專題4.1幾何圖形【十大題型】

【滬科版】

?題型梳理

【題型1幾何體的識(shí)別、立體圖形的分類】.............................................................1

【題型2動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面、體】...................................................................5

【題型3立體圖形的計(jì)算】............................................................................7

【題型4幾何體展開圖的認(rèn)識(shí)】.......................................................................9

【題型5由展開圖計(jì)算幾何體的面積或體積】.........................................................II

【題型6正方體幾種展開圖的識(shí)別】..................................................................14

【題型7正方體相對(duì)兩面上的字】....................................................................16

【題型8含圖案的正方體的展開圖】..................................................................18

【題型9判斷立體圖形的截面形狀】..................................................................21

【題型10求立體圖形的截面面積1.................................................................................................................23

，舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1立體圖形的認(rèn)識(shí)】

1.有些幾何圖形（如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都在同一個(gè)平面內(nèi)，這

就是立體圖形.

立體圖形除了按照柱體、錐體、球分類，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面劃分：①有曲面；圓

柱、圓錐、球等；②沒有曲面：棱柱、棱錐等.

2.棱柱的有關(guān)概念及其特征:

①在棱柱中，相鄰兩個(gè)面的交線叫做楂，相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，楂柱所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等，楂柱的

上下底面的形狀、大小相同，并且都是多邊形；楂柱的側(cè)面形狀都是平行四邊形.

②棱柱的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系：底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱，它有2n個(gè)頂點(diǎn)，3n

條校，n條側(cè)棱，有n+2個(gè)面，n個(gè)側(cè)面.

【題型1幾何體的識(shí)別、立體圖形的分類】

【例1】（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）下列幾何體中，與其他幾個(gè)不同類的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)棱柱和圓柱的概念進(jìn)行區(qū)分即可.

【詳解】A、B、D屬于棱柱，C屬于圓柱.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的概念，柱體分為棱柱和圓柱，棱柱所有的側(cè)棱都相等，圓柱沒有側(cè)棱，解題的關(guān)

鍵是弄清概念.

【變式1-11（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）下列說法:①棱柱的側(cè)面是長(zhǎng)方形;②棱柱的側(cè)面可能是三角形;③正

方體的所有棱長(zhǎng)都相等;④棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等.其中正確的有.（填序號(hào)）

【答案】③④

【分析】要根據(jù)各種幾何體的特點(diǎn)進(jìn)行判斷.

【詳解】①當(dāng)棱柱是側(cè)棱柱時(shí)，側(cè)面是平行四邊形，不一定是長(zhǎng)方形,因是錯(cuò)誤的；

②棱柱的側(cè)面是平行四邊形，棱錐的側(cè)面是三角形，所以是錯(cuò)誤的；

③正方體的所有棱K都相等，故是正確的；

④無論是正棱柱與側(cè)棱柱,側(cè)棱長(zhǎng)都相等，所以是正確的;故正確的序號(hào)是:③④.

故答案為③④.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是認(rèn)識(shí)立體圖形，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握各種棱柱的特點(diǎn).

【變式1-2】（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）用線把實(shí)物圖與相應(yīng)的幾何圖形連接起來.

△

六棱柱正方體球長(zhǎng)方體圓錐

【答案】見解析

【分析】根據(jù)立體圖形的相關(guān)概念連線即可.

【詳解】解.：連線如圖所示：.

【點(diǎn)睛】本題考杳了立體圖形的識(shí)別，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)別立體圖形.

【變式1-3］（2023春?山西晉城?七年級(jí)校考期末）綜合與實(shí)踐

新年晚會(huì)是我們最歡樂的時(shí)候,會(huì)場(chǎng)上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形.下面是

常見的一再多面體:

十二面體

操作探究:

⑴通過數(shù)上面圖形中每個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）,填寫下表中空缺的部分:

多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）

四面體4

六面體86

八面體812

十二面體2030

通過填表發(fā)現(xiàn)：頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系是這就是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（心自加八

1707—1783）證明的這一個(gè)關(guān)系式.我們把它稱為歐拉公式;

探究應(yīng)用:

（2）已知一個(gè)棱柱只有七個(gè)面，則這個(gè)棱柱是一棱柱;

（3）已知一個(gè)多面體只有8個(gè)頂點(diǎn)，并且過每個(gè)頂點(diǎn)都有3條棱，求這個(gè)多面體的面數(shù).

