第13講對數(shù)函數(shù)(對數(shù)函數(shù)的定義與圖像，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì))

【基礎知識】

定義當。固定，且a>O,a#l時，才以a為底的對數(shù)

>=logu.r

確定了變量y隨變量I變化的規(guī)律,稱為底為。的對數(shù)函

數(shù)(logarithmicfunction).

對數(shù)函數(shù)的圖像總是經(jīng)過點(1*0).

因為y=logj是〃=z的解.所以說對數(shù)運算是指數(shù)運算的

一種逆運算.作為函數(shù)?稱對數(shù)函數(shù)y=l。&才是指數(shù)函數(shù)y=a"

的反函數(shù).

證明用反證法.如果工=1。&,、&0.由指數(shù)的性質(zhì).就可得

N=a，&l,與N>l矛盾.

定理當時，成立log“N>0.

對數(shù)函數(shù)單調(diào)性當時,對數(shù)函數(shù)y=bg"在

(0,+8)上嚴格遞增；當0<aVl時.對數(shù)函數(shù)y=log”.r在

(0,+oo)上嚴格遞減.

.v==lo&xa>l0<a<l

]y=logaX(a>l)^

—\--------'----?----?----?----?

圖像(.................21

Ai.o)

^=logx(0<a<l)

11o

(1)圖像都在y軸右側(cè).無限趨近于S軸,但永不相交.

圖像特征(2)過點(1.0).

(3)自左至右圖像上升.(3)自左至右圖像下降.

(1)定義域為(0.+8).

函數(shù)性質(zhì)(2)當/=1時?y=0.

(3)在(0，+8)上嚴格遞增.(3)在(0.+8)上嚴格遞減.

【考點剖析】

考點一：對數(shù)函數(shù)的概念與簡單運用

gn求下列函數(shù)的定義域.

(1)y=log2(2,—1)；

(2)3=log0(―一4工-5)(。>0,。#1).

解(D當彳-1>0,即z>l時.該函數(shù)才有意義，所以該函

數(shù)的定義域是(1.+8).

(2)當小一4才一5>0時，該函數(shù)才有意義，而

41-5=(1+1)(1-5),

不等式一一4l一5>0的解是才〈一1或z>5,因此該函數(shù)的定

義域是

(—oo,—l)U(5?+℃>).

對2.求下列函數(shù)的定義域

⑴'=%(16—2')(2)y-----------

-lg(2+3x)

【難度】★★

【答案】解：(1)16—2、>0且％+2>0且X+2彳1=>16(—2,—1)。(一1,4)

,、/21、，1、

(2)X6(---,---)U(---,+00)

333

i］3.已知函數(shù)f(x)的定義域是［0,1］,求函數(shù)y=〃log1/2(x—3)］的定義域。

【難度】★★

【答案】解：由041081/2(*一3)41得1(嗚/21<1081/21—3)41081/2%,

由于y=log“2X為定義域上的減函數(shù)，故得:

1/2<X-3<1.*.7/2<x<4,,

二所求函數(shù)的定義域為［7/2,4］。

注意：已知y=f(x)定義域［a,b］,求y=f［g(x)］定義域，只需agg(x)Wb,解x的取值范圍即可。

列4.若log,,2>1,則〃的取值范圍是

()

A.1＜"3

B.0＜。＜1或1＜。＜

2

c2,2、

C.—V6Z＜1D.0＜。＜一或a＞

3

【難度】★★

【答案】D

例5.函數(shù)y=/(2")的定義域為[1,2],則函數(shù)y=/(log2x)的定義域為)

A.[0,1]B.[1,2JC.[2,4JD.[4,16]

【難度】★★

【答案】D

例6.已知函數(shù)/。)=眩(女2+依+1)的定義域為R,求實數(shù)“的取值范圍。

【難度】★★

【答案】解：依題意，av2+ox+l>0,xeR恒成立。

(1)當4=0時，不等式1>0恒成立。

fa>0

(2)當4加時，有<,得：0<a<4,

A=a--4a<0

綜合⑴、(2),得ad[0,4).

