專題01平方根及立方根

知識框架

重難突破

一.平方根

1.平方根

（1）平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于。，這個數(shù)就叫做。的平方根，也叫做。的二

次方根.

備注：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平

方根.

（2）求一個數(shù)。的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.

一個正數(shù)a的正的平方根表示為負(fù)的平方根表示為

（3）平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有

平方根.

2.算術(shù)平方根

（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x

叫做。的算術(shù)平方根.記為

（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根?有雙重非負(fù)性:

①被開方數(shù)。是非負(fù)數(shù)；

②算術(shù)平方根?本身是非負(fù)數(shù).

即Gzo,?>0.

備注：

aa>0

=\a\=<0a=0

-aa<0

（3）利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也

是非負(fù)數(shù)列出不等式求解.非負(fù)數(shù)之和等于。時，各項(xiàng)都等于0,利用此性質(zhì)列方程解決求

值問題.

例1.（2019?安徽初一期中）下列說法正確的是（）

A.-5是25的平方根B.25的平方根是5

C.一5是（-5）2的算術(shù)平方根D.±5是（-5）2的算術(shù)平方根

【答案】4

【解析】試題分析：48、C、。都可以根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義判斷即可.

解：A、-5是25的平方根，故選項(xiàng)正確；

8、25的平方根是±5,故選項(xiàng)錯誤；

C、5是（-5）2的算術(shù)平方根，-5是（-5）2的平方根，故選項(xiàng)錯誤；

D、5是（-5）2的算術(shù)平方根，-5是（-5）2的平方根，故選項(xiàng)錯誤.

故選A.

練習(xí)1.（2018?安徽四十二中中鐵國際城校區(qū)初一期中）計算J話的平方根為（）

A.±4B.±2C.4D.+72

【答案】8

【解析】V716=4,

又：仕2尸=4,

A4的平方根是±2,即V16的平方根±2,

故選8.

練習(xí)2.（2019?遼寧初二期中）9的平方根是（）

A.3B.81C.±3D.±81

【答案】c

【解析】解：9的平方根是±3.

故選：C.

例2.（2017?阜陽市第九中學(xué)初一期中）J的算術(shù)平方根是（）

4

1111

A.±-B.--C.-D.—

22216

【答案】C

【解析】本題解析：,

???g的算術(shù)平方根為+；,

故選C.

練習(xí)1.（2018?六安市裕安中學(xué)初一期中），話的算術(shù)平方根是.

【答案】2

【解析】?「瓦=4,4的算術(shù)平方根是2,

..灰的算術(shù)平方根是2.

練習(xí)2.（2019?北京初二期中）16的算術(shù)平方根是。

【答案】4_

【解析】???（±4）2=16

/.16的平方根為4和-4

??.16的算術(shù)平方根為4

例3.（2019?安徽初一期中）庖的平方根是；癇的算術(shù)平方根是.

【答案】±32

【解析】解：聞=9,9的平方根是±也=±3，.T的平方根是±3；

病=4,4的算術(shù)平方根是2,.?.癇的算術(shù)平方根是2.

應(yīng)填士3,2.

練習(xí)1.（2019?安徽初一月考）若2a-l和5-a是一個正數(shù)m的兩個平方根，則m=

【答案】81

【解析】解：由于一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，由此可以得到2。-1和5七是互為相

反數(shù)，然后就可以求出。的值，接著根據(jù)平方根的定義出m.

練習(xí)2.（2018?鄭州市第二中學(xué)初二期中）已知2m+2的平方根是±4,3m+n+l的平方根是±5,

求m+2"的值.

【答案】13.

【解析】解：；2m+2的平方根是±4,3m+n+l的平方根是±5,

2n7+2=16,3m+n+l=25,

聯(lián)立解得，m=7,n=3,

/.m+2n=7+2x3=13.

二.立方根

1.立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根.這

就是說，如果V=a,那么x叫做。的立方根.記作：V?.

2.立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，。的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).即任意數(shù)

都有立方根.

3.求一個數(shù)。的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù).

備注：①符號,中的根指數(shù)"3"不能省略；

②對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一個立方根.

例1.（2019?安徽初一期中）64的立方根是（）

A.4B.±4C.8D.±8

【答案】A

【解析】試題分析：：43=64,...64的立方根是4,

故選A

練習(xí)1.（2019?淮南實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一期中）下列說法中，不正確的是（）

A.8的立方根是2B.-8的立方根是-2

C.。的立方根是0D.64的立方根是±4

【答案】。

【解析】A、8的立方根是2,正確：

8、-8的立方根是-2,正確；

C、。的立方根是0,正確；

。、64的立方根是4,錯誤；

故選：D.

