速度，以下說(shuō)法中正確的是()A.向心加速度的方向始終與速度方向垂直B.向心加速度的方向保持不變C.物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度方向始終指向圓心D.物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度方向始終指向圓心答案AD解析向心加速度的方向沿半徑指向圓心，速度方向沿圓周的切線方向，所以向心加速度的方向始終與速度方向垂直，且方向在不斷改變.物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心；非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度不是始終指向圓心，故選A、D.2.(向心加速度公式)關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是()A.由an＝eq\f(v2,r)可知，an與r成反比B.由an＝ω2r可知，an與r成正比C.由v＝ωr可知，ω與r成反比D.由ω＝2πf可知，ω與f成正比答案D解析質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與質(zhì)點(diǎn)的線速度、角速度、半徑有關(guān).但向心加速度與半徑的關(guān)系要在一定前提條件下才能給出.當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成反比；當(dāng)角速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成正比，對(duì)線速度和角速度與半徑的關(guān)系也可以同樣進(jìn)行討論，正確答案為D.3.(傳動(dòng)裝置中的向心加速度)如圖7所示，兩輪壓緊，通過(guò)摩擦傳動(dòng)(不打滑)，已知大輪半徑是小輪半徑的2倍，E為大輪半徑的中點(diǎn)，C、D分別是大輪和小輪邊緣上的一點(diǎn)，則E、C、D三點(diǎn)向心加速度大小關(guān)系正確的是()圖7A.anC＝anD＝2anE B.anC＝2anD＝2anEC.anC＝eq\f(anD,2)＝2anE D.anC＝eq\f(anD,2)＝anE答案C解析同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，C、E兩點(diǎn)的角速度相等，由an＝ω2r，有eq\f(anC,anE)＝2，即anC＝2anE；兩輪邊緣點(diǎn)的線速度大小相等，由an＝eq\f(v2,r)，有eq\f(anC,anD)＝eq\f(1,2)，即anC＝eq\f(1,2)anD，故選C.4.(向心加速度的計(jì)算)滑板運(yùn)動(dòng)是深受青少年喜愛的運(yùn)動(dòng)，如圖8所示，某滑板運(yùn)動(dòng)員恰好從B點(diǎn)進(jìn)入半徑為2.0m的eq\f(1,4)圓弧軌道，該圓弧軌道在C點(diǎn)與水平光滑軌道相接，運(yùn)動(dòng)員滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為10m/s.求他到達(dá)C點(diǎn)前、后瞬間的加速度(不計(jì)各種阻力).圖8答案50m/s2，方向豎直向上0解析運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)前的瞬間做圓周運(yùn)動(dòng)，加速度大小a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(102,2)m/s2＝50m/s2，方向在該位置指向圓心，即豎直向上.運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)后的瞬間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為0.課時(shí)作業(yè)一、選擇題(1～5為單項(xiàng)選擇題，6～10為多項(xiàng)選擇題)1.關(guān)于向心加速度，下列說(shuō)法正確的是()A.由an＝eq\f(v2,r)知，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度恒定B.勻速圓周運(yùn)動(dòng)不屬于勻速運(yùn)動(dòng)C.向心加速度越大，物體速率變化越快D.做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度時(shí)刻指向圓心答案B解析向心加速度是矢量，且方向始終指向圓心，因此向心加速度不是恒定的，所以A錯(cuò)；勻速運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)稱，勻速圓周運(yùn)動(dòng)其實(shí)是勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，存在向心加速度，B正確；向心加速度不改變速率，C錯(cuò)；只有勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度才時(shí)刻指向圓心，D錯(cuò).2.如圖1所示是A、B兩物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度隨半徑變化的圖象，其中A為雙曲線的一個(gè)分支，由圖可知()圖1A.A物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變B.A物體運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變C.B物體運(yùn)動(dòng)的角速度大小是變化的D.B物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變答案A解析根據(jù)an＝eq\f(v2,r)知，當(dāng)線速度v大小為定值時(shí)，an與r成反比，其圖象為雙曲線的一支；根據(jù)an＝rω2知，當(dāng)角速度ω大小為定值時(shí)，an與r成正比，其圖象為過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線，所以A正確.3.甲、乙兩個(gè)物體都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為9∶4，轉(zhuǎn)動(dòng)的周期之比為3∶4，則它們的向心加速度之比為()A.1∶4 B.4∶1C.4∶9 D.9∶4答案B解析ω＝eq\f(2π,T)，根據(jù)題意eq\f(r1,r2)＝eq\f(9,4)，eq\f(T1,T2)＝eq\f(3,4)，由an＝eq\f(4π2,T2)r得：eq\f(a1,a2)＝eq\f(r1,r2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2＝eq\f(9,4)×eq\f(42,32)＝4，B選項(xiàng)正確.4.如圖2所示，A、B是兩個(gè)摩擦傳動(dòng)輪(不打滑)，兩輪半徑大小關(guān)系為RA＝2RB，則兩輪邊緣上的()圖2A.角速度之比ωA∶ωB＝2∶1B.周期之比TA∶TB＝1∶2C.轉(zhuǎn)速之比nA∶nB＝1∶2D.向心加速度之比aA∶aB＝2∶1答案C解析兩輪邊緣的線速度相等，由ω＝eq\f(v,r)知，ωA∶ωB＝RB∶RA＝1∶2，A錯(cuò).