高中換元法題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若\(f(x+1)=x^2+2x\)，令\(t=x+1\)，則\(f(t)\)為（）A.\(t^2-1\)B.\(t^2\)C.\(t^2+1\)D.\(t^2-2t\)2.已知\(f(2x-1)=4x^2\)，設(shè)\(u=2x-1\)，則\(f(u)\)是（）A.\((u+1)^2\)B.\(u^2+1\)C.\(4u^2\)D.\((u-1)^2\)3.函數(shù)\(y=\sqrt{x}+1\)，令\(t=\sqrt{x}\)，則函數(shù)變?yōu)椋ǎ〢.\(y=t+1(t\geq0)\)B.\(y=t+1(t\gt0)\)C.\(y=t^2+1(t\geq0)\)D.\(y=t^2+1(t\gt0)\)4.若\(f(x-2)=x^2-4x+3\)，令\(m=x-2\)，\(f(m)\)為（）A.\(m^2-1\)B.\(m^2+1\)C.\(m^2-4m+3\)D.\(m^2+4m+3\)5.已知\(f(3x+2)=9x^2+12x+5\)，設(shè)\(n=3x+2\)，則\(f(n)\)是（）A.\(n^2+1\)B.\(n^2-1\)C.\(n^2+4n+5\)D.\(n^2-4n+5\)6.函數(shù)\(y=2x+\sqrt{x-1}\)，令\(s=\sqrt{x-1}\)，函數(shù)變?yōu)椋ǎ〢.\(y=2(s^2+1)+s(s\geq0)\)B.\(y=2(s^2+1)+s(s\gt0)\)C.\(y=2s^2+s+1(s\geq0)\)D.\(y=2s^2+s+1(s\gt0)\)7.若\(f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}\)，令\(p=\frac{1}{x}\)，\(f(p)\)為（）A.\(p^2+p\)B.\(p^2-p\)C.\(\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p}\)D.\(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p}\)8.已知\(f(2-x)=x^2-4x+4\)，設(shè)\(q=2-x\)，則\(f(q)\)是（）A.\(q^2\)B.\((q-2)^2\)C.\((2-q)^2\)D.\(q^2-4q+4\)9.函數(shù)\(y=x+\sqrt{1-x^2}\)，令\(x=\sin\theta\)，函數(shù)變?yōu)椋ǎ〢.\(y=\sin\theta+\cos\theta(\theta\inR)\)B.\(y=\sin\theta+\cos\theta(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])\)C.\(y=\sin\theta-\cos\theta(\theta\inR)\)D.\(y=\sin\theta-\cos\theta(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])\)10.若\(f(x^2+1)=x^4+2x^2+2\)，令\(r=x^2+1\)，\(f(r)\)為（）A.\(r^2+1\)B.\(r^2\)C.\(r^2-1\)D.\(r^2-2r+2\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.用換元法求函數(shù)\(y=\sqrt{x^2-4x+5}\)的值域，可令（）A.\(t=x^2-4x+5\)B.\(t=(x-2)^2+1\)C.\(t=x^2-4x\)D.\(t=x-2\)2.對(duì)于\(f(2x+1)=4x^2+4x\)，換元后正確的有（）A.令\(u=2x+1\)，則\(x=\frac{u-1}{2}\)B.\(f(u)=u^2-1\)C.令\(v=x\)，則\(f(2v+1)=4v^2+4v\)D.\(f(x)\)的表達(dá)式為\(x^2-1\)3.函數(shù)\(y=\frac{x}{x^2+1}\)，可進(jìn)行的換元有（）A.令\(t=x^2+1\)B.當(dāng)\(x\neq0\)時(shí)，令\(t=\frac{1}{x}\)C.令\(t=x\)D.令\(t=x^2\)4.已知\(f(x-1)=x^3-3x^2+3x-1\)，換元相關(guān)正確的是（）A.令\(m=x-1\)，則\(x=m+1\)B.\(f(m)=m^3\)C.\(f(x)\)的表達(dá)式為\(x^3\)D.令\(n=x\)，\(f(n-1)=n^3-3n^2+3n-1\)5.用換元法求\(y=3x+\sqrt{1-x}\)的值域，下列換元合適的是（）A.令\(t=\sqrt{1-x}\)B.令\(t=1-x\)C.令\(t=x\)D.令\(t=3x\)6.對(duì)于\(f(\frac{1}{x+1})=\frac{x}{x+1}\)，正確的換元及結(jié)果有（）A.令\(u=\frac{1}{x+1}\)，則\(x=\frac{1}{u}-1\)B.\(f(u)=1-u\)C.令\(v=x+1\)，則\(x=v-1\)D.\(f(\frac{1}{v})=\frac{v-1}{v}\)7.函數(shù)\(y=\sqrt{x}-\sqrt{1-x}\)，可進(jìn)行的換元思路有（）A.令\(t=\sqrt{x}\)B.令\(s=\sqrt{1-x}\)C.令\(m=x\)D.利用\(x+(1-x)=1\)構(gòu)造三角換元8.