【答案】（1）表見解析，V+F-E=2

Q）五

（3）6

【分析】（1）通過觀察，發(fā)現(xiàn)棱數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-2；

（2）根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行解答即可；

（3）由（1）得出的規(guī)律進(jìn)行解答即可.

【詳解】（1）解：填表如下：

多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（F）

四面體446

六面體8612

八面體6812

十二面體201230

頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系是V+F-E=2,

故答案為：V+F-E=2；

（2）解：???一個(gè)棱柱只有七個(gè)面，必有2個(gè)底面，

???有7-2=5個(gè)側(cè)面，

???這個(gè)棱柱是五棱柱，

故答案為：五；

（3）解：由題意得：棱的總條數(shù)為等=12（條），

由V+尸一E=2可得8+F-12=2,

解得：F=6,

故該多面體的面數(shù)為6.

【點(diǎn)睛】本題考查了多面體與棱柱的認(rèn)識(shí)，點(diǎn)線面體的相關(guān)概念，正確看出圖形中各量之間的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系】

①體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點(diǎn).

②點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.

③點(diǎn)、線、面、體組成幾何圖形，點(diǎn)、線、面、體的運(yùn)動(dòng)組成了多姿多彩的圖形世界.

【題型2動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面、體】

【例2】（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）哥哥花瓶的表面可以看作由哪個(gè)平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周而得到？用線

連一連.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)“面動(dòng)成體”的原理，結(jié)合圖形特征進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，判斷出旋轉(zhuǎn)后的立體圖形即可.

【詳解】解：如圖所示:

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是點(diǎn)、線、面、體、認(rèn)識(shí)幾何體，根據(jù)平面圖形的特點(diǎn)，判斷出旋轉(zhuǎn)后的結(jié)合體的

形狀是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè)）幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面

動(dòng)成體.下列生活現(xiàn)象中，可以反映“面動(dòng)成體''的是（）

A.打開折扇B.流星劃過夜空C.旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)D.汽車雨刷轉(zhuǎn)動(dòng)

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】A、打開折扇是“線動(dòng)成面”，故本選項(xiàng)不合題意：

B、流星劃過夜空是“點(diǎn)動(dòng)成線”，故本選項(xiàng)符合題意；

C、旋轉(zhuǎn)門的旋轉(zhuǎn)是“面動(dòng)成體”，故本選項(xiàng)符合題意；

D、汽車雨刷的轉(zhuǎn)動(dòng)是“線動(dòng)成面”，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)、線、面、體的知識(shí)，主要是考查學(xué)生立體圖形的空間想象能力及分析問題，解決問

題的能力.

【變式2-21(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))”筆尖在紙上快速滑動(dòng)寫出數(shù)字9”運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象

為()

A.點(diǎn)動(dòng)成線B.線動(dòng)成面

C.面動(dòng)成體D.面與面相交得我

【答案】A

【分析】這一現(xiàn)象為：點(diǎn)動(dòng)成線.

【詳解】解：筆尖在紙上快速滑動(dòng)寫出數(shù)字9,用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為點(diǎn)動(dòng)成線.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考杳點(diǎn)，線，面，體之間的關(guān)系.熟練掌握點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體，是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí))飛機(jī)表演“飛機(jī)拉線”時(shí)，我們用數(shù)學(xué)的知識(shí)可解釋為點(diǎn)動(dòng)成線.

用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋下列現(xiàn)象：

(1)流星從空中劃過留下的痕跡可解釋為：

(2)自行車的輻條運(yùn)動(dòng)可解釋為；

(3)一只螞蟻行走的路線可解釋為；

(4)可開折扇得到扇面可解釋為；

(5)一個(gè)圓面沿著它的一條直徑旋轉(zhuǎn)一周成球可解釋為一.