練習(xí)2.（2019?北京市昌平區(qū)陽坊中學(xué)初二期中）-8的立方根是.

【答案】-2

【解析】【詳解】???（-2）3=-8,

-8的立方根是-2,

故答案為：-2.

例2.（2018?合肥市第四十五中學(xué)初一期中）已知。+3和2a-15是某正數(shù)的兩個平方根，b

的立方根是-2,c算術(shù)平方根是其本身，求2a+b-3c的值.

【答案】當(dāng)Q=4,b=-8,c=0,2o+b-3c=0；當(dāng)。=4,b=-8,c=l,2a+b-3c=-3.

【解析】丁某正數(shù)的兩個平方根分別是。+3和2a-15,b的立方根是-2.c算術(shù)平方根是

其本身

；?。+3+2。-15=0,b=-8,c=0或1,

解得a=4.

當(dāng)。=4,b=-8,c=0,2a+b-3c=8-8-0=0；

當(dāng)a=4,b=-8,c=l,2o+b-3c=8-8-3=-3.

練習(xí)1.（2019?淮南實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一期中）已知5a+2的立方根是3,3a+b-1的算術(shù)平方根

是4,c是月的整數(shù)部分.

（1）求a,b,c的值；（2）求3a—b+c的平方根.

【答案】（1）a=5,b=2,c=3；（2）±4.

【解析】（l）V5a+2的立方根是3,3a+b-l的算術(shù)平方根是4,

；.5a+2=27,3o+b-l=16,

a=5,b=2,

是6的整數(shù)部分，

c=3,

（2）Va=5,b=2zc=3/

.*.3a-b+c=16,

3a-b+c的平方根是±4.

練習(xí)2.（2018?鄭州市第二中學(xué)初二期中）已知2m+2的平方根是±4,3m+n+l的平方根是±5,

求m+2n的值.

【答案】13.

【解析】解：；2m+2的平方根是±4,3m+n+l的平方根是±5,

2m+2=16,3n?+n+l=25,

聯(lián)立解得，m=7,n=3,

n?+2n=7+2x3=13.

例3.（2018?安徽初一期中）求下列各式中x的值：

（1）2x2=4；（2）64x3+27=0

3

【答案】（1）x=±0；（2）x=-：

4

【解析】

試題解析：（1）解：方程兩邊都除以2得：X2=2,/.X=±72；

273

（2）移項(xiàng)、方程兩邊都除以64得：x3=-------,.*.x=---------.

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專題01平方根及立方根

專題測試

一、單選題

1.（2019?阜陽市第九中學(xué)初一期中）平方根和立方根都是本身的數(shù)是（）

A.08.0和1C.±1D.0和±1

【答案】A

【解析】平方根和立方根都是本身的數(shù)是0.

故選A.

2.（2019?重慶市永川區(qū)第五中學(xué)校初二期中）下列各式中，正確的是

A.V16=±4B.±V16=4c.^7=-3D.=-4

【答案】C

【解析】A原式=4,所以A選項(xiàng)錯誤：

8.原式=±4,所以8選項(xiàng)錯誤；

C.原式=-3,所以C選項(xiàng)正確；

D.原式=|-4|=4,所以。選項(xiàng)錯誤；

故選：C.

3.（2019?廣東初二期中）一8的立方根與4的平方根之和是（）

A.08.4C.0或4D.0或一4

【答案】D

【解析】：-8的立方根為-2,4的平方根為±2,

A-8的立方根與4的平方根的和是0或-4.

故選:D.

4.（2019?安徽初一期末）下列語句中正確的是（）

4.-9的平方根是-3B.9的平方根是3C.9的算術(shù)平方根是±3D.9的算術(shù)平方

根是3

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)：-9沒有平方根，故是錯誤的；

8選項(xiàng)：9的平方根有3和-3,故是錯誤的；

C選項(xiàng)：9的算術(shù)平方根是3,故是錯誤的；

。選項(xiàng)：9的算術(shù)平方根是3,故是正確的；

故選。。

5.（2019?金寨縣天堂寨鎮(zhèn)暖流中學(xué)初一期中）下列各式中，正確的是（）

K-V2^5=-0.5B.7（-5）2=-5C.736=±6D.的=3

【答案】D

【解析】V-VO25=-0,5>故A錯誤；

&-5￥=5，故8錯誤；

>/36=6,故c錯誤；

79=3.故D正確；

故選：D

6.（2017?安徽初一期中）亞下的絕對值是（）

11

A.3B.-3C.—D.--

33

【答案】A

【解析】IB=_3.-3的絕對值是3.