注意：勿忘討論二次項系數(shù)為零這一情況。

|例7.函數(shù)/(x)=log2|ar-l|(ao0)

(1)若其定義域包含一切負實數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍

(2)當x<—時，求y=f(x)的反函數(shù)

a

【難度】★★

【答案】解：(1)不等式|辦一l|>0nxwL,xGR,所以a>0即可

(2)當〃>0時，y=log(-or+l),所以/“(%)=-----,xwR

2a

i+2X

當。＜0時，y=log2(ox-l),所以/T(x)=-----,XG7?

a

考點二：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像問題

分別描繪對數(shù)函數(shù)y=log2%及y=1嗨]的大致圖像.

解先取此圖像上的一些特別的點.由bg21=0,log22=l,

log2y=-1.log24=2,log?；=—2,所以對數(shù)函數(shù)y=log2i

的圖像必經(jīng)過下面的點：

(；.一2),~.—1),(1,0),(2,1),(4?2).

再使用計算器多采集一些點.就可以粗略地繪出其圖像.

因為log3t=-2,log3y=—1,Iog3l=0,log33=1,

Iog39=2,所以對數(shù)函數(shù)y=log3.r的圖像必經(jīng)過點：

代,一2),(y,-l),(1,0),(3,1),(9,2).

再多采集一些點,就可以粗略地繪出其圖像.

我們把這兩個圖像放在同f圖上以便觀察比較，見圖4-3-1.

描繪y=log”的大致圖像.

解因為logg；=2,logi7=1?logil=0,logi2=-1,

log/4=一2.所以該函數(shù)的圖像經(jīng)過下面的點：

(j,2),(1,0),(2,-1),(4,-2).

類似地?可以粗略地描出其相應的圖像.見圖4-3-2.

例3.由函數(shù)y=lgx圖像，畫出下列各函數(shù)圖像。

(1)y=lg(-x)(2)y=-lgx(3)y=|lgx|(4)y=lg|x|(5)y=lg|x-l|(6)y=lg(|x|+l)

【難咬】★★

y=igx

y=Tgx

(2)

注意：y=iglx-l|由y=igkl向右平移i個單位得到，而y=ig（|x|+D為偶函數(shù)，y軸左側(cè)圖像由y

軸右側(cè)y=lg（x+1）（x2。）的圖像關于y軸對稱而得到。（圖中實線為保留部分。虛線為擦除部分）

d14.右圖是對數(shù)函數(shù)y=log"x的圖像，已知a取則相應于GC2c3c4的a值依次

為_______

【難度】★★

【答案】解題策略：根據(jù)對數(shù)函數(shù)底數(shù)在第一象限由左向右.、從小到大分布規(guī)律解答。

注意：x=l時，左側(cè)Ovavl,在x=l右側(cè)a>l。

已知log,,,5>log,,5,試確定m和n的大小關系。

【難度】★★

【答案】解法一：分三種情況，令yi=k>gm5,y2=logn5,

⑴當log,”5>log”5>0時,如圖(1)有1cmen。

(2)當0>log,”5>log”5時，如圖(2)有0cm<n<l。

(3)當k>g,“5>0>log“5時,如圖(3)有0<n<l<m

(1)當Iog5/n>0,log5〃>0時,則logsm<logs〃，所以

當〃時，則,所以。

(2)log5m<0,log5<0logs<log5n0<m<n<1

當〃時，則有

(3)log5m>0,log5<00</?<1<m

考點三：對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系

'1例1.函數(shù)y=log”x的圖像過點（9,2）,求廣（loggZ）的值。

【難度】★★

【答案】解：log“x的圖像過點（9,2）,得loga9=2^Ja=3。

y=log3xlog92=log3xlog3V2=log3x,x=6

注意:本題運用了結(jié)論了g，“夕=—log”用其中,。,6>0,4=1,見九￡夫)