【答案】(I)點(diǎn)動(dòng)成線；

(2)線動(dòng)成面;

(3)點(diǎn)動(dòng)成線;

(4)線動(dòng)成面;

(5)面動(dòng)成體.

【分析】根據(jù)點(diǎn)線面體之間的關(guān)系為：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體的規(guī)律來解答即可.

【詳解】（1）解：流行是點(diǎn)，光線是線，流星劃出?條長(zhǎng)線，所以流星從空中劃過留下的痕跡可解釋為點(diǎn)

動(dòng)成線；

（2）解：自行車的輻條是線，在運(yùn)動(dòng)過程中形成面，所以自行車的輻條運(yùn)動(dòng)可解釋為線動(dòng)成面；

（3）解：螞蟻可看做是點(diǎn)，行走的路線是線，所以一只螞蟻行走的路線可解稱為點(diǎn)動(dòng)成線；

（4）解：折扇合起來時(shí)是一條線，打開折扇得到扇面可解釋為線動(dòng)成面；

（5）解：一個(gè)圓是面，球是立體圖形，一個(gè)圓面沿著它的一條直徑旋轉(zhuǎn)一周成球可解釋為面動(dòng)成體.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)、線、面、體，關(guān)鍵是掌握四者之間的關(guān)系.

【題型3立體圖形的計(jì)算】

【例3】（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）直角三角形的兩直角邊分別為8cm、6cm,以其中一條直角邊所在

直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積是多少？（結(jié)果保留江）

【答案】967rcm3或1287rcm3.

【分析】分兩種情況討論：①以8cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)；②以6cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的幾何體為圓錐,

再利用圓錐的體積公式即可得到答案.

【詳解】解：①以8cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的是一個(gè)底面半徑為6cm,高為8cm的圓錐，

體積是：x62x8=967r（crrP）,

②以6cm的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的是一個(gè)底面半徑為8cm,高為6cm的圓錐，

體枳是：-7Tx82x6=1287r（cm3）,

3

答：繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)-?周，得到的幾何體的體積是967Tcm3或128wcm3.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)、線、面、體，圓錐的體積公式，解題關(guān)鍵是理解點(diǎn)、線、面.、體，熟記圓錐體積公

式.

【變式3-1］（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）從棱長(zhǎng)為2的正方體毛坯的一角挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，得

到一個(gè)如圖的零件，求：

（1）這個(gè)零件的表面積（包括底面）；

（2）這個(gè)零件的體積.

【答案】（1）24；（2）7.

【詳解】試題分析：本題考查整體的思想及簡(jiǎn)單幾何體表面積的計(jì)算能力.從正方體毛坯?角挖去?個(gè)小正

方體得到的零件的表面積等于原正方體表面積；

這個(gè)零件的體積為原正方體的體積減去挖去的小正方體的體積.

試題解析：解：（1）挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，得到的圖形與原圖形表面積相等，則表面積是2x2x6=24,

答：這個(gè)零件的表面積為24；

（2）23-13=8-1=7.

答：這個(gè)零件的體積為7.

點(diǎn)睛：本題考查了幾何體的表面積與體積，（1）可以有多種解決方法，一種是把每個(gè)面的面枳計(jì)算出來然

后相加，這樣比較麻煩，另?種算法就是解答中的這種，這種方法的關(guān)鍵是能想象出得到的圖形與原圖形

表面積相等.

【變式3-2]（2023?全國(guó)?匕年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,以更線AB為軸，將正方形

旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為_cnA（結(jié)果保留兀）

【答案】Tin

【詳解】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,以直線AB為軸，將正方形旋轉(zhuǎn)一周，

所得幾何體為底面半徑為3,高為3的圓柱體，

該圓柱體的體積為：兀'32x3=2771cm3.

故答案為：27兀.

【變式3-3]（2023春?江蘇淮安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，由直角三角形和正方形拼成的四邊形.

