1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【劃重點(diǎn)】1．理解直線的方向向量與平面的法向量，會(huì)求一個(gè)平面的法向量．2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．3．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一空間中直線、平面的向量表示1．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．2．平面的法向量如圖，若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱a為平面α的法向量；過點(diǎn)A且以a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．知識(shí)點(diǎn)二線線、線面、面面平行的向量表示1．設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.2．設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.3．設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.知識(shí)點(diǎn)三線線、線面、面面垂直的向量表示1．設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.2．設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.3．設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.【例題詳解】一、直線的方向向量【答案】A【分析】由方向向量的概念求解，故選：A(2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求直線PC的一個(gè)方向向量．【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)方向向量的定義可得．跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)l1的方向向量為=（1，2，﹣2），l2的方向向量為=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，則m等于（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【詳解】因?yàn)閘1的方向向量為=（1，2，﹣2），l2的方向向量為=（﹣2，3，m），且l1⊥l2，故選：B(2)在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1為正方體，棱長(zhǎng)為1，則直線DD1的一個(gè)方向向量為________，直線BC1的一個(gè)方向向量為________．【答案】(不唯一)(0,0,1)(0,1,1)【詳解】∵DD1∥AA1，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，直線DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1)；BC1∥AD1，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0，1,1),故直線BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1)．二、求平面的法向量跟蹤訓(xùn)練2已知四棱錐S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，試建立空間直角坐標(biāo)系，求平面SAB，平面SDC的一個(gè)法向量．【答案】平面SAB的一個(gè)法向量為（1，0，0），平面SDC的一個(gè)法向量為（2，﹣1，1）．【分析】以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，能求出平面SAB的一個(gè)法向量和平面SDC的一個(gè)法向量．【詳解】∵四棱錐S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，∴以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵SA＝AB＝BC＝1，AD，∴S（0，0，1），A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），平面SAB的法向量（1，0，0），設(shè)平面SDC的一個(gè)法向量（x，y，z），得平面SDC的一個(gè)法向量（2，﹣1，1）．三、證明線線平行例3在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點(diǎn)S在DD1上，且SD1＝2SD，點(diǎn)N，R分別為A1D1，BC的中點(diǎn)．求證：MN∥RS.【詳解】證明方法一如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，\f(4,3)))，N(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(2,3))).則eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(RS,\s\up6(→))分別為MN，RS的方向向量，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))，eq\o(RS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(RS,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(RS,\s\up6(→))，因?yàn)镸?RS，所以MN∥RS.方法二設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)c－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(RS,\s\up6(→))＝eq\o(RC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DS,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＋eq\f(1,3)c.所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(RS,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(RS,\s\up6(→)).又R?MN，所以MN∥RS.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點(diǎn)．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．【詳解】證明以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C1(0,1,1)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(FC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(FC1,\s\up6(→))，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))∥eq\o(FC1,\s\up6(→))，eq\o(EC1,\s\up6(→))∥eq\o(AF,\s\up6(→))，又∵F?AE，F(xiàn)?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四邊形AEC1F是平行四邊形．四、證明線面平行【答案】證明見解析【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，五、證明面面平行以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間坐標(biāo)系：跟蹤訓(xùn)練5如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點(diǎn)，利用向量法證明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用直線的方向向量和平面的法向量的數(shù)量積為0進(jìn)行證明；（2）證明兩個(gè)平面有相同的一個(gè)法向量即可..分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方體的性質(zhì)，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量.由于＝(0，1，－1)，所以⊥.又MN?平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）證明：因?yàn)椋?2，0，0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一個(gè)法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.六、證明線線垂直問題【答案】證明見解析以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，【點(diǎn)睛】本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.七、證明線面垂直問題例7如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點(diǎn)，EF⊥BP于點(diǎn)F.求證：PB⊥平面EFD.【詳解】證明由題意得，DA，DC，DP兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖，設(shè)DC＝PD＝1，則P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(1,2)))，設(shè)F(x，y，z)，則eq\o(PF,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(1,2)，z－\f(1,2))).因?yàn)閑q\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，所以x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))＝0，即x＋y－z＝0.