９.3三重積分一、三重積分的定義二、直角坐標下的計算三、柱面坐標下的計算四、球面坐標下的計算1一、三重積分的定義三重積分是定積分和二重積分的概念的推廣．設三元函數(shù)在空間有界閉區(qū)域Ｖ上連續(xù)，任意地分割Ｖ成n個小的立體區(qū)域在每個小區(qū)域中任意取一點并作和令表示中的最大直徑，當時，和式的極限存在，而且不依賴于區(qū)域Ｖ的分割方法和點的取法，則該極限值就稱為在空間有界閉區(qū)域Ｖ上的三重積分．2記作即被積函數(shù)體積元素積分區(qū)域積分和在直角坐標系下，如果用平行于坐標面的平面分割區(qū)域Ｖ，則每個小區(qū)域是一個長方體，此時因此體積元素可寫成所以思考：f=1時積分值表何幾何意義3xOz

yz2(x,y)Dz1(x,y).Ｖ為圖示立體區(qū)域I=二、直角坐標下三重積分的計算—化為三次積分這樣化成了一個定積分和一個二重積分的計算最后再把二重積分化成二次積分5注意上式的最后一個表達式表示我們這里處理二重積分時使用了先y后x的次序，當然也可以先x后y．6直角坐標系中將三重積分化為三次積分．如圖，7上的二重積分在閉區(qū)域計算DyxF),(得8例１計算三重積分其中Ｖ由三個坐標面及平面圍成．解積分區(qū)域Ｖ由不等式?jīng)Q定．所以910z=0y=0xyzoＶ。.Ｏy

xD例２計算其中Ｖ由拋物柱面及三個平面圍成第一卦限部分．解區(qū)域Ｖ如圖示，用不等式表示就是11一般來說，只要找到用不等式表示的積分區(qū)域，那么積分就好辦了．但計算量較大，須仔細．在積分的時候沒必要畫出區(qū)域的空間圖，當然在草紙上作個草圖，會對尋求積分上、下限有所幫助．12三、柱面坐標下三重積分的計算首先說，什么叫柱面坐標？Ｏxz

yzrNxyz柱面坐標就是把點中的橫坐標和縱坐標用極坐標表示，而立坐標不變．直角坐標與柱面坐標的關系：我們知道，直角坐標的坐標面是三族平行于xoy面、yoz面、zox面的平面．13zxＯyzMrS

z柱面坐標的坐標面是什么？即固定柱面坐標的三個分量中的一個，而另兩個分量為變量時，點所形成的曲面是什么？r＝常數(shù)：圓柱面Ｓ；ｚ＝常數(shù)：平面14zxＯyzMrSP

柱面坐標的坐標面是什么？即固定柱面坐標的三個分量中的一個，而另兩個分量為變量時，點所形成的曲面是什么？r＝常數(shù)：圓柱面Ｓ；ｚ＝常數(shù)：平面常數(shù)：半平面Ｐ．15xz

yＯdrrrdφdφz平面zφ柱面坐標下的體積元素由六個坐標面圍成半平面：φ及φ＋dφ；半徑為r及r＋dr的圓柱面；平面z及z＋dz．16xz

yＯφdrrrdφdφz底面積：rdrd

φdz平面z+dz柱面坐標下的體積元素由六個坐標面圍成半平面：φ及φ＋dφ；半徑為r及r＋dr的圓柱面；平面z及z＋dz．17xz

yOφdrrrdφdφz底面積：rdrdφdzdV柱面坐標下的體積元素由六個坐標面圍成半平面：φ及φ＋dφ；半徑為r及r＋dr的圓柱面；平面z及z＋dz．dV=rdrdφdz18因此，有dV=rdrdφdz進一步地，還可以化成三次積分．例３利用柱面坐標計算其中Ｖ由上半球面及拋物面圍成．解知交線為19面上，如圖，投影到把閉區(qū)域xoyＶ所以201.Dxy:z=0用哪種坐標？.柱面坐標0xz

yDxy例４計算I=1210xz

y1Dxy.Dxy:z=1錐面化為:

r=z1.例５..22四、球面坐標下的計算Oxz

yM(x,y,z)ρ

Nyxz空間一點Ｍ(x,y,z)，θ是ＯＭ在xoy面上投影與x軸的正向的夾角，φ是ＯＭ與Oz軸的正向的夾角，那么(ρ,θ,φ)就稱為點M的球面坐標．那么直角坐標與球面坐標的關系如何？23顯然球面坐標與直角坐標的關系為

SρM

yz

x0ρ=常數(shù):

=常數(shù):球面S球面坐標的坐標面24

CSM

yz

x0

P顯然球面坐標與直角坐標的關系為

=常數(shù):ρ=常數(shù):球面S球面坐標的坐標面錐面Ｃ

=常數(shù):半平面P25

ρ

dρd

ρsin

xz

yＯ圓錐面

ρd

球面r圓錐面+d

球面ρ+d

ρ元素區(qū)域由六個坐標面圍成：d

ρsin

d

球面坐標下的體積元素半平面

及+d

；

半徑為ρ及ρ+dρ的球面；圓錐面

及+d

26ρ

dρd

xz

yＯd

ρd

ρsin

d

dV元素區(qū)域由六個坐標面圍成：球面坐標下的體積元素半平面

及+d

；

半徑為ρ及ρ+dρ的球面；圓錐面

及+d

把體積元素看作小長方體，則27則當然，還需要將公式中的積分化為三次積分方可．例６求其中Ｖ是由球