（1）洛這個(gè)四邊形繞圖中虛線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)立體圖形，這能說明的事實(shí)是_（選擇正確的一項(xiàng)序號(hào)）

①點(diǎn)動(dòng)成線；②線動(dòng)成面；③面動(dòng)成體.

（2）求得到的立體圖形的體積.（％柱=b2h，I/圓錐=1仃26為圓柱和圓錐底面半徑，力為圓柱和圓錐的

高，結(jié)果保留；r）

【答案】⑴③

⑵397r

【分析】（1）由四邊形繞圖中虛線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)立體圖形可知是面動(dòng)成體;

（2）分別求出圓柱體和圓錐體的體積，作差即可

【詳解】（I）???四邊形是平面圖形，繞圖中虛線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)立體圖形

???是面動(dòng)成體

故選③

(2)?；丹堪柱=nr2h=7Tx32x5=457r

上1任=\^r2h=ix7rx32x2=67T

囪帷33

,,U=%柱—%錐=45"—6TT=397r

【點(diǎn)睛】本題考查面動(dòng)成體，圓柱和圓錐的體積公式，記憶理解公式是解題的關(guān)鍵

【題型4幾何體展開圖的認(rèn)識(shí)】

【例4】（2023?南開區(qū)七年級(jí)期末）下列圖形中，是長(zhǎng)方體表面展開圖的是（）

C.

【答案】C

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體有六個(gè)面，以及Z字型進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A中展開圖有7個(gè)面，不符合要求:

B中展開圖無法還原成長(zhǎng)方體，不符合要求;

C正確，故符合要求:

D中展開圖有5個(gè)面\不符合要求,

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的展開圖.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握.

【變式4-1］（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）下列圖形中，為棱錐側(cè)面展開圖的是（）

【答案】B

【分析】由棱錐的側(cè)面展開圖的特征可知答案.

【詳解】棱錐的惻面是三角形.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖，熟記常見立體圖形的側(cè)面展開圖和側(cè)面的特征是解決此類問題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023春?山西呂梁?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是某兒何體的平面展開圖，則該幾何體是（）

B.圓柱C.三楂柱D.長(zhǎng)方體

【答案】C

【分析】由平面圖形的折疊及三棱柱的展開圖的特征作答.

【詳解】解：由側(cè)面是3個(gè)矩形，上下為2個(gè)三角形，可得該幾何體為三棱柱.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何體的展開圖，熟記常見立體圖形的平面展開圖的特征是解決此類問題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，六個(gè)平面圖形中，有圓柱、圓錐、三棱柱（它的底面是三邊

相等的三角形）的表面展開圖，請(qǐng)你把立體圖形與它的表面展開圖用線連起來（不考慮尺寸）.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)立體圖形的平面展開圖求解即可.

【詳解】解?：如圖,

【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形的平面展開圖，培養(yǎng)空間想象力是解題關(guān)鍵.

【題型5由展開圖計(jì)算幾何體的面積或體積】

【例5】(2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí))如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開圖:

3米

1米1米

1*13米

3米

(1)請(qǐng)說出該幾何體的名稱;

(2)求該幾何體的表面積;

（3）求該幾何體的體枳.

【答案】（1）長(zhǎng)方體

（2）22平方米

（3）6立方米

【分析】（1）根據(jù)幾何體的展開圖可知，該幾何體為長(zhǎng)方體；

（2）求出各個(gè)面的面積，然后相加即可；

（3）根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式求出體積即可.

【詳解】（1）解：該幾何體展開圖中六個(gè)面均為長(zhǎng)方形，因此該幾何體為長(zhǎng)方體.

（2）解：3x1x2+3x2x2+2x1x2=22（平方米），

答：該幾何體的表面積為22平方米.

（3）解：3x2xl=6（平方米），

答：該幾何體的體積為6立方米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方體的展開圖，求長(zhǎng)方體的表面積和為積，解題的關(guān)鍵是熟記長(zhǎng)方體的展開圖.

