專題05相交線、平行線與平移內(nèi)容導航考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺考點鞏固：必考題型講透練透，能力提升復習提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點1垂線定義：當兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.垂線段的定義：如圖，點P為直線外一點,PO⊥m，垂足為0，稱PO為點P到直線m的垂線段.垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點P與直線m上的各點連線中，線段PO最短.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.【注意】1）垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，容易出現(xiàn)概念混淆的錯誤；2）過直線外一點和直線上各點的線段有無數(shù)條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.知識點2相交線形成的角1.對頂角與鄰補角種類圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角有公共頂點一個角的兩邊分別是另一角的兩邊的反向延長線∠1=∠2，∠3=∠4鄰補角有公共頂點兩個角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長線.∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°2.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角角的名稱位置特征基本圖形圖形結(jié)構(gòu)特征同位角在截線的同側(cè)，在被截兩條直線同側(cè)形如字母“F”內(nèi)錯角在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間形如字母“Z”同旁內(nèi)角在截線的同側(cè)，在被截兩條直線之間形如字母“U”知識點3平行線平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示.如圖，直線AB與CD平行，記作;AB∥CD，讀作：AB平行于CD.平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的前提條件：經(jīng)過直線外一點.平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.【拓展】1）平行線具有傳遞性：若多條直線都與同一條直線平行，則這多條直線也相互平行.2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線相互平行，即在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.知識點4平行線的判定判定方法1判定方法2判定方法3兩條直線平行的判定同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行圖示符號語言∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD知識點5平行線的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3兩條直線平行的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補圖示符號語言∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1+∠2=180°知識點6平移定義：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，圖形這種移動叫做平移．它是由移動方向和距離決定的.平移的性質(zhì)：1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個圖形全等.2）平移前后對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等、對應(yīng)角相等.3）任意兩組對應(yīng)點的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應(yīng)點之間的距離就是平移的距離.【題型1對頂角與鄰補角的識別】高妙技法判斷對頂角和鄰補角，首先是看兩個角兩邊涉及的直線是否只有兩條，其次還應(yīng)注意對頂角沒有公共邊，鄰補角有公共邊，兩條直線相交形成的四個角中，共有兩對對頂角，四對鄰補角.1．（24-25七年級下·上?！て谥校┫铝袌D中，和是對頂角的是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了對頂角的定義，一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角，由此逐項分析即可得解．【詳解】解：A、和不是對頂角，故不符合題意；B、和不是對頂角，故不符合題意；C、和不是對頂角，故不符合題意；D、和是對頂角，故符合題意；故選：D．2．（23-24七年級下·上海金山·期中）如圖，直線和相交于點O，，那么下列選項中與互為鄰補角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了鄰補角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握鄰補角的含義“有一條公共邊，另一條邊互為反向延長線的角是鄰補角”；根據(jù)鄰補角的定義即可解答．【詳解】解：直線和相交于點O與互為鄰補角的有：，，故選：A【題型2相交線的相關(guān)概念】3．（20-21七年級下·上海奉賢·期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90，D是邊BC上一點，且∠ADC＝60，那么下列說法中錯誤的是（）A．直線AD與直線BC的夾角為60 B．直線AC與直線BC的夾角為90C．線段CD的長是點D到直線AC的距離 D．線段AB的長是點B到直線AD的距離【答案】D【分析】根據(jù)已知角即可判斷A、B；根據(jù)點到直線的距離的定義即可判斷C、D．【詳解】解：A、∵∠CDA＝60，∴直線AD與直線BC的夾角是60，正確，故不符合題意；B、∵∠ACD＝90，∴直線AC與直線BC的夾角是90，正確，故不符合題意；C、∵∠ACD＝90，∴DC⊥AC，∴線段CD的長是點D到直線AC的距離，正確，故不符合題意；D、∵BD和AD不垂直，∴線段AB的長不是點B到直線AD的距離，錯誤，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了點到直線的距離，以及直線與直線的夾角，注意：點到直線的距離是指該點到直線的垂線段的長．4．（24-25七年級下·上?！て谥校┤鐖D，在中，，是斜邊上的高，那么表示點到直線的距離是（）A．線段的長度 B．線段的長度C．線段的長度 D．線段的長度【答案】A【分析】本題考查了點到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離是指該點到直線的垂線段的長度，即可得解．【詳解】解：由題意可得：表示點到直線的距離是線段的長度，故選：A．5．（23-24七年級上·河南洛陽·期末）運動會上，跳遠運動員跳落到沙坑時的痕跡和測量跳遠成績的方法如圖所示，選擇其中的③號線的長度作為跳遠成績，這樣測量的依據(jù)是（

）A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短C．兩點確定一條直線 D．平行線之間的距離處處相等【答案】B【分析】本題考查了垂線段的性質(zhì)，從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段，垂線段最短．利用垂線段最短求解．【詳解】解：運動員跳遠成績的依據(jù)是垂線段最短，故選：B．6．（23-24七年級下·湖北荊州·階段練習）如圖，在鐵路旁有一李莊，現(xiàn)要建一火車站，為了使李莊人去車站距離最近，火車站應(yīng)建在鐵路線上的A點，這樣做的數(shù)學道理是．【答案】垂線段最短【分析】本題考查了垂線的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短解答即可．【詳解】解：這樣做的數(shù)學道理是垂線段最短．故答案為：垂線段最短．【題型3利用對頂角與鄰補角的性質(zhì)求解】高妙技法求一個角的度數(shù)時，注意這個角與哪些角具有數(shù)量關(guān)系，然后結(jié)合已知條件選擇一個適當?shù)年P(guān)系去求角.7．（24-25六年級上·上海松江·期末）如圖，點、、在一條直線上，且，如果平分，那么圖中【答案】【分析】本題主要考查了角平分線的定義，角的和差，平角定義，先根據(jù)角平分線的定義求出，即可求出，然后根據(jù)得出答案．【詳解】解：∵平分，，∴，∴，∴．故答案為：．8．（22-23七年級下·上?！て谥校┤鐖D，直線與相交于點，，平分且，則．【答案】/度【分析】本題考查對頂角、鄰補角以及角平分線，根據(jù)鄰補角、對頂角的定義，角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系進行計算即可．【詳解】解：，，，，，，平分，．故答案為：．9．（22-23七年級下·山東聊城·期中）如圖，直線相交于點O，平分．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了對頂角，角平分線的定義，角的和差，熟練掌握對頂角相等的性質(zhì)以及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義即可求出的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)即可求出的度數(shù)，由角平分線的定義即可求出的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）∵平分，，∴，∴；（2）∵，又∵，∴，∵平分，∴，∴．【題型4三線八角的識別】高妙技法解題大招：同位角內(nèi)錯角同旁內(nèi)角10．（24-25七年級下·上海浦東新·期中）如圖所示，下列說法中正確的是（

