第05講三角形的外角內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升【知識(shí)點(diǎn)三角形的外角】1.定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角,叫做三角形的外角.如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.2.性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；求證：∠ACD=∠A+∠B；證明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD.②三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；如圖：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B.③三角形的外角和等于360°．求證：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°；證明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2；∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.【題型1三角形的外角的定義】【例1】如圖，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)B作射線BF交AC于點(diǎn)E，則下列是△ABE的外角的是（

）

A．∠ACD B．∠AEB C．∠AEF D．∠CEF【答案】C【分析】本題考查了三角形外角的定義：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角，據(jù)此即可求解．【詳解】解：根據(jù)三角形外角的定義可知：∠AEF是△ABE的外角，故選：C．【變式1-1】下圖中∠1是三角形一個(gè)外角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外角是三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由三角形外角的定義，可知，D選項(xiàng)中的∠1是三角形一個(gè)外角，其他的都不符合題意；故選D．【變式1-2】如圖，點(diǎn)D在△ABC的AC邊上，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，下列是△ABD的外角的是（

）

A．∠ACB B．∠ACF C．∠BDC D．∠ABC【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的定義得出即可．【詳解】解：△ABD的一個(gè)外角是∠BDC，故選：C．【變式1-3】如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．∠ACD是△ABC的一個(gè)內(nèi)角； B．∠BAD是△ABD的一個(gè)內(nèi)角；C．∠BEC是△ACE的一個(gè)外角； D．∠AOC是△ABD的一個(gè)外角；【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角、外角的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、∠ACD是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，說(shuō)法正確；B、∠BAD是△ABD的一個(gè)內(nèi)角，說(shuō)法正確；C、∠BEC是△ACE的一個(gè)外角，說(shuō)法正確；D、∠AOC是△AEO的一個(gè)外角，原說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：D．【題型2三角形的外角性質(zhì)簡(jiǎn)單應(yīng)用】【例2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，∠ABE=60°，∠C=35°，則∠A的度數(shù)為（

）A．35° B．25° C．20° D．15°【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)∠ABE=∠A+∠C，結(jié)合∠ABE=60°，∠C=35°，即可求解．【詳解】解：∵∠ABE為△ABC的外角，∴∠ABE=∠A+∠C，∵∠ABE=60°，∠C=35°，∴∠A=∠ABE?∠C=60°?35°=25°．故選：B．【變式2-1】如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于（

）A．45° B．60° C．105° D．120°【答案】C【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．首先求出∠ABC=∠ABD?∠CBD=45°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：將一副三角板按如圖方式疊放，如圖，A、B、C、D標(biāo)記如下：由題意知：∠ABD=90°，∠CBD=45°，∴∠ABC=∠ABD?∠CBD=45°，∵∠A=60°，∴∠1=∠A+∠ABC=60°+45°=105°故選：C【變式2-2】將一副三角板按如圖方式放置，使EF∥AB，則∠α=（

）A．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【分析】本題考查了三角板的認(rèn)識(shí)，三角形的外角，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由題意可知，∠E=60°，∠B=45°，由EF∥AB，得到∠BGH=∠E=60°，再結(jié)合∠α=∠B+∠BGH，得到答案．【詳解】解：設(shè)DE與AB，BC分別交于點(diǎn)G，H，如圖所示：由題意可知，∠E=60°，∠B=45°，∵EF∥AB，∴∠BGH=∠E=60°，∵∠α是△BHG的外角，∴∠α=∠B+∠BGH=45°+60°=105°．故選：D．【變式2-3】如圖，∠B=20°，∠C=31°，∠BPC=123°，則∠A=°．【答案】72°【分析】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．連接AP并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，利用∠BPD=∠BAP+∠B，∠CPD=∠CAP+∠C，得∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠BAP+∠B+∠CAP+∠C=123°，即∠BAC+∠B+∠C=123°，代入∠B=20°，∠C=31°，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AP并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，∵∠BPD=∠BAP+∠B，∠CPD=∠CAP+∠C，∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠BAP+∠B+∠CAP+∠C=123°，∴∠BAC+∠B+∠C=123°，∵∠B=20°，∠C=31°，∴∠BAC=123°?∠B?∠C=72°，故答案為：72°．【題型3利用三角形的外角性質(zhì)比較角的大小】【例3】如圖，∠A、∠DOE和∠BEC的大小關(guān)系是(

).