【變式5-1］（2023春?廣東茂名?七年級(jí)信宜市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是某幾何體的表面展開圖

（I）指出這個(gè)幾何體的名稱；

（2）求這個(gè)幾何體的體積.（結(jié)果保留不）

【答案】（1）圓柱體

⑵40007rcm3

【分析】（1）根據(jù)圓柱體的展開圖解答；

（2）求出圓柱的底面半徑，然后利用圓柱的體積公式列式計(jì)算即可得解.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：這個(gè)幾何體是圓柱體；

（2）解：由圖可知，圓柱的底面圓的半徑是20+2=10cm,

體積=TCX102X40=40007TC1T13.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖，解題的關(guān)鍵是上要利用了圓柱體的展開圖和體積公式.

【變式5-2]（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開圖.

（1）該幾何體是;

A.正方體B.長(zhǎng)方體C.二棱柱D.四棱錐

（2）求該幾何體的體積.

【答案】⑴C；（2）4

【分析】（1）本題根據(jù)展開圖可直接得出答案.

（2）本題根據(jù)體枳等于底面積乘高求解即可.

【詳解】（1）本題可根據(jù)展開圖中兩個(gè)全等的等腰直角三角形，以此判定該幾何體為三棱柱，故選C.

（2）由圖已知：該幾何體底面積為等腰三角形面積=：x2x2=2：該幾何體的高為2；

故該幾何體體積=底面積x島=2x2=4.

【點(diǎn)睛】本題考杳幾何體展開圖以及體積求法，根據(jù)展開圖推測(cè)幾何體時(shí)需要以展開圖的特征位置作為推測(cè)

依據(jù)，求解體積或者面積時(shí)按照公式求解即可.

【變式5-3]（2023?湖北黃岡?七年級(jí)專題練習(xí)）已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖為如圖所示的長(zhǎng)方形，則其底面

圓的面積為（）

2兀

4兀

A.nB.47rC.冗或47tD.2?；?江

【答案】C

【分析】分底面周長(zhǎng)為4兀和2“兩種情況討論，先求得底面半徑，再根據(jù)圓的面積公式即可求解:

【詳解】解:①底面周長(zhǎng)為4兀時(shí)，半徑為4/兀+2=2,底面圓的面積為兀乂22=4兀；

②底面周長(zhǎng)為2兀時(shí)，半徑為2兀二+2=1,底面圓的面積為"產(chǎn)』.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了求圓柱展圖的底面半徑，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)3正方體的平面展開圖】

正方體是特殊的棱柱，它的六個(gè)面都是大小相同的正方形，將一個(gè)正方體的表面展開，可以得到11種不同

的展開圖，把它歸為四類：一四一型有6種；二三一型有3種：三三型有1種；二二二型有一種.

正方體展開圖口訣:

①一線不過四;田凹應(yīng)棄之;

②找相對(duì)面：相間，“Z”端是對(duì)面;

③找鄰面：間二，拐角鄰面知.

【題型6正方體幾種展開圖的識(shí)別】

【例6】（2023?吉林長(zhǎng)春?東北師大附中七年級(jí)期末）下列圖形中，不是正方體的平面展開圖的是（）

D.

【答案】B

【分析】根據(jù)正方體的展開圖對(duì)本題進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)正方體的十一種展開圖可知，B選項(xiàng)不能折成正方體,

故選：B.

正力體II種展開圖《分四類）

用為

-仃6腫“132型”有3種

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正方體的展開圖，熟記十一種模型規(guī)律，以及不能折疊的“凹”，“田”兩種特殊形

態(tài)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1】（2023?河北滄州??？肩鲾M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P,Q是一正方體展開圖上的兩個(gè)頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)P,Q在

正方體上的位置標(biāo)記正確的是（）

A.付BQ。）C.箱JE。

【答案】C

【分析】根據(jù)正方體展開圖直接判斷即可得到答案；

【詳解】解：由圖像可得，

P,Q在相對(duì)的兩面，且與相鄰正方形頂點(diǎn)重合，故P,Q在同一條棱上,

故選C；

【點(diǎn)睛】本題考查正方體展開圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握展開圖的相對(duì)相鄰面及相鄰棱之間的關(guān)系.