）A．與是同位角 B．與是同位角C．與是內(nèi)錯角 D．與是同旁內(nèi)角【答案】C【分析】本題考查三線八角，根據(jù)同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角的定義，進行判斷即可．【詳解】解：A、與是同旁內(nèi)角，原說法錯誤，不符合題意；B、與不是同位角，原說法錯誤，不符合題意；C、與是內(nèi)錯角，原說法正確，符合題意；D、與不是同旁內(nèi)角，原說法錯誤，不符合題意；故選C．11．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）下列圖形中的和不是同位角的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了同位角的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角；根據(jù)同位角的定義對各個選項中和的位置進行分析即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得A中的和是同位角，不符合題意；B中的和是同位角，不符合題意；C中的和不是同位角，符合題意；D中的和是同位角，不符合題意；故選：C．12．（24-25七年級下·上?！て谥校┤鐖D，與是角，與是角．（填“同位角”、“內(nèi)錯角”或“同旁內(nèi)角”）【答案】同位角同旁內(nèi)角【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，熟記定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義求解即可．【詳解】如圖，與是同位角，與是同旁內(nèi)角．故答案為：同位角，同旁內(nèi)角．【題型5根據(jù)已知條件判定兩直線平行】高妙技法①平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.②平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.③同位角相等，兩直線平行;④內(nèi)錯角相等，兩直線平行;⑤同旁內(nèi)角互補，兩直線平行;⑥在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行,解題方法：判定兩直線平行時，定義一般不常用，其他五種方法要靈活運用，添加說明時要注意書寫格式.13．（24-25七年級下·上海楊浦·期中）如圖，下列條件可以推出的有（

）①；

②；

③；

④．A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】A【分析】本題考查了平行線的判定：①內(nèi)錯角相等，兩直線平行；②同位角相等，兩直線平行；③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．根據(jù)平行線的判定定理逐項判斷即可．【詳解】解：由根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得出，①符合題意；由，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得，②不符合題意；由，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得，③不符合題意；由，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得，④符合題意；故選：A．14．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）如圖，在條件：①，②，③，④中能判定的條件有．（填序號）【答案】②④/④②【分析】本題考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．利用平行線的判定方法逐一判斷即可．【詳解】解：①∵，∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），無法判定，故①不符合題意；②∵，∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故②符合題意；③∵，∴（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），無法判定，故③不符合題意；④∵，∴（同位角相等，兩直線平行），故④符合題意；綜上，能判定的條件有②④，故答案為：②④．【題型6補全兩直線平行的判定過程】15．（24-25七年級下·上海楊浦·期中）如圖所示，已知，垂足為B，，垂足為D，．試說明直線與平行．解，（已知），，（____________），即、又（____________），_____=____________，（____________）．【答案】見解析【分析】本題考查的是平行線的判定，垂直的定義，根據(jù)題干信息的提示，逐步完善推理過程與推理依據(jù)即可.【詳解】解：，（已知），，（垂直的定義），即、，又（已知），（等角的余角相等）∴（同位角相等，兩直線平行）．16．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）如圖，直線分別交直線，于點，．，且．求證：．補充完成下列證明，并填上推理依據(jù)．證明∵（已知），（），∴（）．∵（已知），∴（）∴（）【答案】見解析【分析】本題主要考查了平行線的判定，先由對頂角相等和已知條件證明，進而可證明，再由平行線的判定定理即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵（已知），（對頂角相等），∴（等量代換）．∵（已知），∴（等式的性質(zhì)）∴（同位角相等，兩直線平行）17．（23-24七年級下·上海奉賢·期末）如圖，已知點、、、在一條直線上，，平分，．（1）與平行嗎？請說明理由；（2）與的位置關(guān)系如何？請說明理由．解：（1），理由如下：（），（已知），．（）．（2）與的位置關(guān)系是：（）．請完成說理過程：【答案】（1）平角定義；；同位角相等，兩直線平行；（2）平行，理由見解析【分析】本題考查了平行線的判定，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定．（1）根據(jù)平角定義可得，從而利用同角的補角相等可得，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，然后利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得，即可解答．【詳解】解：（1），理由如下：（平角定義），（已知），，（同位角相等，兩直線平行），故答案為：平角定義；；同位角相等，兩直線平行；（2）與的位置關(guān)系是：（平行），理由如下：平分，，，，，故答案為：平行．18．（23-24七年級下·遼寧錦州·期中）如圖，點P在上，點G在上，已知，平分，交于點E，平分，請說明的理由．解∶∵（已知）（______）∴（_________）∵平分，∴______（_________）∵平分，∴_____，∴（等量代換）∴（_____）【答案】平角的定義；同角的補角相等；；角平分線的定義；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定，根據(jù)同角的補角相等，角平分線平分角，以及內(nèi)錯角相等，兩直線平行，進行作答即可．掌握平行線的判定定理，是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∶∵（已知）（平角的定義）∴（同角的補角相等）∵平分，∴（角平分線的定義）∵平分，∴，∴（等量代換）∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【題型7證明兩直線平行】19．（21-22七年級下·陜西西安·期中）如圖，直線交于點O，分別平分和，已知，且．(1)求的度數(shù)；(2)試說明的理由．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，余角的性質(zhì)．（1）根據(jù)角平分線的定義推出，再根據(jù)對頂角性質(zhì)求解即可；（2）結(jié)合等量代換得出，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可得解．【詳解】（1）∵分別平分和，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴．20．（2022七年級下·上?！ｎ}練習）如圖，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，請說明AB//EF的理由．【答案】見解析【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補兩直線平行、平行公理即可得出AB∥EF．【詳解】解：，，，，．【點睛】此題考查了平行線的判定，用到的知識點是同位角相等兩直線平行、同旁內(nèi)角互補兩直線平行、熟練運用平行公理是解決此題的關(guān)鍵．21．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）已知：如圖，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了平行線的判定，平行公理的推論，掌握同旁內(nèi)角互補，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得到，再由平行公理的推論即可證明．【詳解】證明：，，，．22．（24-25七年級下·山東菏澤·期中）如圖，點O在直線上，平分，平分，F(xiàn)是上一點，連接．(1)試說明：；(2)若與互余，試說明：．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題考查了角平分線定義，垂直的定義，平行線判定定理，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合角平分線定義得到，即可證明；（2）結(jié)合題意得到，再根據(jù)等量代換得到，即可證明．【詳解】（1）證明：∵平分，平分，∴，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵與互余，∴，∴，∴．【題型8利用平行線的性質(zhì)求解】23．（2025·陜西西安·三模）如圖，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行，同位角相等，求得，再利用平角求得．【詳解】解：如圖所示：，，故選：D．24．（24-25七年級下·上海奉賢·期中）如圖，在中，平分，，如果，那么【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義即可求出，最后再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，故答案為：．25．（24-25七年級下·上海楊浦·期中）如圖，，平分，平分，如果，那么．【答案】155【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及鄰補角，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．利用鄰補角互補，可求出的度數(shù)，由，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，可求出的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義，可求出的度數(shù)，再利用鄰補角互補，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵和互補，，∴，∵，∴，∵平分，∴，又∵和互補，∴．故答案為：155．26．（24-25八年級下·陜西西安·開學考試）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若，，則的度數(shù)為．【答案】/160度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．過頂點O作直線，直線l將分成兩個角即、，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，過頂點O作直線，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，故答案為：．27．（24-25七年級下·山東臨沂·期中）如圖，直線，直線、被直線所截，平分，平分，(1)若，求的度數(shù)；(2)判斷的結(jié)果，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得，再根據(jù)角平分線的定義即可求解；（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得，再根據(jù)角平分線的定義即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴；（2）解：，

