試題試題2025年廣東省深圳市羅湖外語學(xué)校中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下面四幅圖是我國一些博物館的標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.下列計(jì)算正確的是(

)A.2a?3a=6a B.a6÷a33.截至2025年5月16日，動(dòng)畫電影《哪吒之魔童鬧海》全球累計(jì)票房已破158億元，暫列全球影史票房榜前五.“158億”這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A.0.158×1011 B.1.58×1011 C.4.自行車尾燈內(nèi)部的角反射器是由許多垂直的平面鏡組成，其工作原理如圖2所示，平面鏡AO⊥BO，當(dāng)光線CD射向鏡面OB時(shí)，經(jīng)過兩次反射后，光線EF沿平行于CD的方向射出，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)是(

)A.20° B.30° C.40°5.把不等式組3x+1>?22x?4≤0的解集表示在數(shù)軸上，正確的是(

)A. B.

C. D.6.如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CAB=25°，則∠AOD等于(

)A.155°

B.140°

C.130°7.某車間有60名工人生產(chǎn)太陽鏡，1名工人每天可生產(chǎn)鏡片200片或鏡架50個(gè).兩個(gè)鏡片和一個(gè)鏡架配套，應(yīng)如何分配工人生產(chǎn)鏡片和鏡架，才能使產(chǎn)品配套？設(shè)安排x名工人生產(chǎn)鏡片，y名工人生產(chǎn)鏡架，則可列方程組(

)A.x+y=60200x=2×50y B.x+y=602×200x=50y

C.x+y=60200x=50y8.如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△AB′C′，且C′為BC的中點(diǎn)，則C′D：DB′=(

)

A.1：2 B.1：22 C.1：3 二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。9.因式分解：x2?1=______.10.江豚素有“水中大熊貓”之稱，為了解洞庭湖現(xiàn)有江豚數(shù)量，考察隊(duì)先從湖中捕撈10頭江豚并做上標(biāo)記，然后放歸湖內(nèi).經(jīng)過一段時(shí)間與群體充分混合后，再從中多次捕撈，并算得平均每32頭江豚中有2頭有標(biāo)記，則估計(jì)洞庭湖現(xiàn)有江豚數(shù)量約為______頭.11.1970年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性構(gòu)造設(shè)計(jì)，至今仍是各種足球的原型.其由32塊手縫嵌面組成(12塊黑色的正五邊形和20塊白色的正六邊形)，這種構(gòu)造使足球擁有更渾圓更完美的外形，如圖是其側(cè)面展開圖局部，則圖中∠α度數(shù)為______°.12.如圖，?OABC的邊OA在x軸正半軸上，A(3,0)，∠AOC=60°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，雙曲線y=kx經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，則k=______

13.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，連接CE，交AD于點(diǎn)F，當(dāng)AE=2BE時(shí)，DF的長(zhǎng)為______.

三、解答題：本題共7小題，共61分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題10分)

(1)計(jì)算：(π?2025)0?9+3tan45°+(1215.(本小題8分)

某市為強(qiáng)化學(xué)生體質(zhì)健康管理，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，某校決定在籃球、足球、排球、乒乓球、游泳選擇一門戶外運(yùn)動(dòng)課程.為了解學(xué)生需求，該校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查的學(xué)生有______名，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)若全校共有1000名學(xué)生，則全校選擇游泳的學(xué)生約有多少人？

(3)在選擇足球的4名學(xué)生中，有2名男生2名女生，從這4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求恰好抽到一名男生一名女生的概率.16.(本小題8分)

港珠澳大橋是世界上最長(zhǎng)的跨海大橋，被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級(jí)工程，它是我國從橋梁大國走向橋梁強(qiáng)國的里程碑之作.港珠澳大橋主橋?yàn)槿罂缍蠕摻Y(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風(fēng)帆”，寓意“揚(yáng)帆起航”.某校九年級(jí)學(xué)生為了測(cè)量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為(60°,然后向后走160米(BC=160米)，到達(dá)C處，此時(shí)看塔頂A，仰角為30°，求該主塔的高度17.(本小題8分)

騎行電動(dòng)自行車時(shí)佩戴安全頭盔非常重要.某商店銷售甲、乙兩種不同型號(hào)的頭盜，已知甲種型號(hào)頭盔的單價(jià)比乙種型號(hào)頭盔貴10元，且用120元購買的甲種型號(hào)頭盔的數(shù)量與用90元購買的乙種型號(hào)頭盔數(shù)量相同.

