第8節(jié)指、對(duì)、冪的大小比較方法題型分析指數(shù)與對(duì)數(shù)是高中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是高考必考考點(diǎn)，其中指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的互化、運(yùn)算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì).題型一求同存異例1(1)設(shè)a＝0.60.3，b＝0.30.3，c＝0.30.6，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.b<a<c B.b<c<aC.a<b<c D.c<b<a(2)(2024·滁州三模)若a＝log37，b＝log940，c＝eq\r(4.05)，則()A.c<a<b B.b<c<aC.a<b<c D.b<a<c思維建模求同存異法比較大小如果兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的形式.訓(xùn)練1(1)(2025·廣州模擬)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1.1)，b＝40.6，c＝log38，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a<c<b B.b<c<aC.c<a<b D.c<b<a(2)(2025·北京延慶模擬)設(shè)a＝log32，b＝log96，c＝eq\f(1,2)，則()A.a>b>c B.c>b>aC.b>c>a D.b>a>c糖水不等式1.教材母題(人教A必修一P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假設(shè)全部溶解)，糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立.本題得到的不等式稱為糖水不等式：①設(shè)b>a>0，m>0，則有eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).②糖水不等式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>0，m>0，則有eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m).2.對(duì)數(shù)型糖水不等式(1)設(shè)n∈N＋，且n>1，則有l(wèi)ogn＋1n<logn＋2(n＋1)；(2)設(shè)a>b>1，m>0，則有l(wèi)ogab<loga＋m(b＋m)；(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>1，m>0，則有l(wèi)ogba>logb＋m(a＋m).典例已知a＝3log83，b＝－eq\f(1,2)logeq\f(1,3)16，c＝log45，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.c>a>bC.a>c>b D.c>b>a題型二利用特殊值作中間變量例2(1)設(shè)a＝20.7，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0.7)，c＝log2eq\f(1,3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.c<b<a(2)已知a＝log32，b＝log52，c＝3a－1，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a思維建模利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對(duì)數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1，0，eq\f(1,2)，1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進(jìn)而可估計(jì)log23是一個(gè)1～2之間的小數(shù)，從而便于比較.訓(xùn)練2(1)(2025·南昌模擬)已知a＝log25，b＝log52，c＝eeq\f(1,2)，則()A.c<a<b B.a<c<bC.a<b<c D.b<c<a(2)(2024·天津二模)已知a＝logeq\r(3)2，b＝log2eq\f(\r(2),2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\f(1,3)，則()A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>b D.b>c>a題型三構(gòu)造函數(shù)比較大小例3(2025·青島模擬)已知正數(shù)a，b，c滿足aea＝blnb＝eclnc＝1，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.c<a<b B.c<b<aC.a<b<c D.a<c<b思維建模如果要比較大小的數(shù)或式子，或題目中所給的條件具有相同的結(jié)構(gòu)特征，則可根據(jù)這種結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性或其它性質(zhì)比較大小.訓(xùn)練3已知實(shí)數(shù)a，b滿足2a＋2a<2b＋2b，則a，b的大小關(guān)系為()A.a>b B.a＝