16.2.4整式的除法第十六章

整式的乘法【2025新教材】人教版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********16.2.4整式的除法一、學(xué)習(xí)目標(biāo)理解同底數(shù)冪的除法、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則，掌握其推導(dǎo)依據(jù)。能夠熟練運(yùn)用整式除法法則進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，解決化簡(jiǎn)、求值等相關(guān)問(wèn)題。通過(guò)知識(shí)的遷移和對(duì)比，體會(huì)乘除運(yùn)算的互逆關(guān)系，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯思維能力。二、知識(shí)回顧同底數(shù)冪的乘法法則：\(a^m??a^n=a^{m+n}\)（\(m\)、\(n\)為正整數(shù)），如\(x^3\cdotx^4=x^{3+4}=x^7\)。冪的乘方法則：\((a^m)^n=a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)為正整數(shù)），例如\((y^2)^3=y^{2??3}=y^6\)。積的乘方法則：\((ab)^n=a^n??b^n\)（\(n\)為正整數(shù)），像\((2z)^4=2^4??z^4=16z^4\)。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)再相加，如\(2x(3x^2-5x+1)=6x^3-10x^2+2x\)。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)再相加，例如\((x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6\)。三、同底數(shù)冪的除法（一）法則推導(dǎo)問(wèn)題引入：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，逆向思考。例如，已知\(a^m??a^n=a^{m+n}\)，那么\(a^{m+n}?·a^n\)的結(jié)果是什么？推導(dǎo)過(guò)程：因?yàn)槌朔ㄅc除法互為逆運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則，\(a^n??a^m=a^{m+n}\)，所以\(a^{m+n}?·a^n=a^m\)，即\(a^{m+n}?·a^n=a^{(m+n)-n}=a^m\)（\(aa?

0\)，\(m\)、\(n\)為正整數(shù)，且\(m>n\)）

。推廣到一般情況，同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，用公式表示為\(a^m?·a^n=a^{m-n}\)（\(aa?

0\)，\(m\)、\(n\)為正整數(shù)，且\(m>n\)）。零指數(shù)冪：當(dāng)\(m=n\)時(shí)，\(a^m?·a^n=a^m?·a^m=1\)（\(aa?

0\)），規(guī)定\(a^0=1\)（\(aa?

0\)），即任何不等于\(0\)的數(shù)的\(0\)次冪都等于\(1\)。（二）法則應(yīng)用例1：計(jì)算\(x^7?·x^3\)解：根據(jù)同底數(shù)冪除法法則，底數(shù)\(x\)不變，指數(shù)相減，\(x^7?·x^3=x^{7-3}=x^4\)。\((-y)^6?·(-y)^2\)解：底數(shù)為\(-y\)不變，\((-y)^6?·(-y)^2=(-y)^{6-2}=(-y)^4=y^4\)。四、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式（一）法則推導(dǎo)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)：計(jì)算\(12a^3b^2x^3?·3ab^2\)。根據(jù)除法的意義，可將其轉(zhuǎn)化為\(\frac{12a^3b^2x^3}{3ab^2}\)，利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算。\(\frac{12a^3b^2x^3}{3ab^2}=(12?·3)??(a^3?·a)??(b^2?·b^2)??x^3\)。分別計(jì)算：\(12?·3=4\)，\(a^3?·a=a^{3-1}=a^2\)，\(b^2?·b^2=1\)，所以\(12a^3b^2x^3?·3ab^2=4a^2x^3\)。歸納法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。（二）法則應(yīng)用例2：計(jì)算\(28x^4y^2?·7x^3y\)解：系數(shù)相除\(28?·7=4\)，同底數(shù)冪相除\(x^4?·x^3=x\)，\(y^2?·y=y\)，所以\(28x^4y^2?·7x^3y=4xy\)。\(-5a^5b^3c?·15a^4b\)解：系數(shù)相除\(-5?·15=-\frac{1}{3}\)，同底數(shù)冪相除\(a^5?·a^4=a\)，\(b^3?·b=b^2\)，\(c\)照寫(xiě)，結(jié)果為\(-\frac{1}{3}ab^2c\)。五、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式（一）法則推導(dǎo)類(lèi)比乘法運(yùn)算：根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則\(a(b+c+d)=ab+ac+ad\)，逆向推導(dǎo)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式。因?yàn)閈(ab+ac+ad=a(b+c+d)\)，所以\((ab+ac+ad)?·a=b+c+d\)。歸納法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。用式子表示為\((am+bm+cm)?·m=am?·m+bm?·m+cm?·m=a+b+c\)（\(ma?