故選A.

7.（2019?金寨縣天堂寨鎮(zhèn)暖流中學(xué)初一期中）病的算術(shù)平方根是（）

A.9B.+9C.+3D.3

【答案】。

【解析】I?通1=9,

又：（±3）2=9,

；.9的平方根是±3,

??.9的算術(shù)平方根是3.

即，所的算術(shù)平方根是3.

故選:D.

8.（2019?阜陽市第九中學(xué)初一期中）若2m-4與3m-l是同一個數(shù)的兩個不等的平方根，則

這個數(shù)是（）

A.28.—2C.4D.1

【答案】C

【解析】解：由題意可知：2m-4+3m-l=0,

解得:m=l,

/.2m-4=-2

所以這個數(shù)是4,

故選：C.

9.（2019?安徽初一期中）已知而立+lb-1|=0,那么（a+b）2°i9的值為（）

4.-1B,1C.32019D.-32019

【答案】A

【解析】V|a+2|+（b-1）2=0,

a+2=0,b-l=0,

a=-2,b=l,

（a+b）2019=（-2+1）2019=-l.

故選A.

10.（2019?安徽初一期中）若a+#1=0,則x和y的關(guān)系是（）.

A.x=y=0B.x和y互為相反數(shù)

C.x和y相等D.不能確定

【答案】B

【解析】：私+/=0,

.".x=-y,

即x、y互為相反數(shù)，

故選：8.

二、填空題

11.（2018?六安市裕安中學(xué)初一期中）J語的算術(shù)平方根是

【答案】2

【解析】V716=4.4的算術(shù)平方根是2,

V16的算術(shù)平方根是2.

12.（2019?淮南實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一期中）-3是的立方根，81的平方根是

【答案】-27±9

【解析】-3是-27的立方根，81的平方根是±9,

故答案為：-27；±9.

13.（2019?浙江初一期中）依立方根是.

【答案】2；

【解析】?-,764=8,?！?2，

764的立方根是2.

故答案為：2.

14.（2019?安徽初二期中）觀察下列各式：①6^=2—；②[2+；=3。=3；

③卜!=4^，…請用含n（n>l）的式子寫出你猜想的規(guī)律：.

1

【答案】（〃+1）

〃+2

【解析】從①②③三個式子中，

我們可以發(fā)現(xiàn)計算出的等號后面的系數(shù)為等號前面的根號里的整數(shù)加分?jǐn)?shù)的分子,

根號里的還是原來的分?jǐn)?shù)，

故答案為(〃+1)

15.(2019?遼寧初二期中)已知x,y都是實(shí)數(shù)，且y=Jx—3+j3—x+4,則)/=.

【答案】64

【解析】由題意得x=3,y=4,則p=43=64

三、解答題

16.(2019?丹東市第七中學(xué)初二期中)己知一個正數(shù)的兩個平方根分別為。和3a-8

(1)求a的值，并求這個正數(shù)；

(2)求1-7a2的立方根.

【答案】(1)4,(2)-3.

【解析】(1)根據(jù)題意,得：。+3。-8=0,

解得：a=2,

所以這個正數(shù)為2?=4：

(2)當(dāng)a=2時，1-7a2=-27,

則1-7a2的立方根為-3.

17.(2018?合肥市第四十五中學(xué)初一期中)已知a+3和2a-15是某正數(shù)的兩個平方根，b

的立方根是-2,c算術(shù)平方根是其本身，求2a+b-3c的值.

【答案】當(dāng)a=4,b=-8,c=0,2a+b-3c=0；當(dāng)。=4,b=-8,c=l,2a+b-3c=-3.

【解析】,?,某正數(shù)的兩個平方根分別是a+3和2o-15,b的立方根是-2.c算術(shù)平方根是

其本身

.*.a+3+2a-15=0,b=-8,c=0或1,

解得a=4.

當(dāng)a=4,b=-8,c=0,2a+b-3c=8-8-0=0；

當(dāng)a=4,b=-8,c=l,2a+b-3c=8-8-3=-3.

18.(2019?安徽初一期中)已知3既是x-1的平方根，又是x-2y+l的立方根，求乂?4的平方

根.