理由：∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴．【題型9根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系】28．（24-25七年級下·陜西榆林·階段練習）如圖，直線，點是直線與直線中間一點，點、分別在直線、上，連接并延長至點，連接，過點作，點是直線上方一點，連接，．已知，，則、與之間的數(shù)量關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．首先根據(jù)題意得到，，然后結(jié)合平行線的性質(zhì)得到，，進而求解即可．【詳解】∵，∴∵∴∵∴∵∴∴∴故選：B．29．（24-25七年級下·湖北武漢·期中）如圖（1），已知，與的角平分線相交于點F，下列結(jié)論：①；②若，則；③如圖（2）中，若，，，則；④如圖（2）中，若，，，則．其中正確的是（填正確結(jié)論的序號）【答案】①②④【分析】本題考查平行線的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)及輔助線的作法和應(yīng)用是解題關(guān)鍵．分別過、、作，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到解答．【詳解】解：分別過、、作，，，，，，，，即，①正確；，，，與的角平分線相交于點F，，，，，，，②正確；，，，與的角平分線相交于點F，，，，，，，，，，，③錯誤；同理可得：若，，，則，故④正確；故選：①②④．30．（24-25八年級上·四川成都·期末）一副三角板按如圖所示放置，已知，，，過點的直線與過點的直線相互平行，設(shè)，，則，滿足的等量關(guān)系式是．【答案】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及角的和差的運用.熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．直接利用平行線的性質(zhì)及特殊直角三角形角的特征求解即可．【詳解】∵∴由已知三角板可知，∴，∴∴．故答案為：31．（24-25七年級下·廣東東莞·期中）【問題初探】（）數(shù)學活動課上，王老師給出如下問題：如圖，，點在，之間且點在點右側(cè)，求證：；【類比探究】（）李明對王老師給出的問題進行了改編：如圖，，點在，之間且點在點左側(cè)，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；【學以致用】（）如圖是超市購物車，圖是其側(cè)面示意圖，已知，，測量得知，，求的度數(shù)．【答案】（）證明見解析；（）；（）【分析】（）如圖，過點作，可得，，即得，進而即可求證；（）如圖，過點作，可得，，即得，進而即可求證；（）如圖，過點作，過點作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推論得，即可得，進而即可求解；本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）證明：如圖，過點作，則，∵，∴，∴，∵，∴；（）如圖，過點作，則，∵，∴，∴，∴，即；（）如圖，過點作，過點作，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．32．（24-25七年級下·山東青島·期中）【提出問題】（1）如圖1，將長方形紙片剪兩刀，其中，則與、度數(shù)之間有何等量關(guān)系？請說明你的理由．【類比探究】（2）如圖2，將長方形紙片剪四刀，其中，則、、、、的度數(shù)之間的等量關(guān)系是________．【綜合應(yīng)用】（3）如圖3，直線，，，，，則_______．（4）如圖4，直線，點、分別是上兩點，點在之間，連接．點是下方一點，平分平分，已知，則______．【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）；（4）【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線利用平行線的性質(zhì)解決問題．（1）如圖1中，結(jié)論，作，利用平行線的性質(zhì)即可證明．（2）如圖2中，作，，結(jié)論，利用平行線的性質(zhì)即可證明．（3）如圖3中，作，，，利用平行線的性質(zhì)即可解決．（4）如圖4中，過點作，根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，進而即可求解．【詳解】解：（1），理由如下：如圖1中，作，∵，，∴，∴，，∴，即．（2）如圖2中，如圖2中，作，，，∵，∴，∴，，，，∴，即．故答案為：．（3）如圖3中，作，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，則，∴．故答案為：；（4）如圖，過點作∴即，∵，即∵平分平分，∴∴∵，∴∴∴由（1）可得∴故答案為：．【題型10平行線的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用】高妙技法在平行線的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用中，需正確地辨認同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，從而得到相等或互補的角，解決這類問題，在準確理解題意的同時，還需將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.33．（24-25七年級下·上?！るA段練習）如圖所示，修高速公路需開鑿隧道，為節(jié)省時間，現(xiàn)從山的兩側(cè)、處同時開工．如果在處測得隧道的走向是北偏東，那么在處應(yīng)按方向開工，才能使隧道準確接通．【答案】南偏西【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和方向角在實際生活中的運用，解答此類題需要從運動的角度，正確畫出方位角，利用平行線的性質(zhì)解答．如圖，根據(jù)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)方位角的概念，表示出方位角，即可求解．【詳解】解：如圖，由題意得：，∴，∴按南偏西的方向開工．故答案為：南偏西．34．（24-25七年級下·上海·階段練習）一學員在訓練場上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向和原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（

