試卷第試卷第=PAGE1頁共=SECTIONPAGES37頁試卷第試卷第=PAGE2頁共=SECTIONPAGES37頁2025年江西省重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為雙曲線上的點(diǎn)，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，則的面積為

(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】解：先設(shè)點(diǎn)在雙曲線的左支上，且，且的夾角為，因?yàn)椋士傻?，故可得解得，故得，故的面積為，故選．2．若復(fù)數(shù)，滿足且，則(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，即，由，得，則．故選：．3．設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，，，則中元素的個(gè)數(shù)為．故選：．首先求集合，再求，即可求解元素個(gè)數(shù)．本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．4．已知圓的半徑為，弦，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】已知圓的半徑為，弦，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，如圖，作圓的直徑，過作的延長線，垂足為，而可以看作在上的投影向量與的數(shù)量積，由圓的性質(zhì)知，當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值，因，可得，則，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式，所以的最小值為．故選：．5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則的公差為(

)A． B． C． D．【解析】依題意，即，則，解得．故選：．6．已知函數(shù)，若對(duì)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，恒成立，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)閷?duì)，，所以在上恒成立，所以，即在上恒成立，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：．7．定義平面上兩條相交直線的夾角為：兩條相交直線交成的不超過的正角已知雙曲線：，當(dāng)其離心率時(shí)，對(duì)應(yīng)雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)離心率即，即有，可得雙曲線的漸近線方程為，即為，則雙曲線的漸近線的夾角為；當(dāng)離心率時(shí)，即有，即為，化簡可得，又雙曲線的漸近線的夾角的正切為，令，可得，由復(fù)合函數(shù)可知在遞減，可得，可得夾角的取值范圍為，綜上可得對(duì)應(yīng)雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為故選：．8．已知二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在平面，內(nèi)，且它們都垂直于，若，，，，則平面與的夾角為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，故平面與夾角為．故選：．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．除數(shù)函數(shù)的函數(shù)值等于的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，例如.若則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．C．若，則的最小值為1011D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A：由，即個(gè)2和個(gè)3的乘積，由分步計(jì)數(shù)原理可得.所以，所以A正確.對(duì)選項(xiàng)B：同理，即個(gè)2的乘積，所以.所以B正確.對(duì)選項(xiàng)C：又由，即個(gè)3的乘積，所以.若，則的最小值為1012，所以C不正確.對(duì)選項(xiàng)D：又，所以D正確.故選：ABD10．已知正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為、，側(cè)棱長為，則關(guān)于此正四棱臺(tái)的結(jié)論正確的有(