【答案】±6

x-1=9①

【解析】解：根據(jù)題意得

x-2y+l=27②

由①得：x=10,把x=10代入②得：片-8,

[A=10

>,=-8

/.x2-y2=102-(-8)2=36,

V36的平方根是±6,

.”句2的平方根是±6.

19.(2019?阜陽市第九中學(xué)初一期中)已知a是-64的立方根，b的算術(shù)平方根為2.

(1)寫出a,b的值；

⑵求3b-a的平方根，

【答案】⑴a=-4,b=4;(2)±4.

【解析】解(1)因?yàn)?。?64的立方根，b的算術(shù)平方根為2,所以。=-4,b=4

(2)因?yàn)閍=-4,b=4,所以3a-3b=16.

所以3a-3b的平方根為士4

專題02實(shí)數(shù)

知識框架

實(shí)數(shù)大小比較的常用方法

重難突破

一、實(shí)數(shù)

1、實(shí)數(shù)分類

1.實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).

2.實(shí)數(shù)的分類：

（正有理數(shù)

有理數(shù)

I負(fù)有理數(shù)（正實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)?或?qū)崝?shù)0

'正無理數(shù)（負(fù)實(shí)數(shù)

無理數(shù)

負(fù)無理數(shù)

備注：常見的無理數(shù)有三種形式：

①含TT類；

②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：L212112111……；

③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如若.

2、實(shí)數(shù)大小的比較與估算

1.實(shí)數(shù)大小比較的常用方法：

（1）任意兩個實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)

實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而小.

（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實(shí)數(shù)，右邊的總比

左邊的大.

（3）作差法：作差法的基本思路是設(shè)。，b為任意兩個實(shí)數(shù)，先求出。與b的差，再將差

值與0比較，當(dāng)a-b>0時,得到a>b；當(dāng)a-b<Q時，得到a<b；當(dāng)a-b=Q時，得到a=b.

（4）作商法：作商法的基本思路是設(shè)b為任意兩個正實(shí)數(shù)，先求出。與b的商，再將

商與1比較，當(dāng)年<1時,a<b；當(dāng)華>1時,a>b；當(dāng)中=1時，a=b.

bbb

（5）平方法：平方法的基本思路是先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)a>0,b>0時，可

由￡?2>反得到a>b；a2cb2得到a<b.

3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1.有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).

2.當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、

乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及?？梢赃M(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行

實(shí)數(shù)的運(yùn)算時，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.

例1.（2019?渦陽縣高爐鎮(zhèn)普九學(xué)校初一月考）下列各數(shù)：-2,0,0.020020002...,"，

耳其中無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】-2是有理數(shù)，0是有理數(shù)，;是有理數(shù)，0.020020002…是無理數(shù)，乃是無理數(shù)，也

是有理數(shù)，

所以無理數(shù)有2個，

故選C.

22

練習(xí)1.（2017?安徽初一期中）在下列各數(shù)0,0.2,3n,一,6.1010010001...（1之間逐次

7

I31

增加一個0）,丁丁，近中，無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】無理數(shù)有3兀，6.1010010001...,近共三個。故選C.

練習(xí)2.（2017?宣城市第六中學(xué)初一期中）下列說法中：

①有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)；

②不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)；

③負(fù)數(shù)沒有立方根；

④一斤是爐的相反數(shù)?

正確的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【解析】解：①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，故說法錯誤；

②不帶根號的數(shù)不一定是有理數(shù)，如幾，故說法錯誤：

③負(fù)數(shù)有立方根，故說法錯誤；

④：17的平方根士vT7,...-717是17的一個平方根.故說法正確.

故選B.

例2.（2019?安徽中考模擬）下列無理數(shù)中，與4最接近的是（）

A.VHB.V13c.V17D.V19

【答案】c

【解析】4=V16,

與最接近的數(shù)為JT7,

故選:c.

練習(xí)1.（2019?安徽初一期中）設(shè)a為正整數(shù)，且aV?。糰+l,則。的值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】解：為正整數(shù)，且病＜。+1,

,64＜、,80y/S\，

???8＜V80＜9-

/.a=8

故選：c.

練習(xí)2.（2019?安徽初一期中）比較大小1（填"V"或"="）

48

【答案】＞

【解析】?:旦=也

48

（2萬），=283=25

.2s5

,?丁〉G

...且5

故答案為：＞

例3.（2020?安徽初二期中）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)可能是（）

I???，III?