0\)）。（二）法則應(yīng)用例3：計(jì)算\((12a^3-6a^2+3a)?·3a\)解：分別計(jì)算每一項(xiàng)除以\(3a\)，\(12a^3?·3a=4a^2\)，\(-6a^2?·3a=-2a\)，\(3a?·3a=1\)，所以\((12a^3-6a^2+3a)?·3a=4a^2-2a+1\)。\([(x+y)^2-y(2x+y)-8x]?·2x\)解：先化簡(jiǎn)中括號(hào)內(nèi)式子：\((x+y)^2-y(2x+y)-8x=x^2+2xy+y^2-2xy-y^2-8x=x^2-8x\)。再計(jì)算除法：\((x^2-8x)?·2x=x^2?·2x-8x?·2x=\frac{1}{2}x-4\)。六、課堂練習(xí)同底數(shù)冪除法計(jì)算：\(a^9?·a^3\)；\((-x)^5?·(-x)^2\)。單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算：\(18x^3y^2?·6x^2y\)；\(-24a^2b^3?·(-8ab)\)。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算：\((20x^3-15x^2+5x)?·5x\)；\([(a+b)^2-(a+b)]?·(a+b)\)。糾錯(cuò)練習(xí)：判斷下列計(jì)算是否正確，若錯(cuò)誤請(qǐng)改正。\(a^6?·a^2=a^3\)；\((6x^2y-4xy^2)?·2xy=3x-4y\)。七、課堂小結(jié)同底數(shù)冪除法法則：\(a^m?·a^n=a^{m-n}\)（\(aa?

0\)，\(m\)、\(n\)為正整數(shù)，\(ma?￥n\)），\(a^0=1\)（\(aa?

0\)）。單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，單獨(dú)字母保留。多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式再相加。注意事項(xiàng)：同底數(shù)冪除法中底數(shù)\(a\)不能為\(0\)；整式除法運(yùn)算結(jié)果要最簡(jiǎn)，注意符號(hào)和指數(shù)運(yùn)算。八、課后作業(yè)完成教材對(duì)應(yīng)課后習(xí)題，鞏固整式除法運(yùn)算。拓展思考：已知\(a^m=3\)，\(a^n=2\)，求\(a^{2m-3n}\)的值。若\((9x^3y^2-6x^2y^3)?·M=-3x+2y\)，求單項(xiàng)式\(M\)。以上課件系統(tǒng)梳理了整式除法知識(shí)。若你想增減推導(dǎo)步驟、調(diào)整例題難度，或補(bǔ)充其他類(lèi)型題目，隨時(shí)可以告訴我。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握同底數(shù)冪除法的運(yùn)算法則并能正確計(jì)算.2.知道任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.3.掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式及多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則并能正確計(jì)算.1.計(jì)算：復(fù)習(xí)引入22×23=()；54×52=()

；72×75=()

；a3·a4=().255677a72.填空：22×()=25；()

×52=56；()

×75=77；a3·()=a7.235472a43.試一試：25÷22=()；56÷52=()；77÷75=()；a7÷a3=().235472a4你是怎樣填的?除法是乘法的逆運(yùn)算25÷22=()；56÷52=()；77÷75=()；a7÷a3=().235472a4觀察計(jì)算過(guò)程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？5–2=36–2=4規(guī)律：①都是同底數(shù)冪的除法；②底數(shù)不變，指數(shù)相減.7–5=2探究新知知識(shí)點(diǎn)一同底數(shù)冪的除法7–3=4你能用上述方法計(jì)算am

÷an

(a

≠0，m，n都是正整數(shù)，m>n)嗎？求一個(gè)式子，使它與an

的積等于am因?yàn)閍m–n

·an=a(m–n)+n

=am，所以am÷an=am–n.

am

÷an

=am–n(a≠0，m，n

為正整數(shù)，m＞n)即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.一般地，我們有a為什么不能為0？0不能作除數(shù)，底數(shù)為0無(wú)意義.思考練習(xí)計(jì)算：=y10–8=(–x)3–1=(a

–b)4–2=(a

–b)4÷(a

–b)2=y2=(–x)2=(a

–b)2=x2=(a

–b)4–2=(a

–b)2找準(zhǔn)底數(shù)(1)

y10÷y8

； (2)