A．∠A>∠DOE>∠BEC B．∠DOE>∠A>∠BECC．∠BEC>∠DOE>∠A D．∠DOE>∠BEC>∠A【答案】D【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可．【詳解】解：在△ABE中，∠BEC=∠A+∠B，∴∠BEC>∠A，在△COE中，∠DOE=∠BEC+∠C，∴∠DOE>∠BEC，∴∠DOE>∠BEC>∠A，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】如圖，有下列結(jié)論：①∠A>∠ACD；②∠B+∠ACB=180°?∠A；③∠A+∠ACB<180°；④∠HEC>∠B．其中，正確的是（填序號(hào)）．【答案】②③④【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系；根據(jù)三角形的外角大于不相鄰的內(nèi)角，三角形的內(nèi)角和定理即可求解；【詳解】解：①∠A<∠ACD，故①錯(cuò)誤；②∠B+∠ACB=180°?∠A，故②正確；③∠A+∠ACB<180°，故③正確；④∠HEC=∠AED>∠ACD>∠B，則∠HEC>∠B；故④正確；故答案為：②③④【變式3-2】如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D，連接PC．(1)∠1、∠2、∠A的大小關(guān)系是：＞＞；(2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想求∠1的度數(shù)，請(qǐng)你從下面兩種思路中任選一種幫助嘉嘉完成求解．思路一先利用三角形內(nèi)角和求出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和求出∠1的度數(shù)．思路二先利用三角形外角求出∠2的度數(shù)．再利用三角形外角求出∠1的度數(shù)．【答案】(1)∠1；∠2；∠A(2)∠1=132°【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠2=∠3+∠A，∠1=∠2+∠4，然后可得答案；（2）思路一：先在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理求出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再在△PBC中利用三角形內(nèi)角和定理求出∠1的度數(shù)；思路二：先利用三角形外角的性質(zhì)求出∠2的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求出∠1的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵∠2是△ABD的外角，∠1是△CDP的外角，∴∠2=∠3+∠A，∠1=∠2+∠4，∴∠2>∠A，∠1>∠2∴∠1>∠2>∠A，故答案為：∠1；∠2；∠A；（2）思路一：在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4=180°，∴∠PBC+∠PCB=180°?∠A?∠3?∠4=180°?67°?25°?40°=48°，在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°，∴∠1=180°?∠PBC+∠PCB思路二：∵∠2是△ABD的外角，∴∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°．【題型4三角形的外角性質(zhì)與折疊問(wèn)題】【例4】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別是BC，AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接DE，DA，將△ADE沿AD折疊得到△ADF，若∠E=50°，則∠FAD的度數(shù)是（）A．30° B．25° C．20° D．35°【答案】C【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是折疊性質(zhì)、外角性質(zhì)，幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題，解題關(guān)鍵是熟練掌握折疊性質(zhì)．由折疊性質(zhì)可得，∠F=∠E=50°，∠FAD=∠EAD，再由外角性質(zhì)推得∠DCE=∠EAD+∠FAD+∠F即可得解．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得，∠F=∠E=50°，∠FAD=∠EAD，∵點(diǎn)D，E分別是BC，AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∴∠ACD=∠DCE=90°，∵∠ADC、∠DCE分別是△ADF、△ACD的外角，∴∠DCE=∠EAD+∠ADC，∠ADC=∠FAD+∠F，∴∠DCE=∠EAD+∠ADC=∠EAD+∠FAD+∠F，即2∠FAD+50°=90°，∴∠FAD=20°．故選：C．【變式4-1】如圖，在△ABC中，∠C=40°，將△ABC沿著直線l折疊，點(diǎn)C在落點(diǎn)D的位置，則∠1?∠2的大小是

【答案】80【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)折疊得到∠D=∠C=40°，∠5=∠4+∠2，利用∠5+∠4=180°得到∠4=90°?12∠2，∠5=90°+12∠2，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到【詳解】解：如圖，

由折疊得∠D=∠C=40°，∠5=∠4+∠2，∵∠5+∠4=180°，∴∠5=180°?∠4，∴180°?∠4=∠4+∠2，得∠4=90°?1∴∠5=90°+1∵∠4+∠2+∠3+∠D=180°，即90°?1∴∠3=50°?1∵∠1+∠3=∠5+∠C,∴∠1+50°?∴∠1?∠2=80°故答案為80．【變式4-2】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分別為AB，AC上一點(diǎn)，將△BCD，△ADE分別沿CD，DE折疊，點(diǎn)A、B恰好重合于點(diǎn)A′處．若∠ACA′=16°

