第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)章節(jié)（21知識點回顧+40題型練習）題型梳理題型梳理題型一二次函數(shù)的識別題型二根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)題型三待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式題型四y=ax2的圖象和性質(zhì)題型五y=ax2+k的圖象和性質(zhì)題型六y=a（xh）2的圖象和性質(zhì)題型七y=a（xh）2+k的圖象和性質(zhì)題型八把y=ax2+bx+c化成頂點式題型九畫y=ax2+bx+c的圖象題型十y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)題型十一二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號題型十二一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷題型十三反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷題型十四根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號題型十五已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸題型十六求拋物線與x軸的交點坐標題型十七求拋物線與y軸的交點坐標題型十八已知二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值題型十九圖象法確定一元二次方程的近似根題型二十根據(jù)交點確定不等式的解集題型二十一圖形問題(實際問題與二次函數(shù))題型二十二圖形運動問題(實際問題與二次函數(shù))題型二十三拱橋問題(實際問題與二次函數(shù))題型二十四銷售問題(實際問題與二次函數(shù))題型二十五投球問題(實際問題與二次函數(shù))題型二十六噴水問題(實際問題與二次函數(shù))題型二十七增長率問題(實際問題與二次函數(shù))題型二十八其他問題(實際問題與二次函數(shù))題型二十九面積問題(二次函數(shù)綜合)題型三十角度問題(二次函數(shù)綜合)題型三十一根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)題型三十二根據(jù)反比例函數(shù)的定義求參數(shù)題型三十三求反比例函數(shù)值題型三十四由反比例函數(shù)值求自變量題型三十五判斷（畫）反比例函數(shù)圖象題型三十六已知反比例函數(shù)的圖象，判斷其解析式題型三十七判斷反比例函數(shù)的增減性題型三十八已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)題型三十九判斷反比例函數(shù)圖象所在象限題型四十比較反比例函數(shù)值或自變量的大小知識清單知識清單知識點1．二次函數(shù)的定義1.二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件．2.二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實數(shù)，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．要點詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的開口越小.知識點2．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．知識點3．二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y＝ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側(cè)各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到?。┑捻樞蛴闷交那€連接起來．畫拋物線y＝ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．知識點4．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．知識點5．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．知識點6．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．知識點7．圖象法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)；（2）由圖象與y＝h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．知識點8．二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系①函數(shù)值y與某個數(shù)值m之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解．知識點9．二次函數(shù)的應用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．知識點10．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．知識點11．反比例函數(shù)的定義（1）反比例函數(shù)的概念形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)．（2）反比例函數(shù)的判斷判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個變量是否具有反比例關(guān)系，然后根據(jù)反比例函數(shù)的意義去判斷，其形式為y＝（k為常數(shù)，k≠0）或y＝kx﹣1（k為常數(shù)，k≠0）．知識點12．反比例函數(shù)的圖象用描點法畫反比例函數(shù)的圖象，步驟：列表﹣﹣﹣描點﹣﹣﹣連線．（1）列表取值時，x≠0，因為x＝0函數(shù)無意義，為了使描出的點具有代表性，可以以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便于求y值．（2）由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點，這樣便于連線，使畫出的圖象更精確．（3）連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函數(shù)圖象永遠不會與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸．知識點13．反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)圖象的對稱性：反比例函數(shù)圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸分別是：①二、四象限的角平分線Y＝﹣X；②一、三象限的角平分線Y＝X；對稱中心是：坐標原點．知識點14．反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象是雙曲線；（2）當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；（3）當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．注意：反比例函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點．知識點15．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義比例系數(shù)k的幾何意義在反比例函數(shù)y＝圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變．知識點16．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．知識點17．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式要注意：（1）設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝（k為常數(shù)，k≠0）；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應值）帶入解析式，得到待定系數(shù)的方程；（3）解方程，求出待定系數(shù)；（4）寫出解析式．知識點18．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．（2）判斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中的交點個數(shù)可總結(jié)為：①當k1與k2同號時，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中有2個交點；②當k1與k2異號時，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中有0個交點．知識點19．根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，注意分析問題中變量之間的聯(lián)系，建立反比例函數(shù)的數(shù)學模型，在實際問題中，往往要結(jié)合題目的實際意義去分析．首先弄清題意，找出等量關(guān)系，再進行等式變形即可得到反比例函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)圖象去求反比例函數(shù)的解析式或是知道一組自變量與函數(shù)值去求解析式，都是利用待定系數(shù)法去完成的．注意：要根據(jù)實際意義確定自變量的取值范圍．知識點20．反比例函數(shù)的應用（1）利用反比例函數(shù)解決實際問題①能把實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學模型．②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實際意義．③問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然后在作答中說明．（2）跨學科的反比例函數(shù)應用題要熟練掌握物理或化學學科中的一些具有反比例函數(shù)關(guān)系的公式．同時體會數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想．（3）反比例函數(shù)中的圖表信息題正確的認識圖象，找到關(guān)鍵的點，運用好數(shù)形結(jié)合的思想．知識點21．反比例函數(shù)綜合題（1）應用類綜合題能夠從實際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學模型，是解決實際問題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了學生的建模能力和從實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化的能力．在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學科中的知識．（2）數(shù)形結(jié)合類綜合題利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．已知點在圖象上，那么點一定滿足這個函數(shù)解析式，反過來如果這點滿足函數(shù)的解析式，那么這個點也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問題的一種好方法．題型練習題型練習題型一二次函數(shù)的識別1．（2425九年級上·安徽銅陵·期末）下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（

