多維線性計(jì)算題目及答案一、選擇題（每題5分，共20分）1.在多維線性計(jì)算中，向量空間的維數(shù)是指：A.向量空間中向量的數(shù)量B.向量空間中線性無(wú)關(guān)向量的最大數(shù)量C.向量空間中任意向量的坐標(biāo)數(shù)量D.向量空間中基向量的數(shù)量答案：B2.如果一個(gè)矩陣A是可逆的，那么下列哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.A的行列式為0B.A的行列式不為0C.A的秩小于其行數(shù)或列數(shù)D.A的秩等于其行數(shù)或列數(shù)答案：B3.對(duì)于一個(gè)n維向量空間，其標(biāo)準(zhǔn)基向量的數(shù)量是：A.nB.n+1C.n-1D.1答案：A4.如果兩個(gè)向量α和β線性相關(guān)，那么下列哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.α和β是零向量B.α和β是單位向量C.α是β的標(biāo)量倍D.α和β是正交向量答案：C二、填空題（每題5分，共30分）1.如果向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)線性無(wú)關(guān)，則這兩個(gè)向量構(gòu)成的矩陣的行列式為_(kāi)_______。答案：-22.在三維空間中，如果向量α=(1,0,0)，β=(0,1,0)，γ=(0,0,1)，則這三個(gè)向量構(gòu)成的矩陣的秩為_(kāi)_______。答案：33.如果矩陣A的行列式為0，則矩陣A是________。答案：奇異矩陣4.如果矩陣A的秩等于其列數(shù)，則矩陣A是________。答案：滿秩矩陣5.在多維線性計(jì)算中，向量α和β的點(diǎn)積定義為α·β=________。答案：α1β1+α2β2+...+αnβn6.如果矩陣A和矩陣B的乘積AB=0，則矩陣A和矩陣B至少有一個(gè)是________。答案：奇異矩陣三、計(jì)算題（每題10分，共40分）1.已知向量α=(2,-1,3)和向量β=(1,2,-2)，求這兩個(gè)向量的叉積α×β。答案：α×β=|ijk||2-13||12-2|=i(-1(-2)-32)-j(2(-2)-31)+k(22-(-1)1)=i(2-6)-j(-4-3)+k(4+1)=-4i+7j+5k=(-4,7,5)2.已知矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求矩陣A的逆矩陣A^(-1)。答案：A^(-1)=\(\frac{1}{\text{det}(A)}\)adj(A)其中，det(A)=14-23=-2adj(A)=\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)所以，A^(-1)=\(\frac{1}{-2}\)\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{bmatrix}\)3.已知向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，求這兩個(gè)向量的點(diǎn)積α·β。答案：α·β=14+25+36=4+10+18=324.已知矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求矩陣A的秩。答案：通過(guò)計(jì)算A的行列式，發(fā)現(xiàn)det(A)=0，所以A是奇異矩陣，其秩小于3。進(jìn)一步計(jì)算A的子矩陣的行列式，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)2x2的子矩陣的行列式不為0，所以A的秩為2。四、證明題（每題10分，共10分）1.證明：如果向量α和向量β線性相關(guān)，則存在非零實(shí)數(shù)k，使得α=kβ。證明：根據(jù)線性相關(guān)的定義，如果向量α和向量β線性相關(guān)，則存在不全為零的實(shí)數(shù)