(1)求甲、乙兩種型號(hào)頭盔的單價(jià)；

(2)某企業(yè)計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種頭盔共300個(gè)，若購買的乙種型號(hào)的頭盔的數(shù)量不高于甲種型號(hào)的3倍，為使購買頭盔的總費(fèi)用最小，那么應(yīng)購買甲、乙兩種型號(hào)頭盔各多少個(gè)？最少費(fèi)用為多少元？18.(本小題8分)

如圖，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E.

(1)若AB=AC，求證DE為⊙O的切線；

(2)在(1)的條件下，若DE=6，tan∠ADE=23，求⊙O的半徑19.(本小題9分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)y=ax2?2ax+1(a≠0)的圖象為拋物線G，拋物線G與拋物線G1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

(1)拋物線G與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為______，拋物線G的對(duì)稱軸為直線x=______；

(2)當(dāng)a=3時(shí)，求拋物線Gl的表達(dá)式；

(3)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，記拋物線G與拋物線Gl圍成的中間封閉區(qū)域(不包括邊界)為W.

①當(dāng)a=3時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②如果區(qū)域W內(nèi)恰有5個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出a20.(本小題10分)

綜合與實(shí)踐

定義：將寬與長(zhǎng)的比值為22n+1?12n(n為正整數(shù))的矩形稱為n階奇妙矩形.

(1)概念理解：

當(dāng)n=1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖(1)，這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬(AD)與長(zhǎng)(CD)的比值是______.

(2)操作驗(yàn)證：

用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作(如圖(2))：

第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；

第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開，折痕為CG；

第三步：過點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK.

試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形.

(3)方法遷移：

用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形.要求：在圖(3)中畫出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注.

(4)探究發(fā)現(xiàn)：

小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過折紙得到.他還發(fā)現(xiàn)：如圖(4)，點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上(不與端點(diǎn)重合)任意一點(diǎn)，連接CE，繼續(xù)(2)中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、選項(xiàng)圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

B、選項(xiàng)圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、選項(xiàng)圖形是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

D、選項(xiàng)圖形不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．

故選：C.

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義和圖案特點(diǎn)即可解答．

本題考查了中心對(duì)稱圖形，掌握中心對(duì)稱圖形的概念是關(guān)鍵．2.【答案】C

【解析】解：A、2a?3a=6a2，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、a6÷a3=a3，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、5x23.【答案】C

【解析】解：158億1.58×1010.

故選：C.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<104.【答案】C

【解析】解：作OH//EF，

∴OH//EF//CD，

∵∠1=50°，

∴∠HOD=50°，

∵AO⊥BO，

∴∠AOB=90°，

∴∠EOH=90°?50°=40°，

5.【答案】A

【解析】解：{3x+1>?2①2x?4?0②，

解不等式①得：x>?1，

解不等式②得：x≤2，

∴原不等式組的解集為：?1<x≤2，

∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：

故選：A.

按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

6.【答案】C

【解析】【解答】

解：∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑

∴BC=BD，

∴∠BOD=2∠CAB=2×25°=50°，

∴∠AOD=180°?∠BOD=180°?507.【答案】A

【解析】解：由題意，得x+y=60200x=2×50y.

故選：A.

等量關(guān)系為：生產(chǎn)鏡片工人數(shù)量+生產(chǎn)鏡架工人數(shù)量=60，鏡片數(shù)量=2×鏡架數(shù)量，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．8.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等.

旋轉(zhuǎn)60°后，AC=AC′，旋轉(zhuǎn)角∠C′AC=60°，可證△ACC′為等邊三角形；再根據(jù)BC′=CC′=AC′，證明△BC′D為含30°角的直角三角形，尋找線段C′D與DB′之間的數(shù)量關(guān)系即可解答.

