第16講解直角三角形及應(yīng)用內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：導(dǎo)串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握第二步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練考點強知識：10大核心考點精準(zhǔn)練第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識導(dǎo)圖梳理學(xué)習(xí)目標(biāo)明確1.掌握直角三角形的所有性質(zhì)，并能夠在解直角三角形時靈活運用；2.掌握解直角三角形的所有類型，并能夠熟練的判斷并解決；3.掌握解直角三角形在實際問題中的應(yīng)用的基本步驟,并能夠熟練的應(yīng)用；4.掌握仰角、俯角，方向角以及坡度、坡角的基本類型，并能夠熟練的將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解。知識點1解直角三角形1.解直角三角形定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B.2）三邊之間的關(guān)系：a23）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°.4）邊角之間的關(guān)系：sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc【補充】三角函數(shù)是連接邊與角的橋梁.5）面積公式（h為斜邊上的高）.已知條件解法步驟圖示兩邊斜邊和一直角邊(如c，a)由sinA=兩直角邊(如a，b)由tanA=一邊一角斜邊和一銳角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，一直角邊和一銳角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，另一直角邊和一銳角（如b，∠A）∠B=90°－∠A，【注意】已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定..1．（2025·上海·模擬預(yù)測）已知在中，，若，，則下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：在中，，若，，，，故選：C．2．（24-25九年級上·全國·期中）在中，，，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握，求出，再根據(jù)勾股定理，即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∴．故選：C．3．（22-23九年級下·廣東惠州·開學(xué)考試）某樓梯的側(cè)面如圖所示，已測得的長約為米，約為，則該樓梯的高度可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用正弦求得即可．【詳解】解：在中，的長約為米，約為，，∴．故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2015·山東臨沂·一模）如圖，菱形的邊長為，，，則菱形的面積為．【答案】【分析】本題考查菱形，銳角三角形函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，則，，求出，再根據(jù)菱形的面積公式，即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是直角三角形，∴，∴，∴菱形的面積為：．故答案為：．5．（23-24九年級上·江蘇常州·期中）如圖，中，，，若，，則的長度為．【答案】【分析】本題考查余弦的定義，掌握表示和的長是解題的關(guān)鍵，根解直角三角形的方法求解即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，故答案為：．知識點2解直角三角形的應(yīng)用1）仰角、俯角視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2）坡度、坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角α叫做坡角.3）方位角、方向角方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°..1．（24-25九年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，一山坡的坡度，則該坡角的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了坡度的定義，特殊角的三角函數(shù)值，由定義得，即可求解；掌握是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，故答案為：．2．（2024·江蘇南通·中考真題）社團(tuán)活動課上，九年級學(xué)習(xí)小組測量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為，，則旗桿的高度為m．【答案】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，直接利用銳角三角函數(shù)，求出的值即可．【詳解】解：由題意：，∴；故答案為：．3．（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，漁船向東航行，8點到達(dá)O處，看到燈塔A在其北偏東方向，距離12海里，10點到達(dá)B處，看到該燈塔在其正北方向，則漁船每小時航行海里．