【答案】127°/127度【分析】由折疊性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)分析計(jì)算．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得∠BCD=∠DCA，∠BDC=∠A∴∠EDC=∠∵∠ACB=90°，∠AC∴∠∴∠DC∴∠DCE=∠DCA∴∠AED=∠EDC+∠DCE=127°，故答案為：127°．【變式4-3】將△ABC的頂角A沿直線DE折疊（如圖），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，記∠CDA′為∠1，∠BE(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在△ABC內(nèi)部時(shí)，試探求∠1，∠2(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在△ABC外部時(shí)，∠1，∠2【答案】(1)∠1+∠2=2∠DAE，理由見(jiàn)解析(2)∠1?∠2=2∠DAE，證明見(jiàn)解析【分析】此題主要考查折疊的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握折疊前后圖形對(duì)應(yīng)角度相等和三角形的外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形兩次外角定理得出結(jié)論；（2）由三角形外角定理，再由折疊可得∠DAE=∠DA【詳解】（1）解：∠1+∠2=2∠DAE，理由見(jiàn)解析：如圖1，連接AA

∵∠1是△ADA∴∠1=∠DAA同理，∠2=∠EAA′+∠EA′A．∴∠1+∠2=∠DAA由折疊性質(zhì)得∠DAE=∠DA∴∠1+∠2=2∠DAE．（2）∠1?∠2=2∠DAE，證明如下：如圖2，連接AA

∵∠1是△ADA∴∠1=∠DAA同理，∠2=∠EAA′+∠EA′A．∴∠1=∠DAE+∠EAA由折疊性質(zhì)得∠DAE=∠DA∴∠1=2∠DAE+∠2，∴∠1?∠2=2∠DAE．【題型5三角形的外角性質(zhì)與單角平分線】【例5】如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的高，CE是∠ACB的平分線，BD，CE交于點(diǎn)F．若∠AEC=80°,∠DFC=52°，則∠ABC的度數(shù)是（

）A．28° B．38° C．42° D．62°【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，角平分線的有關(guān)計(jì)算，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．由直角三角形銳角互余以及角平分線得到∠ECB=∠DCF=38°，再由三角形的外角性質(zhì)得到∠ABC=∠AEC?∠ECB，即可求解．【詳解】解：∵BD是AC邊上的高，∴∠FDC=90°，∴∠FCD=90°?∠DFC=90°?52°=38°，∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ECB=∠DCF=38°，∴∠ABC=∠AEC?∠ECB=80°?38°=42°，故選：C．【變式5-1】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若∠BCA=88°，則∠B+∠E的值是（

）A．44° B．46° C．45° D．43°【答案】B【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵在于能夠巧妙的運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義求解．先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求得∠ACD的度數(shù)，再利用角平分線的定義求得∠ECD的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．可知∠ECD的度數(shù)即為∠B+∠E的值．【詳解】解：∵∠BCA=88°．∴∠ACD=180°?∠BCA=180°?88°=92°．∵CE平分∠ACD．∴∠ECD=1∵∠ECD是△BCE的外角．∴∠B+∠E=∠ECD=46°．故選：B．【變式5-2】如圖，AD是△ABC的角平分線，B、C、E共線，則α、β、γ之間的數(shù)量關(guān)系是（

）A．α+β=γ B．2α?β=γ C．2β?α=γ D．2γ?α=β【答案】C【分析】本題考查的是三角形的角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，先設(shè)∠BAD=∠CAD=x°，利用外角可得β=α+x，γ=α+2x，再進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：∵AD是△ABC的角平分線，∴設(shè)∠BAD=∠CAD=x°，∴β=α+x，γ=α+2x，∴x=β?α，∴γ=α+2β?α故選C【變式5-3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E和F分別是AC，BC上一點(diǎn)，EF∥AB，∠BCA的平分線交AB于點(diǎn)D，∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC=α，∠MAC=β，∠ADC=γ，則α，β，γ三者間的數(shù)量關(guān)系是（