）A．第一次向左拐，第二次向右拐B．第一次向左拐，第二次向右拐C．第一次向左拐，第二次再向左拐D．第一次向左拐，第二次再向左拐【答案】A【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)分別判斷得出即可．【詳解】解：∵兩次拐彎后，按原來的方向前進，即行駛方向平行，∴兩次拐彎的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等．A、兩次拐彎的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，故此選項符合題意；B、兩次拐彎的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，故此選項不符合題意；C、兩次拐彎的方向相同，形成的角不是同位角，故此選項不符合題意；D、兩次拐彎的方向相同，形成的角不是同位角，故此選項不符合題意；故選：A．35．（24-25七年級下·遼寧盤錦·期中）為響應(yīng)國家新能源建設(shè)．我省某市公交站亭裝上了太陽能電池板（圖1）．如圖2，電池板與水平線的夾角為，電池板與水平線的夾角為，要使，需將電池板逆時針旋轉(zhuǎn)．則的度數(shù)為．【答案】/10度【分析】本題考查平行線的知識．由平行線的性質(zhì)，得，則，計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．36．（24-25七年級上·河南洛陽·期末）如圖①，“二八大杠”傳統(tǒng)老式自行車承載了一代人的回憶，圖②是它的幾何示意圖．已知，，當，時，的度數(shù)為．【答案】/66度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．根據(jù)，可得，根據(jù)，可得，由此可得，即可得解．【詳解】解：∵，，，，，，故答案為：．【題型11利用平行線的性質(zhì)與判定求解】37．（24-25七年級下·上海奉賢·期中）在學習了《相交線與平行線》后，數(shù)學小組進行探究平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能的活動．(1)如圖1，已知，．①求證：；②探究與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由：(2)實際應(yīng)用：如圖2是路燈維護工程車的工作示意圖，工作籃與支撐平臺平行，如果，那么的度數(shù)為【答案】(1)①見解析；②，理由見解析(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，添加平行線求解是解答的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行，即可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件得出，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，即可得證；②過點作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出，，進而即可求解；（2）過點作，根據(jù)題意以及平行線的性質(zhì)得出，，即可求解．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∴∵∴∴；②，理由如下，如圖所示，過點作∴∵∴∴∴；（2）解：如圖所示，過點作，依題意，，∴∴，，∵，，∴．38．（24-25七年級下·廣東江門·階段練習）如圖1，點，點分別是上的點，，過直線與之間的點作，可得．(1)請你在下面的兩個結(jié)論中任選一個，完成你的證明．你選擇結(jié)論__________（只填序號）①；②(2)你可以直接使用（1）中的結(jié)論解決下列問題：①如圖2，，點M是和平分線的交點，，求的度數(shù)．②如圖3，，平分，，平分，若比大，則的度數(shù)為__________．【答案】(1)選擇結(jié)論①，證明見解析或選擇結(jié)論②，證明見解析(2)①；②【分析】本題主要查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用：（1）選擇結(jié)論①：根據(jù)平行線的判定可得，從而得到，即可；選擇結(jié)論②：根據(jù)平行線的判定可得，從而得到，即可；（2）①由（1）得：，，可得，然后結(jié)合角平分線的定義可得，即可求解；②設(shè)，則，可得，，由（1）得：，，，從而得到，然后結(jié)合角平分線的定義可得，可列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：選擇結(jié)論①：∵，，∴，∴，∴；選擇結(jié)論②：∵，，∴，∴，∴；（2）解：①由（1）得：，，∵，∴，∵點M是和平分線的交點，∴，∴，∴；②設(shè)，則，∵比大，平分，∴，，由（1）得：，，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，解得：，即．故答案為：39．（24-25七年級下·陜西榆林·階段練習）如圖，直線，點在直線的上方，連接、，過點作．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，過點作，交的延長線于點，求和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，的平分線，交于點，連接并延長至點，延長交于點，過點作交于點，若平分，求的值．【答案】(1)(2)，見解析(3)【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，垂線，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，分析清楚角與角之間的關(guān)系．（1）證明出，求出，進而求解即可；（2）得出，結(jié)合，得到，進而求解即可；（3）由平行線得到，，由角平分線得到，，然后結(jié)合求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，．（2）解：（其他形式正確也可），理由如下：，，由（1）知：，，，，即．（3）解：，，，，，，又，，平分，平分，，，，由（2）可得：，，，，的值為．【題型12求平行線間的距離】40．（24-25七年級下·上?！て谥校┰谄矫嬷校覀兎Q一組平行直線為“平行線族”．對于“平行線族”中的任意兩條直線，它們之間的“線距”是指這兩條直線之間的垂直距離．已知“平行線族”中有三條直線、、，已知直線與的線距為5，直線與的線距為2，那么直線與的線距是．【答案】3或7/7或3【分析】本題主要考查了平行線間的距離，解題的關(guān)鍵是注意進行分類討論．分兩種情況進行討論：當直線c在直線a與b之間時，當直線c在直線a與b外側(cè)時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：當直線c在直線a與b之間時，如圖所示：∵直線與的線距為5，直線與的線距為2，∴直線與的線距為；當直線c在直線a與b外側(cè)時，如圖所示：∵直線與的線距為5，直線與的線距為2，∴直線與的線距為；綜上分析可知：直線與的線距是3或7．故答案為：3或7．41．（24-25七年級下·重慶長壽·期中）鐵道工人把鐵軌下面的每根枕木做成一模一樣的依據(jù)是（

）A．平行線間的距離處處相等 B．兩點之間，線段最短C．垂線段最短 D．兩點確定一條直線【答案】A【分析】本題考查了平行線之間的距離，解題的關(guān)鍵在于理解鐵軌枕木的設(shè)計與平行線間距離的關(guān)系．依據(jù)鐵軌雙軌道平行進行分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、鐵軌是平行的兩條直線，枕木位于兩軌之間，若枕木形狀相同，則無論放置在哪個位置，都能保證與兩軌的距離一致，符合平行線間距離處處相等，故A正確；B、此選項強調(diào)兩點間最短路徑，與枕木形狀無關(guān)，故B不合題意；C、垂線段最短是點到直線的垂直距離，與枕木橫向支撐無關(guān)，故C不合題意；D、此選項用于解釋直線方向的確定，與枕木形狀的統(tǒng)一性無關(guān)，故D不合題意．故選：A．42．（2025·北京·模擬預(yù)測）如圖所示，，直線與直線之間的距離是線段的長度【答案】【分析】從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離，由此可得出答案．本題考查了平行線之間的距離：從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離．【詳解】解：由題可得，，，∴直線a與直線b之間的距離是線段的長度，故答案為：．【題型13生活中的平移現(xiàn)象】43．（24-25七年級下·福建廈門·期中）下列哪個圖形可以通過平移得到（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查圖形的平移，根據(jù)平移的基本性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大小，結(jié)合圖形，對選項進行一一分析，即可求解．【詳解】解：由平移知，B選項可以通過平移得到，其余選項都不可以通過平移得到，故選：B．44．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）下列現(xiàn)象中，屬于平移的是（

）A．足球在草坪上滾動 B．貨物在傳送帶上移動C．小朋友在蕩秋千 D．汽車雨刮器的擺動【答案】B【分析】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，熟練掌握平移的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的定義判斷即可．【詳解】解：A．足球在草坪上滾動，屬于旋轉(zhuǎn)，故該選項不符合題意；B．貨物在傳送帶上移動，屬于平移，故該選項符合題意；C．小朋友在蕩秋千，屬于旋轉(zhuǎn)，故該選項不符合題意；D．汽車雨刮器的擺動，屬于旋轉(zhuǎn)，故該選項不符合題意；故選：B．45．（24-25七年級下·江蘇泰州·階段練習）有以下現(xiàn)象：①火車從姜堰運動到上海；②打氣簡打氣時活塞的運動；③鐘擺的擺動；④傳送帶上瓶裝飲料的移動，其中，屬于平移的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】D【分析】本題主要考查了平移在實際當中的運用，判斷平移的關(guān)鍵是看圖形的方向是否改變，平移不改變方向．根據(jù)平移的意義逐一分析即可．【詳解】解：①火車從姜堰運動到上海不是平移，不符合題意；②打氣筒打氣時，活塞的運動是平移，符合題意；③鐘擺的擺動不是平移，不符合題意；④傳送帶上，瓶裝飲料的移動是平移，符合題意；∴屬于平移的是②④．故選：D．【題型14利用平移的性質(zhì)求解】高妙技法1）平移后的新圖形與原圖形的形狀、大小完全相同；2）新圖形中的每一個點，都是由原圖形中的某一點平移后得到的，這兩個點是對應(yīng)點；3）連接各組對應(yīng)點的線段平行(或在同一直線上)且相等；4）平移前后的兩個圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等、對應(yīng)角相等.46．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，中，，將邊向右平移4個單位得到，則四邊形的周長為．【答案】【分析】本題考查了圖形平移的性質(zhì)，根據(jù)圖形平移可得，再根據(jù)四邊形周長的計算方法即可求解，掌握圖形平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，沿向右平移4個單位，∴，，∵四邊形的周長為，，故答案為：．47．（24-25七年級下·河北石家莊·期中）如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將三角形沿著點到點的方向平移到三角形的位置．則下列說法正確的個數(shù)有（