)A．側(cè)面積為 B．體積為C．側(cè)面與底面所成角的正切值為 D．外接球的表面積為【答案】B,C,D【解析】如圖所示，正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為、，側(cè)棱長為，則斜高為，側(cè)面積為，故A錯(cuò)誤；正四棱臺(tái)，上底面的中心為，下底面的中心為．連接，其上、下底面的邊長分別為，，得，過點(diǎn)作，使并交與點(diǎn)，則，則有，則正四棱臺(tái)的體積，故B正確；側(cè)面與底面所成角的正切值為，故C正確；由于，則該棱臺(tái)的外接球的球心在的延長線上，設(shè)其外接球的球心為，半徑為，則有，則有，解得，故其外接球的表面積為，故D正確．故選：．11．若正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最大值是 D．的最小值是【答案】ABC【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。12．設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列，，，是公差不為的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，每組的個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，且公差與原數(shù)列的公差相同，則取法有種．用含的代數(shù)式作答【答案】【解析】從項(xiàng)的等差數(shù)列中刪除項(xiàng)等價(jià)于該等差數(shù)列是由其中的項(xiàng)增加項(xiàng)構(gòu)成的，把項(xiàng)按每相鄰項(xiàng)為一組分成組，共有個(gè)間隙，若插入相鄰項(xiàng)，則有種方法；若插入不相鄰項(xiàng)，則有種方法，所以不同取法種數(shù)是．故答案為：13．已知雙曲線：，雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】由曲線，整理可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，離心率為定值．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14．本小題13分在銳角中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、已知，若，求的面積；求的周長的取值范圍.【答案】；【解析】，，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，所以，又，即，展開可得，即，即，所以，且，所以為等邊三角形，則因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，則，其中，由正弦定理可得，所以的周長由正弦定理可得，然后結(jié)合恒等變換公式化簡即可得到，即可得到為等邊三角形，從而得到結(jié)果；由正弦定理可得，結(jié)合三角恒等變換公式化簡，再由正切函數(shù)的值域即可得到結(jié)果．本題主要考查了正弦定理，和差角公式，輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．15．本小題分已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．求橢圓的方程；已知點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、，直線、分別與直線交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，求斜率的取值范圍．【解析】由橢圓的離心率為，且橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為，可得，解得，橢圓．設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，則且，可得，所以，設(shè)，則則直線的方程為，與直線交于點(diǎn)，直線的方程為，與直線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，且，則，將，代入可得，所以，解得，所以斜率的取值范圍為．16．本小題分已知函數(shù)．求的圖象在處的切線方程；若時(shí)，恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；當(dāng)時(shí)，若正實(shí)數(shù)，，，滿足，求證：．【解析】解：由，得，又，則，故切線方程為．由，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，令，則，若，則，單調(diào)遞增，，因此單調(diào)遞增，故，符合題意；若，令，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此而，設(shè)為的零點(diǎn)，注意到單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故，從而單調(diào)遞增，故，符合題意；當(dāng)時(shí)，則存在，使得，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，解得，此時(shí)，即，因此，綜上可知，；證明：由可知，當(dāng)且時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，令，則，其中，故單調(diào)遞增．設(shè)，其中，，且，因此單調(diào)遞增，從而，從而可得，進(jìn)而可知，故．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求切線方程即可；對(duì)分類討論，當(dāng)時(shí)，設(shè)，二次求導(dǎo)得，再對(duì)分情況討論，然后求解即可；根據(jù)題意得出當(dāng)，且時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增．設(shè)，其中，，且，然后證明即可．本題考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．17．本小題分“源韻西藏傳統(tǒng)服飾活態(tài)展示系列活動(dòng)”圓滿舉辦西藏博物館為充分發(fā)揮陣地優(yōu)勢(shì)，傳承弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、促進(jìn)各民族交往交流交融、培育引領(lǐng)各族人民文化生活新風(fēng)尚，在2023年雪頓節(jié)前推出“源·韻--西藏傳統(tǒng)服飾活態(tài)展示活動(dòng)”，與觀眾一起感受傳統(tǒng)文化的雅韻，為游客提供“正本清源”的西藏民俗活態(tài)體驗(yàn)其中“西藏服飾文化”項(xiàng)目火爆“出圈”，倍受廣大游客喜愛，為了解藏服體驗(yàn)店廣告支出和銷售額之間的關(guān)系，在八廓街附近抽取7家藏服體驗(yàn)店，得到了廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下：對(duì)進(jìn)入體驗(yàn)店的名游客進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得知，其中女性游客有人，女性游客中體驗(yàn)藏服的有人，男性游客中沒有體驗(yàn)藏服的有人．請(qǐng)將下列列聯(lián)表補(bǔ)充完整，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為體驗(yàn)藏服與性別有關(guān)聯(lián)；s設(shè)廣告支出為變量萬元，銷售額為變量萬元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此說明可用線性回歸模型擬合的關(guān)系若，則線性相關(guān)程度很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合；建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)廣告支出為萬元時(shí)的銷售額精確到．附：參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，，相關(guān)系數(shù)，在線性回歸方程中中，，．，．?【解析】（?1）根據(jù)題意，列聯(lián)表完成如下：零假設(shè)為：性別與體驗(yàn)藏服之間無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立．即認(rèn)為體驗(yàn)藏服與性別之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過．由數(shù)據(jù)可知，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以線性相關(guān)程度很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．由數(shù)據(jù)及公式可得：，，故關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)萬元時(shí)，銷售額預(yù)計(jì)為萬元．18．本小題分已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，是邊上的中點(diǎn)．若B.(ⅰ)求(ⅱ)若，，求的面積若，，，試探究存在時(shí)，，滿足的條件．【解析】在中，因?yàn)?，由正弦定理可得，，所以，因?yàn)榈?，所以，故B在中，由余弦定理得：，即，因?yàn)槭沁吷系闹悬c(diǎn)，所以，故，，得，所以的面積為．如圖所示：在中，由余弦定理得，即因?yàn)槭沁吷系闹芯€，所以，兩邊平方有，將式代入得，與同號(hào)．當(dāng)時(shí)，，存在當(dāng)時(shí)，，由得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋剩?dāng)為銳角時(shí)，，，，式為，令，，知在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)為鈍角時(shí)，，，，式為，令，，知在上單調(diào)遞增，所以．綜上，當(dāng)時(shí)，，存在當(dāng)為銳角時(shí)，，存在；當(dāng)為鈍角時(shí)，，存在．19．本小題分已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，，，，為上不同的三點(diǎn)．求的標(biāo)準(zhǔn)方程；若直線過點(diǎn)，且斜率，求面積的最小值；若直線，與相切，求證：