2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何立體幾何證明與計(jì)算模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：x-2y+3z=0的距離等于（）A.2B.√14/7C.√14D.72.已知直線l：x=1與平面α：x-y+2z=1相交，則直線l在平面α上的投影方向向量為（）A.（1，1，0）B.（0，1，0）C.（0，0，1）D.（1，0，2）3.若空間四點(diǎn)A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，-1，1），D（3，1，2）共面，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A.1B.2C.-1D.-24.過(guò)點(diǎn)P（1，2，3）且與直線l：x=y=z平行的直線方程為（）A.x-1=y-2=z-3B.x+1=y-2=z+3C.x-1=y+2=z-3D.x+1=y+2=z+35.已知平面α：x+y+z=1與平面β：x-y+z=0的夾角為θ，則cosθ等于（）A.1/√3B.1/√2C.√2/2D.√3/26.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)，則直線AE與平面B1DEF所成角的正弦值為（）A.1/3B.1/√3C.√2/3D.√3/37.已知點(diǎn)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（1，1，1），則四面體ABCD的體積為（）A.1/6B.1/4C.1/3D.1/28.過(guò)點(diǎn)A（1，2，3）且與平面α：2x-y+z=1垂直的直線方程為（）A.x-1=2(y-2)=-(z-3)B.x+1=2(y-2)=-(z-3)C.x-1=-(y-2)=2(z-3)D.x+1=-(y-2)=2(z-3)9.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到平面β：x-y+z=0的距離等于（）A.√3/3B.√6/3C.√2/2D.√3/210.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為（）A.1/2B.1/√3C.√2/2D.√3/211.已知平面α：x+y+z=1與平面β：x-y+z=0的夾角為θ，則sinθ等于（）A.1/√3B.1/√2C.√2/2D.√3/212.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)，則直線AE與平面B1DEF所成角的余弦值為（）A.1/3B.1/√3C.√2/3D.√3/3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.已知點(diǎn)A（1，2，3），B（2，1，4），C（3，3，2），則向量AB與向量AC的夾角余弦值為。14.過(guò)點(diǎn)P（1，2，3）且與直線l：x=y=z平行的直線方程為。15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)，則直線AE與平面B1DEF所成角的正弦值為。16.已知平面α：x+y+z=1與平面β：x-y+z=0的夾角為θ，則cosθ等于。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.（本小題滿分10分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，4），點(diǎn)C（3，3，2）。求：（1）向量AB與向量AC的夾角余弦值；（2）向量AB與向量AC的夾角正弦值。18.（本小題滿分12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)。求：（1）直線AE與平面B1DEF所成角的正弦值；（2）直線AE與平面B1DEF所成角的余弦值。19.（本小題滿分12分）已知平面α：x+y+z=1與平面β：x-y+z=0。求：（1）平面α與平面β的夾角余弦值；（2）平面α與平面β的夾角正弦值。20.（本小題滿分12分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1。求：（1）點(diǎn)P到平面ABC的距離；（2）點(diǎn)P到平面ABC的距離的平方。21.（本小題滿分12分）已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P。求：（1）點(diǎn)P到平面β：x-y+z=0的距離；（2）點(diǎn)P到平面β：x-y+z=0的距離的平方。22.（本小題滿分10分）已知空間四點(diǎn)A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，-1，1），D（3，1，2）。求：（1）四點(diǎn)A，B，C，D是否共面；（2）若四點(diǎn)A，B，C，D共面，求實(shí)數(shù)λ的值。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）23.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（2，1，4），點(diǎn)C（3，3，2），點(diǎn)D（1，1，1）。求：（1）向量AB與向量AC的夾角余弦值；（2）向量AB與向量AC的夾角正弦值；（3）向量AB與向量AC的夾角正切值。24.（本小題滿分12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1的中點(diǎn)。求：（1）直線AE與平面B1DEF所成角的正弦值；（2）直線AE與平面B1DEF所成角的余弦值；（3）直線AE與平面B1DEF所成角的正切值。25.（本小題滿分12分）已知平面α：x+y+z=1與平面β：x-y+z=0。求：（1）平面α與平面β的夾角余弦值；（2）平面α與平面β的夾角正弦值；（3）平面α與平面β的夾角正切值。26.（本小題滿分12分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA=AB=AC=1。求：（1）點(diǎn)P到平面ABC的距離；（2）點(diǎn)P到平面ABC的距離的平方；（3）點(diǎn)P到平面ABC的距離的立方。27.（本小題滿分12分）已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P。求：（1）點(diǎn)P到平面β：x-y+z=0的距離；（2）點(diǎn)P到平面β：x-y+z=0的距離的平方；（3）點(diǎn)P到平面β：x-y+z=0的距離的立方。28.（本小題滿分10分）已知空間四點(diǎn)A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，-1，1），D（3，1，2）。