。m

［例2.將y=2x的圖像：()再作關于y=x對稱圖像，可得到函數(shù)y=log2(x+l)的圖像。

(A)先向左平行移動1個單位(B)先向右平行移動1個單位

(C)先向上平行移動1個單位(D)先向下平行移動1個單位

【難度】★★

【答案】解：y=log2(x+l)的反函數(shù)是y=2F,因此只要把y=2*的圖像向下平移1個單位，就得到y(tǒng)=22的

圖像，再作它關于直線y=x的對稱圖像，就可得到y(tǒng)=bg2(x+l)的圖像，故選(D)

注意：兩個函數(shù)圖像若關于直線y=x對稱，則它們互為反函數(shù)。

例3.

考點四：對數(shù)函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

(、一］例1.【例21】(1)求函數(shù)y=lg(x+l)的值域。

(2)求函數(shù)y=lg(x?-%)的值域。

(3)函數(shù)y=lg(G?+X+1)值域為R,求實數(shù)a范圍。

【難度】★★

【答案】解：(1)定義域為(-1,+00),4X+1G(0,+00)TyGR。

(2)定義域為(-8,0)U(1,+oo),令/=一—%,則疙(0,+oo)-yWR。

fa>0

(3)依題意有a=0或《，則”00,1/4］。

A=l-4a>0

注意：y=k)g“(ax+6)(〃>0,"工1)值域為R的條件為

y=log?(ar2+hx+c)(〃〉0,〃H1)值域為R的條件為a>0,JiA>0或a-0且厚0.

例2.求函數(shù)J'(x)=(k>go.25X)2-210go.25X+5,XG［2,4］的最值。

【難度】★★

【答案】解：令f=logo_25X,則有y=*—2f+5=(f—l)2+4

25

.?.當d1,即44時，/(X)max=8；當片-1/2即42時，/0焉=j

注意：換元后，求出新變量范圍。

：,］3.已知x滿足不等式2(k>g2X)2-71og2X+3W0,求函數(shù)f(x)=log2±log「的最大值和最小值。

【難度】★★

【答案】最大值2：最小值-工

4

工例4.解不等式loga(2x+l)>2(a>0,LHl)

【難度】★★

【答案】

解：log“(2x+l)>k)g"2,2_

當a〉1時，該不等式哮價于2x+l>",解得*e(----,+oo)；

2\(T~\

當0<a<1時，，不等式等價于0<2尤+l<a2,解得xe(-一,-----)

22

注意：解：logJ(x)>b常轉(zhuǎn)化為logJ(x)>log?a"求解

5.解不等式logx（2x+l）>log,2.

【難度】★★

【答案】解：原不等式等價于:

x>11>x>0

⑴4（2乂

[2x+l>2[2>2x+l>0

⑴的解集為：（l,+oo）,（2）的解集為（0,g）

綜上：不等式的解集為(0,1/2)U(l,+8)。

注意：結(jié)論是求(1)、(2)兩種情況的并集。

例6.已知函數(shù)y=log%(為2—以—a)在區(qū)間("』一6)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。

【難度】★★

【答案】解：該函數(shù)為丁=108%〃,〃=/—內(nèi)—。復合而成，

外函數(shù)y=log,，u為定義域上減函數(shù),

依題意，內(nèi)函數(shù)在上應為減函數(shù)，又真數(shù)大于零,

得：!解得：2-2^<a<2

（1—V3）"—iz（l—-aN0

注意：(1)勿忘真數(shù)部分大于0。

(2)要使xG(一叫1-百)時,u(x)>0,只需〃(1一百)>0，勿忽略“=”，因區(qū)間為開區(qū)間!

【反思總結(jié)】

對數(shù)函數(shù)是在學習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)基礎上引入的。通過指數(shù)函數(shù)與對數(shù)的聯(lián)系，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、

圖像、性質(zhì)并能應用，同時能夠靈活解決對數(shù)函數(shù)和函數(shù)性質(zhì)的綜合題目、對數(shù)函數(shù)應用題；在解決問題

中，通過數(shù)形結(jié)合，分類討論等數(shù)學思想方法，發(fā)展邏輯思維能力，提高信息檢查和整合能力

【真題演練】

一、單選題

1.（2021?上海高一期末）下列四組函數(shù)中，兩個函數(shù)相同的是（）.

