高一立體幾何期末復(fù)習(xí)一、基本立體圖形及表面積與體積1.立體圖形的直觀圖（1）畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法；（2）規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x'軸、y'軸的夾角為45°（或135°），z'軸與x'軸和y'軸所在平面垂直；②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半.按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖面積與原圖形面積的關(guān)系：（1）S直觀圖＝24S原圖形；（2）S原圖形＝22S直觀圖2、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π（r＋r'）l提醒幾何體的側(cè)面積是指（各個(gè)）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和.3、.空間幾何體的表面積與體積公式名稱(chēng)幾何體表面積體積柱體（棱柱和圓柱）S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體（棱錐和圓錐）S表面積＝S側(cè)＋S底V＝13Sh臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝13（S上＋S下＋S上S球S＝4πR2V＝43πR34、幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R.①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝3a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝2a.（2）若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝a2（3）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.4、過(guò)關(guān)練習(xí)A．3 B． C．4 D．【答案】B3．正四棱臺(tái)形狀的玻璃容器（玻璃厚度忽略不計(jì)），其上、下底面邊長(zhǎng)分別是6和3，高是6，則該容器的容積是（

）A．108 B．114 C．120 D．1265．已知圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為和，母線長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．6．已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，體積為，若該四棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積等于（

）A．9π B．4π C． D．3π故選：A．A．圓錐的母線長(zhǎng)為3B．圓錐SO的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為C．由A點(diǎn)出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周，又回到A點(diǎn)的細(xì)繩長(zhǎng)度的最小值為D．該圓錐內(nèi)部可容納的球的最大半徑為【答案】ACD【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示：球與圓錐內(nèi)切時(shí)，球的半徑最大，此時(shí)球心在軸SO上，且內(nèi)切球的大圓內(nèi)切于圓錐的軸截面．二、空間直線、平面的平行和垂直關(guān)系1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)l∥aa?性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)l∥αl?2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)α∥βb∥βa∩b＝P性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行α∥βα∩3、定理過(guò)關(guān)練習(xí)考向1：直線與平面平行的判定例題1如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)，求證：AF∥平面PCE.[證明]法一(應(yīng)用線面平行的判定定理)：如圖，設(shè)M為PC的中點(diǎn)，連接EM，MF.∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE∥CD，且AE＝12CD又∵M(jìn)F∥CD，且MF＝12CD∴AE綉FM，∴四邊形AEMF是平行四邊形，∴AF∥EM.又∵AF?平面PCE，EM?平面PCE，∴AF∥平面PCE.法二(應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理)：如圖，設(shè)G為CD的中點(diǎn)，連接FG，AG.∵F，G分別為PD，CD的中點(diǎn)，∴FG∥PC.又E為AB中點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE綉GC，∴四邊形AECG為平行四邊形，AG∥EC，又FG?平面PCE，AG?平面PCE.PC?平面PCE，EC?平面PCE，∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE.又FG，AG?平面AFG，F(xiàn)G∩AG＝G，∴平面AFG∥平面PCE.又AF?平面AFG，∴AF∥平面PCE.考向2、線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用[證明]在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.而B(niǎo)B1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.提醒：應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面確定交線．補(bǔ)充練習(xí)(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．[解](1)證明：如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE.又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考向3、平面與平面平行的判定與性質(zhì)[典例3]如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[證明](1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)∵在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.考點(diǎn)4平行關(guān)系的綜合應(yīng)用(1)求證：平面MNQ∥平面PCD；(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出PEPD[解](1)證明：∵在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點(diǎn)，∴NQ∥CD，MQ∥PC.∵NQ∩MQ＝Q，CD∩PC＝C，且NQ，MQ?平面MNQ，CD，PC?平面PCD，(2)線段PD上存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE，且PEPD＝1證明如下：取PD的中點(diǎn)E，連接NE，CE，AE，∵N，E，M分別是AP，PD，BC的中點(diǎn)，BC綉AD，∴NE綉MC，∴四邊形MCEN是平行四邊形，∴MN∥CE.∵M(jìn)N?平面ACE，CE?平面ACE，∴MN∥平面ACE，且PEPD＝1總結(jié)：三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行考向5、直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：[0，π]．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α考向6、練習(xí)過(guò)關(guān)例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD＝2AB＝2AD＝2，PD＝4，AD⊥CD，E為棱PD上一點(diǎn)．(1)求證：無(wú)論點(diǎn)E在棱PD的任何位置，都有CD⊥AE成立；(2)若PB上存在一點(diǎn)H，且PH＝2HB，求三棱錐C－ABH的體積．(1)證明因?yàn)镻D⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PD⊥CD，因?yàn)锳D⊥CD，AD∩PD＝D，AD，PD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，因?yàn)镋為棱PD上一點(diǎn)，所以AE?平面PAD，所以CD⊥AE.(2)解因?yàn)镻D⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)H作下底面ABCD的垂線HM，垂足為M(圖略)，可知HM＝eq\f(1,3)PD＝eq\f(4,3)，所以三棱錐C－ABH的體積就等于三棱錐H－ABC的體積，所以V＝eq\f(1,3)HM·S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(4,3)×eq\f(1,2)×AB×AD＝eq\f(2,9).證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．例2、如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，且PA?平面PAD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點(diǎn)，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD∥BE，∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD，∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，∴EF∥PD，∵EF?平面PAD，PD?平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵BE∩EF＝E，BE，EF?平面BEF，∴平面BEF∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，∴平行四邊形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．(1)求證：AE∥平面BCF；(2)求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值．(1)證明由四邊形ABCD是平行四邊形，得BC∥AD，而B(niǎo)C?平面BCF，AD?平面BCF，則AD∥平面BCF，由DE∥CF，CF?平面BCF，DE?平面BCF，得DE∥平面BCF，因此平面BCF∥平面ADE，而AE?平面ADE，所以AE∥平面BCF.(2)解由CD⊥平面ADE，AD?平面ADE，得CD⊥AD，連接AC，則AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，在平面ADE內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AO⊥DE于點(diǎn)O，連接CO，顯然CD⊥AO，而CD∩DE＝D，CD，DE?平面CDEF，于是AO⊥平面CDEF，又∠ADE＝45°，則AO＝ADsin45°＝eq\r(2)，因此sin∠ACO＝eq\f(AO,AC)＝eq\f(\r(2),2\r(3))＝eq\f(\r(6),6)，所以直線AC與平面CDEF所成角的正弦值為eq\f(\r(6),6).補(bǔ)