微信公眾號：Tom張的學習資料【答案】2025中考數(shù)學【三角函數(shù)重難點考法】重難點一：運用解直角三角形的知識解決視角相關問題1．（2024·山西·中考真題）研學實踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學校組織研學活動．同學們來到毛主席東渡黃河紀念碑所在地，在了解相關歷史背景后，利用航模搭載的3D掃描儀采集紀念碑的相關數(shù)據(jù)．數(shù)據(jù)采集：如圖，點A是紀念碑頂部一點，AB的長表示點A到水平地面的距離．航模從紀念碑前水平地面的點M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點C處時，測得點A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角∠NCD=37°，當?shù)竭_點A正上方的點E處時，測得AE=9米；…數(shù)據(jù)應用：已知圖中各點均在同一豎直平面內(nèi)，E，A，B三點在同一直線上．請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計算紀念碑頂部點A到地面的距離AB的長（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，【答案】點A到地面的距離AB的長約為27米【分析】本題考查解直角三角形的應用—仰角俯角問題、銳角三角函數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．延長CD交AB于點H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CM=HB=20，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長CD交AB于點H，由題意得，四邊形CMBH為矩形，∴CM=HB=20，在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=∴CH=AH在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=37°∴tan∠ECH=∴CH=EH設AH=x米．∵AE=9，∴EH=x+9，∴x0.33解得x≈7.1，∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）；答：點A到地面的距離AB的長約為27米．2．（2024·西藏·中考真題）在數(shù)學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業(yè)．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為30°；格桑在B處測得山頂C的仰角為45°．已知兩人所處位置的水平距離MN=210米，A處距地面的垂直高度AM=30米，B處距地面的垂直高度BN=20米，點M，F(xiàn)，N在同一條直線上，求小山CF的高度．（結(jié)果保留根號）