【變式6-2］（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）如圖，將左圖的正方形紙盒切去一角得到下圖，下列選項(xiàng)中，不用

【答案】C

【分析】根據(jù)正方體展開圖的特征，由條件結(jié)合圖形驗(yàn)證是否能講成正方體，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)正方體的展開圖的特征可知:

A.圖形是中間四個(gè)連一行，兩邊隨意擺的形式，符合正方體的展開圖，所以A選項(xiàng)正確;

B.圖形是二三相連錯(cuò)一個(gè)，三一相連隨意的形式，符合正方體的展開圖，所以B選項(xiàng)正確；

C.圖形是三個(gè)兩排?對(duì)齊，不符合正方體的展開圖，無法拼成正方體，所以C選項(xiàng)不正確；

D.圖形是兩兩相連各錯(cuò)一的形式，符合正方體的展開圖，所以D選項(xiàng)正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體展開圖的特征，熟練掌握正方體展開圖的各種形式，是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（2023?河北衡水?校聯(lián)考二模）如圖，將一個(gè)無蓋正方體盒子展開成平面圖形的過程中，需要剪

開的棱的條數(shù)是（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

【答案】C

【分析】根據(jù)無蓋正方體的棱的條數(shù)及展開圖之間的棱計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，

無蓋正方體連接相鄰面的棱：8條，

展開圖連接相鄰面的棱：4條，

8-4=4,

???要剪開4條棱,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的棱及展開圖棱的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是艱據(jù)圖形得到兩個(gè)棱的數(shù)量.

【題型7正方體相對(duì)兩面上的字】

【例7】（2023春?廣東茂名?七年級(jí)統(tǒng)考期末）有同樣大小的三個(gè)立方體骰子，每個(gè)骰子的展開圖如圖1所

示，現(xiàn)在把三個(gè)骰子放在桌子上（如圖2）,凡是能看得到的點(diǎn)數(shù)之和最大是.

圖1圖2

【答案】51

【分析】觀察圖形可知，1和6相對(duì)、2和5相對(duì)，3和4相對(duì)；要使能看到的紙盒面上的數(shù)字之和最大，則

把第一個(gè)正方體的數(shù)字1的面與第二個(gè)正方體的數(shù)字2的面相連，把數(shù)字2的面放在下面，則第一個(gè)圖形

露出的數(shù)字分別是3、4、5、6；第二個(gè)正方體的數(shù)字1面與第三個(gè)正方體的數(shù)字1的面相連，數(shù)字3的面

放在下面，則第二個(gè)正方體露在外面的數(shù)字是4、5、6,第三個(gè)正方體露在外面的數(shù)字就是3、4、5、6,

據(jù)此可得能看得到的點(diǎn)數(shù)之和最大值.

【詳解】解：根據(jù)題意得：露在外面的數(shù)字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51,

故答案為：51.

【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力和推理能力，也可動(dòng)手制作一個(gè)正方體，根據(jù)題意在各個(gè)面上標(biāo)

上數(shù)字，再確定對(duì)面上的數(shù)字，可以培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和空間想象能力.

【變式7-1］（2023春?山西呂梁?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，把展開圖折疊成正方體

后，“孝”字一面相對(duì)面上的字是（）

【答案】D

【分析】利用正方體及其表面展開圖的特點(diǎn)解題.

【詳解】解：這是一個(gè)正方體的平面展開圖，共有六個(gè)面，

其中有“和”字的一面相對(duì)面上的字是“義”，

“孝”字的一面相對(duì)面.上的字是“麗”，

“諧”字的一面相對(duì)面上的字是“美”.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問題.

【變式7-2］（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知一個(gè)正方體的六個(gè)面上分別寫著六個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且

每個(gè)相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)的和都相等，圖中所能看到的數(shù)是20,23和24,求這六個(gè)正整數(shù)的和.

【分析】根據(jù)六個(gè)面上的數(shù)是連續(xù)整數(shù)可得另外三個(gè)面上的數(shù)有兩個(gè)是21,22,再根據(jù)已知數(shù)有23,24可

知另一個(gè)數(shù)不可能是19,只能是25,然后求解即可.

