1.4充分條件與必要條件【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p?qp?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件知識(shí)點(diǎn)二充要條件一般地，如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件，記作p?q.【基礎(chǔ)自測(cè)】A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A故選：A【答案】D故選：D．【答案】B【詳解】因?yàn)镻是Q的必要條件，故選：B.4．若“x>1”是“x>a”的充分條件，則a的取值范圍是________．【答案】a≤1【詳解】因?yàn)閤>1?x>a，所以a≤1.【答案】充分不必要【例題詳解】一、充分、必要、充要條件的判斷A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．故選：A．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)方程的解結(jié)合充分條件與必要條件的定義得出答案.故選：B.(3)對(duì)任意實(shí)數(shù)，，，下列命題中真命題是（

）【答案】B【分析】通過反例可知ACD錯(cuò)誤；根據(jù)充要條件和必要條件的定義可知B正確.故選：B.跟蹤訓(xùn)練1(1)“x，y為無理數(shù)”是“xy為無理數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】對(duì)充分性和必要性分別取特殊值進(jìn)行否定即可.故“x，y為無理數(shù)”是“xy為無理數(shù)”的既不充分也不必要條件.故選：D(2)（多選）下列“若，則”形式的命題中，是的必要條件的是（

）【答案】BCD【分析】利用必要條件的定義、特殊值法判斷可得出合適的選項(xiàng).故選：BCD.【答案】充分非必要故答案為：充分非必要二、充要條件的證明【答案】證明見解析【分析】先證明充分性，再證明必要性.跟蹤訓(xùn)練2求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.【答案】見解析．(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2為方程的兩根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相異實(shí)根，且兩根異號(hào)，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根．綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.三、充分條件與必要條件的應(yīng)用【答案】D【分析】結(jié)合充分條件的定義列出不等式組，求解即可．故選：D.【答案】0【分析】根據(jù)充要條件的定義即可求解.故答案為：0.【分析】根據(jù)必要條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【分析】先解出條件所表示的不等式,再根據(jù)充分條件性質(zhì)可得條件所表示的集合是條件所表示集合的子集,即可得出結(jié)果.若是的充分條件,若q是p的充分不必要條件，則：【分析】(=1\*romani)根據(jù)空集的定義列出不等式求出的取值范圍；【課堂鞏固】A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A故選：A.A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及充分條件、必要條件故選：C3．明——羅貫中《三國(guó)演義》第49回“欲破曹公，宜用火攻;萬事倶備，只欠東風(fēng)”，比喻一切都準(zhǔn)備好了，只差最后一個(gè)重要的條件.你認(rèn)為“東風(fēng)”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，結(jié)合題意即可下結(jié)論.【詳解】“東風(fēng)”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的必要條件，但不是充分條件.故選：B.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【分析】由充分不必要條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合的包含關(guān)系求解.故選：BC.5．（多選）下列說法正確的是（

）【答案】AD【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義逐項(xiàng)分析即可.故選:AD.6．已知是的充分非必要條件，是的必要條件，是的必要條件，那么的一個(gè)______條件是．【答案】必要非充分【分析】利用推出的傳遞性，結(jié)合定義法進(jìn)行判斷.故答案為：必要非充分【分析】由充分條件的定義可得實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】證明見解析.【分析】分充分性和必要性證明，先由兩方程有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根求出參數(shù)的取值，證出必要性，再證明充分性即可．兩個(gè)方程有公共根為1.【分析】（1）由交集，補(bǔ)集的概念求解；（2）轉(zhuǎn)化為集合間關(guān)系后分情況列式求解.（2）由題意得是的真子集，當(dāng)是空集時(shí)，當(dāng)是非空集合時(shí)，12．求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根的充要條件．【詳解】當(dāng)a＝0時(shí)，x＝－eq\f(1,2)符合題意．當(dāng)a≠0，令f(x)＝ax2＋2x＋1.∵f(0)＝1>0，∴若a>0，則－eq\f(2,a)<0，eq\f(1,a)>0，∴只要Δ＝4－4a≥0，即a≤1，∴0<a≤1.若a<0，則eq\f(1,a)<0，Δ＝4－4a>0，方程恒有兩異號(hào)實(shí)數(shù)根．綜上所述，a≤1為所求．【課時(shí)作業(yè)】A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A故選：A2．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”.其名篇“但使龍城飛將在，不教胡馬度陰山”（人在陣地在，人不在陣地在不在不知道），由此推斷，胡馬度過陰山是龍城飛將不在的什么條件？（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義求解.【詳解】因?yàn)槿嗽陉嚨卦?，所以胡馬度過陰山說明龍城飛將不在，因?yàn)槿瞬辉陉嚨卦诓辉诓恢?，所以龍城飛將不在，不能確定胡馬是否度過陰山，所以胡馬度過陰山是龍城飛將不在的充分條件，結(jié)合選項(xiàng)，可得A正確；故選:A.A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】舉出特例，即可說明充分條件不成立，必要條件顯然成立，即可得到答案.故選：B.【答案】C反之，方程有一正一負(fù)的兩根時(shí)，則這兩根之積小于0，，于是得，故選：C【答案】C故選：C.6．（多選）在下列所示電路圖中，下列說法正確的是（

）A．如圖所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件B．如圖所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件C．如圖所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件D．如圖所示，開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件【答案】ABC【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖①可得，開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，由圖②可得，開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，由圖③可得，開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件，選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，由圖④可得，開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.7．（多選）下列各選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是（

）C．p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等【答案】AD【分析】依次判斷P與q之間關(guān)系即可.C選項(xiàng)，由兩個(gè)三角形相似不能得到兩個(gè)三角形全等，而兩個(gè)三角形全等可以得到兩個(gè)三角形相似，故p是q的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤；故選：AD【答案】充分不必要【分析】利用定義法直接判斷.故答案為：充分不必要.10．下列命題中所有真命題的序號(hào)是__________【答案】②③【分析】根據(jù)充分性、必要性的定義進(jìn)行求解即可.故答案為：②③【答案】所以實(shí)數(shù)a能取的最大整數(shù)為.故答案為：.【答案】證明見解析【分析