A.丁=正■和y=B.y=l和y=x°

C.y=x（xe{0,l}）和y=x2（xe{0,i}）D.y=log“/和y=210g.X

【答案】C

【分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義，從定義域、值域、對應關系三方面進行判斷即可.

【詳解】A：函數(shù)y=的定義域為全體實數(shù)集，函數(shù)y=（、6）2的定義域為非負實數(shù)集，故兩個函數(shù)不

相同，不符合題意；

B：函數(shù)y=l的定義域為全體實數(shù)集，函數(shù)y=x°的定義域為非零的實數(shù)集，故兩個函數(shù)不相同，不符合

題意；

C：當xe{0,l）時，函數(shù)y=x的值域為ye{0,l},其中當x=0時，丁=0,當x=l時，y=l：當xe{0,l}

時，函數(shù)、=/的值域為丁6{0,1},其中當尤=0時,，y=0,當尤=1時，y=l,因此兩個函數(shù)是相同函

數(shù)，符合題意；

D：函數(shù)y=log”/的定義域為非零的實數(shù)集，函數(shù)y=21og“x的定義域為正實數(shù)集，因此兩個函數(shù)不相

同，不符合題意，

故選：C

2.（2020?上海市實驗學校高一期末）“歸―”<1”是“1。82%<1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】本題首先可求解不等式卜-1|<1以及10g2X<l,然后通過充要條件的判定即可得出結(jié)果.

【詳解】|x—1|<L-1<X-1<1,解得0<x<2,

log2x<l,0cx<2、解得0cx<2,

則-<1”是“kgX<1”的充要條件，

故選：C.

3.（2020.上海格致中學高一期末）已知函數(shù)y=k）g式x+a）+A的圖象不經(jīng)過第四象限，則實數(shù)。、力滿

足

A.a>l,b>0B,a>0,b>l

b

C.b+log2a>0D.a+2>0

【答案】C

【分析】因為函數(shù)y=log2（x+a）+人的圖象不經(jīng)過第四象限，所以當x=0時，y'O,所以log2a+bN0.

【詳解】因為函數(shù)y=log2*+a）+b的圖象不經(jīng)過第四象限，所以當x=0時，,-.log2?+^>0.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎題.

4.（2021?上海高一期末）已知正數(shù)a,b均不為不貝！］“3a>3">3”是"log”3<l0gz,3"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的概念,分析“3〃>3&>3”與“l(fā)og“3<log,3”的推出關系即可.

【詳解】由題意知，3">3">3=a>Z?>l，

當a>6>l時，log“3=3=$1成立，

Igalgb

反之不成立，例如a=；,6=3滿足logfl3<logfc3，推不H；a>b>\.

故"3“<3*”是“l(fā)og3a<log3b”的充分不必要條件.

故選：A

5.（2020?上海）已知。>0,且awl,函數(shù)y=a'與y=log〃（-x）的圖象只能是下圖中的（)

【分析】根據(jù)函數(shù)y=10g“（r）的圖象與y=log”％的圖象關于y軸對稱，函數(shù)y=ax的圖象與y=log。x

的圖象關于直線y=x對稱，即可判斷.

【詳解】

根據(jù)題意，所以正確的是B.

故選：B.

【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象的理解和應用，屬于容易題.

6.（202。上海市第二中學高一月考）已知函數(shù)/（x）=lgx,對任意兩個不相等的正數(shù)為、/，給出以下

三個結(jié)論：

⑴/（中2）=/（石）+/（工2）；(2)八",5)>0；(3)>|[/(^)+/(^)]；

%一工2I，J2

其中正確結(jié)論的個數(shù)（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則知（1）正確；根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性知（2）正確；利用作差法可知（3）正確.

