3.2.2

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【自主預(yù)習(xí)】1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________.(ac-bd)+(ad+bc)i2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)任意復(fù)數(shù)z1,z2,z3∈C,有交換律z1·z2=______結(jié)合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)分配律z1(z2+z3)=________z2·z1z1z2+z1z33.共軛復(fù)數(shù)已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則(1)z1,z2互為共軛復(fù)數(shù)的充要條件是__________.(2)z1,z2互為共軛虛數(shù)的充要條件是_____________.a=c且b=-da=c且b=-d≠04.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則(a+bi)÷(c+di)=________________(a,b,c,d∈R,c+di≠0).【即時(shí)小測(cè)】1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1,3)B.(3,1)C.(-1,3)D.(3,-1)【解析】選A.因此其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3).2.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a-(a∈R)是純虛數(shù),則a的值為()A.-3 B.-1 C.1 D.3【解析】選D.由于=(a-3)-i,由純虛數(shù)的定義,知a-3=0,因此a=3.3.設(shè)z=+i,則|z|=()

【解析】選B.由于因此4.若x-2+yi和3x-i互為共軛復(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)x=________,y=________.【解析】由題意得:答案:-1

1【知識(shí)探究】探究點(diǎn)1

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算1.a∈R,z∈C,a2=|a2|與z2=|z|2都成立嗎?提示:a2=|a2|成立;z2=|z|2不一定成立.例如z=i,z2=-1,|z|2=1,z2≠|(zhì)z|2.2.z2=|z2|成立的條件是什么?提示:當(dāng)且僅當(dāng)z∈R時(shí),z2=|z|2成立.【歸納總結(jié)】1.復(fù)數(shù)的乘法的三點(diǎn)闡明(1)類(lèi)比多項(xiàng)式運(yùn)算:復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算很類(lèi)似,可仿多項(xiàng)式乘法進(jìn)行,但成果要將實(shí)部、虛部分開(kāi)(i2換成-1).(2)運(yùn)算律:多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)乘法中仍然成立,乘法公式也合用.(3)慣用結(jié)論:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.2.對(duì)復(fù)數(shù)除法的兩點(diǎn)闡明(1)實(shí)數(shù)化:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)c-di,化簡(jiǎn)后即得成果,這個(gè)過(guò)程事實(shí)上就是把分母實(shí)數(shù)化,這與根式除法的分母“有理化”很類(lèi)似.(2)代數(shù)式:注意最后成果要將實(shí)部、虛部分開(kāi).特別提示:復(fù)數(shù)的除法類(lèi)似于根式的分母有理化.探究點(diǎn)2共軛復(fù)數(shù)1.若z≠0且z+=0,則z與否為純虛數(shù)?提示:是純虛數(shù),由于z≠0,又實(shí)數(shù)的共軛是它本身,則由z≠0且z+=0知z不是實(shí)數(shù),設(shè)z=a+bi,=a-bi(a,b∈R,b≠0)和z+=2a=0,因此a=0,故z為純虛數(shù).運(yùn)用這個(gè)性質(zhì),可證明一種復(fù)數(shù)為純虛數(shù).2.復(fù)數(shù)共軛的共軛與否為復(fù)數(shù)本身?提示:根據(jù)復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)共軛的共軛是復(fù)數(shù)本身.【歸納總結(jié)】1.共軛復(fù)數(shù)的注意點(diǎn)(1)構(gòu)造特點(diǎn):實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù).(2)幾何意義:在復(fù)平面內(nèi)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有關(guān)實(shí)軸對(duì)稱(chēng).2.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(1)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身,即z∈R?(2)有關(guān)結(jié)論:③易錯(cuò)警示:注意共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系.類(lèi)型一復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算【典例】1.(2015·全國(guó)卷Ⅱ)若a為實(shí)數(shù)且(2+ai)(a-2i)=-4i,則a=

