2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-函數(shù)與函數(shù)難題創(chuàng)新試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為（）A.3B.2C.1D.02.若函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為m，則函數(shù)h(x)=g(x)-sin(x)的值域?yàn)椋ǎ〢.[-1,3]B.[-2,3]C.[-1,2]D.[-2,2]3.函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=0處取得極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.a>1B.a=1C.a<1D.a≤14.函數(shù)F(x)=(x+1)ln(x-1)的定義域?yàn)椋ǎ〢.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)5.若函數(shù)f(x)=x^2-2x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值為M，最小值為m，則M-m的值為（）A.1B.2C.3D.46.函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+1|的圖像關(guān)于某條直線對(duì)稱，則該直線的方程可能是（）A.x=1B.x=-1C.y=xD.y=-x7.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3youcanseethedifferencehere.D.48.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|的最小值是（）A.1B.2C.3D.49.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值為（）A.3B.4C.5D.610.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的值域?yàn)椋ǎ〢.[-√2,√2]B.[-1,1]C.[-2,2]D.[0,√2]二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）11.函數(shù)f(x)=x^3-3x+1的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值為________。12.函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|的最小值為________。13.函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為________。14.函數(shù)F(x)=(x+1)ln(x-1)的導(dǎo)數(shù)為________。15.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的周期為________。三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1。（1）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；（2）討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性。17.（本小題滿分14分）已知函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|。（1）求函數(shù)g(x)的最小值；（2）若函數(shù)h(x)=g(x)-ax在x=1處取得極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)F(x)=(x+1)ln(x-1)。（1）求函數(shù)F(x)的定義域；（2）求函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)F'(x)，并討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性。19.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)。（1）求函數(shù)f(x)的周期和值域；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-sin(x)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值和最小值。20.（本小題滿分15分）已知函數(shù)h(x)=e^x-ax^2。（1）求函數(shù)h(x)的導(dǎo)數(shù)h'(x)，并討論函數(shù)h(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)h(x)在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并求函數(shù)h(x)的極值。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）21.（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上存在唯一的零點(diǎn)。五、應(yīng)用題（本大題共1小題，共10分。）22.（本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為C(x)=x^2-4x+5，收益函數(shù)為R(x)=6x-x^2，其中x為產(chǎn)品產(chǎn)量。（1）求該工廠的利潤(rùn)函數(shù)P(x)；（2）求該工廠的最大利潤(rùn)。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則f'(1)=0。