專題9函數(shù)【講*人教A版】【必備知識(shí)】1．函數(shù)的概念2．函數(shù)的三要素（1）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．【常用結(jié)論】2．在函數(shù)的定義中，非空實(shí)數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)锽的子集；3．分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．【考向歸類】考向一：函數(shù)的概念A(yù)．

B．3

C．

D．17【答案】B故選：B【備考提醒】函數(shù)的含義及判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的方法1．函數(shù)概念中有兩個(gè)要求：①A，B是非空的實(shí)數(shù)集；②第一個(gè)集合A中的每個(gè)元素在第二個(gè)集合B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．2．兩個(gè)函數(shù)滿足定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，才是同一個(gè)函數(shù)．【舉一反三】（2425高一下·山東濰坊·開學(xué)考試）1．下列函數(shù)相等的是（

）【答案】D【分析】根據(jù)相等函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，依次判斷各項(xiàng)的正誤.故選：D（2425高二下·浙江·期中）【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，建立不等式組，可得答案.故選：A.考向二：函數(shù)的解析式（2）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用換元法求出函數(shù)的解析式．【備考提醒】函數(shù)解析式的求法1．配湊法．2．待定系數(shù)法．3換元法．4解方程組法．【舉一反三】（2425高三上·安徽安慶·階段練習(xí)）（2425高一上·云南昭通·期中）【答案】C故選：C.考向三：分段函數(shù)【答案】D故選：D．【備考提醒】分段函數(shù)求值問題的解題思路：2．求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)．【舉一反三】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）【答案】B故選：B（2025·廣東茂名·二模）【答案】B【必備知識(shí)】1．函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的（2）單調(diào)區(qū)間的定義2．函數(shù)的最值前提條件結(jié)論3．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱4．對(duì)稱性軸對(duì)稱結(jié)論中心對(duì)稱結(jié)論4．函數(shù)的周期性【考向歸類】考向一：函數(shù)的單調(diào)性與最值【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義結(jié)合作差法分析證明；（2）根據(jù)分類討論單調(diào)性分析最值，進(jìn)而可得結(jié)果．所以函數(shù)的最小值應(yīng)在處取得．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為，所以，解得，不符合條件；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為，所以，解得，不符合條件．綜上，．【備考提醒】1．確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法（1）定義法．（2）導(dǎo)數(shù)法．（3）圖象法．（4）性質(zhì)法．2．比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．3．求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．4．利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值．【舉一反三】（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測(cè)）【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)在各段上單調(diào)遞增且斷點(diǎn)左側(cè)的函數(shù)值不大于右側(cè)的函數(shù)值得到不等式組，解得即可.故選：A．（2425高一下·廣西柳州·開學(xué)考試）【答案】A

由圖象可知：故選：A考向二：函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷與證明；證明如下：【備考提醒】判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：1．定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即為非奇非偶函數(shù)；【舉一反三】（2025·河南許昌·三模）9．下列函數(shù)中，值域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)的是（

）【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義，判斷各函數(shù)的奇偶性，再判斷值域即可.故選:D.（2025·湖北·三模）【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，故選：D考向三：函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用【答案】D故選：D．【備考提醒】1．求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．2．利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題．【舉一反三】（2025·湖南邵陽·三模）【答案】C故選：C（2025·山東·一模）A．9 B．10 C．17 D．12【答案】C故選：C.【必備知識(shí)】1．冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義（2）常見的五種冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)2．根式（2）式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．4．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)5．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象定義域值域性質(zhì)增函數(shù)減函數(shù)6．對(duì)數(shù)的概念7．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)（2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)8．對(duì)數(shù)函數(shù)（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象定義域值域性質(zhì)增函數(shù)減函數(shù)9．反函數(shù)【考向歸類】考向一：冪函數(shù)（2）結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，判斷函數(shù)的奇偶性；（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性通過討論化簡(jiǎn)不等式求其解．【備考提醒】2．在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．【舉一反三】（2425高一下·遼寧·開學(xué)考試）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，可求出m的值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可確定m的取值，進(jìn)而求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間.（2425高一上·山東威海·期末）考向二：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（1）求k的值；【備考提醒】1．指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為整數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．②運(yùn)算的先后順序．2．對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．3．利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．4．求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．【舉一反三】（2025·上海浦東新·二模）【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可求解答案；（2）根據(jù)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，即可求解答案.（2425高一上·安徽銅陵·期末）考向三：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【備考提醒】1．解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問題的常用方法（1）將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．（2）將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并．（3）利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．2．對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法（1）在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．（2）一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．3．求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個(gè)問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．【舉一反三】（2425高一下·浙江·期中）【分析】（1）解對(duì)數(shù)不等式即可求出解集A；（2425高二下·陜西渭南·階段練習(xí)）(2)奇函數(shù)，證明見解析（3）由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得所求不等式的解集.【必備知識(shí)】1．函數(shù)圖象（1）利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線．（2）利用圖象變換法作函數(shù)的圖象①平移變換②對(duì)稱變換③翻折變換2．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念（2）函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系（3）函數(shù)零點(diǎn)存在定理4．二分法5．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨值的變化而各有不同6．常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型二次函數(shù)模型反比例函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型冪函數(shù)模型【考向歸類】考向一：函數(shù)的圖象【答案】A故選：A．【備考提醒】1．函數(shù)圖象的常見畫法及注意事項(xiàng)（1）直接法：對(duì)于熟悉的基本函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，直接作圖．（2）轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的，去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫．（3）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到，則可利用圖象變換作圖．（4）畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域．2．識(shí)別函數(shù)的圖象的主要方法（1）利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷．（2）利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等判斷．（3）利用特殊函數(shù)值判斷．3．當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【舉一反三】（2025·山東棗莊·二模）A． B． C． D．1【答案】B故選：B（2025·江西·三模）【答案】A故選：A.考向二：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解【備考提醒】1．確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理；（2）數(shù)形結(jié)合法．2．求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法（2）定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等．（3）圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．3．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的三種常用方法（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式確定參數(shù)(范圍)．（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍．（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解．【舉一反三】（2425高一下·廣東·期中）利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解即可.（2425高二下·福建福州·期中）【答案】C故選：C.考向三：函數(shù)模型的應(yīng)用A．23個(gè)月

B．24個(gè)月

C．25個(gè)月

D．26個(gè)月【答案】C故選：C．【備考提醒】1．判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象．（2）驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．2．已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．3．構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟（1）建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型．（2）推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解．（3）評(píng)價(jià)、解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋，然后返回到原來的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解．【舉一反三】（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米【答案】A【詳解】設(shè)同學(xué)不用喇叭