-^101234

A.MB.V5C.y/3D.&

【答案】A

【解析】V710=3.16,6=2.24,6=1.73,a=1.41,

根據(jù)點(diǎn)N在數(shù)軸上的位置，知：3<N<4,

二四個選項(xiàng)中只有3<3.16V4,即3<］而<4.

故選A.

練習(xí)1.（2018?安徽初一期中）若將三個數(shù)-v弓，々，內(nèi)表示在數(shù)軸上，其中能被如圖所

示的墨跡覆蓋的數(shù)是.

-5-4-3-2

【答案】。

【解析】

V-2<-V3<-l,2<殍<3,3<>/19<4,且墨跡覆蓋的范圍是1-3,

能被墨跡覆蓋的數(shù)是

故答案是：、7

例4.（2020?黑龍江初一期中）化簡：忱一4|+|3—乃卜

【答案】1

【解析】15=3.142,

.".TT-4<0,3-n<0,

|TT-4|+|3-TI|=4-71+71-3=1,

故答案為1.

練習(xí)1.（2019?安徽初一期中）已知洸a+15與〃4b+17互為相反數(shù),求2a+b的立方根.

【答案】-2

【解析】解：：網(wǎng)而與師國互為相反數(shù)，

.,.8a+15=-（46+17）,

；.8a+4b=-17-15=-32,

:.2a+b=-8>

2a+b的立方根是:

例5.（2019?安徽初一期中）（1）^/8+|3-^|-V25+73

（2）如果2a-1和3-a是一個正數(shù)的平方根，6a+b的立方根是-,求2a+b的平方根.

【答案】⑴0；（2）0.

【解析】解：（1）原式=2+3-&-5+百=0；

（2。-1）+（3-。）=0

（2）由題意得,

6a+b--S

a=-2

解得:

b=4

.'.2a+b=0,

-,.2a+b的平方根0.

J^->/（109+7（125

練習(xí)1.（2019?安徽初一期中）計算:

【答案】0.7.

【解析】原式=-0.3+0.5

=0.7.

練習(xí)2.（2018?安徽初一期中）計算:

（1）7100+^8

⑵2-2卜曲F

【答案】（1）8；（2）-73-

【解析】解：（1）原式=10+（-2）

=8：

（2）原式=2-6-2

=-6

例6.(2018?安徽初一期中)對于實(shí)數(shù)a,我們規(guī)定：用符號[G]表示不大于右的最大

整數(shù)，稱[6]為a的根整數(shù)，例如：[9]=3,[10]=3.

⑴仿照以上方法計算：[4]=—；[26]=—.

(2)若[?]=1,寫出滿足題意的x的整數(shù)值____.

如果我們對。連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止.例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次

[#b]=a13]=,這時候結(jié)果為1.

(3)對100連續(xù)求根整數(shù)，一次之后結(jié)果為1.

(4)只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是一.

【答案】(1)2,5；(2)1,2,3；(3)3；(4)最大的正整數(shù)是255,理由見解析

【解析】試題解析:(1)V22=4,52=25,6?=36,

?■?5<V26<6,

.,-[A/4]=[2]=2,[V26]=5,

故答案為2,5；

(2)V12=1,22=4,且[4〉1，

：.x=l,2,3,

故答案為1,2,3；

(3)第一次：[]=10，

第二次：[癡]=3,

第三次：[、Q]=i,

故答案為3；

(4)最大的正整數(shù)是255,

理由是：詬]=15,[后]=3,[、耳]=1,

???對255只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?,

,*[J256]=16,[>/16]=4?[yf4]=2,[-\/2]=1,

...對256只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?,

只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255,

故答案為255.

練習(xí)1.（2019?浙江初一期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道0是無理數(shù)，而無

理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此夜的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用0-

1來表示血的小數(shù)部分，事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)?的整數(shù)部分是1,

將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是五的小數(shù)部分，又例如：???/V（V7）2＜32,即2V

、萬〈3,二療的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為（、/7-2）.

請解答：

（1）jn的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是.

（2）如果75的小數(shù)部分為。，國的整數(shù)部分為b,求a+b-石的值.

（3）已知x是3+逐的整數(shù)部分，y是其小數(shù)部分，直接寫出x-y的值.

【答案】（1）3；而-3；（2）4；（3）x-y=7-75.

【解析】⑴；3＜而＜4,

.??JiT的整數(shù)部分是3,小數(shù)部分是而-3；

故答案為：3；Jjf-3.