①又因?yàn)閑q\o(PF,\s\up6(→))∥eq\o(PB,\s\up6(→))，可設(shè)eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(2,3)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,6)，\f(1,6))).方法一因?yàn)閑q\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1,1，－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，所以eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以PB⊥DE，因?yàn)镻B⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE?平面EFD.所以PB⊥平面EFD.方法二設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面EFD的法向量，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(DE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－\f(1,6)y2＋\f(1,6)z2＝0，,\f(1,2)y2＋\f(1,2)z2＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－z2，,y2＝－z2.))取z2＝1，則n2＝(－1，－1,1)．所以eq\o(PB,\s\up6(→))∥n2，所以PB⊥平面EFD.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.八、證明面面垂直問題以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，跟蹤訓(xùn)練8如圖，在正四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2．點(diǎn)E，F(xiàn)分別CD，BC中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥EF；(2)平面PAB⊥平面PCD．【分析】建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，（1）由兩直線的方向向量的數(shù)量積為0證明線線垂直；（2）由兩平面的法向量的數(shù)量積為0可得證面面垂直．【詳解】（1）連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，由正四棱錐性質(zhì)OA，OB，OP兩兩互相垂直，以O(shè)A，OB，OP分別為x，y，z軸建系如圖．【課堂鞏固】1．有以下命題：①一個(gè)平面的單位法向量是唯一的②一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量平行，則這條直線和這個(gè)平面平行③若兩個(gè)平面的法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交④若一條直線的方向向量垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直其中真命題的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)平面單位法向量的定義可判斷①，根據(jù)直線方向向量與平面法向量的關(guān)系判斷②，根據(jù)兩平面法向量關(guān)系判斷③，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理判斷④.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)平面的單位法向量方向不同，所以有2個(gè)，故①錯(cuò)誤；當(dāng)一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量平行時(shí)，則這條直線和這個(gè)平面垂直，故②錯(cuò)誤；因?yàn)閮蓚€(gè)平面的法向量平行時(shí)，平面平行，所以法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交，③正確；若一條直線的方向向量垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，則直線和平面垂直，故④錯(cuò)誤.故選：AA． B． C．2 D．4【答案】C故選：C3．若直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則可能使的是（

）【答案】C【分析】直接計(jì)算直線方向向量和平面法向量的數(shù)量積可知.故選：C4．已知平面平面，＝（1，－1，1）為平面的一個(gè)法向量，則下列向量是平面的一個(gè)法向量的是（

）【答案】B【分析】判斷選項(xiàng)中與向量平行的向量，即得平面的一個(gè)法向量.故選：B.【答案】ACD【分析】由平面的法向量證得線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判斷即可逐一判斷各選項(xiàng)作答.故選：ACD【答案】ABC【分析】由法向量與平面內(nèi)的所有向量垂直判斷．知ABC都有可能，D不可能．故選：ABC．【答案】AC【分析】根據(jù)平面垂直則法向量數(shù)量積為零，逐一計(jì)算，即可判斷和選擇.故選：AC.（1）直線BC的一個(gè)方向向量___________；（2）點(diǎn)OD的一個(gè)方向向量___________；（3）平面BHD的一個(gè)法向量___________；【分析】先求出正四面體中各邊的長(zhǎng)度，得到各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).對(duì)于（1）（2）：直接求出方向向量；對(duì)于（3）：根據(jù)法向量的定義列方程組，即可求得；對(duì)于（4）：利用重心坐標(biāo)公式直接求得.【答案】故答案為：【答案】直線在平面內(nèi)或平行于平面【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷作答.所以直線與平面的位置關(guān)系是直線在平面內(nèi)或平行于平面.故答案為：直線在平面內(nèi)或平行于平面【答案】故答案為：.【答案】(1)平行；(2)垂直【分析】（1）由直線方向向量與平面的法向量垂直，得線面平行；（2）由直線方向向量與平面的法向量平行，得線面垂直．13．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE，設(shè)PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量；【答案】（1，0，2）【詳解】解：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD．∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD．又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，AC?平面PAC，∴BD⊥AC．又底面四邊形ABCD為矩形，∴矩形ABCD為正方形．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．設(shè)平面BPC的法向量為（x，y，z），∴平面BPC的一個(gè)法向量為（1，0，2）．(1)寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；【分析】（1）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中，的位置寫出坐標(biāo)；【答案】證明見解析【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量判斷位置關(guān)系因此以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以??的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.【分析】（1）利用向量法可得兩平面的法向量，再根據(jù)法向量互相平行證明面面平行；【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，（2）由，是線段，中點(diǎn)，【課時(shí)作業(yè)】【答案】B【分析】先求出平面ABC的一個(gè)法向量，進(jìn)而得出單位法向量．故選：B．A． B． C．1 D．2【答案】C故選：C【答案】C故選：CA．4 B．4 C．2 D．2【答案】A故選：AA．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】B【詳解】為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，故選：B【答案】B故選：B【答案】AC故選：.【答案】AB【分析】根據(jù)法線面垂直平行的性質(zhì)及法向量、方向向量的概念即可選出選項(xiàng).故選:AB【分析】利用向量法得出平面BHD的一個(gè)法向量.【答案】2故答案為：.【答案】斜交【分析】判斷兩平面法向量的位置關(guān)系，即可判斷出平面與的位置關(guān)系.與既不平行也不垂直，因此，平面與斜交．故答案為：斜交.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面的法向量判定兩平面的位置關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.【答案】【分析】由平面互相垂直可知其對(duì)應(yīng)的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.∴平面的法向量互相垂直，故答案為：.(1)寫出直線BC的一個(gè)方向向量；【分析】（1）根據(jù)直線方向向量的求法求得正確答案.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理求解法向量；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求平面的法向量.【詳解】（1）【答案】證明見解析.【分析】利用坐標(biāo)法，利用向量共線定理即得.【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以、與的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立空間直角