A．β=α+γ B．β=2α?2γ C．β=α+2γ D．β=2γ?α【答案】D【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知∠ACD=β?γ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∠ACB=2∠ACD=2β?γ，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠ABC=∠EFC=α，利用三角形外角的性質(zhì)可知β=α+2β?γ，整理可得：【詳解】解：∵CD是∠BCA的平分線，∴∠ACB=2∠ACD，∵∠MAC是△ADC的外角，∴∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠ACD=∠MAC?∠ADC=β?γ，∴∠ACB=2β?γ∵EF∥∴∠ABC=∠EFC=α，又∵∠MAC是△ABC的外角，∴∠MAC=∠ABC+∠ACB，∴β=α+2β?γ整理得：β=2γ?α．故選：D．【題型6三角形的外角性質(zhì)與雙角平分線】【例6】在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠ACB的外角平分線所在直線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，與∠ABC的外角平分線交于點(diǎn)E，下列結(jié)論：①∠BOC=90°+12∠A；②∠D=12其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；由角平分線的定義可得∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB=90°?12∠A，再由三角形的內(nèi)角和定理可求解∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=90°+12【詳解】解：∵∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∴∠ABD=∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°?∠OBC+∠OCB故①正確，符合題意；∵CD平分∠ACF，∴∠DCF=1∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠DCF=∠OBC+∠D，∴2∠OBC+2∠D=∠ABC+∠A，∴∠D=1故②正確，符合題意；如圖，∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC=180°，∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠BCE，∴∠EBC+∠ECB=90°+1∴∠E=180°?∠EBC+∠ECB∴∠A=180°?2∠E，故③錯(cuò)誤，不符合題意；∵∠DCF=∠DBC+∠D，∴∠E+∠DCF=90°?1∵∠ABD=∠DBC，∴∠E+∠DCF=90°+∠ABD，故④正確，符合題意；綜上正確的有：①②④；故選：C【變式6-1】如圖，∠MAN=100°，點(diǎn)B，C是射線AM，AN上的動(dòng)點(diǎn)，∠ACB的平分線和∠MBC的平分線所在直線相交于點(diǎn)D，則∠BDC的大小為（A．50° B．60° C．80° D．隨點(diǎn)B【答案】A【分析】本題考查了三角形外角性質(zhì)和角平分線定義的應(yīng)用．根據(jù)角平分線定義得出∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB，求出∠A=2∠D，即可求出答案．【詳解】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，∴∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE，∵∠MBC=2∠CBE=∠A+∠ACB，∠CBE=∠D+∠DCB，∴2∠CBE=∠D+∠DCB，∴∠MBC=2∠D+∠ACB，∴2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB，∴∠A=2∠D，∵∠A=100°，∴∠D=50°．故選：A．【變式6-2】如圖，AB∥CD，∠ABG的平分線BE和∠GCD的平分線CF的反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，且3∠E?5∠G=172°，則∠G=度．【答案】28【分析】延長(zhǎng)DC，交BG于M，設(shè)BG、EC交于點(diǎn)N，設(shè)∠ABG=2x,∠GCD=2y，利用平行線的性質(zhì)及外角的性質(zhì)可得2x=180°?2y+∠G①，利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理可得x+∠E=180°?y+∠G②，再由①②整理得出3∠E?∠G=180°③，結(jié)合已知條件即可求解．【詳解】延長(zhǎng)DC，交BG于M，設(shè)BG、EC交于點(diǎn)N，設(shè)∠ABG=2x,∠GCD=2y，∴∠MCG=180°?2y，∵AB∥CD，∴∠NMC=∠ABM=2x，∴∠NMC=∠MCG+∠G，即2x=180°?2y+∠G①，∵∠ABG的平分線BE和∠GCD的平分線CF的反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，∴∠EBG=x,∠GCF=y，∴∠NCG=180°?∠GCF=180°?y，在△BEN和△GCN中，∠BNE=∠GNC，∴∠NBE+∠E=∠NCG+∠G，即x+∠E=180°?y+∠G②，聯(lián)立①②，可整理得3∠E?∠G=180°③，∵3∠E?5∠G=172°④，聯(lián)立③④，可整理得7∠G=196°，∴∠G=28°，故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】【數(shù)學(xué)模型】“8字型”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中的常用模型，通常由一組對(duì)頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．