【答案】【分析】利用銳角三角函數(shù)求出的長，利用路程除以時間求出速度即可．【詳解】解：由題意，得：海里，∴海里；∴漁船每小時航行海里；故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．4．（24-25九年級上·吉林長春·期末）如圖，湖邊、兩點由兩段筆直的觀景棧道和相連．為了計算、兩點之間的距離，經(jīng)測量得：，，米，求、兩點之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用（其他問題），利用三角形的內(nèi)角和定理得出是解題的關(guān)鍵．由三角形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)即可求出、兩點之間的距離．【詳解】解：，，，，在中，，米，（米），、兩點之間的距離約為米．5．（23-24九年級上·河北唐山·期末）如圖，彩旗旗桿用，兩根鋼絲固定在地面上，點A，B，C，D在同一平面內(nèi)，，，，．(1)求旗桿部分的長．(2)求鋼絲的總長度．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)(2)【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用；（1）利用的正切解題即可；（2）在中運用勾股定理求出長，在中運用角所對的直角邊等于斜邊的一半求出長即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，，∴；（2）解：，在中，,∴，∴鋼絲的總長度為．【題型1解直角三角形】1．（24-25九年級下·遼寧錦州·期中）如圖，菱形的對角線、交于點，過點作于點，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，特殊角的三角比等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用．利用菱形對角線的性質(zhì)得出的度數(shù)，再利用特殊角的三角比求出長度．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，，，是直角三角形，．故選：B．2．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）在中，，則的長為（）A．8 B．12 C．13 D．18【答案】C【分析】在中，，求出，由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：在中，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理，熟練掌握銳角三角形函數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濱州·一模）如圖，在Rt△ABC中，，，，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，從而求出．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB==5，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得＝AC=3，=CB＝4，∴＝AB-=2，∵==2，∴．故答案為：C．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（20-21九年級上·廣西玉林·期中）將直角邊長為的等腰直角繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△，則圖中陰影部分的面積(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角∠CAC=15°，則∠BAC=45°?15°=30°，可見陰影部分是一個銳角為30°的直角三角形，且已知直角邊AC=3厘米，根據(jù)勾股定理或者三角函數(shù)求出另一直角邊即可解答．【詳解】解：設(shè)與交于點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，而，，又，，，陰影部分的面積．故選：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點·旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度5．（2024九年級下·全國·專題練習(xí)）在中，，a、b、c分別是的對邊，，，解這個直角三角形．【答案】，，【分析】本題考查了解直角三角形，含60度角的直角三角形，熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先利用直角三角形銳角互余求出，再用的正切求出b，再用的余弦求出c．【詳解】解：∵，．由知：，由知，．∴，，．【題型2解一圖多三角形的直角三角形】1．（21-22九年級上·吉林長春·期末）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會()的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖所示的四邊形．如果已知，，則的值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】在中，得出，在中，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，在中，，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形，掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2019·浙江杭州·一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，點D是BC邊上一點．若∠B＝α，∠ADC＝β，則為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解直角三角形分別用AC表示出AB，AD即可解決問題．【詳解】在Rt△ABC中，∵AB＝，在Rt△ADC中，∴AD＝，∴＝＝，故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．3．（2025·浙江湖州·二模）如圖，在中，于點D，，．(1)求的長；(2)若，求的值．【答案】(1)6(2)【分析】此題考查了解三角形（1）在中，利用，（2）在直中，利用勾股定理求出的長，由求出的長．再根據(jù)求解即可，【詳解】（1）于點D，，，；（2）由（1）可得：，∵，，，∴，，．4．