第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省濟寧市高一（下）期末考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知z=1?i，則|z?|=A.1 B.2 C.3 2.若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，?，x10的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)2x1?1，2x2?1A.1 B.2 C.3 D.43.用斜二測畫法畫出平面四邊形OABC的直觀圖為菱形O′A′B′C′，如圖所示，其中O′A′=2，∠A′O′C′=π4，則四邊形OABC的面積為(

)A.1 B.2 C.4 D.84.為了得到f(x)=sin(3x+π6)的圖象，可將A.向左平移π18個單位長度 B.向右平移π18個單位長度

C.向左平移π6個單位長度 D.5.已知平面α，β和直線m，n，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若m//α，n//α，則m//n B.若m⊥α，m⊥n，則n//α

C.若m⊥α，n⊥α，則m//n D.若α⊥β，m⊥β，則m//α6.已知|a|=2，|b|=1，且a，b的夾角為30°，則b在aA.14a B.34a 7.如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為α，沿傾斜角為β的斜坡向上走100m，到達B處，在B處測得山頂P的仰角為γ，已知α=π4,β=π6，γ=A.100m B.150m C.200m D.250m8.已知正三角形ABC的邊長為2，AE=12(AB+AC),AF=1A.?37 B.?23二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a，b，c都是非零向量，則下列結(jié)論正確的是(

)A.(a?b)c=a(b?c) B.|10.某市文化和旅游局制定出臺推動文旅市場恢復振興的系列措施，以豐富的旅游業(yè)態(tài)和高品質(zhì)的文旅服務(wù)不斷提升游客出游體驗，促進文旅消費增長.現(xiàn)為進一步發(fā)展該市文旅，提升經(jīng)濟，2025年5月份對該市旅游的部分游客發(fā)起滿意度調(diào)查，從飲食、住宿、交通、服務(wù)等方面調(diào)查旅客滿意度，滿意度得分采用百分制，統(tǒng)計的綜合滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表，則下列結(jié)論正確的是(

)A.頻率分布直方圖中a=0.015

B.2025年5月份對該市旅游的游客滿意度得分的中位數(shù)近似值為80

C.2025年5月份對該市旅游的游客滿意度得分的平均數(shù)近似值為78

D.若落在[80,90)的平均成績x?=85，方差s12=6，落在[90,100]的平均成績y?=95，方差s211.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，NA.正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)切球的體積為4π3

B.MN與AA1所成角為30°

C.平面A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(x,2)，b=(3,?2).若a⊥b，則x=13.某校數(shù)學興趣社團有男生50人，女生30人，現(xiàn)用比例分配的分層抽樣方法從中抽取容量為24的樣本，則應(yīng)抽取男生的人數(shù)為______．14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA=sinBsinC，若△ABC的外接圓的半徑為1，則a的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復數(shù)z=a2?2a?3+(a+1)i(a∈R)．

(1)若復數(shù)z為純虛數(shù)，求實數(shù)a的值；

(2)當a=1時，復數(shù)z是關(guān)于x的方程x2?mx+n=0的一個根，求實數(shù)m16.(本小題15分)

某科技公司測試兩款新型無人駕駛配送車型(A型號與B型號)在復雜城市環(huán)境中的配送效率.記錄了在10次典型任務(wù)中，兩種型號車的配送時間(單位：分鐘)分別為：A型號10111213141110111513B型號11131011121014121215已知該公司要求配送時間不超過15分鐘，且配送時間越穩(wěn)定，配送效率越高．

(1)分別計算A、B兩種型號車的配送時間的平均數(shù)和方差；

(2)根據(jù)計算結(jié)果分析，哪種型號更符合公司的要求．17.(本小題15分)

已知a=(m,1)，b=(1,3)，c=(cos2θ,sinθcosθ)(0<θ<π2)．

(1)若18.(本小題17分)

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知csinB+3bcosC=3a,a=2．

(1)求角B的大??；

(2)若點M在直線AB上，與19.(本小題17分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PC⊥AC，CA⊥AB，CA=AB=2，PC=4．

(1)若G為△PBC的重心，點H在棱PA上，且PH=2HA，求證：GH//平面ABC；

(2)若三棱錐P?ABC外接球的表面積為20π．

(i)求二面角C?PA?B的余弦值；

(ii)若點E是棱PA上的動點(異于端點)，求直線BE與平面ABC所成角的取值范圍．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：∵z=1?i，