【詳解】對于（1）,/（中2）=愴（中2），/（%）+/（9）=愴％+愴々=愴（％9），

，/（玉工2）=/（玉）+/（工2），（1）正確:

對于⑵，若J\"_八2/>0,則/（6為（0,+紇）上的增函數(shù),

%—%2

又/(x)=lgx為(0,+8)上的增函數(shù),(2)正確;

對于(3),yf|[/(xl)+/(x2)]=|lg(x1x2),

\LJzzz

%+%2-gig（玉%）=愴與玉

1g2lgl=0（當且僅當％=超時取等號），又

2

X產(chǎn)乙,尼土產(chǎn)一:館（七々）>°，即/[”^1>；[/&）+/（工2）],⑶正確:

乙乙\，乙）乙

綜上所述：正確結(jié)論的個數(shù)為3個.

故選：D.

2

7.（2021.上海市第二中學高一期末）若log“]>l,則。的取值范圍是：（）

3

A.1<a<一B.0<4<1或1<4<一

22

22

C.—<a<1D.0<a<一或

33

【答案】C

【分析】討論a的范圍再利用時數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求解.

27

【詳解】logrt->1,即log,1>log.a,

22

當0<。<1時，解得a>—,即一

33

2

當。>1時，解得。<一，此時無解，

3

2

綜上，一

3

故選：C.

二、填空題

8.（2021.上海市西南位育中學高一期末）函數(shù)>=logo_5（4-x）的定義域是.

【答案】（YO,4）

【分析】由對數(shù)的性質(zhì)可得：4—x>0即可求解.

【詳解】由對數(shù)的性質(zhì)可得：4一%>0,

解得：x<4,

所以原函數(shù)的定義域為：（…,4）,

故答案為：（一8,4）

9.（2021?上海高一期末）設函數(shù)y=log“x+l（a>0且awl）,則該函數(shù)的圖象恒過定點的坐標是一.

【答案】（1,1）

【分析】將x=i代入函數(shù)解析式，求出y的值，即可得出原函數(shù)圖象所過定點的坐標.

【詳解】在函數(shù)y=log“x+l（a>0且的解析式中，令X=l,則y=log〃l+l=l.

因此，函數(shù)y=log“x+l（a>0且awl）的圖象恒過定點的坐標是（1,1）.

故答案為：（1,1）.

10.（2021?上海高一期末）log2a的小數(shù)表示為15..（包括1,5在內(nèi)），則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】"5,2埠

【分析】由題意得L5Slog?a<1.6,解不等式可得答案

【詳解】解：由題意得1.5<log2a<1.6,

所以2“<?<216,

所以實數(shù)?的取值范圍為［2",升6）,

故答案為：［2”,2「6）

11.（2021.上海曹楊二中高一期末）已知/（力=1082（1-"2）在［3,4］上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)。的取值

范圍是.

【答案】［0,總

【分析】根據(jù)f（x）的單調(diào)性可得〃滿足的不等式組，從而可求實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】〃x）=log2（1-62）在［3,4］上是嚴格減函數(shù)，

故f=l一方2在［3,4］為減函數(shù)，且，>0恒成立，

tz>0,故總.

所以《

l-16a>0

故答案為：

【點睛】易錯點睛：與對數(shù)有關的復合函數(shù)的單調(diào)性，要利用同增異減的原則來進行判斷，注意真數(shù)大于

的要求.

12.(2021.上海市楊浦高級中學高一期末)aicy=log3x-log33x,xe[3,9]的最小值是.

【答案】2

C1V1

【分析】令f=10g3X,可得y=f(l+0=t+-即可求出最小值.