【解答】

解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=AC′，

∵旋轉(zhuǎn)角是60°，即∠C′AC=60°，

∴△ACC′為等邊三角形，

∴∠C=∠AC′B′=60°，

∵C′為BC的中點(diǎn)，

∴BC′=CC′=AC′，

∴∠B=∠C′AB=30°，

∴∠BDC′=∠C′AB+∠AC′B′=90°，

即B′C′⊥AB，

∴BC′=2C′D9.【答案】(x+1)(x?1)

【解析】解：x2?1=(x+1)(x?1)，

故答案為：(x+1)(x?1).

應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．

本題考查了因式分解10.【答案】160

【解析】解：根據(jù)題意得：

10÷232=160(頭)，

答：估計(jì)洞庭湖現(xiàn)有江豚數(shù)量約為160頭．

根據(jù)題意先求出有標(biāo)記的魚占的百分比，再根據(jù)共有1011.【答案】132

【解析】解：如圖所示：

∵正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為：180°?360°÷5=180°?72°=108°，

正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為：180°?360°÷6=180°?60°=120°，

∴∠1=120°，∠2=108°12.【答案】4【解析】解：作CM⊥OA于M，

設(shè)C的橫坐標(biāo)為m，

∴OM=m，

∵∠AOC=60°，

∴CM=3m，

∴C(m,3m)，

∵四邊形OABC是平行四邊形，A(3,0)，

∴OA=3，

∴BC=OA=3，

∴B(m+3,3m)，

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴D(3+12m,32m)，

∵雙曲線y=kx經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，

∴k=3m2=(3+12m)×32m，

解得m=2或m=0(舍去)，

∴k=313.【答案】9【解析】解：如圖，過點(diǎn)D作DN⊥AB交于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作MA⊥AC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，

由勾股定理得：AC=AB2?BC2=6，

∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，

∴DN=DC，

根據(jù)三角形面積公式可得DN?AB2+DC?AC2=AC?BC2，

即10DC2+6DC2=6×82，

∴DC=3，

在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AD=AC2+DC2=35，

∵M(jìn)A⊥AC，

∴MA//BC，

∴△EMA∽△ECB，

∴MABC=AEBE=2，

∴MA=16，

同理可得△FMA∽14.【答案】?3；

1x?1，1【解析】(1)(π?2025)0?9+3tan45°+(12)?1

=1?9+3×1+2

=1?9+3+2

=?3；

(2)(1?xx+1)÷x2?2x+1x2?1

=15.【答案】40

【解析】解：(1)本次調(diào)查的學(xué)生有：4÷10%=40(名)，

∴選擇乒乓球的學(xué)生人數(shù)為：40?3?4?8?20=5(名)，

故答案為：40，

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

(2)1000×2040=500(人)，

答：全校選擇游泳的學(xué)生約有500人；

(3)畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到一名男生一名女生的結(jié)果有8種，

∴恰好抽到一名男生一名女生的概率為812=23.

(1)由選擇足球的學(xué)生人數(shù)除以所占是百分比得出本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，即可解決問題；

(2)由全校共有學(xué)生人數(shù)乘以選擇游泳的學(xué)生人數(shù)所占的比例即可；

(3)畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到一名男生一名女生的結(jié)果有16.【答案】該主塔的高度是803【解析】解：過點(diǎn)A作AD⊥CB，垂足為D，

由題意得：∠ABD=60°，∠ACD=30°，

∵∠ABD是△ABC的一個(gè)外角，

∴∠CAB=∠ABD?∠ACD=30°，

∴∠CAB=∠ACD=30°，

∴BA=BC=160米，

在Rt△ABD中，AD=AB?sin60°=160×32=803(米)，

∴該主塔的高度是803米．

過點(diǎn)A17.【答案】甲種型號(hào)頭盔的單價(jià)是40元，乙種型號(hào)頭盔的單價(jià)是30元；

為使購買頭盔的總費(fèi)用最小，應(yīng)購買75個(gè)甲種型號(hào)的頭盔，225個(gè)乙種型號(hào)的頭盔，最少費(fèi)用為9750元．

【解析】(1)設(shè)乙種型號(hào)頭盔的單價(jià)是x元，則甲種型號(hào)頭盔的單價(jià)是(x+10)元，

根據(jù)題意得：120x+10=90x，

解得：x=30，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是所列方程的解，且符合題意，

∴x+10=40，

答：甲種型號(hào)頭盔的單價(jià)是40元，乙種型號(hào)頭盔的單價(jià)是30元；

(2)設(shè)購買m個(gè)甲種型號(hào)的頭盔，則購買(300?m)個(gè)乙種型號(hào)的頭盔，

根據(jù)題意得：300?m≤3m，

解得：m≥75，

設(shè)該企業(yè)購買甲、乙兩種頭盔共花費(fèi)w元，

則w=40m+30(300?m)=10m+9000，

∵10>0，

∴w隨m的增大而增大，

∴當(dāng)m=75時(shí)，w取得最小值，最小值=10×75+9000=9750，

此時(shí)，300?m=300?75=225.

