2024-2025學(xué)年河南省鄭州市航空港區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1．（3分）未來(lái)將是一個(gè)可以預(yù)見(jiàn)的AI時(shí)代．AI一般指人工智能，它是一門(mén)研究、開(kāi)發(fā)用于模擬、延伸和擴(kuò)展人的智能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的新的技術(shù)科學(xué)．下列是世界著名人工智能品牌公司的圖標(biāo)，其中是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）在數(shù)軸上表示不等式x≥2的解集，正確的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．x（x﹣3）+3（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3） C．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2 D．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y24．（3分）已知a＞b，則下列不等式中不成立的是（）A．a(chǎn)﹣6＞b﹣6 B．3a＞3b C．﹣2a＜﹣2b D．a(chǎn)5．（3分）選用下列圖形的瓷磚，只用一種瓷磚平面鑲嵌，下列不能選擇的瓷磚圖形是（）A．三角形 B．四邊形 C．正六邊形 D．正八邊形6．（3分）如圖，直線l：y＝ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，﹣1），與直線m：y＝cx+d交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1，則不等式組cx+d＞ax+b＞﹣1的解集為（）A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜07．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB，AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．若△ACD的面積為6，則△A．6 B．10 C．12 D．208．（3分）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①等腰三角形的高、中線、角平分線重合；②三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；③一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為720°，則這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角等于60°；④一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；⑤三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．A．1 B．2 C．3 D．49．（3分）如圖，?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E，BC＝5，EF＝1，則AB長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．610．（3分）如圖，面積為6cm2的△ABC紙片沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距離是BC長(zhǎng)的2倍，則△ABC紙片掃過(guò)的面積為（）A．18cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）如圖是華為手機(jī)天氣APP上顯示的鄭州市某一天的氣溫情況，設(shè)這天氣溫為t℃，那么t應(yīng)滿足條件是．（用含有t的不等式表示）12．（3分）已知五個(gè)正數(shù)的和等于1．用反證法證明：這五個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于15，應(yīng)先假設(shè)13．（3分）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝．14．（3分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且BC＝2AB＝4，當(dāng)∠B＝60°時(shí)，DE的長(zhǎng)為．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝8，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接CQ，則CQ長(zhǎng)的最小值為．三、解答題（本題共7小題，共75分）16．（10分）計(jì)算下面是小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并解決相關(guān)問(wèn)題．(1解：原式=1-(x-1)=1-x-1=-x=-x（1）該同學(xué)解答過(guò)程是從第步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤的原因是；（2）請(qǐng)寫(xiě)出此題正確的解題過(guò)程，再求值，其中x是不等式組2x-1317．（10分）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，4），（2，2），（1，1），請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按下列要求畫(huà)圖，并保留畫(huà)圖痕跡（不要求寫(xiě)畫(huà)法）．（1）將△ABC向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△A1B1C1（點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1），畫(huà)出△A1B1C1．（2）以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB2C2（點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B2，C2），畫(huà)出△AB2C2．（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出以A，B2，A1，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積．（4）在線段AC上畫(huà)一點(diǎn)D，使得△ADB的面積是△ABC面積的1218．（12分）“閱讀陪伴成長(zhǎng)，書(shū)香潤(rùn)澤人生”，某校為提高學(xué)生的閱讀興趣和滿足學(xué)生的讀書(shū)需求，現(xiàn)決定到書(shū)店購(gòu)買(mǎi)A、B兩類(lèi)圖書(shū)供學(xué)生閱讀．