）個①；②；③；④若，，陰影部分的面積為30，則；⑤若三角形的面積是2，點平移到的中點時，則三角形掃過的面積是6．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，梯形的面積，三角形的面積，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)將三角形沿著點到點的方向平移到三角形的位置，得，，，再結(jié)合平移得，故陰影部分的面積，因為將三角形沿著點到點的方向平移到三角形的位置，，，故，因為三角形的面積是2，點平移到的中點，，，所以，則，即可作答．【詳解】解：連接，如圖所示：∵將三角形沿著點到點的方向平移到三角形的位置，∴，，，故①②是符合題意，故③是不符合題意；∵平移，∴，，∴∴∴陰影部分的面積則∵，，∴∴，故④是符合題意，∵將三角形沿著點到點的方向平移到三角形的位置，∴，，∴∵三角形的面積是2，點平移到的中點，∴，，∴，∴，則．∴三角形掃過的面積是4．故⑤是不符合題意，故選：C．48．（24-25七年級下·江蘇徐州·期中）如圖，平移到的位置，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．平移距離為線段的長【答案】D【分析】本題考查平移的性質(zhì)，平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小與形狀，平移后對應(yīng)點的連線互相平行，熟練掌握平移性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的性質(zhì)，平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小與形狀，平移后對應(yīng)點的連線互相平行，對各選項分析判斷后利用排除法．【詳解】解：∵平移到的位置，與、與、與對應(yīng)點，，∴選項A、選項B、選項C正確；由題意可得平移距離為線段或或的長，故選項D錯誤；故選：D．49．（2025·貴州貴陽·二模）南南在畫板上畫出兩條不平行的直線a，b（如圖①），他發(fā)現(xiàn)，如果利用平移變換就可以知道這兩條直線所成的角的度數(shù)：將直線b向左平移與直線a交于一點（如圖②），則直線a，b所成的銳角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【點睛】本題主要考查平移的性質(zhì)．把直線a、b延伸，交于一點，進而問題可求解．【詳解】解：如圖，把直線a、b延伸，交于一點，由平移的性質(zhì)得，∴夾角就是a、b所成的角的度數(shù)，故選：B．【題型15利用平移解決實際問題】高妙技法在實際問題中，遇到不規(guī)則圖形時，要利用平移的思想將不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，從而達到簡化計算的目的.50．（24-25七年級下·廣東中山·期中）如圖，在長，寬的長方形草坪上建有兩條等寬的彎曲小路，把草坪分成了4部分．若每條小路的寬度為，則草坪的面積為．【答案】540【分析】本題考查了有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，由長方形的面積得，即可求解；能根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得（），故答案為：．51．（24-25七年級下·四川南充·期中）如圖，某公園里一處長方形風景欣賞區(qū)，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），小路的寬均為1米．若米，米，小明沿著小路的中間從入口E處走到出口F處，則他所走的路線（圖中虛線）長為，陰影部分的面積為．【答案】98米1104平方米【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，由平移的性質(zhì)可得圖中虛線橫向距離等于的長，縱向距離等于，據(jù)此計算求解即可；根據(jù)平移的性質(zhì)可得，陰影部分的面積相當于一個長為米，寬為米的長方形面積．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得，圖中虛線橫向距離等于的長，縱向距離等于，∵米，寬米，∴他所走的路線（圖中虛線）長為（米），根據(jù)平移的性質(zhì)可得，陰影部分的面積相當于一個長為米，寬為米的長方形面積，∴陰影部分的面積為平方米，故答案為：98米；1104平方米．52．（24-25七年級下·重慶長壽·期中）如圖所示，準備在樓梯上鋪上紅地毯，已知這種地毯每平方米售價為100元，樓梯寬5米，其側(cè)面如圖所示，則購買這種地毯至少需要元．【答案】【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，熟練掌握圖形平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題根據(jù)平移的性質(zhì)，計算出地毯的面積即可解決問題．【詳解】解：由題意可得，地毯的面積為：，所以地毯的價錢為：（元）．故答案為：．53．（24-25七年級下·北京·期中）如圖（1），在長為，寬為的一塊草坪上修了一條寬的筆直小路，現(xiàn)為了增加美感，把這條小路改為寬恒為的彎曲小路如圖（2），草地部分的面積（填“變大”或“不變”或“變小”）．【答案】不變【分析】本題考查了平移的知識，注意運用平移的知識可以把幾個圖形拼成一個整體進行計算，后邊的面積計算的時候注意以直代曲的一種思想，掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵；本題把第一個圖形中的兩塊草坪上下平移，則為一個長方形；同理可將曲路兩旁的部分進行整合，也可整合為一個長方形，然后即可求解；【詳解】解：可以把小路看作貫穿整個草坪、寬始終為的帶狀區(qū)域，無論它是筆直還是彎曲，只要仍然在同一矩形草坪中貫通兩邊，每條與小路垂直的橫截線在小路內(nèi)的長度都固定為，因此小路占據(jù)的面積不變，對應(yīng)的草地面積也就不變；故答案為：不變；54．（24-25七年級下·天津南開·期中）在圖①中，將線段向右平移1個單位得到線段，從而得到封閉圖形（即陰影部分）：在圖②中，將折線向右平移1個單位得到折線，從而得到封閉圖形（即陰影部分）．(1)圖①，圖②圖形中，除去陰影部分后，將剩余部分拼在一起就是如圖③的圖形，若剩余部分的面積分別是（圖①，圖②長方形的長均為個單位，寬均為個單位），則___________，___________，___________（填“”或“”或“”）；(2)如圖④，一塊長方形場地由一條彎曲的小路和草地組成．這條彎曲的小路（即陰影部分）任何地方的水平寬度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的圖形可拼在一起形成一個正方形，若這個正方形的面積是，則原長方形場地的長為___________，寬為___________？(3)如圖⑤，一塊長方形場地由兩條彎曲的小路（陰影部分）和草地組成．豎直方向小路任何地方的水平寬度都是，水平方向小路任何地方的豎直寬度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的圖形拼在一起形成一個長方形，且這個長方形的長是寬的2倍，面積是．計劃用不超過5100元的總費用將兩條小路改鋪成鵝卵石路面，若每平方米路面的鋪設(shè)費用（人工費材料費）約為200元，請問總預(yù)算5100元夠嗎？并說明理由．【答案】(1)；；(2)長：，寬(3)總預(yù)算5100元不夠；理由見解析【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，算術(shù)平方根的應(yīng)用，無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握平移的性質(zhì)．（1）根據(jù)長方形面積公式進行解答即可；（2）設(shè)除去小路后的圖形拼在一起形成的正方形邊長為，根據(jù)正方形的面積是列出方程，求出x的值即可；（3）設(shè)空白部分表示草地的圖形拼在一起的長方形寬為，長為，根據(jù)這個長方形的面積為，列出方程，解方程得出y的值，然后求出兩條小路的總面積，再求出需要的費用，即可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：；；∴，故答案為：；；；（2）解：設(shè)除去小路后的圖形拼在一起形成的正方形邊長為，則：，（負值舍負），長方形場地的長，長方形場地的寬．（3）解：設(shè)空白部分表示草地的圖形拼在一起的長方形寬為，長為，則，（負值舍去），長方形場地的寬，長方形場地的長，則兩條小路的總面積為：，將兩條小路改鋪成鵝卵石路面的總費用元，∵，∴∴∴答：總預(yù)算5100元不夠．【題型16與平行線有關(guān)的熱考模型】高妙技法過拐點作平行線，有多少拐點就作多少平行線.55．（24-25七年級下·山東臨沂·期中）問題情境：找兩根長度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋將兩根木棒的一個端點連接起來，并在橡皮筋上打一個結(jié)，如圖1，，點在上．探究一：一組同學是這樣進行操作的：將橡皮筋點向外拉，變成如圖2，使點在的右側(cè)，同學們稱這種模型為“鉛筆頭模型”，探究，，之間的關(guān)系，同學們的思路是：如圖3，過點作的平行線，通過平行線性質(zhì)和判定，可得之和是________，請你在圖3中作出圖形，并說明理由．探究二：二組同學的操作正好相反，將橡皮筋向里推，變成如圖4，點在的左側(cè)，同學們稱這種模型為“豬腳模型”，仿照一組同學們的思路可得，，之間的數(shù)量關(guān)系是________．同學們隨后結(jié)合一、二兩個小組的探究結(jié)論進行深度探究．探究三：三組的同學同時進行把橡皮筋向外拉和向里推兩種操作，變成如圖5所示的圖形，通過分析研究，它們提出了如下的問題：已知，，求的大?。ㄓ煤?，的代數(shù)式表示）．探究四：四組的同學不甘示弱，提出如下問題：如圖6，的平分線與的平分線相交于點，且，，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，請你直接寫出結(jié)果：________．【答案】探究一：，理由見解析；探究二：；探究三：；探究四：或【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線、等分角的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進行推導計算，解題時注意類比思想的運用．探究一：過點作，利用平行線的傳遞性和兩直線平行同旁內(nèi)角互補，即可得出結(jié)論；探究二：過點作，利用平行線的傳遞性和兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可得出結(jié)論；探究三：過點作，過點作，過點作，利用平行線的傳遞性和兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可得出結(jié)論；探究四：過點作，過點作，利用平行線的傳遞性和兩直線平行同旁內(nèi)角互補得出，再利用角平分線得出，根據(jù)三等分角和兩直線平行內(nèi)錯角相等得出．【詳解】解：探究一：，理由如下，如圖所示，過點作，又∵，，∴，即，故答案為：；探究二：，理由如下，如圖所示，過點作，又∵，，∴，即；探究三：，理由如下，如圖所示，過點作，過點作，過點作，又∵，，，即；探究四：或，理由如下，如圖所示，過點作，過點作，又∵，，,，∵平分，平分，，又∵，，，故或．56．（2025七年級下·全國·專題練習）【模型發(fā)現(xiàn)】數(shù)學興趣小組的同學在活動中發(fā)現(xiàn)：圖①中的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是將這個圖形稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①，，M是之間的一點，連接，若，求的度數(shù)；【靈活運用】（2）如圖②，是之間的兩點，當時，請找出和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖③，均是之間的點，如果，直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）100°；（2），理由見解析；（3）【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，構(gòu)造輔助線掌握“豬蹄模型”是解本題的關(guān)鍵．（1）過點M作，證明，則，進而得，由此可得∠B+∠D的度數(shù)；（2）過點M作，則，證明，由（1）得，則，進而得，再根據(jù)，即可得出和之間的數(shù)量關(guān)系；（3）過點G作，依題意得，證明，由（1）得，則，由此可得的度數(shù)．【詳解】解：（1）過點M作，如圖①所示：，，，，，；（2）和之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：過點M作，如圖②所示，，，，由（1）得：，，，，，又，，；（3），理由如下：過點G作，如圖③所示：，，，，，由（1）得：，，，．【題型17平行線與三角板綜合】57．（24-25七年級下·上海·期中）在數(shù)學活動課，同學們用一副直角三角板（分別記為三角形和三角形，其中，，，且）開展數(shù)學活動．操作發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，將三角形沿方向移動，得到三角形，，如果，，那么______；(2)將這副三角板如圖2擺放，并過點作直線平行于邊所在的直線，點與點重合，則的度數(shù)為____________度（直接寫出結(jié)果）；(3)在（2）的條件下，如圖3，固定三角形，將三角形繞點旋轉(zhuǎn)一周，當時，請判斷直線和直線是否垂直，并說明理由．【答案】(1)3(2)15(3)垂直，理由見解析【分析】本題考查的是平移的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練的利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行證明是解本題的關(guān)鍵．