）題型二根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)A． B． C．1 D．0題型三待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式題型四y=ax2的圖象和性質(zhì)題型五y=ax2+k的圖象和性質(zhì)題型六y=a（xh）2的圖象和性質(zhì)A．對稱軸相同 B．頂點相同C．頂點都在軸上 D．形狀相同題型七y=a（xh）2+k的圖象和性質(zhì)題型八把y=ax2+bx+c化成頂點式題型九畫y=ax2+bx+c的圖象(1)請用列表、描點、連線的方法，在如圖所示的平面直角坐標系中作出該函數(shù)的圖象；題型十y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)題型十一二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號

題型十二一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷A． B．C． D．題型十三反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷A． B．C． D．題型十四根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號

題型十五已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸

(1)求該拋物線的對稱軸；題型十六求拋物線與x軸的交點坐標題型十七求拋物線與y軸的交點坐標題型十八已知二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值題型十九圖象法確定一元二次方程的近似根19．（2425九年級上·安徽合肥·階段練習）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標系．題型二十根據(jù)交點確定不等式的解集(1)求拋物線的函數(shù)表達式；題型二十一圖形問題(實際問題與二次函數(shù))(1)若設(shè)車棚寬度為xm，則車棚長度為___________m；(2)求學校計劃搭建的自行車車棚面積的最大值．題型二十二圖形運動問題(實際問題與二次函數(shù))A．B．C． D．題型二十三拱橋問題(實際問題與二次函數(shù))23．（2425九年級上·安徽亳州·期末）如圖1為某新建住宅小區(qū)修建的一個橫斷面為拋物線的拱形大門，點為頂點，其高為6米，寬為12米．以點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系．(1)求出該拋物線的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；(2)拱形大門下的道路設(shè)雙向行車道供車輛出入（正中間是寬2米的值班室），其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高3.5米的消防車輛？請通過計算說明；題型二十四銷售問題(實際問題與二次函數(shù))24．（2425九年級上·安徽蚌埠·期中）2024年10月26日我省第一屆少兒科技體育比賽在黃山舉行，為了迎接這場比賽，某商店購入一批進價為10元/個的大賽徽章進行銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價不低于進價時，日銷售量（個）與銷售單價（元）之間滿足如下的一次函數(shù)關(guān)系：當銷售單價為12元時，日銷售量為76個．當銷售單價為16元時，日銷售量為68個．(1)求與的函數(shù)表達式；(2)徽章銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？題型二十五投球問題(實際問題與二次函數(shù))25．（2425九年級上·安徽合肥·期末）足球訓練中球員從球門正前方9米的處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行至與球門水平距離3米處時，球達到最高點，此時球離地面3米．現(xiàn)以為原點建立如圖所示直角坐標系．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；題型二十六噴水問題(實際問題與二次函數(shù))(1)求圖中水柱所在拋物線的函數(shù)表達式；(2)若該裝置澆灌的最遠點為點，求噴到處的水柱距出水口的水平距離．(3