專題03實(shí)數(shù)全章復(fù)習(xí)

知識框架

廣平方根

平方根T

匚算術(shù)平方根

立方根

實(shí)數(shù)

______「實(shí)數(shù)分類

實(shí)數(shù)一支數(shù)大小的比較與，古算

j實(shí)數(shù)運(yùn)算

重難突破

一.平方根

1.平方根

（1）平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于a,這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二

次方根.

備注：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平

方根.

（2）求一個數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.

一個正數(shù)a的正的平方根表示為“?”，負(fù)的平方根表示為

（3）平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平

方根.

2.算術(shù)平方根

（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即f=&那么這個正數(shù)x

叫做a的算術(shù)平方根.記為

（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根\后有雙重非負(fù)性：

①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；

②算術(shù)平方根?本身是非負(fù)數(shù).

即\[a>0,a20.

備注:

aa>Q

=|a|=<0a=0

-aa<0

（3）利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也

是非負(fù)數(shù)列出不等式求解.非負(fù)數(shù)之和等于0時，各項(xiàng)都等于0,利用此性質(zhì)列方程解決求

值問題.

例1.（2019?湖北初一期中）、后的平方根是（）

A.2B.72C.±2D.±72

【答案】D

【解析】??.4=2,2的平方根是土加,

的平方根是±&.

故選D.

練習(xí)1.（2019?全國初一單元測試）（-6）2的平方根是（）

A.—6B.36C.+6D.+76

【答案】C

【解析】試題解析：（-6）:36.

36的平方根是±6.

故選C.

例2.（2019?全國初一單元測試）若X2=16,則5-x的算術(shù)平方根是（）.

A.±1B.±4C.1或9D.1或3

【答案】D

【解析】試題解析：若x2=16,則乂=±4,

那么5-x=l或9,

所以5-x的算術(shù)平方根是1或3.

故選D.

練習(xí)1.（2019?全國初一單元測試）（一2尸的算術(shù)平方根是（）

A.2B.±2C.-2D.72

【答案】A

【解析】-=4

；.（一2尸的算術(shù)平方根是4=2.

故選A.

練習(xí)2.（2019?全國初一單元測試）計算：（1）廊=；（2）+749=.

【答案】（1）7（2）+7

【解析】⑴回=7

（2））±V49=+7

練習(xí)3.（2019?全國初一單元測試）計算：792-42=.

【答案】病

【解析】解：原式=’9?-4?=V92-42=-\/81-16=V65

故答案是：-765

例3.（2019?全國初一單元測試）（兀-4）2的算術(shù)平方根是.

【答案】4-n

【解析】解：原式=J（兀_4）2

,<*71<4；J（兀-4）2=4-兀

故答案是：4—n

練習(xí)1.（2019?青縣第二中學(xué)初一期中）若x使（x-1尸=4成立，則x的值是（）

A.3B.-1C.3或-1D.±2

【答案】C

【解析】試題解析：；（X-1）2=4成立，

：.x-l=±2,

解得：*1=3,x2=-l.

故選C.

二.立方根

1.立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根.這

就是說，如果丁=。，那么X叫做a的立方根.記作：Va.

2.立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).即任意數(shù)

都有立方根.

3.求一個數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù).

備注：①符號,中的根指數(shù)“3”不能省略；

②對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一個立方根.

例1.（2018?全國初一單元測試）9的立方根是（）

A.±3B.3C.土典D.強(qiáng)

【答案】。

【解析】根據(jù)立方根的意義和表示方法，可知9的立方根為正.

故選：D.

練習(xí)1.（2019?浙江初一期中）府立方根是.

【答案】2；

【解析】瘋=8,我=2，

...府的立方根是2.

故答案為：2.

例2.（2019?渦陽縣高爐鎮(zhèn)普九學(xué)校初一月考）已知2。一1的平方根是±3,3a+b—9的立方

根是2,c是指的整數(shù)部分，求a+b+c的平方根.

【答案】±3試題解析：解：根據(jù)題意，可得2。-1=9,3a+b-9=8；

故a=5,b=2；又；2<瓜<3,；.c=2,；.a+b+c=5+2+2=9,；.9的平方根為±3.

練習(xí)1.（2018?全國初一單元測試）已知a的算術(shù)平方根是3,b的立方根是2,求a-b的

平方根.

【答案】±1

【解析】試題分析：利用算術(shù)平方根，以及立方根的定義求出a,b的值，代入原式計算即

可得到結(jié)果.

試題解析：根據(jù)題意得：a=9,b=8,

/.a-b=9-8=1,

1的平方根為±1,

：.a-b的平方根為±1.