已知A類(lèi)圖書(shū)單價(jià)比本B類(lèi)圖書(shū)單價(jià)少5元，用150元購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)書(shū)與用180元購(gòu)買(mǎi)B類(lèi)書(shū)的數(shù)量相同．（1）求A，B兩類(lèi)圖書(shū)的單價(jià)分別是多少元？（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A、B兩類(lèi)圖書(shū)共100本，由于購(gòu)買(mǎi)數(shù)量較多，書(shū)店給出了優(yōu)惠方案：A類(lèi)圖書(shū)不少于30本時(shí)按8折優(yōu)惠，B類(lèi)圖書(shū)不少于20本時(shí)按6折優(yōu)惠，若該校要求A類(lèi)圖書(shū)不少于B類(lèi)圖書(shū)的1.5倍，且每類(lèi)圖書(shū)都必須購(gòu)買(mǎi)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案，并說(shuō)明理由．19．（9分）如圖，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，AD與CB相交于點(diǎn)E．（1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件使△ACB≌△BDA，并加以證明；（2）在第（1）問(wèn)的條件下延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)P，直線PE是線段AB的垂直平分線嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（11分）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“完美數(shù)”．例如：12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62，則12、20、28這三個(gè)數(shù)都是完美數(shù)．（1）按照上述規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)與上面不同的完美數(shù)，并表示成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差形式（直接寫(xiě)出）；（2）證明：任意一個(gè)完美數(shù)都能夠被4整除；（3）如圖所示，拼疊的正方形邊長(zhǎng)是從2開(kāi)始的連續(xù)偶數(shù)…，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長(zhǎng)為40，求陰影部分的總面積．21．（11分）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．連接PO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）求BQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)O在線段CQ的垂直平分線上時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．22．（12分）【問(wèn)題提出】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，作射線AP交BE于點(diǎn)F，判斷AP與BE的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．【問(wèn)題探究】（1）先將問(wèn)題特殊化，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，直接寫(xiě)出AP和BE的關(guān)系；（2）再探究一般情況，如圖所示，判斷AP與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題應(yīng)用】（3）當(dāng)BC＝9，且BD＝CP時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．

2024-2025學(xué)年河南省鄭州市航空港區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案DDBDDACCAD一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1．（3分）未來(lái)將是一個(gè)可以預(yù)見(jiàn)的AI時(shí)代．AI一般指人工智能，它是一門(mén)研究、開(kāi)發(fā)用于模擬、延伸和擴(kuò)展人的智能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的新的技術(shù)科學(xué)．下列是世界著名人工智能品牌公司的圖標(biāo)，其中是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；故選：D．2．（3分）在數(shù)軸上表示不等式x≥2的解集，正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：在數(shù)軸上表示不等式x≥2的解集為，故選：D．3．（3分）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．x（x﹣3）+3（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3） C．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2 D．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2【解答】解：x2+2x+3＝（x+1）2+2中等號(hào)右邊不是積的形式，則A不符合題意，x（x﹣3）+3（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3）符合因式分解的定義，則B符合題意，x2﹣xy+y2≠（x﹣y）2，則C不符合題意，（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2是乘法運(yùn)算，則D不符合題意，故選：B．4．（3分）已知a＞b，則下列不等式中不成立的是（）A．a(chǎn)﹣6＞b﹣6 B．3a＞3b C．﹣2a＜﹣2b D．a(chǎn)【解答】解：A．若a＞b，則a﹣6＞b﹣6，故選項(xiàng)A成立；B．若a＞b，則3a＞3b，故選項(xiàng)B成立；C．若a＞b，則﹣2a＜﹣2b，故選項(xiàng)C成立；D．若a＞b，則a4＞b故選：D．5．（3分）選用下列圖形的瓷磚，只用一種瓷磚平面鑲嵌，下列不能選擇的瓷磚圖形是（）A．