答：為使購買頭盔的總費(fèi)用最小，應(yīng)購買75個(gè)甲種型號(hào)的頭盔，225個(gè)乙種型號(hào)的頭盔，最少費(fèi)用為9750元．

(1)設(shè)乙種型號(hào)頭盔的單價(jià)是x元，則甲種型號(hào)頭盔的單價(jià)是(x+10)元，根據(jù)用120元購買的甲種型號(hào)頭盔的數(shù)量與用90元購買的乙種型號(hào)頭盔數(shù)量相同，列出分式方程，解方程即可；

(2)設(shè)購買m個(gè)甲種型號(hào)的頭盔，則購買(300?m)個(gè)乙種型號(hào)的頭盔，根據(jù)購買的乙種型號(hào)的頭盔的數(shù)量不高于甲種型號(hào)的3倍，列出一元一次不等式，解得m≥75.再設(shè)該企業(yè)購買甲、乙兩種頭盔共花費(fèi)w元，根據(jù)題意列出w關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：18.【答案】見解析；

⊙O的半徑為6.5.

【解析】(1)證明：∵AB為直徑，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

連接OD，

∵AO=OB，

∴OD是△ABC的中位線，

∵OD//AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∵OD是⊙O的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

(2)解：∵∠AED=90°，DE=6，tan∠ADE=AEDE=23，

∴AE=4，

∴AD=AE2+DE2=213，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠AED=∠ADB，

∴△ABD∽△ADE，

∴ABAD=ADAE，

∴AB213=21319.【答案】(0,1)，1；

y=?3x2+6x?1；

①(1,0)，(1,?1)，(1,1)共3個(gè)；②3<a≤4【解析】(1)∵二次函數(shù)y=ax2?2ax+1(a≠0)，

∴對(duì)稱軸為直線x=??2a2a=1，

令x=0，則y=1，

∴圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)；

故答案為：(0,1)，1；

(2)∵拋物線G：y=ax2?2ax+1(a≠0)，

∴拋物線G1：?y=ax2?2ax+1(a≠0)，

即y=?ax2+2ax?1(a≠0)，

當(dāng)a=3時(shí)，y=?3x2+6x?1；

(3)①當(dāng)a=3時(shí)，則拋物線G：y=3x2?6x+1=3(x?1)2?2，

∴頂點(diǎn)為(1,?2)，

∵圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，

∴區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有(1,0)，(1,?1)，(1,1)共3個(gè)；

②當(dāng)a>0時(shí)，如圖1，

拋物線y=ax2?2ax+1(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(1,?3)時(shí)，區(qū)域W內(nèi)恰有5個(gè)整點(diǎn)，

∴?3=a?2a+1.解得：a=4，

結(jié)合①可得：3<a≤4；

當(dāng)a<0時(shí)，如圖2，拋物線y=ax2?2ax+1(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)(?1,0)和(1,2)時(shí)，區(qū)域W內(nèi)恰有5個(gè)整點(diǎn)．

經(jīng)過點(diǎn)(?1,0)時(shí)，0=a+2a+1，

解得：a=?13，

經(jīng)過點(diǎn)(1,2)時(shí)，2=a?2a+1，

解得：a=?1，

∴?l≤a≤?13，

故如果區(qū)域W內(nèi)恰有5個(gè)整點(diǎn)，則3<a≤4或?1≤a≤?13.

(1)利用對(duì)稱軸公式以及y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得即可；

(2)根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出答案；

(3)①根據(jù)圖象即可求得；

②20.【答案】解：(1)5?12；

(2)證明：如圖1，

延長(zhǎng)CG，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，

∵四邊形ABCD是正方形，