已知\(f(x^2-2x+3)=x^2-2x+5\)，換元正確的是（）A.令\(n=x^2-2x+3\)，則\(x^2-2x=n-3\)B.\(f(n)=n+2\)C.令\(p=x-1\)，則\(x^2-2x+3=p^2+2\)D.\(f(p^2+2)=p^2+4\)9.用換元法求\(y=\frac{1}{x^2+2x+3}\)的值域，可令（）A.\(t=x^2+2x+3\)B.\(t=(x+1)^2+2\)C.\(t=x^2+2x\)D.\(t=x+1\)10.對(duì)于\(f(3-2x)=4x^2-12x+9\)，換元及結(jié)果正確的有（）A.令\(u=3-2x\)，則\(x=\frac{3-u}{2}\)B.\(f(u)=u^2\)C.令\(v=2x\)，則\(f(3-v)=\frac{v^2}{4}-\frac{3v}{2}+9\)D.\(f(x)\)的表達(dá)式為\(x^2\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.對(duì)于\(f(x+1)=x^2\)，令\(t=x+1\)，則\(f(t)=(t-1)^2\)。（）2.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+2\)，令\(t=\sqrt{x-1}\)，則\(y=t+2(t\geq0)\)。（）3.已知\(f(2x-3)=4x^2-12x+5\)，令\(u=2x-3\)，\(f(u)=u^2-4\)。（）4.用換元法求\(y=x+\sqrt{2x-1}\)的值域，令\(t=\sqrt{2x-1}\)，則\(x=\frac{t^2+1}{2}\)。（）5.對(duì)于\(f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\)，令\(p=\frac{1}{x}\)，\(f(p)=p^2-2p\)。（）6.函數(shù)\(y=\sqrt{1-x^2}\)，令\(x=\sin\alpha\)，\(\alpha\in[0,\pi]\)，函數(shù)變?yōu)閈(y=\cos\alpha\)。（）7.已知\(f(x-2)=x^2-5x+6\)，令\(m=x-2\)，\(f(m)=m^2-m\)。（）8.用換元法求\(y=2x+\sqrt{4-x^2}\)的值域，令\(x=2\sin\theta\)，\(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)是合適的。（）9.對(duì)于\(f(x^2+3)=x^4+6x^2+8\)，令\(n=x^2+3\)，\(f(n)=n^2-1\)。（）10.函數(shù)\(y=\frac{x^2}{x^2+1}\)，令\(t=x^2\)，則\(y=\frac{t}{t+1}(t\geq0)\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.已知\(f(2x+1)=4x^2+4x-1\)，用換元法求\(f(x)\)的表達(dá)式。答案：令\(t=2x+1\)，則\(x=\frac{t-1}{2}\)。\(f(t)=4(\frac{t-1}{2})^2+4(\frac{t-1}{2})-1=t^2-2\)，所以\(f(x)=x^2-2\)。2.用換元法求函數(shù)\(y=x+\sqrt{1-x}\)的值域。答案：令\(t=\sqrt{1-x}(t\geq0)\)，則\(x=1-t^2\)。\(y=1-t^2+t=-(t-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}\)，因?yàn)閈(t\geq0\)，所以值域是\((-\infty,\frac{5}{4}]\)。3.已知\(f(x-1)=\frac{1}{x}\)，求\(f(x)\)的表達(dá)式。答案：令\(t=x-1\)，則\(x=t+1\)。\(f(t)=\frac{1}{t+1}\)，所以\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)。4.用換元法求\(y=\frac{1}{x^2+4x+5}\)的值域。答案：令\(t=x^2+4x+5=(x+2)^2+1\geq1\)，則\(y=\frac{1}{t}\)。因?yàn)閈(t\geq1\)，所以\(0\lty\leq1\)，值域是\((0,1]\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在哪些類型的函數(shù)問題中換元法比較適用？舉例說明。答案：在含有根式、復(fù)合函數(shù)等問題中適用。如\(y=\sqrt{x}+x\)，令\(t=\sqrt{x}(t\geq0)\)可簡(jiǎn)化為\(y=t^2+t\)；\(f(2x+1)\)類型的復(fù)合函數(shù)求\(f(x)\)時(shí)，換元可方便求解。2.換元法在求函數(shù)值域和定義域時(shí)，需要注意哪些問題？答案：求值域時(shí)注意新元的取值范圍對(duì)函數(shù)值域的影響，如令\(t=\sqrt{x}\)，\(t\geq0\)。求定義域時(shí)要保證換元前后函數(shù)等價(jià)，新元的取值要使原函數(shù)有意義，如換元后要根據(jù)原函數(shù)確定新元取值范圍再反推\(x\)范圍。3.三角換元在函數(shù)問題中有哪些常見的應(yīng)用場(chǎng)景？答案：常見于含有\(zhòng)(\sqrt{a^2-x