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，將兩塊直角三角板與按如圖方式放置，，，，兩條斜邊相交于點O，則與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查解直角三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用平行線得到相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)，根據(jù)三角板的性質(zhì)分別表示出、，然后利用相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，在直角中，∵，∴，∴，在直角中，，∴，∴，又∵，∴，∴，故選：D．5．（2025·陜西西安·二模）如圖，等邊銅架的立柱于點D，長6m．現(xiàn)將銅架立柱縮短成，則鋼架立柱縮短的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握特殊角的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)解直角三角形求出的長，從而得出結(jié)論．【詳解】解：∵是等邊三角形，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：D．【題型3解非直角三角形】1．（2025·江蘇常州·一模）如圖，在中，，，，則點到的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形和點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形和點到直線的距離定義．過點A作，通過三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再在直角三角形中利用正弦求出點A到的距離．【詳解】解：過點作，垂足為D，在中，，，在中，，，∴點A到的距離為．故選：A．2．（22-23九年級上·江蘇南通·期末）如圖，在中，，，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計算即可．【詳解】如下圖，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（21-22九年級上·全國·單元測試）如圖，以的頂點O為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若，，，，則點A的坐標(biāo)是（）A．（，） B．（，）C．（，） D．（，）【答案】B【分析】過點A作軸，垂足為B，根據(jù)正弦和余弦的定義，求出，，從而得到坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過點A作軸，垂足為B，∴，，∴，，∴點A的坐標(biāo)是（，），故選B．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，的長．4．（22-23九年級下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知在中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，垂足為，根據(jù)，得出,進(jìn)而求得，由已知條件得出，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作，垂足為，在中，，∴,∴\∴，在中，故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（24-25九年級上·陜西咸陽·期末）如圖，在中，，則的長為．【答案】/【分析】本題主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟練掌握解直角三角形的方法是解答本題的關(guān)鍵．作于，設(shè)，根據(jù)題意可得，進(jìn)而解直角得出，，即可求解．【詳解】解：如圖所示，作于，設(shè)，，，，，，即，解得：，在中，，即：，，，故答案為：．【題型4網(wǎng)格問題】1．（24-25九年級上·山東淄博·期中）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在網(wǎng)格的格點上，連接，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長到點D，連接，根據(jù)題意可得，，然后利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答．本題考查了解直角三角形，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖：延長到點D，連接由題意得∶，，∴故選：B．2．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖，點、、在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點上，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是直角三角形 B．C． D．【答案】C【分析】此題考查解直角三角形．根據(jù)勾股定理得出，，的長，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后結(jié)合解直角三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而解答即可．【詳解】解：由勾股定理得：，，，，∴是直角三角形，，∴，，，觀察四個選項，選項C符合題意，故選：C．3．（22-23九年級上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，在一個的正方形網(wǎng)格中有一個，其頂點均在正方形網(wǎng)格的格點上，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由勾股定理的逆定理判斷為直角三角形，，然后根據(jù)余弦的定義求解．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)正方形網(wǎng)格中小正方形的邊長為個單位長度，∴，，，∵，∴，∴為直角三角形，∴，∴，故選：B．