∴由共軛復數(shù)的定義得z?=1+i，

∴由復數(shù)的模計算公式得|z?|=12+122.【答案】C

【解析】解：由數(shù)據(jù)x1，x2，x3，?，x10的平均數(shù)為2，

可得數(shù)據(jù)2x1?1，2x2?1，2x3?1，?3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，原圖四邊形OABC中，OA=O′A′=2，OC=2O′C′=2O′A′=4，且OA⊥OC，

故原圖四邊形OABC為矩形，

則其四邊形面積S=2×4=8．

故選：D．

根據(jù)題意，由斜二測畫法可得原圖四邊形OABC為矩形，分析鄰邊的長，計算可得答案．

本題考查平面圖形的直觀圖，涉及斜二測畫法，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】A

【解析】解：因為f(x)=sin(3x+π6)=sin3(x+π18)，

所以將y=sin3x向左平移π18個單位長度，得f(x)5.【答案】C

【解析】解：平面α，β和直線m，n，

對于A，若m/?/α，n/?/α，則m/?/n或異面或相交，故A錯誤；

對于B，若m⊥α，m⊥n，則n/?/α或n?α，故B錯誤；

對于C，若m⊥α，n⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)得m/?/n，故C正確；

對于D，若α⊥β，m⊥β，則由線面垂直、面面垂直的性質(zhì)得m/?/α或m?α，故D錯誤．

故選：C．

根據(jù)線面、面面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐一分析即可得解．

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是中檔題．6.【答案】B

【解析】解：|a|=2，|b|=1，且a，b的夾角為30°，

由題可得b在a上的投影向量為：|b|?a?b7.【答案】A

【解析】解：因為α=π4,β=π6，γ=5π12，

在△PAB中，∠PBA=2π?γ?(π?β)=π?γ+β=π?5π12+π6=3π4，

∠PAB=α?β=π4?π6=π12，AB=100，

所以∠APB=γ?α=5π12?π4=π6，

由正弦定理得：APsin∠PBA=AB8.【答案】C

【解析】解：由AE=12(AB+AC)，可得E為BC中點，

以E為坐標原點，BC所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，

建立如圖所示平面直角坐標系，

由△ABC的邊長為2，AF=13AC，

可得A(0,3)，B(?1,0)，E(0,0)，F(xiàn)(13,233)9.【答案】BC

【解析】解：已知a，b，c都是非零向量，

對于A，(a?b)c=λc,a(b?c)=μa，

設(shè)a與b垂直，b與c不垂直，

則(a?b)c≠(b?c)a，故A錯誤；

對于B，|a?b|=||a||b|cos?a,b?|≤|a||b|，

故B正確；

對于C，因為a⊥b，

所以a?b=0，

則(a+b)2?(10.【答案】ABD

【解析】解：對于A，因為10(a+0.035+0.04+0.01)=1，解得：a=0.015，故A正確；

對于B，中位數(shù)是累積頻率達到0.5的點從累積頻率看：中位數(shù)位于[70,80)和[80,90)分界線，所以中位數(shù)為80，故B正確；

對于C，平均數(shù)為：65×0.15+75×0.35+85×0.4+95×0.1=79.5，故C錯誤；

對于D，由題意可得x?=0.4×85+0.1×950.5=87，

s2=0.4[6+(85?87)2]+0.1[11+(95?87)2]0.5=23，故D正確．

故選：ABD．

選項11.【答案】ACD

【解析】解：對于選項A：因為正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，

可知正方體的內(nèi)切球半徑r=1，所以內(nèi)切球的體積為4π3r3=4π3，故A正確；

對于選項B：取CD的中點E，連接ME，NE，

因為N，E分別為C1D1，CD的中點，則NE//DD1，

且AA1/?/DD1，則NE//AA1，

可知MN與AA1所成角為∠ENM(或其補角)，

又因為NE=ME，NE⊥ME，則∠ENM=45°，

所以MN與AA1所成角為45°，故B錯誤；