練習(xí)2.（2019?全國初一單元測試）如圖，數(shù)軸的正半軸上有A,B,C三點(diǎn)，表示1和夜

的點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,點(diǎn)8到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)C到點(diǎn)。的距離相等，設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為X.

'i~JF->

⑴求X的值；

（2）求（x-V2）*2的立方根.

【答案】（1）-1；（2）1.

【解析】解：（1）???點(diǎn)A、8分別表示1,母,

.,?陽=&-1,即乂=拒一1；

（2）Vx=y/2—1,

，原式）2=（-72）2=1,

..?（X-夜『的立方根為1.

三、實(shí)數(shù)

1、實(shí)數(shù)分類

1.實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).

2.實(shí)數(shù)的分類：

（正有理數(shù)

有理數(shù)

〔負(fù)有理數(shù)（正實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)，或?qū)崝?shù)0

‘正無理數(shù)（負(fù)實(shí)數(shù)

無理數(shù)

負(fù)無理數(shù)

備注：常見的無理數(shù)有三種形式：

①含TT類；

②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.212112111

③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如、行.

2、實(shí)數(shù)大小的比較與估算

1.實(shí)數(shù)大小比較的常用方法：

（1）任意兩個實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)

實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而小.

（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實(shí)數(shù)，右邊的總比

左邊的大.

（3）作差法：作差法的基本思路是設(shè)a,b為任意兩個實(shí)數(shù)，先求出a與b的差，再將差

值與0比較，當(dāng)a-b>0時，得到a>b；當(dāng)a-b<0時，得到a<b；當(dāng)a-b=Q時,得到a=b.

（4）作商法：作商法的基本思路是設(shè)o,b為任意兩個正實(shí)數(shù)，先求出。與b的商，再將

商與1比較，當(dāng)q<1時，a<b；當(dāng)?>1時，a>b；當(dāng)苧=1時，a=b.

hhb

（5）平方法：平方法的基本思路是先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)a>0,b>0時，可

由/力2得到a>b；/出?得到a<b.

3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1.有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).

2.當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、

乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行

實(shí)數(shù)的運(yùn)算時，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.

例1.（2019?山東初一期中）在實(shí)數(shù)|-3|,-2,0,兀中，最小的數(shù)是（）

A.|-3|B.-2C.0D.n

【答案】B

【解析】在實(shí)數(shù)|-3|,-2,0,71中,

|-3|=3,則-2V0V|-3|〈兀,

故最小的數(shù)是：-2.

故選8.

227Tr—I-----

練習(xí)1.（2019?上海初一單元測試）在-3.5,―,0,-72.一溝而，

相鄰兩個6之間依次多一個1）中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】；3.5是有限小數(shù)，-V0.001=-0.1,

-3.5、-10.001是有理數(shù);

22

7=22+7=3.142857是循環(huán)小數(shù)，

272

是有理數(shù)；

是整數(shù)，

??.0是有理數(shù)；

V-,-72.0.161161116…都是無限不循環(huán)小數(shù)，

7Tr—

-72-0.161161116...都是無理數(shù)，

.??無理數(shù)有3個:一,一近,0.161161116....

故選C.

練習(xí)2.（2019?上海初一單元測試）將下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的集合里:

①0，②匚2③3.1415,④g，

一V275

⑤一0.3507,(§)-2.3131131113...,

有理數(shù)集合負(fù)無理數(shù)集合正實(shí)數(shù)集合非1E實(shí)數(shù)集合

【答案】①②③⑤⑦⑨⑥⑧③④⑨⑩①②⑤⑥⑦⑧

【解析】根據(jù)定義知I：有理數(shù)有：①②③⑤⑦⑨；

負(fù)無理數(shù)有：⑥⑧；

正實(shí)數(shù)有：③④⑨⑩；

負(fù)實(shí)數(shù)有：①②⑤⑥⑦⑧.

例2.（2018?甘肅省永昌縣第五中學(xué)初一期中）如圖，數(shù)軸上的A、8、C、D四點(diǎn)中，與數(shù)

-6表示的點(diǎn)最接近的是（）

ABCD

-^3~~~012^

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)D

【答案】B

【解析】

?-1.732-

|-1.732-（-3）|?1.268,

|-1.732-（-2）|?0.268,

|-1.732-（-l）|?0.732,

因?yàn)?.268<0.732<1.268,

所以一百表示的點(diǎn)與點(diǎn)8最接近，

故選B.

練習(xí)1.（2018?全國初一單元測試）估算廊-J歷的值在相鄰整數(shù)（）之間.