(

)A.-1 B.0 C.1 D.22.已知復(fù)數(shù)z1=(1+i)(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)z2的虛部為2,且z1·z2是實(shí)數(shù),求z2.【解題探究】1.本例1中解題的核心點(diǎn)是什么?提示:根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解a.2.z1·z2是實(shí)數(shù)的含義是什么?提示:虛部為零.【解析】1.選B.由題意得4a+(a2-4)i=-4i,因此4a=0,a2-4=-4,解得a=0,故選B.2.z1=(1+i)=2-i,設(shè)z2=a+2i,a∈R,則z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,由于z1·z2∈R,因此a=4,因此z2=4+2i.【延伸探究】將本例2中z1·z2是實(shí)數(shù)改為“z1·z2是純虛數(shù)”,其它條件不變,求z2.【解析】由例題知解得a=-1因此z2=-1+2i.【方法技巧】復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則的應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算能夠把i看作字母,類(lèi)比多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行,注意要把i2化為-1,進(jìn)行最后成果的化簡(jiǎn).(2)對(duì)于能夠使用乘法公式計(jì)算的兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法,用乘法公式更簡(jiǎn)便.例如平方差公式、完全平方公式等.【變式訓(xùn)練】(2015·重慶高考)設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為,則(a+bi)(a-bi)=__________.【解題指南】本題直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的模的概念及乘法運(yùn)算求解即可.【解析】由于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為因此(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3.答案:3類(lèi)型二共軛復(fù)數(shù)【典例】(2016·蘭州高二檢測(cè))把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作,已知(1+2i)=4+3i,求z.【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,由已知得:(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,由復(fù)數(shù)相等的定義知,得a=2,b=1,因此z=2+i.【延伸探究】1.若把本例條件改為(z+2)=4+3i,求z.【解析】設(shè)z=x+yi(x,y∈R).則=x-yi,由題意知,(x-yi)(x+yi+2)=4+3i.2.若把本例條件改為(1+2i)z=4+3i,求z.【解析】設(shè)z=x+yi,則(1+2i)(x+yi)=4+3i,得因此z=2-i.【方法技巧】解決與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)問(wèn)題的思路當(dāng)已知條件為含有一種或多個(gè)復(fù)數(shù)z(或其共軛復(fù)數(shù))的等式時(shí),常設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,運(yùn)用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題求解.【賠償訓(xùn)練】(2015·廣東高考)若復(fù)數(shù)z=i(3-2i)(i是虛數(shù)單位),則=()A.3-2iB.3+2iC.2+3iD.2-3i【解題指南】可先求出z,再運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的概念實(shí)部相似,虛部互為相反數(shù)求出成果.【解析】選D.由于z=i(3-2i)=2+3i,因此=2-3i.類(lèi)型三復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算【典例】1.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別是則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.計(jì)算:(1)(2)【解題探究】1.典例1中復(fù)數(shù)z1,z2的代數(shù)形式為什么?提示:由復(fù)數(shù)的幾何意義知,z1=-2-i,z2=i.2.觀察典例2式子的特性,應(yīng)如何計(jì)算?提示:先化簡(jiǎn),再運(yùn)算.【解析】1.選B.由復(fù)數(shù)的幾何意義知,z1=-2-i,z2=i,因此對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.2.(1)方法一:方法二：(2)原式=

=(2i)3·i+(-2i)3·(-i)-=8+8-16-16i=-16i.【方法技巧】復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則的應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)的除法先寫(xiě)成分式的形式,再把分母實(shí)數(shù)化(方法是分母與分子同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),若分母是純虛數(shù),則只需同時(shí)乘以i).(2)對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算,除了應(yīng)用四則運(yùn)算法則之外,對(duì)于某些簡(jiǎn)樸的算式要懂得其成果,這樣起點(diǎn)就高,計(jì)算過(guò)程就能夠簡(jiǎn)化,達(dá)成快速、簡(jiǎn)捷、出錯(cuò)少的效果.例如下列成果,要記住:④a+bi=i(b-ai).易錯(cuò)警示:除數(shù)是虛數(shù)的復(fù)數(shù)的除法是將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),再按復(fù)數(shù)的乘法進(jìn)行運(yùn)算,最后化簡(jiǎn).【變式訓(xùn)練】

【解析】

【賠償訓(xùn)練】(2015·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i,則|z|=()【解題指南】將=i化為z=a+bi(a,b∈R)的形式,運(yùn)用|z|=求解.【解析】選A.由于=i,因此故|z|=1.自我糾錯(cuò)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法【典例】(2016