【答案】1003【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應用，證明四邊形AMFD和四邊形BNFE為矩形，得出DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，F(xiàn)N=BE，設CD=x，則CE=CD+DE=x+10米，解直角三角形得出AD=CDtan30°=x33=【詳解】解：根據(jù)題意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∠EFN=∠BNF=90°，∴四邊形AMFD和四邊形BNFE為矩形，∴DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，F(xiàn)N=BE，∴DE=DF?EF=30?20=10（米），設CD=x，則CE=CD+DE=x+10∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，∴AD=CD∵∠CBE=45°，∠CEB=90°，∴BE=CE∴MF=AD=3x，∵MN=210米，∴3x+x+10=210解得：x=1003∴CF=CD+DF=10033．（2024·山東濰坊·中考真題）在光伏發(fā)電系統(tǒng)運行時，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會對太陽輻射的接收產(chǎn)生直接影響．某地區(qū)工作人員對日平均太陽輻射量y（單位：kW?h?(1)求y關于x的函數(shù)表達式；(2)該地區(qū)太陽能板與水平地面的夾角為多少度時，日平均太陽輻射量最大？(3)圖3是該地區(qū)太陽能板安裝后的示意圖（此時，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大），∠AGD為太陽能板AB與水平地面GD的夾角，CD為支撐桿．已知AB=2m，C是AB的中點，CD⊥GD．在GD延長線上選取一點M，在D,M兩點間選取一點E，測得EM=4m，在M,E兩點處分別用測角儀測得太陽能板頂端A的仰角為30°，45°，該測角儀支架的高為1m．求支撐桿CD的長．（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414【答案】(1)y=?1100(2)30°(3)6.0【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關鍵．（1）設y關于x的函數(shù)表達式為y=ax（2）求出二次函數(shù)的對稱軸，在對稱軸處取最值；（3）延長NF與過點A作AH⊥GM的線交于點H，令FH=a，根據(jù)三角函數(shù)進行計算，求出GC=AG?CA=43【詳解】（1）解：設y關于x的函數(shù)表達式為y=ax將(0,40),(10,45),(30,49)代入，得40=c45=100a+10b+c解得a=?1∴y=?1（2）解：根據(jù)函數(shù)解析式得函數(shù)對稱軸x=?b故陽能板與水平地面的夾角為30度時，日平均太陽輻射量最大；（3）解：y=?1延長NF與過點A作AH⊥GM的線交于點H，令FH=a，∴AH=a，AN=2AH=2a，∴HN=A∵HN=HF+FN=4+a，∴3∴a=23∴AN=43延長AN交GM與J點，∵∠AJG=∠AGJ，∴AJ=AG，∵AJ=AN+NM∴AG=43∴GC=AG?CA=43∴CD=CGsin重難點二：運用解直角三角形的知識解決方向角相關問題1．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿AC方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西60°方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西45°方向上的B處．記錄三：根據(jù)氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內(nèi)，會出現(xiàn)異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東15°方向．請你根據(jù)以上信息解決下列問題：(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB=________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區(qū)，請計算說明．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41【答案】(1)30；75；5(2)該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異?！眳^(qū)【分析】本題主要考查了方位角的計算，解直角三角形的實際應用，三角形內(nèi)角和定理：（1）根據(jù)方位角的描述和三角形內(nèi)角和定理可求出兩個角的度數(shù)，根據(jù)路程等于速度乘以時間可以計算出對應線段的長度；（2）設PD=x海里，先解Rt△PDB得到BD=x，再解Rt△APD得到AD=PDtanA=3x海里，AP=PDsinA【詳解】（1）解：如圖所示，過點P作PD⊥AC于D，由題意得，∠APD=60°，∴∠PAB=90°?∠APD=30°，∵一艘漁船自西向東（沿AC方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從A出發(fā)到上午8時30分到達B，∴AB=10×0.5=5海里．（2）解：設PD=x海里，在Rt△PDB中，BD=PD?在Rt△APD中，AD=PDtan∵AD=AB+BD，∴x+5=3解得x=5∴AP=2x=5∵∠C=180°?∠A?∠APC=75°，∴∠C=∠APC，∴AC=AP=5上午9時時，船距離A的距離為10×1=10海里，∵53∴該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異?！眳^(qū)．2．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，且A，B相距1633海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東65°方向航行一段時間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號．此時，在燈塔B處的漁政船測得D處在北偏東27°方向，便立即以18海里/小時的速度沿BD方向航行至D處救援，求漁政船的航行時間．（注：點A，B，C，D在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：tan65°≈2.1，tan【答案】(1)B，C兩處的距離為16海里(2)漁政船的航行時間為75【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形．（1）根據(jù)題意易得AC=AB，則CE=BE，再求出BE=CE=AB（2）過點D作DF⊥BC于點F，設CF=x海里，則DF=CFtan65°=2.1x，DF=BFtan27°=0.516+x，則2.1x=0.516+x，求出x=5，進而得出【詳解】（1）解：過點A作AE⊥BC于點E，∵燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔B的正北方向．∴∠ACE=∠ABE=30°，∴AC=AB，∵AE⊥BC，∴CE=BE，∵AB=16∴BE=CE=AB∴BC=8×2=16（海里），∴B，C兩處的距離為16海里．

（2）解：過點D作DF⊥BC于點F，設CF=x海里，∵∠DCF=65°，∴DF=CFtan由（1）可知，BC=16海里，∴BF=16+x∵∠DBF=27°，∴DF=BFtan∴2.1x=0.516+x解得：x=5，∴BF=BC+CF=21海里，DF=CFtan根據(jù)勾股定理可得：BD=D∴漁政船的航行時間為215答：漁政船的航行時間為75