如圖1，AD,BC交于O點(diǎn)，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”，不難得出兩個(gè)三角形中的角存在以下關(guān)系：①∠DOC=∠AOB（對(duì)頂角相等）；②∠D+∠C=∠A+∠B．【提出問(wèn)題】分別作出∠BAD和∠BCD的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)E，如圖2，∠E與∠D，∠B之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？【解決問(wèn)題】為了解決上面的問(wèn)題，我們從特例開(kāi)始探究．已知∠BAD的平分線與∠BCD的平分線交于點(diǎn)E．(1)如圖2，∠D=30°，∠B=50°，則∠E的度數(shù)是多少呢？易證∠D+∠1=∠E+∠3，∠B+∠4=∠E+∠2請(qǐng)你完成后續(xù)的推理過(guò)程：∴∠D+∠1+∠B+∠4=______∵CE，AE分別是∠BCD，∠BAD的平分線∴∠1=∠2，∠∴2∠E=______又∵∠D=30°，∠B=50°∴∠E=______度．(2)在總結(jié)前面問(wèn)題的基礎(chǔ)上，借助圖2，直接寫(xiě)出∠E與∠D，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：______．【類(lèi)比應(yīng)用】(3)如圖3，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E．已知：∠D=α，∠B=β，α<β則∠E=______．（用α、β表示）【答案】(1)2∠E+∠3+∠2，∠B+∠D，40°(2)∠E=(3)∠E=【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，掌握角平分線的性質(zhì)和等量代換是解題的關(guān)鍵．（1）由題意易得∠D+∠1=∠E+∠3，∠B+∠4=∠E+∠2，然后再兩式相加后，再根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后將∠D=30°、∠B=50°代入計(jì)算即可；（2）利用（1）的相關(guān)結(jié)論即可解答；（3）如圖3，延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分線的性質(zhì)可得∠ECD=∠ECB=12∠BCD，∠EAD=∠EAB=12∠BAD，再代入【詳解】（1）解：如圖2，∵∠D+∠1=∠E+∠3，∠E+∠2=∠B+∠4，∴∠D+∠1+∠B+∠4=2∠E+∠3+∠2，∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∴2∠E=∠B+∠D，∵∠D=30°，∠B=50°∴∠E=故答案為：2∠E+∠3+∠2，∠B+∠D，40°；（2）解：由（1）可得2∠E=∠B+∠D，即∠E=故答案為∠E=1（3）解：如圖3，延長(zhǎng)BC交AD于F，∵∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD,∴∠ECD=∠ECB=1∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，∴∠E=∠B+∠EAB?∠ECB=∠B+∠BAE?=∠B+∠BAE?1∵∠D=α，∠B=β，∴∠E=1故答案為∠E=1【題型7求多個(gè)角度度數(shù)的和】【例7】如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．【答案】180°【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠D+∠AED=∠CGF,∠A+∠B=∠CFG，則由三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解；∵∠D+∠AED=∠CGF,∠A+∠B=∠CFG，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠CGF+∠C+∠CFG=180°．故答案為：180°．【變式7-1】如圖，已知∠BOF=120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F為°．【答案】240【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，由三角形外角性質(zhì)得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∠E+∠F=∠1+∠2=∠BOF=120°，即得∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2=120°，進(jìn)而即可求解，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由三角形外角性質(zhì)可得，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∠E+∠F=∠1+∠2=∠BOF=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=120°+120°=240°，故答案為：240．【變式7-2】用三種不同的方法求圖中五角星形∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)；解法一：如圖①，證明∠EFG=∠B+∠D，∠EGF=∠A+∠C．結(jié)合∠EFG+∠EGF+∠E=180°，即可得到答案；解法二：如圖②，作射線AF，同理可得：∠CFD=∠C+∠D+∠CAD，結(jié)合∠BFE=∠CFD，可得∠BFE=∠C+∠D+∠CAD，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得答案；解法三：如圖③，連接CD，證明∠FCD+∠FDC=∠B+∠E，結(jié)合∠A+∠ACD+∠ADC=180°，進(jìn)一步可得答案．【詳解】解法一：如圖①，∵∠EFG，∠EGF分別是△BDF，△ACG的外角，∴∠EFG=∠B+∠D，∠EGF=∠A+∠C．在△EFG中，∠EFG+∠EGF+∠E=180°，∴∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°．即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