f'(x)=3x^2-a，代入x=1得3-a=0，解得a=3。2.B解析：函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為4-1=3。函數(shù)h(x)=g(x)-sin(x)的值域?yàn)閇3-1,3+1]=[2,4]。但注意到sin(x)在[0,2π]內(nèi)最大為1，最小為-1，所以實(shí)際值域?yàn)閇2,4]-[-1,1]=[-1,3]。3.B解析：函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=0處取得極小值，則f'(0)=0。f'(x)=e^x-a，代入x=0得1-a=0，解得a=1。還需驗(yàn)證a=1時(shí)在x=0處為極小值，f''(x)=e^x，f''(0)=1>0，確為極小值。4.B解析：函數(shù)F(x)=(x+1)ln(x-1)的定義域要求x-1>0且x-1≠0，即x>1。5.C解析：函數(shù)f(x)=x^2-2x+3在區(qū)間[1,3]上，f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。區(qū)間端點(diǎn)處f(1)=2，f(3)=6。比較得最大值M=6，最小值m=2。M-m=4。6.A解析：函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+1|的圖像關(guān)于x=1.5對(duì)稱。驗(yàn)證：f(0)=3，f(3)=3；f(1)=2，f(2)=2；f(-1)=4，f(4)=4。對(duì)稱性成立。7.C解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0得x=-1,1。f(-1)=0，f(1)=0。f(-2)=-2，f(2)=0。圖像在x=-2到x=2之間穿過(guò)x軸三次，故有三個(gè)交點(diǎn)。8.B解析：函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|在x=2處取得最小值。f(1)=2，f(2)=1+1=2，f(3)=2。最小值為2。9.D解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-1,3]上，f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。區(qū)間端點(diǎn)處f(-1)=-4，f(1)=0，f(3)=0。比較得最大值f(3)=6。10.A解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。其值域?yàn)閇-√2,√2]。二、填空題答案及解析11.-2解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+1圖像關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱，則f(1+a)=-f(1-a)-2。代入f(x)得(1+a)^3-3(1+a)+1=-[(1-a)^3-3(1-a)+1]-2。展開化簡(jiǎn)得6a^2+6a=0。解得a=0或a=-1。當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)稱中心為(1,-1)，滿足f(1)=-1。當(dāng)a=-1時(shí)，對(duì)稱中心為(0,-1)，不滿足f(1)=0。故a=0。此時(shí)f(x)=x^3-3x+1，對(duì)稱中心為(1,-1)。12.4解析：函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|在x=2處取得最小值。g(1)=3，g(2)=2，g(3)=3。最小值為2。13.1解析：同第3題解析。14.lnx+1/(x-1)解析：函數(shù)F(x)=(x+1)ln(x-1)的導(dǎo)數(shù)F'(x)=(x+1)*(1/(x-1))'+(x+1)'*ln(x-1)=(x+1)*(-1/(x-1)^2)+1*ln(x-1)=lnx+1/(x-1)。15.2π解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。其周期為2π。三、解答題答案及解析16.（1）極值點(diǎn)為x=-1和x=1。解析：求導(dǎo)f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0得3x^2-6x+2=0。解得x=3±√3。計(jì)算二階導(dǎo)f''(x)=6x-6。f''(3+√3)=6(3+√3)-6=12+6√3>0，故x=3+√3為極小值點(diǎn)。f''(3-√3)=6(3-√3)-6=12-6√3<0，故x=3-√3為極大值點(diǎn)。所以極值點(diǎn)為x=3-√3和x=3+√3。（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]和[1,3]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-1,1]和[3,2]上單調(diào)遞增。解析：由（1）知f'(x)=3(x-1)(x-(3-√3))。在區(qū)間[-2,-1]上，x-1<0,x-(3-√3)<0，f'(x)>0，單調(diào)遞增。在區(qū)間[-1,1]上，x-1<0,x-(3-√3)>0，f'(x)<0，單調(diào)遞減。在區(qū)間[1,3]上，x-1>0,x-(3-√3)>0，f'(x)>0，單調(diào)遞增。在區(qū)間[3,2]上，x-1>0,x-(3-√3)<0，f'(x)<0，單調(diào)遞減。（注意區(qū)間端點(diǎn)包含情況需根據(jù)具體題目要求，此處按導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷區(qū)間開閉性，但通常極值點(diǎn)不包含在內(nèi)，若包含需調(diào)整區(qū)間為(-2,-1]和[-1,1]，[1,3]和[3,2]）。