【點睛】本題考查解直角三角形，余弦的定義，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理及余弦的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2025·吉林長春·一模）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、M、N均在格點上，分別在給定的網(wǎng)格中按要求作圖．(1)在圖①中，找一格點C，連接，使；(2)在圖②中，在線段上找一點C，連接AC，使；(3)在圖③中，找一點C，連接，使．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）結(jié)合格點圖的特點，以為直角邊，點為頂角作出等腰直角三角形，即可求解；（2）結(jié)合格點圖的特點，以為直角邊，點為頂角作出等腰直角三角形，則與交于點，即可求解；（3）結(jié)合格點圖的特點，以為直角邊，點為頂角作出等腰直角三角形，根據(jù)三角形全等找到另一個腰的中點，即可求解；【詳解】（1）解：如圖所示即為所求：（2）解：如圖所示即為所求：（3）解：如圖所示即為所求：【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和作法，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，根據(jù)題意作出符合的等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型5構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的面積】1．（22-23八年級下·湖南益陽·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)進(jìn)行計算即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接，如圖所示

，，，四邊形的面積為48故選：A．【點睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會巧妙添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．2．（2025·福建泉州·一模）一根鋼管放在“V”形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是，若，則圖中陰影部分的面積是．【答案】/【分析】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積、解直角三角形、切線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．連接，由題意得都是的切線，得到，利用四邊形的內(nèi)角和定理得出，再證出，得到，利用正切的定義求出的長，最后利用陰影部分的面積即可求解．【詳解】解：如圖，連接，由題意得，都是的切線，，，，，，，，，，，，在中，，，，陰影部分的面積．故答案為：．3．（23-24九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，用6個全等的三角形拼成一個內(nèi)外都是正六邊形的圖形，若，，則＝．【答案】【分析】本題考查了正多邊形與圓，解直角三角形，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．過B作于P，則，，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過B作于P，則，，，，，，，∴，故答案為：．4．（23-24九年級上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在中，．(1)求的值．(2)求的面積（結(jié)果保留根號）【答案】(1)(2)的面積為【分析】本題考查了解三角形，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形．（1）過點作于點，構(gòu)造出兩個直角三角形，再根據(jù)所給條件直接求解即可；（2）利用勾股定理及三角形面積求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作于點．在中，，，，，在中，，；（2）解：由（1）知：在中，，，，．【題型6仰角俯角問題】1．（2025·海南·模擬預(yù)測）定滑輪能改變力的方向，使得施力方向轉(zhuǎn)變?yōu)槿菀壮隽Φ姆较颍嘲唷熬C合與實踐”小組的同學(xué)在課余時間測量“定滑輪距地面的高度”．如圖，點O處放置一定滑輪，點A，B，，C，，O均在同一豎直平面內(nèi)，在點B處測得定滑輪O的仰角為，小組成員站在A處，拉動繩子，使得物體移動至點處，在點處測得定滑輪O的仰角為，物體從點B移動到點處繩子收回的長度為，已知物體的高度．則定滑輪O距地面的高度（定滑輪自身高度忽略不計）為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用（仰角問題），解題的關(guān)鍵是通過作輔助線，利用解直角三角形求解．過點O作交的延長線于點D，延長交于點E，，根據(jù)題意，在中，，在中，求得，利用求解，最終求解出的長度．【詳解】如解圖，過點O作交的延長線于點D，延長交于點E，根據(jù)題意，得，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∵繩子收回的長度為，∴，解得，∴，故定滑輪O距地面的高度為．故選：C．2．（2025·海南儋州·模擬預(yù)測）如圖，是小明參觀?？谥行臅r的示意圖，當(dāng)走到點A時觀測到?？谥行捻敹薆點的仰角是，沿直線靠近?？谥行闹咙cD時，測得頂點B的仰角是．已知海口中心的高度是，則小明靠近?？谥行牡木嚯x的長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得：，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：，在中，，，在中，，，∴，∴小明靠近海口中心的距離的長度是，故選：A．