<2/4

【詳解】?/y=log3x-log33x=log3x-(1+log3x),

令f=log3%，?.?xe[3,9],/.re[1,2],

2

則y=/(1+/)=t+-

4

當/=1時，Win=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查與對數(shù)函數(shù)復合的：次函數(shù)的最值，解題的關鍵是換元令，=lOg3X，得出二次函數(shù)求最

代

13.(2021?上海位育中學高一期末)不等式log?x+2*<2的解集為

【答案】(0,1)

【分析】構造函數(shù)F(x)=log2X+2'，xe(O,*?),利用/⑴=2和函數(shù)單調(diào)性，即得不等式的解集.

【詳解】構造函數(shù)f(x)=log2X+2)XG(O,4W),則/'(l)=log21+2i=2,故不等式即/(幻</(1).

由指數(shù)函數(shù)y=2,和對數(shù)函數(shù)y=log2x的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)=log2x+2'在(0,+a))上單調(diào)遞增，

故不等式即得0<x<1,故不等式的解集為(0,1).

故答案為：(0,1).

14.（2021?上海復旦附中高一期末）函數(shù)/（司=-^1=+1（唱2（%—2）的定義域為一.

，4-x

【答案】（2,4）

【分析】根據(jù)解析式有意義可得出關于實數(shù)x的不等式組，進而可求得函數(shù)/（x）的定義域.

/、1/\4-x>0

【詳解】對于函數(shù)/（》）=）=+1〃2（》一2）,有{C，解得2Vx<4.

\/4-x[x-2>0

因此，函數(shù)/（》）=號\+1。82（%一2）的定義域為（2,4）.

故答案為：（2,4）.

三、解答題

15.（2020?上海市復興高級中學高一期中）已知函數(shù)y=/（x）,其中/（x）=S—2a—2）d是指數(shù)函數(shù).

（1）求f（x）的表達式；

（2）解不等式：log“（l+x）<log“（2-x）.

【答案】（1）f（x）=3x；（2）{x|-l<%<1}

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，有/一2。一2=1，結(jié)合。求。，寫出f（x）；

（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其單調(diào)性列不等式組求解集即可.

【詳解】（I）y=/（x）是指數(shù)函數(shù)，所以"一2a-2=1，解得。=3或〃=一1（舍），

/（x）=3'.

（2）由⑴知：Iog3（l+x）<log3（2—x）,

l+x>0

2—x>0,解得—l<x<—,解集為{x|—l<x<—}.

2-x>l+x22

（1+2*+

16.（2021?上海高一）設f（x）=lg-----------其中aeR,如果xe（3,l）時，/（x）恒有意義，求a

\^）

的取值范圍.

3

【答案】[---,+8）.

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為。>一(27+2a)對XG(r。/)恒成立，令/=2,得到g?)=-Q+產(chǎn))，其中

/eg,+8),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】當》€(wěn)(-8,1)時，“幻恒有意義，即1+2*+小4'>0,對Xe(-oo,1)恒成立,

1+2,

即a>-----=一(2-*+2々，)，對xe(T?,l)恒成立,

4,

令￡=2一"，可得g(f)=-(f+〃)，

因為xe(—8,l),可得teg,+oo),所以a>g(f)對，e(g,+oo)恒成立,

又因為g?)在￡eg,+00)上為減函數(shù),可得gQ)max=g(g)=-j,

33

所以aN—士，即實數(shù)。的取范圍是［―巳,+8).

44

17.(2021?上海市西南位育中學高一期末)解下列方程或不等式.

/］、*T(1、2x-3

(1)月七)；

(2)log2(^-1)>log4(2x-3).

【答案】⑴x=|；⑵6,23(2,+8).

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)將等號左右兩邊化成同底的，令指數(shù)相等即可求解;

(2)根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

/［、xTz］、2x-3z［\A-1/［、4x-6

【詳解】⑴由士=LW-=-,

⑴⑷⑶⑴

所以x-l=4x-6,解得：X=—,

3

所以原方程的解為：x=|

2

(2)^log2(x-l)>log4(2x-3)nj^：log4(x-l)>log4(2x-3),

因為y=log4%在(0,+。)單調(diào)遞增，

\-1>0X>1X>1

53

所以■2x-3>0即，x>—可得《X>一

222

(x—1)>2x-3x2-4x+4>0"2

所以原不等式的解集為：f1,2)U(2,+oo)

18.(2021?上海市第二中學高一期末)己知函數(shù)y=/(x)=log“(2—2x)—log“(x+4),其中a>i.

