單元檢測卷(七)立體幾何與空間向量(分值：150分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.[2024·佛山二模]某圓錐高為eq\r(3)，母線與底面所成的角為eq\f(π,3)，則該圓錐的表面積為()A.3π B.4πC.5π D.6π2.[2025·成都模擬]已知a，b是兩條不同的直線，α是平面，若a∥α，b?α，則a，b不可能()A.平行 B.垂直C.相交 D.異面3.[2025·棗莊模擬]已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，它的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為()A.4π B.6πC.8π D.10π4.[2024·長沙二模]在空間中，已知l，m，n為不同的直線，α，β，γ為不同的平面，則下列判斷正確的是()A.若m?α，m∥n，則n∥αB.若l∥α，l∥β，則α∥βC.若m⊥α，l⊥β，m⊥l，則α⊥βD.若α⊥β，α⊥γ，則β∥γ5.[2024·泉州模擬]《九章算術》中關于“芻童”(上、下底面均為矩形的棱臺)體積近似計算的注釋：將上底面的長乘以二與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘以二與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一，現(xiàn)有“芻童”ABCD－EFGH，其上、下底面均為正方形，若EF＝2AB＝4，且每條側棱與底面所成角的正切值均為2eq\r(2)，則按《九章算術》的注釋，該“芻童”的體積為()A.8 B.24C.eq\f(112,3) D.1126.[2025·梅州模擬]直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成角的余弦值為()A.eq\f(3,4) B.－eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(7),4)7.[2025·菏澤模擬]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D∩AD1＝E，CD1∩C1D＝F，則下列結論中正確的是()A.BB1∥平面ACD1B.平面BDC1⊥平面ACD1C.EF⊥平面BDD1B1D.平面ABB1A1內(nèi)存在與EF平行的直線8.[2025·福州模擬]已知三棱錐P－ABC的四個頂點都在球O的球面上，PA＝PB＝PC＝AB＝eq\r(6)，∠ACB＝eq\f(2π,3)，則球O的體積為()A.3π B.eq\f(27,8)πC.eq\f(9,2)π D.9π二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.[2025·長沙模擬]如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別為BB1，CC1，A1B1，A1C1的中點，則下列說法正確的是()A.E，F(xiàn)，G，H四點共面B.EF∥GHC.∠EGB1＝∠FHC1D.EG，F(xiàn)H，AA1三線共點10.[2025·長沙調(diào)研]某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，則()A.該圓臺的高為1cmB.該圓臺的軸截面面積為3eq\r(3)cm2C.該圓臺的體積為eq\f(7\r(3)π,3)cm3D.一只小蟲從點C沿著該圓臺的側面爬行到AD的中點，所經(jīng)過的最短路程為5cm11.[2025·湖北七市聯(lián)考]如圖，棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點，F(xiàn)為正方形C1CDD1內(nèi)一個動點(包括邊界)，且B1F∥平面A1BE，則下列說法正確的有()A.動點F軌跡的長度為eq\r(2)B.三棱錐B1－D1EF體積的最小值為eq\f(1,3)C.B1F與A1B不可能垂直D.當三棱錐B1－D1DF的體積最大時，其外接球的表面積為eq\f(25,2)π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.[2025·成都模擬]在四棱錐的四個側面中，直角三角形最多可有________個.13.[2025·惠州模擬]如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，AC∩BD＝O，M是PC上的一動點，則當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為正確的條件即可)14.[2025·天津南開區(qū)模擬]在如圖所示的幾何體中，底面ABCD是邊長為4的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均與底面ABCD垂直，且AA1＝CC1＝DD1＝2BG＝4eq\r(3)，點E，F(xiàn)分別為線段BC，CC1的中點，記該幾何體的體積為V，平面AFE將該幾何體分為兩部分，則體積較小的一部分的體積為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)[2025·安康模擬]如圖，在圓錐PO中，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，四邊形ABCD是底面的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PA的中點，過點E，F(xiàn)，O的平面為α.(1)證明：平面α∥平面PBC；(2)若圓錐的底面圓半徑為2，高為eq\r(3)，設點M在線段EF上運動，求三棱錐P－MBC的體積.16.(15分)[2025·青島模擬]如圖所示，多面體ABCDEF，底面ABCD是正方形，點O為底面的中心，點M為EF的中點，側面ADEF與BCEF是全等的等腰梯形，EF＝4，其余棱長均為2.(1)證明：MO⊥平面ABCD；(2)若點P在棱CE上，直線BP與平面ABM所成角的正弦值為eq\f(2\r(42),21)，求EP.17.(15分)[2025·濟寧模擬]圖1是由正方形ABCD和兩個正三角形△ADE，△CDF組成的一個平面圖形，其中AB＝2，現(xiàn)將△ADE沿AD折起使得平面ADE⊥平面ABCD，將△CDF沿CD折起使得平面CDF⊥平面ABCD，連接EF，BE，BF，如圖2.(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)求平面ADE與平面BCF夾角的大小.18.(17分)[2025·日照模擬]如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝3，CC1＝6.點D，E，F(xiàn)分別在線段BB1，CC1，AA1上，且BD＝CE，AF＞BD.(1)證明：DE⊥BF；(2)若DF＝3eq\r(2)，且平面DEF將直三棱柱ABC－A1B1C1的體積平分，求二面角B－EF－D的余弦值.19.(17分)[2025·武漢模擬]如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PC⊥平面ABC，∠BAC＝eq\f(π,6)，PC＝AB＝2，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點，平面