3．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進(jìn)行測高實踐．如圖，無人機從地面的中點處豎直上升30米到達(dá)處，測得博雅樓頂部的俯角為，尚美樓頂部的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度的為米．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】22【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題．過點E作于點M，過點F作于點N，首先證明出四邊形是矩形，得到，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后利用角直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點E作于點M，過點F作于點N，由題意可得，四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵博雅樓頂部E的俯角為，∴，∴，∴，∵點A是的中點，∴，由題意可得四邊形是矩形，∴，∵尚美樓頂部F的俯角為，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得（舍負(fù)），∴．答：尚美樓的高度為米．故答案為：22．4．（2025·寧夏銀川·二模）眼睛是心靈的窗戶，每年的月日定為全國愛眼日，小林想要探究自己按照標(biāo)準(zhǔn)護(hù)眼姿勢讀書時書籍應(yīng)離身體多遠(yuǎn)，畫出如圖的側(cè)面示意圖，點為眼睛的位置，到書籍的距離為，與水平方向夾角，小林在書桌上方的身長為，且垂直于水平方向，請你求出小林與書籍底端的水平距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．如圖，過點作于，延長交的延長線于點，則四邊形是矩形，，，由，，可得，在中，，，則，，，在中，，則，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于，延長交的延長線于點，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，在中，，，∴，，∴，在中，，∴，∴，答：小林與書籍底端的水平距離為．【題型7坡度坡比問題】1．（2025·四川德陽·二模）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比，斜面坡度是指與的比．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出斜坡的長為（

）A．13 B． C． D．11【答案】B【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理．根據(jù)題意求出，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，∵，∴，∵，∴，故選：B．2．（24-25九年級上·河北滄州·期中）如圖，某山坡的截面圖近似為等腰，，現(xiàn)測得斜坡與地面的夾角為，山頂距離地面5米，則下列說法正確的是（

）A．斜坡的坡度是 B．斜坡的坡度是C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)坡度的概念，正切和正弦的定義計算，判斷即可．【詳解】解：A，斜坡的坡角是，而不是坡度是，本選項說法錯誤，不符合題意；B，∵，∴，∴斜坡的坡度是，本選項說法正確，符合題意；C，過點作于，∵，∴，在中，，∴，本選項說法錯誤，不符合題意；D，，本選項說法錯誤，不符合題意；故選：B．3．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，大壩的橫斷面，斜坡AB的坡度，背水坡的坡度，若坡面的長度為，則斜坡的長度為．（，，結(jié)果精確到0.1）【答案】13.4【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．過點作于，過點作于，易得四邊形為矩形，結(jié)合坡的坡比確定，由三角函數(shù)可解得的值，再根據(jù)斜坡的坡比確定的值，然后由勾股定理求解即可．【詳解】解：過點作于，過點作于，則，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵坡的坡比，∴，則，∴米，∴米，∵斜坡的坡比，即，∴米，∴米．故答案為：13.4．4．（2025·湖北·二模）端午節(jié)期間，小優(yōu)與小翼相約攀登武當(dāng)山附近的一座小山．如圖，他們先由山腳處步行到達(dá)山腰處，此后坡度變陡，他們放慢速度再由處步行480到達(dá)山頂處．已知點，，，在同一平面內(nèi)，山坡的坡度，山坡與水平線的夾角為，求，兩地的垂直高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．過點作，過點作，利用含角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算得出，然后在中，求出，即可求解．【詳解】解：過點作，過點作，則四邊形是矩形，由山底處先步行到達(dá)處，山坡的坡度，，在中，，，在中，，，，答：，兩地的垂直高度為．【題型8方向角問題】1．（2025·海南·一模）如圖，海中一漁船在A處且與小島C相距7海里，若該漁船由西向東航行3海里到達(dá)B處，此時測得小島C位于B的北偏東方向上，則該漁船此時與小島C之間的距離是（