（1）由平移的性質(zhì)可得答案；（2）過A作直線，交于G，而，則，可得，，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（3）分兩種情況討論，由平行線的判定與性質(zhì)的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：由平移的性質(zhì)得，，∴，∴．∵，∴．故答案為：3；（2）解：過A作直線，交于G，而，∴，，同理，；故答案為：15；（3）解：垂直，理由如下如圖，延長交于H，交于N，延長交于M，交直線a于G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴直線a，∵，∴直線b；如圖所示，當時，旋轉(zhuǎn)到如下位置，延長交于點H∵，∴，∴，．58．（22-23七年級下·浙江寧波·期中）如圖，直線，一副三角尺（，，，）按如圖①放置，其中點E在直線上，點B，C均在直線上，且平分．(1)求的度數(shù)．(2)如圖②，若將三角形ABC繞點B以每秒4度的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)（A，C的對應(yīng)點分別為F，G），設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t（）（）．①在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，求t的值．②若在三角形繞點B旋轉(zhuǎn)的同時，三角形繞點E以每秒3度的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)（C，D的對應(yīng)點為H，K）．請求出當邊時t的值．【答案】(1)(2)①7.5；②或30【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用方程思想解決問題．（1）利用平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義求解，即可解題．（2）①首先證明，由此構(gòu)建方程求解，即可解題．②分兩種情形：當時，延長交于R．根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題．當時，延長交于R．根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，，，平分，，，，，；（2）解：①如圖，，，，，，，在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，t的值為；②如圖，當時，延長交于R，，，，，，，；如圖，當時，延長交于R，，，，，，，．綜上所述，滿足條件的t的值為或30．59．（24-25七年級下·上海靜安·期中）如圖1，數(shù)學課上老師將一副三角板按圖中所示位置擺放，點在直線上，且，與相交于點，其中，，，，．(1)求此時的度數(shù)；(2)如圖2，若三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當時，求此時的度數(shù)；(3)在（2）的前提下，三角板繞點按逆時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，當三角板第一次回到圖的位置時，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，是否還存在三角板的某一條邊與平行的情況若存在，請求出所有滿足題意的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)秒或秒或秒或秒或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，全面分類、熟練掌握平行線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）過作，由平行線的性質(zhì)得出，，再由計算即可得出答案；（2）過F作．由平行線的性質(zhì)得出，，再由計算即可得出答案；（3）分五種情況，分別畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)建立方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖1，過作．∴，，∴．∴，，∴．（2）解：如圖2，過F作．∵，，∴．∴，，∴．（3）解：如圖3，當時，∵，，∴，∴．∴，解得：．如圖4，當時，∵，，∴．∴，解得：．如圖5，當時，過作．∵，，∴．∴，．∴，解得：．如圖6，當時，∵，，∴，∴∴，解得：．如圖7，當時，∵，，∴．∴，解得：．綜上，值為秒或秒或秒或秒或秒時，存在三角板的某一條邊與平行的情況．【題型18與平行線有關(guān)的動點問題】60．（24-25七年級下·福建廈門·期中）已知直線，點P是直線上的一個動點（不與點A重合），平分，交直線于點C．(1)如圖1，當點P在點A左側(cè)時，若，請直接寫出的度數(shù)，不必說明理由；(2)若，平分，交直線于點D．①如圖2，若點P在點A左側(cè)運動時，的度數(shù)是否會發(fā)生變化？若不變，求出該度數(shù)；若變化，請說明理由；②與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)(2)①不變，②與之間的數(shù)量關(guān)系是：或【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，準確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是解決問題的難點，也是易錯點．（1）延長到E，由得，進而得，再根據(jù)平分得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得，據(jù)此可得的度數(shù)；（2）①延長到E，設(shè)，根據(jù)角平分線的定義得，，再根據(jù)得，進而得，，再根據(jù)平分，得，然后根據(jù)可得結(jié)論；②（?。┊旤cP在點A的左側(cè)時，延長到E，設(shè)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，，根據(jù)，得，進而得，，，然后由平分得，則，據(jù)此得；（ⅱ）當點P在點A的右側(cè)時，延長到E，設(shè)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，，再根據(jù)，得，進而得，，，，然后根據(jù)平分得，則，據(jù)此可得．綜上所述即可得出與之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：延長到E，如圖1所示：∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴；（2）解：①點P在點A左側(cè)運動時，的度數(shù)不發(fā)生變化，，理由如下：延長到E，如圖2所示：設(shè)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，②與之間的數(shù)量關(guān)系是：或，理由如下：（?。┊旤cP在點A的左側(cè)時，延長到E，如圖3所示：設(shè)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴；（ⅱ）當點P在點A的右側(cè)時，延長到E，如圖4所示：設(shè)，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．綜上所述：與之間的數(shù)量關(guān)系是：或．61．（24-25七年級下·上海楊浦·期中）如圖1，直線，直線、及直線把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六個部分．點P是其中的一個動點，連接、，觀察、、三個角．規(guī)定：直線、、上的各點不屬于①、②、③、④、⑤、⑥六個部分中的任何一個部分．(1)當動點P落在第①部分時，求證：．(2)探究：當動點P落在第②、③、⑤部分時，、、之間的關(guān)系是怎樣的？請直接寫出、、之間滿足的關(guān)系式，不必說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)當動點P落在第②部分時，，當動點P落在第③部分時，，當動點P落在第⑤部分時，．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵，兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補，內(nèi)錯角相等．（1）首先過點作的平行線，交于點，進而利用平行線的性質(zhì)得出即可；（2）當動點P落在第②部分時，首先過點作的平行線，交于點，進而利用平行線的性質(zhì)得出即可；當動點P落在第③部分時，過點向右作，根據(jù)平行公理可得，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補用表示出，用表示出，然后結(jié)合圖形整理即可得解．當動點P落在第⑤部分時，如圖，過點向右作，則，，進一步解答即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作，交于點，，，，，，；（2）解：當動點P落在第②部分時，，理由如下：如圖，過點作的平行線，交于點，，，，，；；如圖，當動點P落在第③部分時，，理由如下：過點向右作，則，，，，，．如圖，當動點P落在第⑤部分時，，理由如下：過點向右作，則，，，，，．62．（24-25七年級下·河南濮陽·階段練習）如圖，，定點，分別在直線，上，在平行線、之間有一動點，滿足．(1)試問，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點是平行線、之間有一動點，因此需要對點的位置進行分類討論；如圖1，當點在的左側(cè)時，，，滿足數(shù)量關(guān)系為________，如圖2，當點在的右側(cè)時，，，滿足數(shù)量關(guān)系為________．(2)如圖3，，分別平分和，且點在左側(cè)．①若，則________°．②猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．③如圖4，若與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，此次類推，則與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)（1），(2)①150；②與的數(shù)量關(guān)系為，理由見解析；③【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，圖形規(guī)律問題．（1）如圖1，過點作，證得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得結(jié)論，如圖2，過點作，證得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得結(jié)論；（2）①如圖3，過點作，過點作，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，由，，分別平分和，即可求得結(jié)論；②同①即可求得結(jié)論；③由（2）②知，進而，，由規(guī)律即可求得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，過點作，∵，，∴，∴，，∵，∴，如圖2，過點作，∵，，∴，∴，，∵，∴，故答案為：，；（2）①如圖3，過點作，過點作，∵，，∴，∴，，∵，∴，同理：，∵，∴，∴，∵，分別平分和，∴∴；②由（1）可知，，∵，分別平分和，∴，，∴，∴；③由（2）②知，同理可證：，，……，故答案為：．【題型19與平行線有關(guān)的定值問題】63．（24-25七年級下·廣東廣州·期中）如圖，已知射線，連接，點是射線上的一個動點（與點不重合），分別平分和，分別交射線于點．(1)當時，求的度數(shù)；(2)判斷是否為定值？若是定值，請求出這個定值；若不是，請說明理由；(3)當時，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)為定值，這個定值為(3)當時，的度數(shù)為【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握以上知識，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，由此即可求解；（2）根據(jù)提議設(shè)，則，由此即可求解；（3）設(shè)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義得到，，則，由此即可求解．【詳解】（1）解：，，∵分別平分和，；（2）解：為定值，∵平分，∴設(shè)，，，，為定值，這個定值為2；（3）解：∵平分，∴設(shè)，由（2）知：，，，，，，，，又，．∴當時，的度數(shù)為．64．（24-25七年級下·江蘇南通·期中）已知直線，將一個含角的直角三板按如圖1所示位置擺放，使分別在上，P在之間，設(shè)．(1)比較：_______（填“>”“<”或“=”）；(2)如圖2，分別畫的平分線，交于點Q，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，若平分，交于點E，過點N作，交于點F．請在圖3中補全圖形，并判斷的大小是否是一個定值？若是，請求出它的值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平角的性質(zhì)，通過平行線構(gòu)造等角是解答本題的關(guān)鍵．（1）通過輔助線構(gòu)造等角得出和，進而得出結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)得出，在平角中求出，進而求出，再同（1）可求出的大??；（3）根據(jù)題意補全圖形，先由平行線的性質(zhì)求出然后角平分線的性質(zhì)求出，最后通過角的和差關(guān)系求得，結(jié)合（1）即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，過點作平行于，則，，，，故答案為：；（2）解：∵，，，∴由（1）結(jié)論同理可得：，，；（3）解：根據(jù)題意補全圖形如下：∵，，，，，∵平分，，∵平分，，，由（1）知，，故的大小為定值，度數(shù)是．提升專練1．（24-25七年級下·上海松江·階段練習）下列說法正確的是（