根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化，單調(diào)性描述為：在[-2,-1]上單調(diào)遞增，在[-1,1]上單調(diào)遞減，在[1,3]上單調(diào)遞增，在[3,2]上單調(diào)遞減。17.（1）函數(shù)g(x)的最小值為4。解析：函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|在x=2處取得最小值。g(1)=3，g(2)=2，g(3)=3。最小值為2。（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤2。解析：函數(shù)h(x)=g(x)-ax在x=1處取得極小值，則h'(1)=0。g(x)在x=1,2,3處導(dǎo)數(shù)可能變化。計(jì)算g'(x)：x∈(-∞,-2):g'(x)=-(x-1)-(x+2)-(x-3)=-3x+2x∈(-2,1):g'(x)=-(x-1)-(x+2)+(x-3)=-x-4x∈(1,3):g'(x)=(x-1)-(x+2)+(x-3)=x-6x∈(3,+∞):g'(x)=(x-1)+(x+2)+(x-3)=3x-2計(jì)算h'(x)=g'(x)-a。令x=1，h'(1)=g'(1)-a=0。g'(1)=1-1+1-6=-5。所以-5-a=0，解得a=-5。為了在x=1處取得極小值，需驗(yàn)證左側(cè)導(dǎo)數(shù)和右側(cè)導(dǎo)數(shù)。h'(-ε)=g'(-ε)-a=(-3(-ε)+2)-(-5)=3ε+7>0。h'(1+ε)=g'(1+ε)-a=(1+ε-1+1-6)-(-5)=ε>0。所以當(dāng)a=-5時(shí)，h'(x)在x=1處由負(fù)變正，取得極小值。若a>-5，比如a=-4，h'(x)在x=1處由負(fù)變正，仍取得極小值。若a<-5，比如a=-6，h'(x)在x=1處由正變負(fù)，取得極大值。因此，a≤-5時(shí)，x=1為極小值點(diǎn)。結(jié)合a≤2，最終a≤2。這里需要更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治?，a=-5是臨界點(diǎn)，a<-5時(shí)x=1為極大值，a>-5時(shí)x=1為極小值。題目要求x=1處取得極小值，所以a>-5。又因?yàn)閍≤2，所以a的取值范圍是(-5,2]。18.（1）函數(shù)F(x)的定義域?yàn)?1,+∞)。解析：函數(shù)F(x)=(x+1)ln(x-1)中，ln(x-1)有定義要求x-1>0，即x>1。所以定義域?yàn)?1,+∞)。（2）函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)F'(x)=lnx+1/(x-1)，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。F(x)在(1,e+1)上單調(diào)遞減，在(e+1,+∞)上單調(diào)遞增。解析：求導(dǎo)F'(x)=d/dx[(x+1)ln(x-1)]=(x+1)*(1/(x-1))+1*ln(x-1)=lnx+1/(x-1)。討論F'(x)的符號(hào)：令F'(x)=0，即lnx+1/(x-1)=0。解這個(gè)方程比較復(fù)雜，但我們可以分析F'(x)的單調(diào)性。計(jì)算F''(x)：F''(x)=d/dx[lnx+1/(x-1)]=1/x-1/(x-1)^2=(x-1-x)/(x(x-1)^2)=-1/(x(x-1)^2)。由于x>1，分母x(x-1)^2>0，所以F''(x)<0。這意味著F'(x)在(1,+∞)上是嚴(yán)格單調(diào)遞減的。因?yàn)镕'(x)嚴(yán)格單調(diào)遞減，且當(dāng)x→1^+時(shí)，lnx→-∞，1/(x-1)→+∞，F(xiàn)'(x)→+∞。又因?yàn)镕'(x)嚴(yán)格遞減，所以它只能在一個(gè)點(diǎn)x=e+1處等于0。當(dāng)x∈(1,e+1)時(shí)，F(xiàn)'(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增。當(dāng)x∈(e+1,+∞)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減。所以F(x)在(1,e+1)上單調(diào)遞減，在(e+1,+∞)上單調(diào)遞增。19.（1）函數(shù)f(x)的周期為2π，值域?yàn)閇-√2,√2]。解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函數(shù)的周期為2π，所以f(x)的周期為2π。其值域?yàn)閇-√2,√2]。（2）函數(shù)g(x)=f(x)-sin(x)=cos(x)在區(qū)間[0,2π]上的最大值為1，最小值為-1。解析：函數(shù)g(x)=cos(x)。在區(qū)間[0,2π]上，cos(x)在x=0,π,2π處取得極值。g(0)=1，g(π)=-1，g(2π)=1。比較得最大值M=1，最小值m=-1。20.（1）函數(shù)h(x)的導(dǎo)數(shù)h'(x)=e^x-2ax，在a≤1/2時(shí)在R上單調(diào)遞增，在a>1/2時(shí)在(1/2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,1/2a)上單調(diào)遞減。h(x)在(-∞,1/2a)上單調(diào)遞減，在(1/2a,+∞)上單調(diào)遞增。解析：求導(dǎo)h'(x)=d/dx[e^x-ax^2]=e^x-2ax。討論h'(x)的符號(hào)：令h'(x)=0，即e^x-2ax=0。解這個(gè)方程比較復(fù)雜，但我們可以分析h'(x)的單調(diào)性。計(jì)算h''(x)：h''(x)=d/dx[e^x-2ax]=e^x-2a。①當(dāng)a≤0時(shí)，h''(x)=e^x-2a>0(因?yàn)閑^x>0)。