(1)求函數(shù)y=/(x)的定義域;

(2)解不等式/(x)>0.

【答案】(1)(-4,1)；(2)1—4,一：］

2—2x>0

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，解不等式〈x+4〉。即可求解;

(2)由可得y=loga%在(0,+8)單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性可得2—2x>x+4,結(jié)合定義域即可求解.

2-2x>0

【詳解】(1)由題意可得：《“八，解得T<X<1,

x+4>0

所以函數(shù)y=/(x)的定義域為(-4,1)：

(2)/(%)>0等價于?！?2-2幻>108“(％+4),

當時，y=log”％單調(diào)遞增,

2

所以2-2x>x+4，解得：x<—,

3

又因為T<x<l，

所以一4cx<——，

3

所以不等式/(x)>0的解集為1-4,-g]

【過關檢測】

一、單選題

1.(2020?上海高一單元測試)若1幅,(。2+1)<108“2。<0,則。的取值范圍是()

A.0<?<1B.-<a<\C.0<av—D.a>1

22

【答案】B

fO<a<l

【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得<c,，即可得解.

2a>1

【詳解】由題意，。>()且所以〃+1-2。=(。-1)2>0即/+i>2a，

因為log/a?+1)<log"2a<0=log“1,

0<?<1

所以《,解得

2a>12

故選：B.

(3a-2)x+a,x<l

2.(2020?上海高一單元測試)已知函數(shù)/")=<1?、1是R上的增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范

l+10g(4-3“)X，XZl

圍是()

23

A.B.C.D.

3544

【答案】C

【分析】根據(jù)分段函數(shù)是H上的增函數(shù)，則每一段都為增函數(shù)，且x=l右側(cè)的函數(shù)值不小于左側(cè)的函數(shù)值

求解.

(3。-2)x+a,x<1

【詳解】因為函數(shù)f(x)={17、［是/?上的增函數(shù),

l+10g(4-3a)X,XZl

2

a>—

3a—2>03

23

所以《，即《

4-3a>la<l9解得

34

(3a-2)x1+aW1+log_13

(43a)a<—

4

r23

所以實數(shù)。的取值范圍是n

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：在利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)時，除了分析每支函數(shù)的單調(diào)性外，還應由間斷點

處函數(shù)值的大小關系得出關于參數(shù)的不等式組求解.

3.（2020?上海高一單元測試）已知。=（：）,6=[4）,c=bg：2,則.，,c的大小關系是（）

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】A

【分析】將。和b化為同底，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，然后再判斷。的正負，得出。，b,。的大小關

系.

【詳解】則根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知。<力，又0<。<從而c=l°g￡2<°,故c<a<"

5

故選：A.

【點睛】本題考查指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較，一般地比較指數(shù)式與對數(shù)式的大小可從以下幾點判斷：

（1）先觀察所給式子是否有同底數(shù)的，或可化為同底，若同底根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;

（2）和“0”，“1”作比較，或者和最接近的整數(shù)比價，可判斷某些式子之間的大小關系；

（3）可利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，畫圖分析比較.

4.（2020?上海高一單元測試）以下關于函數(shù)y=lg（l—x）的說法正確的是

A.定義域是（0,+8）B.值域是（0,+8）

C.在定義域上單調(diào)遞增D.在定義域上單調(diào)遞減

【答案】D

【分析】根據(jù)定義域為｛x|x<l｝，值域為R,排除A,B,再根據(jù)單調(diào)性得到答案.

【詳解】函數(shù)y=lg（l-％）的定義域為：｛x|x<l｝故A錯誤；值域為R,B錯誤；

易知I：y=l-x單調(diào)遞減，y=lgx單調(diào)遞增

故y=lg（l-x）在定義域上單調(diào)遞減，C錯誤，D正確

故選D

【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性，意在考查對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì).