A.4和5B.5和6C.6和7D.7和8

【答案】A

【解析】

V76-719=2719-719=719，

V16<19<25,

???4<歷<5,即4<V76-A/19<5.

故選：A.

例3.（2019?湖北初一期中）下列說法中，正確的是（）

A.不帶根號的數(shù)不是無理數(shù)

8.鬧的立方根是±2

c.絕對值等于G的實(shí)數(shù)是G

D.每個實(shí)數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上一個點(diǎn)

【答案】。

【解析】A有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，不

帶根號的數(shù)不一定不是無理數(shù)，據(jù)此判斷即可；

8.764=8,一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，據(jù)此判斷即可;

C.絕對值是G的實(shí)數(shù)是±6，據(jù)此解答即可；

D.根據(jù)數(shù)軸的特征，可得每個實(shí)數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上對一個點(diǎn)，據(jù)此判斷即可.

Y無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，

不帶根號的數(shù)不一定不是無理數(shù)，

例如兀不帶根號，但是兀是無理數(shù)，

選項(xiàng)A錯誤；

VV64=8,8的立方根是2,

；?選項(xiàng)B錯誤；

???絕對值是e的實(shí)數(shù)是±6,

???選項(xiàng)C錯誤；

根據(jù)數(shù)軸的特征，可得每個實(shí)數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上對一個點(diǎn)，

二選項(xiàng)D正確.

故選D.

練習(xí)1.（2019?全國初一課時練習(xí)）下列說法中，正確的個數(shù)有（）

①不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)；

②無限小數(shù)都是無理數(shù)；

③任何實(shí)數(shù)都可以進(jìn)行開立方運(yùn)算；

④YE不是分?jǐn)?shù).

5

A.。個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【解析】

①不帶根號的數(shù)不一定是有理數(shù)，如“，錯誤；

②無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，錯誤；

③任何實(shí)數(shù)都可以進(jìn)行開立方運(yùn)算，正確；

④如不是分?jǐn)?shù)，正確；

5

故選：C.

例4.(2019?全國初一單元測試)計算：

(1)|6一2|-J(—：

(2)癇+而一;x737^一序.

【答案】⑴一石；⑵4.9.

【解析】(1)原式=2—右一2=-6.

(2)原式=4+4—0.1—3=49

故答案為：⑴一G；(2)49

練習(xí)1.(2019?全國初一單元測試)計算：

⑴-V36+^2^+^27;

僅喘-舊+*+心

(3)回一場+|1-夜|+J(l—()2.

37If)

【答案】(1)—5；(2)—；(3)—+yf2

33

【解析】解：⑴原式=-6+萬+3=一彳.

157

(2)原式=_——F6—2=—.

424

r-110,/T,

⑶原式=7—3+y/2—1+§=§+，2.

專題03實(shí)數(shù)全章復(fù)習(xí)

專題測試

一、單選題

1.(2019?山東省濟(jì)南匯才學(xué)校初二期中)下列計算正確的是(

A.7（-3）2=-3B.4=加C.V§6=±6D.-V036=-0.6

【答案】D

【解析】解：A.J（_3）2=3,故此選項(xiàng)錯誤；

B號=心，故此選項(xiàng)錯誤；

C.736=6.故此選項(xiàng)錯誤；

D.—而拓=-0.6,正確.

故選：D.

2.（2019?渦陽縣高爐鎮(zhèn)普九學(xué)校初一月考）下列各數(shù)：-2,0,p0.020020002...,兀，也,

其中無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】詳解：-2是有理數(shù)，。是有理數(shù)，g是有理數(shù)，0Q20020002…是無理數(shù)，力是無

理數(shù)，囪是有理數(shù)，

所以無理數(shù)有2個，

故選C.

3.（2019?富順第三中學(xué)校初一期中）J話的平方根與-8的立方根之和是（）

A.0B.-4C.4D.0或-4

【答案】D

【解析】V716=4,

???Ji%的平方根為±2,

V-8的立方根為-2,

V16的平方根4-8的立方根之和是0或-4,

故選D.

4.（2019?金寨縣天堂寨鎮(zhèn)暖流中學(xué)初一期中）回的算術(shù)平方根是（）

A.9B.±9C.±3D.3

【答案】D

【解析】?.?廊=9,

又。（±3）2=9,

?'-9的平方根是±3,

??.9的算術(shù)平方根是3.

即屈的算術(shù)平方根是3.

故選:D.

5.（2019?安徽初一期末）如圖，數(shù)軸上的A8