三角形 B．四邊形 C．正六邊形 D．正八邊形【解答】解：A、任意三角形的內(nèi)角和是180°，放在同一頂點(diǎn)處6個(gè)即能密鋪，不符合題意；B、任意四邊形的內(nèi)角和是360°，放在同一頂點(diǎn)處4個(gè)即能密鋪，不符合題意；C、正六邊形每個(gè)內(nèi)角是120°，能整除360°，故能密鋪，不符合題意；D、正八邊形每個(gè)內(nèi)角是180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密鋪，符合題意．故選：D．6．（3分）如圖，直線l：y＝ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，﹣1），與直線m：y＝cx+d交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1，則不等式組cx+d＞ax+b＞﹣1的解集為（）A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0【解答】解：根據(jù)圖象可知，不等式組cx+d＞ax+b＞﹣1的解集為：﹣2＜x＜1，故選：A．7．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB，AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．若△ACD的面積為6，則△A．6 B．10 C．12 D．20【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由作圖過(guò)程可知，AD平分∠BAC，∴CD＝ED．∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS），∴S△ADE＝S△ACD＝6．∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD＝30°，∴∠EAD＝∠B，∴AD＝BD，即△ABD為等腰三角形，∴S△ADE＝S△BDE＝6，∴△ABD的面積為S△ADE+S△BDE＝12．故選：C．8．（3分）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①等腰三角形的高、中線、角平分線重合；②三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；③一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為720°，則這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角等于60°；④一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；⑤三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①等腰三角形的底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線重合，原說(shuō)法不正確，故①不符合題意；②三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，原說(shuō)法正確，故②符合題意；③一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為720°，∴180°（n﹣2）＝720°，解得n＝6，即該多邊形是正六邊形，∴這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為360°6=60°，原說(shuō)法正確，故④一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，原說(shuō)法不正確，故④不符合題意；⑤三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，原說(shuō)法正確，故⑤符合題意；∴正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：C．9．（3分）如圖，?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E，BC＝5，EF＝1，則AB長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝5，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，DC＝AB，∴∠AFB＝∠CBF，∠DEC＝∠BCE，∵BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E，∴∠ABF＝∠CBF，∠DCE＝∠BCE，∴∠AFB＝∠ABF，∠DEC＝∠DCE，∴AF＝AB，DE＝DC＝AB，∵EF＝1，∴AF+DE＝2AB＝AE+EF+DE＝AD+EF＝5+1＝6，∴AB＝3，故選：A．10．（3分）如圖，面積為6cm2的△ABC紙片沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距離是BC長(zhǎng)的2倍，則△ABC紙片掃過(guò)的面積為（）A．18cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2【解答】解：∵△ABC紙片沿BC方向平移至△DEF的位置，∴S△ABC＝S△DEF，四邊形ABED是平行四邊形，∵平移的距離是BC長(zhǎng)的2倍，∴BE＝2BC，∵四邊形ABED與△ABC的高相等，∴S四邊形ABED＝4S△ABC，∴S四邊形ABFD故選：D．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）如圖是華為手機(jī)天氣APP上顯示的鄭州市某一天的氣溫情況，設(shè)這天氣溫為t℃，那么t應(yīng)滿足條件是10≤t≤19．（用含有t的不等式表示）【解答】解：由圖可知，鄭州市這天的最高氣溫是19℃，最低氣溫是10℃，∴設(shè)這天氣溫為t℃，則t滿足：10≤t≤19；故答案為：10≤t≤19．12．（3分）已知五個(gè)正數(shù)的和等于1．用反證法證明：這五個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于15，應(yīng)先假設(shè)這五個(gè)數(shù)都小于15【解答】解：知五個(gè)正數(shù)的和等于1．用反證法證明：這五個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于15應(yīng)先假設(shè)這五個(gè)數(shù)都小于1故答案為：這五個(gè)數(shù)都小于113．（3分）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝x（x﹣y）2．【解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，故答案為：x（x﹣y）214．