【詳解】解：?.?六個(gè)面上分別寫著六個(gè)連續(xù)的整數(shù)，

???看不見的三個(gè)面上的數(shù)必定有21,22,

若另一個(gè)面上數(shù)是19,則23與20是相對(duì)面，

所以，另一面上的數(shù)是25,

此時(shí)20與25相對(duì),

21與24相對(duì)，

22與23相對(duì),

所以，這六個(gè)正整數(shù)的和為3x(20+25)=135.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答

問題，難點(diǎn)在于確定出看不見的三個(gè)面中有一個(gè)是25.

【變式7-3](2023春?七年級(jí)單元測(cè)試)請(qǐng)根據(jù)圖中(1)(2)兩圖所示的數(shù)字，在圖(3)的空格中應(yīng)如

(1)(2)(3)

【答案】見解析

【分析】根據(jù)圖(3)判斷出4與9是相對(duì)面，根據(jù)(1)(2)判斷出5、6是相對(duì)面，再根據(jù)圖(2)8在前

面時(shí)，6在上面,4在左面判斷出7在4的左邊，8在4的右邊，然后填寫即可.

(3)

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體相對(duì)面上的文字，難點(diǎn)在于判斷出7、8的位置.

【題型8含圖案的正方體的展開圖】

【例8】(2023春?江西吉安?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖所示，正方體的展開圖為()

【答案】A

【分析】根據(jù)正方體的展開與折疊，正方體展開圖的形狀進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)正方體表面展開圖的“相對(duì)的面”的判斷方法可知，

“V”與“等號(hào),，不是相對(duì)的面，故選項(xiàng)B不合題意；

“當(dāng)“圓圈”在前面時(shí)，“等號(hào)”在右面時(shí)，上面的“不等號(hào)”的方向與題意不一致，故選項(xiàng)C不合題意；

“等號(hào)”方向與“圓圈”與題意不一致，故選項(xiàng)D不合題意；

通過折疊可得，選項(xiàng)A符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】題考杳幾何體的展開圖，掌握正方體展開圖的特征是正確判斷的前提.

【變式8-1】（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）將一個(gè)小正方體按圖中所示的方式展開，則在展開圖中表示棱。的

線段可以是（）

0）I1—2

A.線段COB.線段EFC.線段4。D.線段8C

【答案】C

【分析】將原圖復(fù)原找出對(duì)應(yīng)邊.

【詳解】解：在正方體中，陰影三角形面的對(duì)面為面48CD,

邊”對(duì)應(yīng)的邊為邊AD.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的展開圖，解題關(guān)鍵是具備一定的空間想象力.

【變式8-2】（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方體紙盒的底面和側(cè)面的下半部分涂有黑色漆，下列

不是由它展開得到的表面展開圖的是.（填序號(hào)）

【答案】②③④

【分析】根據(jù)正方體展開圖的特點(diǎn)找出下底面和上底面，再根據(jù)涂有黑色漆的部分作出選擇即可.

【詳解】解：正方體紙盒的底面和側(cè)面的下半部分涂有黑色漆，將它展開得到的表面展開圖如下:

則不是由正方體紙盒展開得到的表面展開圖的是②③④,

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開圖，熟練掌握正方體展開圖的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【變式8-3】（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖是正方體的表面展開圖，折疊成正方體后，其中哪兩個(gè)完

全相同

⑴⑶(4)

【答案】（2）（4）.

【分析】首先確定每個(gè)圖形的對(duì)面是誰,然后再找同一個(gè)基準(zhǔn)圖形，將其周圍四個(gè)圖案按照順時(shí)針或逆時(shí)針

的順序排列，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其不同，從而找到答案.