解法二：如圖②，作射線AF，同理可得：∠CFD=∠C+∠D+∠CAD，∵∠BFE=∠CFD，∴∠BFE=∠C+∠D+∠CAD，又∵∠B+∠BFE+∠E=180°，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

解法三：如圖③，連接CD，在△CDF中，∠FCD+∠FDC+∠CFD=180°，在△BEF中，∠B+∠E+∠BFE=180°，∵∠BFE=∠CFD，∴∠FCD+∠FDC=∠B+∠E．在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A+∠ACF+∠FCD+∠ADF+∠FDC=180°，∴∠A+∠ACF+∠ADF+∠B+∠E=180°，即∠A+∠B+∠ACF+∠ADF+∠E=180°．【變式7-3】計(jì)算不規(guī)程圖形中多個(gè)角的度數(shù)和：

(1)如圖①所示是一個(gè)五角星ABCDE，你能計(jì)算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小嗎？(2)在圖②③④⑤中，上面的結(jié)論還成立嗎？不必說(shuō)明理由．（注：在圖②中，∠EBD相當(dāng)于圖①中的∠B）【答案】(1)180°(2)成立【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角和定理．（1）根據(jù)三角形外角和定理將五個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi)，可得答案；（2）仿照（1），解答②，再連接DE，標(biāo)注AD和CE的交點(diǎn)為F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答③，再仿照③解答④⑤即可．【詳解】（1）解：如圖11-3-12①所示，∵∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠A=180°．（2）解：圖②成立，∵∠CBD是△ABD的外角，∴∠CBD=∠A+∠D，∵∠C+∠CBD+∠DBE+∠E=180°，∴∠C+∠A+∠D+∠DBE+∠E=180°，圖②成立；如圖③，連接DE，標(biāo)注AD和CE的交點(diǎn)為F，

∵∠A+∠C+∠AFC=180°，∠FDE+∠FED+∠EFD=180°，且∠AFC=∠EFD，∴∠A+∠C=∠DEF+∠EDF．∵∠B+∠BEF+∠BDF+∠DEF+∠EDF=180°，∴∠B+∠BEF+∠BDF+∠A+∠C=180°．圖③成立；如圖④，連接CD，標(biāo)注BD和CE的交點(diǎn)為F，

∵∠B+∠E+∠BFE=180°，∠CDF+∠DCF+∠CFD=180°，且∠BFE=∠CFD，∴∠B+∠E=∠CDF+∠DCF．∵∠A+∠ACF+∠ADF+∠CDF+∠DCF=180°，∴∠B+∠E+∠ACD+∠ADF+∠A=180°，圖④成立；如圖⑤，連接CD，標(biāo)注BD和CE的交點(diǎn)為F，

∵∠B+∠E+∠BFE=180°，∠CDF+∠DCF+∠CFD=180°，且∠BFE=∠CFD，∴∠B+∠E=∠CDF+∠DCF．∵∠A+∠ACF+∠ADF+∠CDF+∠DCF=180°，∴∠B+∠E+∠ACD+∠ADF+∠A=180°．圖⑤成立．1．如圖，點(diǎn)B，C分別在∠EAF的邊AE，AF上，點(diǎn)D在線段AC上，則下列是△ABD的外角的是（）A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF【答案】D【分析】三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．【詳解】解：△ABD的一個(gè)外角是∠BDF，故選：D．2．如圖，D，E兩點(diǎn)分別在△ABC的兩邊AB，AC上，連接DE，已知∠1+∠2=α，則∠A=（

）A．α?90° B．180°?α C．α?180° D．360°?α【答案】C【分析】本題考查鄰補(bǔ)角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)求得∠ADE+∠AED=360°?α，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵∠ADE=180°?∠1，∠AED=180°?∠2，∴∠ADE+∠AED=360°?∠1+∠2∵∠ADE+∠AED+∠A=180°，∴∠A=180°?∠ADE+∠AED故選：C．3．一副三角板如圖放置，若∠2=75°，則∠1的度數(shù)為（

）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】D【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．如圖，由題意知，∠A=30°,∠D=45°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠2=∠A+∠AGE，求出∠AGE=45°，由對(duì)頂角的定義得到∠HGD=∠AGE=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠GHD=180°?∠D?∠HGD，最后由對(duì)頂角的定義即可得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，由題意知，∠A=30°,∠D=45°，∵∠2=∠A+∠AGE，∠2=75°∴∠AGE=45°，∴∠HGD=∠AGE=45°，∴∠GHD=180°?∠D?∠HGD=90°，∴∠1=∠GHD=90°．故選：D．4．如圖AB∥CD，∠GAB的平分線AE與∠ACF的平分線CE交于點(diǎn)E，且∠E=∠BAF=14°，則∠F=（