對于選項C：取A1B1的中點F，連接MF，CM，C1F，CN，CM，

因為M，F(xiàn)分別為AB，A1B1的中點，則MF//BB，MF=BB1，

且BB1//CC1，BB1=CC1，

可得MF//CC1，MF=CC1，

可知CMFC1為平行四邊形，可得CM//C1F，

同理可得C1F//A1N，則CM//A1N，

可知平面A1MN截正方體ABCD?A1B1C1D1的截面為CMA1N，

且A1M=A12.【答案】43【解析】解：因為向量a=(x,2)，b=(3,?2)，a⊥b，

所以a?b=3x?4=0?x=4313.【答案】15

【解析】解：用比例分配的分層抽樣方法從中抽取容量為24的樣本，

則應(yīng)抽取男生的人數(shù)為24×5050+30=15．

故答案為：15．

14.【答案】85【解析】解：根據(jù)題意cosA=?cos(B+C)=?cosBcosC+sinBsinC，

又sinA=sinBsinC，所以2sinA?cosA=cosBcosC+sinBsinC=cos(B?C)∈(?1,1]，

即2sinA?cosA≤1?2sinA?1≤cosA，

當sinA≥12時，(2sinA?1)2≤cos2A?5sin2A?4sinA≤0，

解得12≤sinA≤45，

所以a=2sinA≤85，

15.【答案】3；

m=?8，n=20．

【解析】復數(shù)z=a2?2a?3+(a+1)i(a∈R)．

(1)因為復數(shù)z為純虛數(shù)，

所以a2?2a?3=0a+1≠0?a=3，

復數(shù)z為純虛數(shù)，實數(shù)a的值為3．

(2)a=1，則z=?4+2i，

又復數(shù)z是關(guān)于x的方程x2?mx+n=0的一個根，

所以z?=?4?2i也是方程的根，

則z+z?=m=?8z?z?=n=(?4+2i)(?4?2i)=20，

所以16.【答案】A型號車的配送時間的平均數(shù)為12，方差為2.6，B型號車的配送時間的平均數(shù)為12，方差為2.4；

B型號更符合公司的要求．

【解析】(1)B型號車的配送時間的平均數(shù)

x?B=11+13+10+11+12+10+14+12+12+1510=12，

B型號車的配送時間的方差

SB2=110×(1+1+4+1+0+4+4+0+0+9)=2.4，

A型號車的配送時間的平均數(shù)

x?A=10+11+12+13+14+11+10+11+15+1310=12，

A型號車的配送時間的方差

SA2=110×(4+1+0+1+4+1+4+1+9+1)=2.6，

所以A型號車的配送時間的平均數(shù)為12，方差為2.6，

B型號車的配送時間的平均數(shù)為12，方差為2.4，

(2)由(1)x?A17.【答案】m=33；

【解析】(1)因為a=(m,1)，b=(1,3)，

所以2b?a=(2?m,23?1)，

若a//(2b?a)，則(23?1)m=2?m，

解得m=33；

(2)若b?c=1，則18.【答案】B=π3；

(2【解析】(1)因為csinB+3bcosC=3a，由正弦定理可得sinCsinB+3sinBcosC=3sinA，

則sinCsinB+3sinBcosC=3(sinBcosC+cosBsinC)，

可得sinCsinB=3cosBsinC，

因為sinC≠0，可得sinB=3cosB，即tanB=3，

所以B=π3．

(2)設(shè)∠BMC=θ，則∠BCM=2π3?θ，

因為△BCM為銳角三角形，則0<θ<π20<2π3?θ<π2，解得π6<θ<π2，

由正弦定理可得BCsin∠BMC=BMsin∠BCM=CMsin19.【答案】證明見解析；

(i)?14；(ii)(0,【解析】(1)證明：取BC中點O，連接PO，AO，

因為G為△PBC的重心，所以G在PO且PG=2GO，

因為點H在棱PA上，且PH=2HA，

所以GH//OA，又GH?平面ABC，OA?平面ABC，所以GH/?/平面ABC；

(2)解：(i)因為三棱錐P?ABC外接球的表面積為20π，所以三棱錐P?ABC外接球的半徑為R=20π4π=5，

在Rt△PCA中，PA=PC2+CA2=42+22=25，所以球心即為PA中點Q，

所以∠PBA=π2．

因為AB=AC=2，所以△PCA與△PBA全等，PB=PC=4，

過C作CM⊥PA交PA于點M，連接BM，則BM⊥PA，

所以∠BMC為二面角C?PA?B的平面角，

因為BM=CM=PC×CAPA=4×225