2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（立體幾何突破）：解析與訓(xùn)練試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面α：x+2y+3z=6的距離等于（）A.1B.2C.3D.42.若直線l：x=1與平面α：ax+by+cz=1相交于點P，且直線l在平面α內(nèi)的投影為點Q，則向量OP與向量OQ的點積為（）A.1B.-1C.0D.無法確定3.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長為2的正三角形，E、F分別是AC、BC的中點，則三棱錐P-EF的體積為（）A.1/3B.2/3C.1D.4/34.過點A（1，0，0）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為點B，則直線AB的方向向量為（）A.（1，1，1）B.（-1，-1，-1）C.（1，-1，-1）D.（-1，1，1）5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、BB1的中點，則直線EF與平面A1B1CD的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x+y+2z=3，則平面α與平面β的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°7.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2+3t，z=3t的距離等于（）A.1B.2C.3D.48.若直線l：x=1與平面α：ax+by+cz=1相交于點P，且直線l在平面α內(nèi)的投影為點Q，則向量OP與向量OQ的模長之比為（）A.1B.2C.3D.49.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長為2的正三角形，E、F分別是AC、BC的中點，則直線EF與平面PAC的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、BB1的中點，則直線EF與直線B1C的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。請將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面α：2x+y+2z=5的距離等于________。2.若直線l：x=1與平面α：ax+by+cz=1相交于點P，且直線l在平面α內(nèi)的投影為點Q，則向量OP與向量OQ的夾角為________。3.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長為2的正三角形，E、F分別是AC、BC的中點，則三棱錐P-EF的表面積為________。4.過點A（1，0，0）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為點B，則直線AB與平面α的夾角為________。5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、BB1的中點，則直線EF與平面A1B1CD的距離為________。三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長為2的正三角形，E、F分別是AC、BC的中點，求三棱錐P-EF的體積。2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、BB1的中點，求直線EF與平面A1B1CD的夾角的正弦值。3.過點A（1，0，0）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足為點B，求直線AB的方向向量與平面α的法向量的夾角的余弦值。4.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2+3t，z=3t的距離等于2，求直線l的方程。5.已知平面α：x+y+z=1與平面β：2x+y+2z=3，求平面α與平面β的夾角的余弦值。四、證明題（本大題共1小題，共10分。證明過程應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、BB1的中點，證明直線EF與平面A1B1CD平行。本次試卷答案如下一、選擇題1.C解析：點A（1，2，3）到平面α：x+2y+3z=6的距離公式為d=|1*1+2*2+3*3-6|/√(1^2+2^2+3^2)=32.C解析：直線l：x=1與平面α相交于點P（1，-1/2，-1/2），投影點Q在平面α上滿足1+2*(-1/2)+3*(-1/2)=1，所以Q（1，-1/2，-1/2），向量OP與向量OQ的點積為1*1+2*(-1/2)+3*(-1/2)=03.A解析：三棱錐P-EF的體積為V=1/3*底面積*高，底面積為△EF面積，高為PA，△EF是△ABC中位線構(gòu)成的三角形，面積為原三角形面積的一半，即1/2*√3/4*2^2=√3，高為PA=2，所以體積為1/3*√3*2=1/34.D解析：垂足B滿足AB垂直于平面α，方向向量為（1，1，1），平面α的法向量為（1，1，1），所以AB方向向量為（-1，1，1）5.B解析：EF方向向量為（0，-1/2，-1/2），平面A1B1CD的法向量為（0，1，0），夾角cosθ=|0*(-1/2)+(-1/2)*1+(-1/2)*0|/√(1/4+1/4)*1=45°6.C解析：平面α的法向量為（1，1，1），平面β的法向量為（2，1，2），夾角cosθ=|1*2+1*1+1*2|/√(1+1+1)*√(4+1+4)=3√10/√30=√3，所以夾角60°7.A解析：直線l方向向量為（0，3，3），點A到直線l的距離為d=|0*1+3*2+3*3|/√(0+9+9)=3/√18=18.A解析：向量OP與向量OQ的模長之比為|1*1+2*(-1/2)+3*(-1/2)|/√(1+1+1)=19.C解析：EF方向向量為（-1，1，0），平面PAC的法向量為（1，1，1），夾角cosθ=|-1*1+1*1+0*1|/√(1+1)*√3=1/√6=√3/3，所以夾角60°10.A解析：EF方向向量為（0，-1/2，-1/2），B1C方向向量為（-1，1，0），夾角cosθ=|0*(-1/2)+(-1/2)*1+(-1/2)*0|/√(1/4+1/4)*1=45°，所以夾角30°二、填空題1.1解析：點A到平面α的距離為d=|1*2+2*1+3*2-5|/√(4+1+4)=12.90°解析：向量OP與向量OQ的點積為0，所以夾角為90°3.√3解析：三棱錐P-EF的表面積為三個三角形的面積之和，每個三角形面積為1/2*邊長*高，高為PA/2=√3/2，所以表面積為3*1/2*1*√3/2=√34.45°解析：直線AB與平面α的夾角為arctan(1/√3)=45°5.√2/2解析：直線EF與平面A1B1CD的距離為EF在平面法向量上的投影，法向量為（0，1，0），EF方向向量為（0，-1/2，-1/2），投影為|-1/2|/√(1/4+1/4)=√2/2三、解答題1.三棱錐P-EF的體積為1/3解析：底面積為△EF面積，高為PA，△EF是△ABC中位線構(gòu)成的三角形，面積為原三角形面積的一半，即1/2*√3/4*2^2=√3，高為PA=2，所以體積為1/3*√3*2=1/32.直線EF與平面A1B1CD的夾角的正弦值為√2/2解析：EF方向向量為（0，-1/2，-1/2），平面A1B1CD的法向量為（0，1，0），夾角sinθ=|0*(-1/2)+(-1/2)*1+(-1/2)*0|/√(1/4+1/4)=√2/23.直線AB的方向向量與平面α的法向量的夾角的余弦值為1/3解析：AB方向向量為（-1，1，1），平面α的法向量為（1，1，1），夾角cosθ=|-1*1+1*1+1*1|/√(1+1+1)*√(1+1+1)=1/34.直線l的方程為x=1，y=2+3t，z=3t解析：直線l過點（1，2，3），方向向量為（0，3，3），所以參數(shù)方程為x=1，y=2+3t，z=3t5.平面α與平面β的夾角的余弦值為√