由T＝eq\f(2π,ω)知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶1，B錯(cuò).由ω＝2πn知，nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，C對(duì).由an＝eq\f(v2,r)知，aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，D錯(cuò).5.如圖3所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點(diǎn)的過(guò)程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么木塊()圖3A.加速度為零B.加速度恒定C.加速度大小不變，方向時(shí)刻改變，但不一定指向圓心D.加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心答案D解析由題意知，木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木塊的加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心，D正確，A、B、C錯(cuò)誤.6.一小球被細(xì)繩拴著，在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心加速度為a，那么()A.角速度ω＝eq\r(\f(a,R))B.時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的路程s＝teq\r(aR)C.周期T＝eq\r(\f(R,a))D.時(shí)間t內(nèi)可能發(fā)生的最大位移為2R答案ABD解析由a＝ω2R，得ω＝eq\r(\f(a,R))，A正確；由a＝eq\f(v2,R)，得線速度v＝eq\r(aR)，所以時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的路程s＝teq\r(aR)，B正確；由a＝ω2R＝eq\f(4π2,T2)R，得T＝2πeq\r(\f(R,a))，C錯(cuò)誤；對(duì)于做圓周運(yùn)動(dòng)的物體而言，位移大小即圓周上兩點(diǎn)間的距離，最大值為2R，D正確.7.如圖4所示，一個(gè)球繞中心軸線OO′以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，θ＝30°，則()圖4A.a、b兩點(diǎn)的線速度相同B.a、b兩點(diǎn)的角速度相同C.a、b兩點(diǎn)的線速度之比va∶vb＝2∶eq\r(3)D.a、b兩點(diǎn)的向心加速度之比aa∶ab＝eq\r(3)∶2答案BD解析球繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，球上各點(diǎn)應(yīng)具有相同的周期和角速度，即ωa＝ωb，B對(duì).因?yàn)閍、b兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，rb＞ra，根據(jù)v＝ωr知vb＞va，A錯(cuò)，若θ＝30°，設(shè)球半徑為R，則rb＝R，ra＝Rcos30°＝eq\f(\r(3),2)R，故eq\f(va,vb)＝eq\f(ωara,ωbrb)＝eq\f(\r(3),2)，C錯(cuò).又根據(jù)an＝ω2r知eq\f(aa,ab)＝eq\f(ω\o\al(a,2)ra,ω\o\al(b,2)rb)＝eq\f(\r(3),2)，D對(duì).8.如圖5所示，皮帶傳動(dòng)裝置中，右邊兩輪連在一起共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圖中三輪半徑分別為r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三點(diǎn)為三個(gè)輪邊緣上的點(diǎn)，皮帶不打滑.向心加速度分別為a1、a2、a3，則下列比例關(guān)系正確的是()圖5A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(3,2) B.eq\f(a1,a2)＝eq\f(2,3)C.eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,1) D.eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)答案BD解析由于皮帶不打滑，v1＝v2，an＝eq\f(v2,r)，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(2,3)，A錯(cuò)，B對(duì).由于右邊兩輪共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，ω2＝ω3，an＝rω2，eq\f(a2,a3)＝eq\f(r2ω2,r3ω2)＝eq\f(1,2)，C錯(cuò)，D對(duì).9.如圖6所示，一小物塊以大小為an＝4m/s2的向心加速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑R＝1m，則下列說(shuō)法正確的是()圖6A.小物塊運(yùn)動(dòng)的角速度為2rad/sB.小物塊做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為πsC.小物塊在t＝eq\f(π,4)s內(nèi)通過(guò)的位移大小為eq\f(π,20)mD.小物塊在πs內(nèi)通過(guò)的路程為零答案AB解析因?yàn)閍n＝ω2R，所以小物塊運(yùn)動(dòng)的角速度為ω＝eq\r(\f(an,R))＝2rad/s，周期T＝eq\f(2π,ω)＝πs，選項(xiàng)A、B正確；小物塊在eq\f(π,4)s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)eq\f(π,2)，通過(guò)的位移大小為eq\r(2)m，在πs內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)一周，通過(guò)的路程為2πm，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.10.一小球質(zhì)量為m，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的懸繩(不可伸長(zhǎng)，質(zhì)量不計(jì))固定于O點(diǎn)，在O點(diǎn)正下方eq\f(L,2)處釘有一顆光滑釘子.如圖7所示，將懸線沿水平方向拉直無(wú)初速度釋放后，當(dāng)懸線碰到釘子后的瞬間，則()圖7A.小球的角速度突然增大B.小球的線速度突然減小到零C.小球的向心加速度突然增大D.小球的向心加速度不變答案AC解析由于懸線與釘子接觸時(shí)小球在水平方向上不受力，故小球的線速度不能發(fā)生突變，由于做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的一半，由v＝ωr知，角速度變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，A正確，B錯(cuò)誤；由an＝