高中數(shù)學(xué)精選資源2/2LLL1．2復(fù)數(shù)的幾何意義課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)凝練了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義.通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的幾何意義，提升數(shù)學(xué)抽象及直觀想象素養(yǎng).1．復(fù)平面通過建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義3．復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模稱為復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|.由向量模的定義可知，|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)．雖然兩個(gè)復(fù)數(shù)一般不能比較大小，但它們的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大?。?．共軛復(fù)數(shù)(1)若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\o(z,\s\up6(－))表示；(2)顯然，在復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，并且它們的模相等；(3)任意一個(gè)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身，反之亦然．1．判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上．(√)(2)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)．(×)(3)若|z1|＝|z2|，則z1＝z2.(×)2．(教材P167練習(xí)2改編)當(dāng)eq\f(2,3)<m<1時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限D(zhuǎn)[∵eq\f(2,3)<m<1，∴0<3m－2<1，m－1<0，∴復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．]3．若eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(0，－3)，則eq\o(OZ,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(C)A．0 B．－3C．－3i D．3探究一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)[知能解讀]按照復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)復(fù)數(shù)都對應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值．在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i對應(yīng)的點(diǎn)：(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限，分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解復(fù)數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的實(shí)部為m2－2m－8，虛部為m2＋3m－10．(1)由題意得m2－2m－8＝0．解得m＝－2或m＝4．(2)由題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－8＜0，,m2＋3m－10＞0，))∴2<m<4．(3)由題意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，∴2<m<4或－5<m<－2．[變式]將例1的條件不變，若復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)在直線y＝x上，求m的值．解由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝eq\f(2,5)．[方法總結(jié)]復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部分別對應(yīng)了復(fù)平面內(nèi)相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)所處的位置，決定了復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值特征．[訓(xùn)練1]已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)A[由復(fù)數(shù)z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1<0，))解得－3<m<1．]探究二復(fù)數(shù)的模的幾何意義設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)Z，試說明滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形．(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2．解(1)方法一|z|＝2說明復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為2，這樣的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓．方法二設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故點(diǎn)Z對應(yīng)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓．(2)不等式1≤|z|≤2可以轉(zhuǎn)化為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|z|≤2，,|z|≥1.))不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2及該圓內(nèi)部所有點(diǎn)的集合．不等式|z|≥1的解集是圓|z|＝1及該圓外部所有點(diǎn)的集合．這兩個(gè)集合的交集，就是滿足條件1≤|z|≤2的點(diǎn)的集合．如圖中的陰影部分，所求點(diǎn)的集合是以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界．[方法總結(jié)]解決復(fù)數(shù)的模的幾何意義的問題，應(yīng)把握兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是|z|表示點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點(diǎn)Z的集合表示的圖形；二是利用復(fù)數(shù)的模的概念，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決．[訓(xùn)練2]若復(fù)數(shù)z滿足|z－i|≤eq\r(2)(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面所對應(yīng)的圖形的面積為________．2π[設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝eq\r(x2＋y－12)，由|z－i|≤eq\r(2)知eq\r(x2＋y－12)≤eq\r(2)，x2＋(y－1)2≤2．∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成以(0,1)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓面(含邊界)，∴所求圖形的面積為S＝2π.]探究三復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用(1)設(shè)O是原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()A．－5＋5i B．－5－5iC．5＋5i D．5－5iC[由復(fù)數(shù)的幾何意義，得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3,2)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以eq\o(BA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i，其共軛復(fù)數(shù)為5＋5i.](2)已知復(fù)數(shù)z＝3＋ai，且|z|<4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解題流程：第一步泛讀題目明確待求結(jié)論：求實(shí)數(shù)a的取值范圍．第二步精讀題目挖掘已知條件：已知復(fù)數(shù)z＝3＋ai，且|z|<4．第三步建立聯(lián)系尋找解題思路：利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算法則求解．第四步書寫過程規(guī)范養(yǎng)成習(xí)慣．解方法一∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝eq\r(32＋a2)，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－eq\r(7)，eq\r(7))．方法二利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z＝3＋ai知z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x＝3上，所以線段AB(除去端點(diǎn))為動點(diǎn)Z的集合．由圖可知：－eq\r(7)<a<eq\r(7)．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－eq\r(7)，eq\r(7))．[方法總結(jié)]利用模的定義將復(fù)數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為實(shí)部、虛部滿足的條件，是一種復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想；根據(jù)復(fù)數(shù)模的意義，結(jié)合圖形，也可利用平面幾何知識解答