（3分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且BC＝2AB＝4，當(dāng)∠B＝60°時(shí)，DE的長(zhǎng)為23．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，∵BC＝2AB＝4，∴AD＝4，DC＝AB＝2，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EB＝EC=12∴AB＝EB＝DC＝EC，∵∠B＝∠ADC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∠ADE＝∠CED＝∠CDE=12∠∴AE＝AB＝2，∠DAE＝∠AEB＝60°，∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝90°，∴DE=AD2故答案為：23．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝8，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接CQ，則CQ長(zhǎng)的最小值為4．【解答】解：在AB上截取AD＝AC＝8，連接DP，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，如圖，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，由旋轉(zhuǎn)可知AQ＝AP，∠PAQ＝60°＝∠CAB，∴∠CAB﹣∠CAP＝∠PAQ﹣∠CAP，即∠CAQ＝∠PAD，又∵AD＝AC，AQ＝AP，∴△CAQ≌△DAP（SAS），∴CQ＝DP，∴當(dāng)DP最短時(shí)，CQ最小．∵垂線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，DP最短，即為DE的長(zhǎng)．∵AC＝8，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝16，∴BD＝AB﹣AD＝8．∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∴∠B＝30°，∴DE=1∴線段CQ的最小值為4．故答案為：4．三、解答題（本題共7小題，共75分）16．（10分）計(jì)算下面是小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并解決相關(guān)問(wèn)題．(1解：原式=1-(x-1)=1-x-1=-x=-x（1）該同學(xué)解答過(guò)程是從第二步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤的原因是括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，去括號(hào)時(shí)沒(méi)有變號(hào)；（2）請(qǐng)寫(xiě)出此題正確的解題過(guò)程，再求值，其中x是不等式組2x-13【解答】解：（1）由題干中的解題步驟可得該同學(xué)解答過(guò)程是從第二步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤的原因是括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，去括號(hào)時(shí)沒(méi)有變號(hào)，故答案為：二；括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，去括號(hào)時(shí)沒(méi)有變號(hào)；（2）原式==1-x+1(x+1)(x-1)?=2-x(x+1)(x-1)?=-1解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x≤2，故原不等式組的解集為﹣1≤x≤2，則其整數(shù)解為﹣1，0，1，2，∵（x+1）（x﹣1）≠0且x﹣2≠0，∴x≠±1且x≠2，∴x＝0，原式=-117．（10分）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，4），（2，2），（1，1），請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按下列要求畫(huà)圖，并保留畫(huà)圖痕跡（不要求寫(xiě)畫(huà)法）．（1）將△ABC向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△A1B1C1（點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1），畫(huà)出△A1B1C1．（2）以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB2C2（點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B2，C2），畫(huà)出△AB2C2．（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出以A，B2，A1，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積．（4）在線段AC上畫(huà)一點(diǎn)D，使得△ADB的面積是△ABC面積的12【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，△AB2C2即為所求．（3）以A，B2，A1，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積為12（4）如圖，取AC的中點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求．18．（12分）“閱讀陪伴成長(zhǎng)，書(shū)香潤(rùn)澤人生”，某校為提高學(xué)生的閱讀興趣和滿足學(xué)生的讀書(shū)需求，現(xiàn)決定到書(shū)店購(gòu)買(mǎi)A、B兩類(lèi)圖書(shū)供學(xué)生閱讀．已知A類(lèi)圖書(shū)單價(jià)比本B類(lèi)圖書(shū)單價(jià)少5元，用150元購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)書(shū)與用180元購(gòu)買(mǎi)B類(lèi)書(shū)的數(shù)量相同．（1）求A，B兩類(lèi)圖書(shū)的單價(jià)分別是多少元？