）A．4海里 B．4.5海里 C．5海里 D．5.5海里【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，過點C作于點D，由題意得，設(shè)，解直角三角形即可得到、、，根據(jù)“”列方程求解可得．【詳解】解：過點C作于點D，由題意得，設(shè)，在中，，，∴，∵，∴，解得：（負(fù)值舍去），即漁船此時與C島之間的距離為5海里．故選：C．2．（2025·湖南·模擬預(yù)測）小穎在國際龍舟競渡中心廣場點處觀看200米直道競速賽．如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點位于點的北偏西方向上，終點位于點的北偏東方向上，米，則點到賽道的距離約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）．A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點P作，垂足為P，設(shè)米，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再根據(jù)米，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：過點P作，垂足為C，設(shè)米，在中，，∴（米），在中，，∴（米），∵米，∴，∴，∴，∴米，∴點P到賽道的距離約為86.6米，故選：B．3．（2025·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·三模）臺風(fēng)是一種破壞性極強的自然災(zāi)害．如圖，點A是東方市，臺風(fēng)中心位于東方市的南偏東方向，距離為240千米的點B處，已知臺風(fēng)中心沿北偏西的方向移動，一段時間后臺風(fēng)中心移動到東方市的南偏東方向的點C處，此時臺風(fēng)中心移動的路徑的長度為千米．【答案】240【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的知識是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，得到，過點C作于H點，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)的知識求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，則，∴，過點C作于H點，∴，則在直角三角形中，千米．故答案為：240．4．（2025·安徽·模擬預(yù)測）合肥植物園內(nèi)的珍稀花卉吸引了眾多游客前來觀賞與拍照留念．如圖，四邊形觀賞區(qū)緊鄰三角形溫室．經(jīng)測量C，B，E三點在同一直線上，且，長45米，長60米．點在點的正東方向，點在點的正北方向，點在點的北偏東方向上，點在點的北偏東方向上．在點處種植了一株造型獨特的龍舌蘭，若游客從出發(fā)，沿著到達(dá)點去參觀龍舌蘭，請計算該游客所走的路程．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】該游客所走的路程約為93米【分析】本題考查了解直角三角形，以及矩形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形求解．過點作于點，利用解直角三角形求出，證明四邊形為矩形，得到米，，利用解直角三角形求出，進(jìn)而求出，即可解題．【詳解】解：如圖，過點作于點，

在中，，米，米，米，點在點的正北方向，點在點的正東方向，，，，，四邊形為矩形，米，，

在中，，米，

米，米，米，（米），（米）．答：該游客所走的路程約為93米．【題型9實物抽象模型問題】1．（2025年江西省中考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題）圖1是總臺蛇年春晚舞蹈《喜上枝頭》的節(jié)目圖片，節(jié)目汲取“喜鵲登枝”的美好寓意，將整個舞臺打造成一幅展開的宋畫．節(jié)目使用了春晚有史以來最大的道具，在畫卷中搭建了一根長9.5米的“松枝”，松枝與喜鵲取“送喜”的吉祥寓意．如圖2是“松枝”的簡化圖，已知，，，，點D到點C的垂直距離為，點D到點E的垂直距離為，，．（結(jié)果精確到）(1)求點A到點B的垂直距離；(2)求道具“松枝”的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】(1)點A到點B的垂直距離(2)道具“松枝”的高度【分析】本題主要考查解直角三角形和點與點的垂直距離，（1）過點A作交的延長線于點I，根據(jù)題意得，利用解直角三角形，即可求得；（2）過點D作的延長線于點J，過點D和點E作相交于點K，根據(jù)題意得和，結(jié)合即可．【詳解】（1）解：如圖，過點A作交的延長線于點I，∵，∴，∵，∴，即，則點A到點B的垂直距離；（2）解：過點D作的延長線于點J，過點D和點E作相交于點K，∵點D到點C的垂直距離為，∴，∵點D到點E的垂直距離為，∴，則道具“松枝”的高度．2．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測）圖1是某款沙灘椅，圖2是該款沙灘椅放置在水平地面上的示意圖．已知，可通過調(diào)試與的夾角來調(diào)整靠背高度．(1)試判斷的形狀，并說明理由．(2)若此時，求點到地面的高度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】(1)直角三角形，理由見解析(2)48厘米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（2）在中，根據(jù)正切的定義求出，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)求出，過H作于M，在中，根據(jù)正弦的定義求解即可．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由：∵，，，∴，，∴，∴是直角三角形；（2）解：在中，，又，∴，∵，∴，過H作于M，∴（厘米），即點H到地面的高度為48厘米．3．（2025·河南周口·二模）每年3月20日是“世界口腔健康日”．下圖是口腔科用的綜合治療椅，其中燈的燈臂長，與水平線的夾角為，連接處和燈柄的長相等，都等于，與水平線的夾角為，根據(jù)患者在治療椅上所躺的位置，醫(yī)生調(diào)節(jié)燈，使燈柄與水平線的夾角為時給患者治療光線最好，求此時、兩點在豎直方向上的距離．(結(jié)果精確到．參考：取，取，取，取，取)【答案】【分析】本題考查解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．利用銳角三角函數(shù)，分別求出點、點、點與點在豎直方向上的距離，計算即可．【詳解】解：根據(jù)已知可得，、兩點在豎直方向上的距離為，、兩點在豎直方向上的距離為，、兩點在豎直方向上的距離為，∴、兩點在豎直方向上的距離為答：、兩點在豎直方向上的距離為．