求：（1）四點(diǎn)A，B，C，D是否共面；（2）若四點(diǎn)A，B，C，D共面，求實(shí)數(shù)λ的值；（3）若四點(diǎn)A，B，C，D共面，求四點(diǎn)A，B，C，D的平面方程。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：x-2y+3z=0的距離d可以用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算，即d=|1*1-2*2+3*3|/√(1^2+(-2)^2+3^2)=√14，故選C。2.答案：A解析：直線l：x=1與平面α：x-y+2z=1相交，交點(diǎn)為（1，1，0），直線l的方向向量為（0，0，1），投影方向向量與原方向向量垂直，且投影在平面α上，所以投影方向向量為（1，1，0），故選A。3.答案：B解析：四點(diǎn)A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，-1，1），D（3，1，2）共面，可以判斷向量AB，AC，AD是否共面，即判斷向量AB×AC與向量AD的點(diǎn)積是否為0，計(jì)算得向量AB×AC=（3，3，-3），向量AB×AC·向量AD=3*3+3*1-3*2=6≠0，故λ=2，選B。4.答案：A解析：過(guò)點(diǎn)P（1，2，3）且與直線l：x=y=z平行的直線方程為x-1=y-2=z-3，方向向量為（1，1，1），與直線l方向向量相同，故選A。5.答案：D解析：平面α：x+y+z=1的法向量為（1，1，1），平面β：x-y+z=0的法向量為（1，-1，1），兩平面夾角θ的余弦值為cosθ=|1*1+1*(-1)+1*1|/√(1^2+1^2+1^2)√(1^2+(-1)^2+1^2)=√3/2，故選D。6.答案：B解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BC中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1中點(diǎn)，A（1，0，0），B（1，1，0），C（1，1，1），D（1，0，1），B1（1，1，1），E（1，1，1/2），F(xiàn)（1，1，3/2），向量AE（0，1，-1/2），平面B1DEF的法向量為向量B1E×向量B1F，計(jì)算得法向量為（0，-1/2，1/2），向量AE與法向量的夾角正弦值為sinθ=|0*0+1*(-1/2)+(-1/2)*1/2|/√(0^2+1^2+(-1/2)^2)√(0^2+(-1/2)^2+1/2^2)=1/√3，故選B。7.答案：A解析：四面體ABCD的體積V可以用向量混合積計(jì)算，V=1/6|向量AB×向量AC·向量AD|=1/6|（1，-1，0）×（-1，1，0）·（1，1，1)|=1/6|（0，0，-2）·（1，1，1）|=1/6|-2|=1/6，故選A。8.答案：A解析：過(guò)點(diǎn)A（1，2，3）且與平面α：2x-y+z=1垂直的直線方程為x-1=2(y-2)=-(z-3)，方向向量為（2，-1，1），與平面α的法向量相同，故選A。9.答案：C解析：直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交于點(diǎn)P（1，0，0），點(diǎn)P到平面β：x-y+z=0的距離d=|1*1+0*(-1)+0*1|/√(1^2+(-1)^2+1^2)=√2/2，故選C。10.答案：B解析：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=1，點(diǎn)P到平面ABC的距離即為PA在平面ABC上的投影，由于AB⊥AC，所以投影為直角三角形斜邊上的高，高為√(1^2-1^2/4)=√3/2，故選B。11.答案：D解析：同第5題，平面α與平面β的夾角θ的余弦值為cosθ=√3/2，故選D。12.答案：C解析：同第6題，直線AE與平面B1DEF所成角的余弦值為cosθ=1/√3，故選C。二、填空題答案及解析13.答案：1/3解析：向量AB（1，-1，1），向量AC（2，1，-1），向量AB·向量AC=1*(-1)+(-1)*1+1*(-1)=-3，|向量AB|=√(1^2+(-1)^2+1^2)=√3，|向量AC|=√(2^2+1^2+(-1)^2)=√6，cosθ=-3/(√3*√6)=-1/√2，sinθ=√(1-(-1/2))=√3/2，故填1/3。14.答案：x-1=y-2=z-3解析：過(guò)點(diǎn)P（1，2，3）且與直線l：x=y=z平行的直線方程為x-1=y-2=z-3，方向向量為（1，1，1），故填x-1=y-2=z-3。15.答案：1/√3解析：同第6題，直線AE與平面B1DEF所成角的正弦值為1/√3，故填1/√3。16.答案：√3/2解析：同第5題，平面α與平面β的夾角θ的余弦值為√3/2，故填√3/2。三、解答題答案及解析17.解析：（1）向量AB（1，-1，1），向量AC（2，1，-1），向量AB·向量AC=1*(-1)+(-1)*1+1*(-1)=-3，|向量AB|=√(1^2+(-1)^2+1^2)=√3，|向量AC|=√(2^2+1^2+(-1)^2)=√6，cosθ=-3/(√3*√6)=-1/√2，故向量AB與向量AC的夾角余弦值為-1/√2。（2）sinθ=√(1-(-1/2))=√3/2，故向量AB與向量AC的夾角正弦值為√3/2。（3）tanθ=sinθ/cosθ=-√6，故向量AB與向量AC的夾角正切值為-√6。18.解析：（1）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BC中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1中點(diǎn)，A（1，0，0），B（1，1，0），C（1，1，1），D（1，0，1），B1（1，1，1），E（1，1，1/2），F(xiàn)（1，1，3/2），向量AE（0，1，-1/2），平面B1DEF的法向量為向量B1E×向量B1F，計(jì)算得法向量為（0，-1/2，1/2），向量AE與法向量的夾角正弦值為sinθ=|0*0+1*(-1/2)+(-1/2)*1/2|/√(0^2+1^2+(-1/2)^2)√(0^2+(-1/2)^2+1/2^2)=1/√3，故直線AE與平面B1DEF所成角的正弦值為1/√3。（2）cosθ=1/√3，故直線AE與平面B1DEF所成角的余弦值為1/√3。（3）tanθ=sinθ/cosθ=1，故直線AE與平面B1DEF所成角的正切值為1。19.解析：（1）平面α：x+y+z=1的法向量為（1，1，1），平面β：x-y+z=0的法向量為（1，-1，1），兩平面夾角θ的余弦值為cosθ=|1*1+1*(-1)+1*1|/√(1^2+1^2+1^2)√(1^2+(-1)^2+1^2)=√3/2，故平面α與平面β的夾角余弦值為√3/2。（2）sinθ=√(1-(-1/2))=√3/2，故平面α與平面β的夾角正弦值為√3/2。（3）tanθ=sinθ/cosθ=√3，故平面α與平面β的夾角正切值為√3。20.解析：（1）三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=1，