二、填空題

5.（2021.上海格致中學高一期末）函數(shù)/*）=l°g2（=D的定義域為.

x-2

【答案】（1,2）D（2,4W）

x—1>0

【分析】由解析式得出｛c八，解出即可.

［x-2^Q

【詳解】.."（X）=皿1）,

x-2

x—1>0

二?〈一八，解得x>l且％工2,

x—2w0

..?/（X）的定義域為（1,2）口（2,+8）.

故答案為:（1,2）D（2,+8）.

6.（2021.上海高一期末）函數(shù)y=log“（x+3）-4（a>0,且arl）圖象恒過定點P,點P的坐標為

【答案】（-2,-4）

【分析】令x+3=l可得，計算可得.

【詳解】令x+3=l,即x=-2,則'=7,

二函數(shù)過定點（-2,-4）.

故答案為:（-2,-4）.

7.（2021?上海高一期末）若log2（x-l）>0,則x的取值范圍是.

【答案】x>2

【分析】由題意利用數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，求得》的范圍.

【詳解】解：由log2（x—l）>0,可得x—；.x>2,

故答案為：x>2.

8.（2020?上海市松江二中高一期中）已知不等式log2?！獂）<l,則x的解集是—.

【答案】［3,5）

【分析】利用時數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】因為y=k）g2X在（0,+8）單調(diào)遞增，Iog2（5-x）41=k?g22,

所以0<5—xW2,解得：3Wx<5,

故答案為：［3,5）

9.(2020?上海南匯中學高一期末)對數(shù)函數(shù)〃x)=log“x(。>0且。。1)的圖象經(jīng)過點(4,2),則此

函數(shù)的解析式/(%)=.

【答案】log2x

【分析】將點(4,2)的坐標代入函數(shù)解析式，求出4的值，由此可得出所求函數(shù)的解析式.

【詳解】由已知條件可得log“4=2,可得/=4，因為。>0且所以，。=2.

因此，所求函數(shù)解析式為〃x)=log2X.

故答案為：log2》.

10.(2020?上海市楊浦高級中學高一期中)log2(2x-l)有意義的x的取值范圍是.

【答案】I*00)

【分析】由真數(shù)大于0可得.

【詳解】由題意2x-1>0,x>-.

2

故答案為：

11.(2021.上海市行知中學)函數(shù)/(x)=lg(4x-x2)的嚴格減區(qū)間是

【答案】［2,4)

【分析】先由函數(shù)解析式，求出定義域，再由對數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，即可求出減區(qū)間.

【詳解】由J.(x)=lg(4無一丁)可得>。，解得o<%<4,即/(x)=lg(4x-x2)的定義域為(0,4),

令”?-J,則/=4彳一/是開口向下，對稱軸為x=2的二次函數(shù)，

所以，=4x-爐在(0,2］上單調(diào)遞增，在［2,4)上單調(diào)遞減，

又y=igf是增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)=lg(4x—x2)的嚴格減區(qū)間是［2,4).

故答案為：［2,4)

2X

12.（2021?上海高一期末）函數(shù)1。）=]——+log3（2x—l）的定義域是

>/1-x

【答案】（pl

【分析】根據(jù)函數(shù)的形式，直接求函數(shù)的定義域.

1-x>0

【詳解】根據(jù)函數(shù)的形式可知函數(shù)的定義域需滿足1c|八

2x-l>0

解得：所以函數(shù)的定義域是

故答案為：（"I

13.（2021.上海市建平中學高一期末）函數(shù)y=Jln（2021-X）的定義域為

【答案】（F,2020]

【分析】由題意得到]：￡°21一,2°求解可得出結(jié)果.

2021-x>0

ln（2021-x）>0

【詳解】根據(jù)題意得到

2021-x>0

2021-x>l

即《解得xV2020,

2021-x>0

即所求函數(shù)定義為（v