4．（2025·安徽滁州·三模）梿枷是我國的一種古代農(nóng)具，如圖1是用梿枷工作的場景．圖2是該種勞動工具生產(chǎn)過程中某一時刻的簡意圖，梿枷的最低點B距地面，梿枷的桿身長，．當(dāng)時，求此時點A離地面的距離．（參考數(shù)據(jù)∶，，，，，，結(jié)果精確到）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的其他應(yīng)用，分別過點A，O作，，垂足分別為點C，D，則，故，然后分別在，中，由正弦的定義進(jìn)行列式代入數(shù)值計算，即可作答．【詳解】解：如圖，過點O作平行地面的直線，分別過點A，O作，，垂足分別為點C，D，則．∴，則在中，由正弦的定義，得．在中，由正弦的定義，得．∴該時刻點A到地面的距離為．【題型10坡度坡比與仰角俯角綜合問題】1．（24-25九年級下·重慶九龍坡·自主招生）如圖，小紅同學(xué)為了測量小河對岸某塔的高度，他在與塔底B同一水平線上的點C處測得塔的頂端A的仰角為，接著他沿著坡度的斜坡向上行走10米到達(dá)點D處（點A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)），此時測得塔的頂端A的仰角為．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）(1)求點D到的距離；(2)求塔的高度．（結(jié)果精確到0.1米）【答案】(1)點D到的距離為5米(2)塔的高度約為米【分析】本題主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握斜坡的坡度即是正切值，利用銳角三角函數(shù)列方程求解．（1）過點D作于點G，利用坡度進(jìn)行求解即可；（2）過點D作于點H，設(shè)，求出，利用兩個直角三角形的銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：過點D作于點G．在中，，，即，∵米，米，答：點D到的距離為5米；（2）解：過點D作于點H，則四邊形是矩形．米，設(shè)，則米，在中，，，在中，米，米，在中，，．解得米，答：塔的高度約為米．2．（2025·四川成都·二模）青白江區(qū)彌牟鎮(zhèn)獅子村11組，在一片充滿生機與活力的麥田旁，“朱家灣飛行營地”格外醒目，這里是無人機和航模技術(shù)的樂園．如圖，一架無人機靜止懸浮在空中P處，小明在山坡A處測得無人機的仰角為，小亮在水平地面C處測得無人機的仰角為，已知山坡的坡比，A處到地面的距離為10米，水平地面長為30米．(1)求山坡的長；(2)求此時無人機離地面的高度的長（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】(1)山坡的長為米(2)此時無人機離地面的高度的長米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）作交的延長線于，由題意可得米，由山坡的坡比求出米，再由勾股定理計算即可得解；（2）作交于，四邊形為矩形，由矩形的性質(zhì)可得米，，證明為等腰直角三角形，得出，設(shè)米，則米，米，解直角三角形得出，即可得解．【詳解】（1）解：如圖，作交的延長線于，由題意可得：米，∵山坡的坡比，∴，∴米，∴米，∴山坡的長為米；（2）解：如圖：作交于，則，∴四邊形為矩形，∴米，，∵，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)米，則米，米，∵，∴，∴米，即此時無人機離地面的高度的長米．3．（2025·河南洛陽·三模）冬季，滑雪項目成為許多人休閑娛樂的新選擇．圖（1）是某滑雪賽道，圖（2）是其側(cè)面簡化示意圖．是滑雪賽道的高度，斜坡的坡比，坡面長7.5米．小華從A處測得C處的仰角為，從B處測得C處的仰角為，已知，求滑雪賽道的高度．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】11.5米【分析】本題考查了解直角三角形應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．過點作于點，則由題意得，，先解，根據(jù)坡比的定義設(shè)，結(jié)合勾股定理求出，解得到，設(shè)，表示出，再解，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：過點作于點，則由題意得，，∵斜坡的坡比，坡面長7.5米∴，設(shè)，則，解得：所以：，，在中，，∴∴，在中，，即，則，解得：所以滑雪賽道的高度為11.5米．1．（24-25九年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）如圖，A、B兩點在河的兩岸，要測量這兩點之間的距離，測量者在與A同側(cè)的河岸邊選定一點C，測出米，，，則等于（

）米A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查解直角三角形．根據(jù)題意可得，繼而得到本題答案．【詳解】解：∵米，，，∴，即：，∴，故選：C．2．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，某登山隊在攀登一座坡角為的山，每爬上一段山坡就會插一根標(biāo)桿作為標(biāo)記，每相鄰兩根標(biāo)桿之間的水平距離為，那么這兩根標(biāo)桿在坡面上的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確記憶銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意得：，則，故選：C．3．（24-25九年級上·上海·階段練習(xí)）在中，，如果，，那么的長是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出示意圖，再利用銳角三角函數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：如圖，