3．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數(shù)學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為22km，南門O設立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求點A1到道路BC(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結(jié)果精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，【答案】(1)∠CA1A2(2)2.0千米(3)2.4【分析】本題考查正多邊形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)：（1）求出正八邊形的一個外角的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關系進行求解即可；（2）過點A1作A1D⊥BC，垂足為D，解Rt△CA2A（3）連接CA8并延長交BM于點E，延長A1A8交BE于點G，過點A8作A8F⊥BC，垂足為【詳解】（1）解：∵正八邊形的一個外角的度數(shù)為：360°8∴∠CA1A故答案為：90,76；（2）過點A1作A1D⊥BC在Rt△CA2A1∴CA在Rt△CA1∴A答：點A1到道路BC（3）連接CA8并延長交BM于點E，延長A1A8交BE于點G，過點A∵正八邊形的外角均為45°，∴在Rt△A7∴FB=A又∵A8F=∴CB=CD+DF+FB=5+∵∠CFA∴Rt△C∴CFCB=∵2∴EB≈2.4km答：小李離點B不超過2.4km，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響．重難點三：運用解直角三角形的知識解決坡角、坡度相關問題1．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩AB長為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角α為26°35'．求堤壩高及山高DE．（sin26°35'

【答案】堤壩高為8米，山高DE為20米．【分析】過B作BH⊥AE于H，設BH=4x，AH=3x，根據(jù)勾股定理得到AB=AH2+BH2=5x=10，求得AH=6，BH=8，過B【詳解】解：過B作BH⊥AE于H，

∵坡度i為1:0.75，∴設BH=4x，AH=3x，∴AB=A∴x=2，∴AH=6，過B作BF⊥CE于F，則EF=BH=8，設DF=a，∵α=26°35∴BF=DF∴AE=6+2a，∵坡度i為1:0.75，∴CE：∴a=12，∴DF=12（米），∴DE=DF+EF=12+8=20（米），答：堤壩高為8米，山高DE為20米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-俯角仰角，解直角三角形的應用-坡角坡度，正確地作出輔助線是解題的關鍵．2．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，∠C=18°，求斜坡AB的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31,

【答案】斜坡AB的長約為10米【分析】過點D作DE⊥BC于點E，在Rt△DEC中，利用正弦函數(shù)求得DE=6.2，在Rt【詳解】解：過點D作DE⊥BC于點E，則四邊形ADEF是矩形，在Rt△DEC中，CD=20DE=CD?sin∴AF=DE=6.2．∵AFBF∴在Rt△ABF中，AB=答：斜坡AB的長約為10米．【點睛】此題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．3．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）某中學依山而建，校門A處有一坡角α=30°的斜坡AB，長度為30米，在坡頂B處測得教學樓CF的樓頂C的仰角∠CBF=45°，離B點4米遠的E處有一個花臺，在E處測得C的仰角∠CEF=60°，CF的延長線交水平線AM于點D，求DC的長（結(jié)果保留根號）．

【答案】DC的長為21+23米【分析】作BN⊥AM于點N，首先根據(jù)坡度求出BN，并通過矩形的判定確定出DF=BN，然后通過解三角形求出CF，即可相加得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，作BN⊥AM于點N，則由題意，四邊形BNDF為矩形，

∵在Rt△ABN中，sin∠BAN=BNAB，∴BN=AB·sin∵四邊形BNDF為矩形，∴DF=BN=15，由題意，∠CBF=45°，∠CEF=60°，∠CFB=90°，BE=4，∴△CBF為等腰直角三角形，BF=CF，設BF=CF=x，則EF=BF?BE=x?4，在Rt△CEF中，tan∴tan60°=xx?4解得：x=6+23，經(jīng)檢驗，x=6+2∴BF=CF=6+23∴DC=CF+DF=6+23∴DC的長為21+23【點睛】本題考查解直角三角形的應用，準確構(gòu)造出直角三角形并求解是解題關鍵．重難點四：12345模型1．（2021·北京豐臺·一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠BAC+∠CDE=（點A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點）．【答案】45°【分析】連接AD，計算證明△ADC是等腰直角三角形，證明∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解．【詳解】連接AD，如圖：∵AD2=1210+10=20即AD∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，∴∠BAC+∠CDE=∠ACF+∠DCF=∠ACD=45°，故答案為：45°．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．2．（2023·山東濱州·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，則AF的長為．【答案】4【分析】取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設DF=DN=x，則NF=2x，再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質(zhì)：對應邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長．【詳解】解：取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設DF=DN=x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=2x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=5，AB=2，∴BE=1，∴ME=BM∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AMFN∴12解得：x=4∴AF=A故答案為410【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運用，正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的