）A．28° B．42° C．56° D．58°【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)F作FP∥AB，由AB∥CD∥PF得∠AFC=∠BAF+∠FCD，∠DCF=2∠GAE?2∠ACE=2(∠GAE?∠ACE)=28°，即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作FP∥AB，如圖∴∠AFP=∠BAF=14°，∵AB∥CD，∠GAB的平分線AE與∠ACF的平分線CE交于點(diǎn)E∴AB∥CD∥PF，∠BAG=∠ACD，∠GAB=2∠GAE,∠ACF=2∠ACE，∴∠PFC=∠FCD，2∠GAE=∠ACD=∠ACF+∠DCF，即2∠GAE=2∠ACE+∠DCF，∵∠GAE=∠E+∠ACE，∴∠GAE?∠ACE=∠E=14°，∴∠DCF=2∠GAE?2∠ACE=2(∠GAE?∠ACE)=28°，∴∠PFC=∠FCD=28°，∴∠AFC=∠AFP+∠CFP=14°+28°=42°故選B．5．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（

）A．100° B．200° C．180° D．360°【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由三角形外角的性質(zhì)得到∠B+∠E=∠BFC，∠A+∠D=∠DGC，繼而得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠C+∠GFC+∠FGC=180°，即可得到答案．【詳解】解：如圖，∵∠B+∠E=∠BFC，∠A+∠D=∠DGC，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠C+∠GFC+∠FGC=180°，故選：C．6．已知：∠A=49°，點(diǎn)B、C在∠A的兩邊上，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠PBA=38°，∠PCA=30°，則∠BPC=【答案】117°或41°或57°【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和與三角形的外角性質(zhì)，全面分類(lèi)、熟練掌握三角形的內(nèi)角和與三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；分三種情況：當(dāng)點(diǎn)P在∠A的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在∠A的外部時(shí)，若點(diǎn)P在AB上方，當(dāng)點(diǎn)P在∠A的外部時(shí)，若點(diǎn)P在AC下方，分別畫(huà)出圖形，利用三角形的內(nèi)角和與三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在∠A的內(nèi)部時(shí)，如圖，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D，則∠BDC=∠A+∠B=87°，∴∠BPC=∠PDC+∠C=117°；當(dāng)點(diǎn)P在∠A的外部時(shí)，若點(diǎn)P在AB上方，如圖，設(shè)AB,PC交于點(diǎn)E，∵∠PEB=∠AEC，∴∠P+∠B=∠A+∠C，∴∠P=49°+30°?38°=41°；當(dāng)點(diǎn)P在∠A的外部時(shí)，若點(diǎn)P在AC下方，如圖，設(shè)AC,PB交于點(diǎn)E，∵∠PEC=∠AEB，∴∠P+∠C=∠A+∠B，∴∠P=49°+38°?30°=57°；綜上：∠BPC=117°或41°或57°；故答案為：117°或41°或57°．7．如圖．AD是△ABC的外角∠CAE的平分線．∠B=35°，∠DAE=55°．則∠ACB的度數(shù)是度．【答案】75【分析】本題主要查了三角形外角的性質(zhì)．先根據(jù)角平分線的定義可得∠CAE=2∠DAE=110°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答，即可．【詳解】解：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分線，∠DAE=55°，∴∠CAE=2∠DAE=110°，∵∠CAE=∠B+∠ACB，∠B=35°，∴∠ACB=∠CAE?∠B=75°．故答案為：758．如圖是可調(diào)躺椅示意圖，AE與BD的交點(diǎn)為C，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CDF=20°，∠CEF=30°，為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=135°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持不變，則∠D應(yīng)調(diào)整為度．【答案】35【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．連接CF，并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，由內(nèi)角和定理可得∠DCE=∠ACB=70°，由三角形外角的性質(zhì)可得∠EFD=∠DCF+∠ECF+∠D+∠E，求出∠D的度數(shù)即可．【詳解】解：如圖，連接CF，并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，在△ABC中，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°?∠CAB?∠CBA=70°，∴∠DCE=∠ACB=70°，∵∠DFM=∠DCF+∠D，∠EFM=∠ECF+∠E，∴∠EFD=∠DCF+∠ECF+∠D+∠E，∵∠EFD=135°，∠CEF=30°，∴135°=70°+∠D+30°，∴∠D=35°，∴∠D應(yīng)調(diào)整為35°．故答案為：35．9．