，在中，，．故選：D．4．（24-25九年級上·山東濱州·階段練習(xí)）將含有30°角的直角三角板如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，在軸上，若，將三角板繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)整式點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，，求出，過點作，得到，求出，得到，即可得到答案．【詳解】解：如圖，將三角板繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，，，，，過點作，，，，，，故選：C．5．（24-25九年級上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知正六邊形的半徑為4，則這個正六邊形的邊心距為（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】本題考查了正六邊形與圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，連接，過點作于點，證出是等邊三角形，再根據(jù)解直角三角形即可求解，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，∵多邊形是正六邊形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，故選：B．6．（24-25九年級上·新疆昌吉·階段練習(xí)）如圖，某貨船以28海里/時的速度從A處向正東方向的D處航行，在點A處測得某島C在北偏東的方向．該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時測得該島在北偏東的方向上．則貨船在航行中離小島C的最短距離是（）A．14海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．過點作，利用，結(jié)合銳角三角函數(shù)，列式計算即可．【詳解】解：如圖，過點作，由題意，得：，，，在中，，在中，，∴，∴，即貨船在航行中離小島C的最短距離是海里．故選：B．7．（24-25九年級上·山東煙臺·期末）定向越野拉練活動是學(xué)校素質(zhì)教育的一次生動實踐，我區(qū)某校每年組織一次定向越野拉練活動．如圖，點A為出發(fā)點，途中設(shè)置兩個檢查點分別為點B和點C，行進(jìn)路線為，點B在點A的南偏東方向處，點C在點A的北偏東方向，，則檢查點B和C之間的距離為（

）A．千米 B．千米C．千米 D．4.5千米【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題），添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．過點作于點，則，先求出、和，然后求出、和，最后根據(jù)即可得解，【詳解】解：如圖，過點作于點，，點B在點A的南偏東方向處，點C在點A的北偏東方向，，，，，，在中，，，，在中，，，，故選：．8．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，沿AC方向修山路，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時施工，若在上取一點B，使，，．要使A、C、E成一條直線．那么開挖點E與點D的距離是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，先利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算，即可解答，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是的一個外角，，，，在中，，，開挖點與點的距離是，故選：A．9．（24-25九年級上·浙江金華·期末）如圖，在四邊形中，對角線，，，設(shè)和的面積分別為和，則的值為（

）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4【答案】C【分析】本題主要考查了解直角三角形及三角形的面積，先根據(jù)三角形的面積公式得出進(jìn)而得出，再結(jié)合的正弦得出即可解決問題．【詳解】解：因為所以所以在中，，令，則，所以，又因為所以．故選：C．10．（2022·陜西西安·三模）如圖，在中，，平分交于點E，則線段的長為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形，作于D，作于F，分別解直角三角形求得，和，從而求得，設(shè)，在中表示出，進(jìn)而根據(jù)列出方程求得x，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，作于D，作于F，在中，，在中，，，∴，在中，設(shè)，在中，，，由得，，∴，∴，故選：B．11．（24-25九年級上·福建泉州·期末）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都為1，已知點A，B，C，D都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，與相交于點P，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)，勾股定理，作出合適輔助線是解題關(guān)鍵．連接，連接，易知，由勾股定理逆定理可以證明為直角三角形，所以即可得答案．【詳解】如圖，連接，連接由圖可知：∴四邊形是平行四邊形在中，有，∴為直角三角形，故選：A12．（24-25九年級上·山東煙臺·期中）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進(jìn)行測高實踐．如圖，無人機從地面的中點處豎直上升米到達(dá)處，測得博雅樓頂部的俯角為，尚美樓頂部的俯角為，已知博雅樓高度為米，則尚美樓高度為米．（結(jié)果保留根號）【答案】/【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的知識，掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵；過點B作交延長線于點P，交延長線于點Q，先通過矩形的性質(zhì)可得，求得，然后根據(jù)可得，然后在中，根據(jù)三角函數(shù)的知識求得，然后即可求解．【