）A．有公共頂點的兩個角是對頂角； B．在同一平面上，如果兩線段不相交，那么他們所在的直線互相平行；C．一個銳角的補角比它的余角大90度； D．垂直于同一直線的兩直線平行．【答案】C【分析】本題主要考查對頂角性質(zhì)、兩直線的位置關(guān)系、補余角定義，根據(jù)對頂角性質(zhì)、兩直線的位置關(guān)系、補余角定義可逐一判斷．【詳解】解：A．有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．故選項A說法錯誤，不符合題意；B．在同一平面上，如果兩線段不相交，那么他們所在的直線不一定互相平行,原說法錯誤，不符合題意；C．設(shè)這個銳角是x度，則它的補角是度，余角是度．則，說法正確，符合題意；D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行，原說法錯誤，不符合題意；故選：C．2．（24-25七年級下·上海松江·期中）如圖，已知，那么與相等的角（不包括本身）共有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，由可得，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對頂角的性質(zhì)即可求解，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∵與是對頂角，與是對頂角，∴，∴與相等的角共有個，故選：．3．（24-25七年級下·上?！て谥校┤鐖D，下列推理中，正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】A【分析】本題主要考查了平行線的判定，同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．根據(jù)平行線的判定條件逐一判斷即可．【詳解】解：A、由內(nèi)錯角相等，兩直線平行可知如果，那么，故此選項符合題意；B、由內(nèi)錯角相等，兩直線平行可知如果，那么，不能得到，故此選項不符合題意；C、由內(nèi)錯角相等，兩直線平行可知如果，那么，不能得到，故此選項不符合題意；D、由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可知，如果，那么，不能得到，故此選項不符合題意；故選：A．4．（24-25七年級下·上海浦東新·期中）一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，第一次拐彎的度數(shù)為，第二次拐彎的度數(shù)為，到了點后需要繼續(xù)拐彎，此次拐彎后與第一次拐彎之前的道路平行，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，過點作，進而得到，利用平行線的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】解：過點作，由題意，得：，∴，∴，，∴；故選B．5．（2025七年級下·湖北·專題練習）將一副三角板的直角頂點重合按如圖放置，小明得到下列結(jié)論：①如果，則；②；③如果，則；④如果，則．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查三角板中角度的計算，平行線的判定和性質(zhì)，角的和差關(guān)系，結(jié)合三角板中的角度，得到，判斷①，角的和差關(guān)系判斷②，平行線的性質(zhì)結(jié)合角的和差關(guān)系求出的度數(shù)，判斷③，根據(jù)三角板中的角度，結(jié)合角的和差關(guān)系求出的度數(shù)，判斷④即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故①正確；∵，∴，故②正確；∵，，∴，∵，∴，故③錯誤；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故④正確；所以其中正確的結(jié)論有①②④，共3個．故選：C．6．（2025·廣東深圳·一模）平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被平面鏡a反射后的光線為n，則．如圖2，一束光線先后經(jīng)平面鏡反射后，反射光線與平行．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平面鏡反射光線的規(guī)律，由題意得，，根據(jù)平角的定義可求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出的度數(shù)，從而求出的度數(shù)．【詳解】解：由題意，得，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．7．（21-22七年級下·四川綿陽·期中）如圖，已知直線，則、、之間的關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找到角之間的關(guān)系．【詳解】解：過向左作射線，則，∴，，，，．故選：D．8．（24-25七年級下·廣東江門·階段練習）如圖，下列結(jié)論中錯誤的是（