如圖，在△ABC中，∠F=17°，BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長(zhǎng)線上，BE、CE分別平分∠MBC，∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠A=【答案】44°/44度【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)角平分線的定義得∠5=∠6,∠2=∠3+∠4，進(jìn)而求出∠E=34°，再根據(jù)角平分線的定義得∠5+∠6=12∠MBC,∠1=12∠NCB，即可求出∠5+∠6+∠1=146°，接下來(lái)得出【詳解】解：∵BF,CF分別平分∠EBC,∠ECQ，∴∠5=∠6,∠2=∠3+∠4．∵∠3+∠4=∠5+∠F,∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F,2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E=34°．∵BE,CE分別平分∠MBC,∠BCN，∴∠5+∠6=1∴∠5+∠6+∠1=1∵∠E=180°?(∠5+∠6+∠1)=34°，∴∠5+∠6+∠1=146°，∴∠MBC+∠NCB=2(∠5+∠6+∠1)=292°．∵BD,CD分別平分∠ABC,∠ACB，∴∠DBC=1∴∠DBC+∠DCB=180°?∠MBC+180°?∠NCB=360°?(∠MBC+∠NCB)=68°，∴∠A=180°?(∠ABC+∠ACB)=180°?2(∠DBC+∠DCB)=44°．故答案為：44°．10．折紙是我國(guó)一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國(guó)特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，DA′交AB于點(diǎn)F，若A′D∥BC【答案】100°/100度【分析】本題考查了三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊性質(zhì)，平行線性質(zhì)；由兩直線平行同位角相等可得∠1=∠B，由折疊性質(zhì)可得∠A=∠A′，∠AED=∠A【詳解】解：如圖：∵A′∴∠1=∠B，∵將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′∴∠A=∠A′，∴∠1=∠B=∠2+∠A∴∠2=∠B?∠A=20°，∵2∠AED?∠2=180°，∴∠AED=100°，故答案為：100°．11．如圖，已知∠BCD=130°，EF∥DC，∠EAF=100°，∠EFA=20°，求【答案】∠B=30°【分析】本題主要考查三角形外角性質(zhì)、平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，弄清楚角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，由三角形內(nèi)角和定理以及已知條件可得∠E=60°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ECD=∠E=60°，易得∠ACB=70°，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答．【詳解】證明：∵∠EFA+∠EAF+∠E=180°，∠EAF=100°，∠EFA=20°，∴∠E=180°?∠EFA?∠EAF=60°，∵EF∥∴∠ECD=∠E=60°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠BCD=130°，∴∠ACB=∠BCD?∠ECD=70°，∵∠EAF=∠B+∠ACB（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠B=∠EAF?∠ACB=30°．12．在△ABC中，∠A=80°，BE平分∠ABC，點(diǎn)P在射線BE上，連接CP，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上．(1)如圖，∠ACD=140°．①若CP∥AB，分別求∠ABC和∠BPC的度數(shù)；②若直線CP與△ABC的一條邊垂直，求∠ACP的度數(shù)；(2)若CP平分∠ACD，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BPC的度數(shù)．【答案】(1)①∠ABC=60°，∠BPC=30°；②∠ACP的度數(shù)為90°，50°或10°(2)∠BPC的度數(shù)為40°．【分析】（1）①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可以求出∠ABC=60°，根據(jù)角平分線的定義可以求出∠ABP=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BPC=30°；②若直線CP與△ABC的一條邊垂直，則要分當(dāng)CP⊥AC時(shí)、當(dāng)CP⊥BC時(shí)、當(dāng)CP⊥AB時(shí)三種情況分類(lèi)討論；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可知∠PCD=1【詳解】（1）解：①∵∠A=80°，∠ACD=140°，∴∠ABC=∠ACD?∠A=60°；∵BE平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP=1∵CP∥AB，∴∠BPC=∠ABP=30°；②∵∠ACD=140°，∴∠ACB=180°?∠ACD=40°，當(dāng)CP⊥AC時(shí)，如下圖所示，∠ACP=90°；當(dāng)CP⊥BC時(shí)，如圖，∠BCP=90°，∴∠ACP=∠BCP?∠ACB=50°；當(dāng)CP⊥AB時(shí)，如圖，∴∠ACP=90°?∠BAC=10°．綜上，當(dāng)直線CP與△ABC的一條邊垂直時(shí)，∠ACP的度數(shù)為90°，50°或10°；（2）解：∠BPC=40°，∵CP平分∠ACD，∴∠PCD=1∴∠BPC=∠PCD?∠CBP=1即∠BPC的度數(shù)為40°．13．如圖，點(diǎn)C、D分別在∠AOB的OA、OB邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．射線CE與射線DF分別在∠ACD和∠CDO內(nèi)部，延長(zhǎng)EC與DF交于點(diǎn)(1)若∠AOB=90°，CE、DF分別是∠ACD和∠CDO的平分線，猜想：∠F的