【詳解】解：???（1）菱形對(duì)面是x,正方形對(duì)面是※，+對(duì)面是。;

（2）菱形對(duì)面是x,。對(duì)面是※，十對(duì)面是正方形；以※為正面，（上，左，下，右）=（+,X,正方形，菱

形）；

（3）菱形對(duì)面是x,。對(duì)面是※，+對(duì)面是正方形；以※為正面，（上，左，下，右）=（+,菱形，正方形，

X）；

（4）菱形對(duì)面是x,。對(duì)面是※，十對(duì)面是正方形；以※為正面，（上，左，下，右）=（+,X,正方形，菱

形）.

.??兩個(gè)完全相同的是（2）（4）.

故答案為：（2）（4）.

【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形的展開圖.培養(yǎng)了學(xué)生的立體思維與空間想象能力，注意找同一個(gè)基準(zhǔn)圖形，再

將其周圍四個(gè)圖案按照順時(shí)針或逆時(shí)針順序排列.

【題型9判斷立體圖形的截面形狀】

【例9】（2023春?山西晉城?匕年級(jí)?？计谀┫铝辛Ⅲw圖形中，可能被一個(gè)平面截出的截面是長(zhǎng)方形的是

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何體截面的概念求解即可.

【詳解】解：由題意可得，可能被一個(gè)平面截出的截面是長(zhǎng)方形的是圓柱體，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何體截面的形狀，截面的形狀既與被截幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān).認(rèn)

真觀察圖中的截面是解題的關(guān)鍵.

【變式9-1］（2023春?廣東清遠(yuǎn)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法不正確的是（）

A,用一個(gè)平面去截正方體，截面可能是七邊形

B.用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面一定是圓

C.棱柱的截面不可能是圓

D.用一個(gè)平面去截圓錐，截面可能是圓

【答案】A

【分析】根據(jù)用一個(gè)平面截一個(gè)幾何體得到的面叫作幾何體的截而，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、用一個(gè)平面去截正方體，截面不可能是七邊形，原說法錯(cuò)誤，符合題意；

B、用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面一定是圓，原說法正確，不符合題意；

C、棱柱的截面不可能是圓，原說法正確，不符合題意；

D、用一個(gè)平面去截圓錐，截面可能是圓，原說法正確，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了截面的性質(zhì)，截面的形狀與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)，對(duì)于這類

問題，最好是動(dòng)手動(dòng)腦相結(jié)合，從中學(xué)會(huì)分析和歸納的思想方法.

【變式9-2】（2023春?山西晉城?七年級(jí)校考期末）在一個(gè)密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水，將圓柱桶按

不同方式放置時(shí)，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出的幾何形狀是（）

A.圓面B.矩形面C.梯形面D.橢圓面或部分橢圓面

【答案】C

【分析】對(duì)不同的放置情況分別判斷，得出結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)圓柱桶豎直放置時(shí)，液面形狀為圓形，故選項(xiàng)A不符合題意；

當(dāng)圓柱桶水平放置時(shí)，液面為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；

無論圓柱桶怎樣放置，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出梯形面，故選項(xiàng)C符合題意；

當(dāng)圓柱桶傾斜放置時(shí)，若液面經(jīng)過底面，則液面為橢圓的一部分，若液面不經(jīng)過底面，則液面為橢圓，故

選項(xiàng)D不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征.關(guān)鍵是理解用平面去截圓柱體，所得到截面.

【變式9-3］（2023春?七年級(jí)揭陽月考）如圖，往一個(gè)密封的正方體容器持續(xù)注入一些水，注水的過程中，

可將容器任意放置，水平面形狀不可能是（）

A.三角形B.正方形C.六邊形D.七邊形

【答案】D

【分析】正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形，

因此截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，即可得到答案；

【詳解】解：???正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三

角形,

，截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面，解題的關(guān)鍵是熟練掌握面面相交等到線.

【題型10求立體圖形的截面面積】

【例10】（2023春?寧夏銀川.七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖是一個(gè)長(zhǎng)為4cm,寬為3cm的長(zhǎng)方形紙片，將該長(zhǎng)

方形紙片繞一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，然后用平面沿與4B平行的方向去截所得的幾何體，求截面的最大

面積（結(jié)果保留不）.

【答案】97rcm2

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形力8C0繞直線40或4B