(–x)3÷(–x)；(3)(a

–b)4÷(a

–b)2；

(4)(a

–b)4÷(b

–a)2.當(dāng)

a

≠

0

時(shí)，am

÷am

=

=

.am-ma0任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.a0=1于是規(guī)定根據(jù)除法的意義，相同的兩個(gè)不為零的數(shù)相除，商為_(kāi)____.1

例4計(jì)算：(1)x8

÷

x2；解：(1)x8

÷

x2=x8–2(2)(ab)5

÷

(ab)2=(ab)5–2=x6(2)(ab)5

÷

(ab)2.=(ab)3=a3b3練習(xí)填空：a3=a7–(___)=a(___)÷a3.a3=a7÷a(___)4=a7–(___)44a3=a(___)–36=(___)

÷a3a66根據(jù)乘除法互逆關(guān)系，填空：因?yàn)?4a2x3)·(3ab2)=12a3b2x3

，所以(12a3b2x3)÷(3ab2)=(______)，(12a3b2x3)÷(4a2x3)

=(_______).4a2x33ab2商式4a2x3的系數(shù)4=12÷3，a

的指數(shù)2=3–1，b

的指數(shù)0=2–2，而b0=1，x

的指數(shù)3=3–0.

知識(shí)點(diǎn)二單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則：

一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.4a2x31(12a3b2x3)÷(3ab2)=

例5計(jì)算：(1)(28x4y2)÷

(7x3y)；解：(1)(28x4y2)÷

(7x3y)=(28÷7)x4–3y2–1(2)(–5a5b3c)

÷

(15a4b).=4xy(2)(–5a5b3c)

÷

(15a4b)=[(–5)÷15]a5–4b3–1c=如果一個(gè)單項(xiàng)式與–2a2b的積為，那么這個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)_________.練習(xí)

計(jì)算：(am+bm)÷m=___________.知識(shí)點(diǎn)三多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式因?yàn)?a+b)m=am+bm

，所以(am+bm)÷m

=(______).又am÷(___)+bm÷(___)

=a+b，所以(am+bm)÷m

=(__________________)a+bmmam÷m+bm÷ma+b思路：?jiǎn)雾?xiàng)式÷單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則：

一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.

例5計(jì)算：(3)(12a3–6a2+3a)

÷

(3a).解：(12a3–6a2+3a)

÷

(3a)=(12a3)÷

(3a)–(6a2)÷

(3a)+(3a)

÷

(3a)=4a2–2a+1(1)

(7a4b+6ab3

–4a2b2)÷(ab)；解：

(7a4b+6ab3

–4a2b2)÷(ab)=(7a4b)÷(ab)+(6ab3)÷(ab)–(4a2b2)÷(ab)=7a3+6b2

–4ab(2)

(9ab4+15ab3)÷(3b2)；解：

(9ab4+15ab3)÷(3b2)=(9ab4)÷(3b2)+(15ab3)÷(3b2)=3ab2+5ab練習(xí)計(jì)算：(3)(6a2b3

–4a2b2)÷(2a2b2)；(4)(9ab3+6a2b)÷(3ab).解：

(6a2b3

–4a2b2)÷(2a2b2)=(6a2b3)÷(2a2b2)–(4a2b2)÷(2a2b2)=3b

–2解：

(9ab3+6a2b)÷(3ab)=(9ab3)÷(3ab)+(6a2b)÷(3ab)=3b2+2a1.下列計(jì)算正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”.（1）y8÷y2

=

y4

()（2）(–xy)3÷(–xy)

=(–xy)2 ()（3）(3ab)n+1÷(3ab)n

=

3ab

()（4）24x2y÷(–6xy)

=

4x

()（5）(a

–b)0

=

1

()y6×√√

–4x××a≠b隨堂練習(xí)2.計(jì)算：（1）x7÷x5；

（2）m8÷m8；（3）(–a)10÷(–a)7；

（4）(xy)5÷(xy)3.【教材P109練習(xí)第1題】解：(1)x7

÷

x5=x7–5(2)m8

÷

m8=m0=x2=1(3)(–a)10

÷

(–a)7=(–a)10–7=(–a)3=–a3(4)(xy)5

÷

(xy)3=(xy)5–3=(xy)2=x2y23.計(jì)算：（1）(10ab3)÷(–5ab)

；

（2）(–8a2b3)÷(6ab2)；【教材P109練習(xí)第2題】解：(1)(10ab3)÷(–5ab)

=[10÷(–5)]a1–1b3–1=–2b2(2)