所以h'(x)在R上嚴(yán)格單調(diào)遞增。因?yàn)閔'(0)=1-0=1>0，所以h'(x)>0對(duì)所有x成立，h(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值。②當(dāng)a>0時(shí)，令h''(x)=0得e^x-2a=0，解得x=ln(2a)。h''(x)在(-∞,ln(2a))上為負(fù)，在(ln(2a),+∞)上為正。這意味著h'(x)在(-∞,ln(2a))上單調(diào)遞減，在(ln(2a),+∞)上單調(diào)遞增。-當(dāng)x<ln(2a)時(shí)，h''(x)<0，h'(x)遞減。-當(dāng)x>ln(2a)時(shí)，h''(x)>0，h'(x)遞增。-當(dāng)x=ln(2a)時(shí)，h''(x)=0，h'(x)可能有極小值。計(jì)算h'(ln(2a))=e^(ln(2a))-2a*ln(2a)=2a-2a*ln(2a)=2a(1-ln(2a))。-若a=e^2，則1-ln(2a)=1-ln(e^2)=1-2=-1。此時(shí)h'(ln(2a))=2e^2(-1)<0。因?yàn)閔'(x)在ln(2a)兩側(cè)符號(hào)相反，ln(2a)是極小值點(diǎn)。-若a<e^2，則1-ln(2a)>0。此時(shí)h'(ln(2a))>0。因?yàn)閔'(x)在ln(2a)兩側(cè)符號(hào)相反，ln(2a)是極大值點(diǎn)。-若a>e^2，則1-ln(2a)<0。此時(shí)h'(ln(2a))<0。因?yàn)閔'(x)在ln(2a)兩側(cè)符號(hào)相反，ln(2a)是極小值點(diǎn)。所以，當(dāng)a=e^2時(shí)，h'(x)在ln(2a)處由負(fù)變正，x=ln(2a)是極小值點(diǎn)。當(dāng)a<e^2時(shí)，h'(x)在ln(2a)處由正變負(fù)，x=ln(2a)是極大值點(diǎn)。當(dāng)a>e^2時(shí)，h'(x)在ln(2a)處由負(fù)變正，x=ln(2a)是極小值點(diǎn)。-若a=1/2，則ln(2a)=ln(1)=0。此時(shí)h'(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。因?yàn)閔'(0)=1-0=1>0，所以h'(x)>0對(duì)所有x成立，h(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值。-若a<1/2，則ln(2a)<0。此時(shí)h'(x)在(-∞,ln(2a))上單調(diào)遞減，在(ln(2a),+∞)上單調(diào)遞增。因?yàn)閔'(0)=1-0=1>0，且h'(ln(2a))=2a(1-ln(2a))>0(因?yàn)閍>0,1-ln(2a)>0)，所以h'(x)>0對(duì)所有x成立，h(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值。-若a>1/2，則ln(2a)>0。此時(shí)h'(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,ln(2a))上單調(diào)遞增，在(ln(2a),+∞)上單調(diào)遞減。因?yàn)閔'(0)=1>0，h'(ln(2a))=2a(1-ln(2a))>0，h'(x)在(0,ln(2a))上遞增，所以存在唯一的x?∈(0,ln(2a))使得h'(x?)=0。因?yàn)閔'(x)在(-∞,0)遞減，(0,x?)遞增，(x?,+∞)遞減，所以x?是極大值點(diǎn)。極大值為h(x?)=e^x?-ax?^2。因?yàn)閔'(x)在(-∞,0)遞減，(0,x?)遞增，(x?,+∞)遞減，所以存在唯一的y?∈(-∞,0)使得h'(y?)=0。因?yàn)閔'(x)在(-∞,y?)遞減，(y?,0)遞增，所以y?是極小值點(diǎn)。極小值為h(y?)=e^y?-ay?^2。所以當(dāng)a>1/2時(shí)，h(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)極大值，一個(gè)極小值。-當(dāng)a≤1/2時(shí)，h(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值。-當(dāng)a>1/2時(shí)，h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,ln(2a))上單調(diào)遞增，在(ln(2a),+∞)上單調(diào)遞減。存在唯一的極大值點(diǎn)x?∈(0,ln(2a))，極大值為e^x?-ax?^2。存在唯一的極小值點(diǎn)y?∈(-∞,0)，極小值為e^y?-ay?^2。（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>1/2，此時(shí)h(x)在x?處取得極大值e^x?-ax?^2，在y?處取得極小值e^y?-ay?^2。其中x?∈(0,ln(2a))，y?∈(-∞,0)。解析：由（1）知，當(dāng)a>1/2時(shí)，h(x)在x?處取得極大值，在y?處取得極小值。極大值為e^x?-ax?^2。極小值為e^y?-ay?^2。所以當(dāng)a>1/2時(shí)，h(x)存在極值。沒(méi)有唯一的a值使得在x=1處取得極值。題目描述有誤，應(yīng)該是存在極值點(diǎn)。根據(jù)（1）的分析，a>1/2時(shí)h(x)存在極值。如果題目本意是求使得h(x)在x=1處取得極值的a值，則如（1）中所述，a=-5時(shí)x=1為極小值點(diǎn)。但題目問(wèn)“在x=1處取得極值”，這通常指存在極值點(diǎn)，故a>1/2。題目表述不清，按（1）的分析，a>1/2時(shí)存在極值。如果理解為求極值點(diǎn)x?的值，則x?=ln(2a)(a>1/2)。如果理解為求極值y?的值，則y?=-∞(a>1/2)。如果理解為求極值h(x?)和h(y?)的值，則分別為e^x?-ax?^2和e^y?-ay?^2(a>1/2)。21.證明：