（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A、B兩類(lèi)圖書(shū)共100本，由于購(gòu)買(mǎi)數(shù)量較多，書(shū)店給出了優(yōu)惠方案：A類(lèi)圖書(shū)不少于30本時(shí)按8折優(yōu)惠，B類(lèi)圖書(shū)不少于20本時(shí)按6折優(yōu)惠，若該校要求A類(lèi)圖書(shū)不少于B類(lèi)圖書(shū)的1.5倍，且每類(lèi)圖書(shū)都必須購(gòu)買(mǎi)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)A類(lèi)圖書(shū)的單價(jià)為a元，則B類(lèi)圖書(shū)的單價(jià)為（a+5）元，根據(jù)題意得：150a解得：a＝25，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝25是所列分式方程的解，∴a+5＝30，答：A類(lèi)圖書(shū)的單價(jià)為25元，B類(lèi)圖書(shū)的單價(jià)為30元；（2）購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)圖書(shū)60本，B類(lèi)圖書(shū)40本時(shí)最省錢(qián)，理由如下：設(shè)購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)圖書(shū)x本，則購(gòu)買(mǎi)B類(lèi)圖書(shū)（120﹣x）本，由題意得：x≥30100-x≥20解得：60≤x≤80，設(shè)購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用為w，由題意得：w＝25×0.8x+30×0.6（100﹣x）＝2x+1800，∵2＞0，∴w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝60時(shí)，w有最小值，此時(shí)，100﹣x＝40，答：購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)圖書(shū)60本，B類(lèi)圖書(shū)40本時(shí)最省錢(qián)．19．（9分）如圖，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，AD與CB相交于點(diǎn)E．（1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件使△ACB≌△BDA，并加以證明；（2）在第（1）問(wèn)的條件下延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)P，直線PE是線段AB的垂直平分線嗎？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）添加條件為：∠CAB＝∠DBA，∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∠CAB＝∠DBA，AB＝AB，∴△ACB≌△BDA（AAS）；（2）是，證明如下：如圖所示，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)P，∵△ACB≌△BDA，∴AC＝BD，∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∠CEA＝∠DEB，∴△ACE≌△BDE（AAS），∴AE＝BE，CE＝DE，∴點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，∴AD＝BC，∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，∵∠P＝∠P，∴△ADP≌△BCP（AAS），∴AP＝BP，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，∴直線PE是線段AB的垂直平分線．20．（11分）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“完美數(shù)”．例如：12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62，則12、20、28這三個(gè)數(shù)都是完美數(shù)．（1）按照上述規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)與上面不同的完美數(shù)，并表示成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差形式（直接寫(xiě)出）36＝102﹣82；（2）證明：任意一個(gè)完美數(shù)都能夠被4整除；（3）如圖所示，拼疊的正方形邊長(zhǎng)是從2開(kāi)始的連續(xù)偶數(shù)…，按此規(guī)律拼疊到正方形ABCD，其邊長(zhǎng)為40，求陰影部分的總面積．【解答】（1）解：36＝102﹣82，故答案為：36＝102﹣82（答案不唯一）；（2）證明：設(shè)兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)為2n、2（n+1），n為自然數(shù)，則完美數(shù)為[2（n+1）]2﹣（2n）2，∴[2（n+1）]2﹣（2n）2＝[2（n+1）﹣2n][2（n+1）+2n]＝2（4n+2）＝4（2n+1），∵n為自然數(shù)，∴2n+1為正整數(shù)，∴4（2n+1）能被4整除，即任意一個(gè)完美數(shù)都能夠被4整除；（3）解：根據(jù)題意，得：S陰影＝（4﹣2）（4+2）+（8﹣6）（8+6）+…+（40+38）（40﹣38）＝2（4+2）+2（8+6）+…+2（40+38）＝2（2+4+6+8+…+38+40）＝840．21．（11分）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．連接PO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）求BQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)O在線段CQ的垂直平分線上時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠PAO＝∠QCO，∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝t，∵BC＝10，∴BQ＝10﹣t；（2）∵AP∥BQ，當(dāng)AP＝BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，即t＝10﹣t，解得t＝5，∴當(dāng)t＝5秒時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AD交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10，∴AC=BC2∴S△ABC∴AB?AC＝BC?EF，∴6×8＝10EF，∴EF=24∴OF=12∵OF是CQ的垂直平分線，∴CF=12QC=由勾股定理得CF2+OF2＝CO2，∴(12t∴t=325或t∴當(dāng)t=325秒時(shí)，點(diǎn)O在線段22．（12分）【問(wèn)題提出】在Rt△ABC中，∠B