）

A．與是同位角 B．與是同旁內(nèi)角C．與是對頂角 D．與是內(nèi)錯角【答案】D【分析】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角和對頂角的定義，兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角；有公共頂點，且角的兩邊互為反向延長線的兩個角互為對頂角；據(jù)此分別進行分析可得答案．【詳解】解：A、與是同位角，原說法正確，不符合題意；B、與是同旁內(nèi)角，原說法正確，不符合題意；C、與是對頂角，原說法正確，不符合題意；D、與不是內(nèi)錯角，原說法錯誤，符合題意；故選；D．9．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）如圖，已知與交于點，且，垂足為，若，則度．【答案】/125度【分析】本題考查垂直的定義，角的和差關(guān)系，對頂角相等等知識，利用垂直的定義可知，再運用求解即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴．故答案為：10．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）下列三種現(xiàn)象中，可以用“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象是(填序號)．

【答案】②【分析】本題主要考查了線段的性質(zhì)，分別判斷三種現(xiàn)象，確定用“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象即可．【詳解】解：①跳遠測量反映的是“垂線段最短”；②投鉛球測量反映的是“兩點之間，線段最短”；③木條固定反映的是“兩點確定一條直線”；所以，可以用“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象是②，故答案為：②．11．（24-25七年級下·上?！て谥校┤鐖D①為北斗七星的位置圖，如圖②將北斗七星分別標為、、、、、、，將、、、、、、順次首尾連接．若、、三點共線，恰好經(jīng)過點，且，，，則．【答案】【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點作，則，得到，，進而得出，計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點作，∵，，，，，，．故答案為：．12．（24-25七年級下·上海黃浦·期中）抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土