第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省佛山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(

)A. B. C. D.2.已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，，，且，則(

)A. B. C. D.3.將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)的解析式為(

)A. B. C. D.4.在中，，，，則(

)A. B. C. D.5.為調(diào)查學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)情況，用簡單隨機(jī)抽樣的方法，了解全校名學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)情況，抽取名學(xué)生作為樣本，第個(gè)學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)情況記為變量值，則表示的含義為(

)A.全校學(xué)生體育達(dá)標(biāo)的人數(shù) B.樣本學(xué)生體育達(dá)標(biāo)的人數(shù)

C.全校學(xué)生體育達(dá)標(biāo)率 D.全校學(xué)生體育達(dá)標(biāo)率的估計(jì)值6.已知中，是的中點(diǎn)，且，，則(

)A. B. C. D.7.如圖，等邊與直線在同一平面，垂直于，，則繞旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的表面積是(

)A.

B.

C.

D.8.已知，，則的最小值為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)，則(

)A.的虛部為 B.

C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限10.佛山公里徒步自年首次推出條路線實(shí)現(xiàn)“五龍匯聚”，參與人數(shù)逐年增加，到年，現(xiàn)場參與人數(shù)為萬人，這不僅是一場全民健身的狂歡，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示下面分別為年佛山公里徒步參與人數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖圖、年佛山公里徒步參與人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖圖，單位：萬人，已知年高明線的參與人數(shù)是年的倍，則(

)

A.年佛山公里徒步總的參與人數(shù)是萬

B.年順德線的參與人數(shù)超過了年南海線與順德線的參與人數(shù)總和

C.五條線的參與人數(shù)年與年相比增加人數(shù)最少的是三水線

D.五條線的參與人數(shù)年與年相比增長率最高的是南海線11.已知在中，，，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則(

)A.若為的垂心，則B.若為的重心，則

C.若為的外心，則D.若為的內(nèi)心，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若，則______．13.若物體在共點(diǎn)力，的作用下產(chǎn)生位移，則合力對物體所做的功為______．14.已知正四面體內(nèi)部有一個(gè)半徑為的小球，則正四面體棱長的最小值為______若小球可以在正四面體內(nèi)任意滾動(dòng)，小球與正四面體所有接觸點(diǎn)的軌跡形成的圖形面積為，則正四面體的棱長為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題分

如圖，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，為中點(diǎn)．

求證：平面；

若，證明：底面為菱形．16.本小題分

某商場停車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：停車時(shí)間在小時(shí)內(nèi)含小時(shí)免費(fèi)，超過小時(shí)的部分，每小時(shí)收費(fèi)元不足小時(shí)的部分按小時(shí)算，如停車時(shí)長為小時(shí)，則按小時(shí)計(jì)算，收費(fèi)元，一天之內(nèi)封頂元為了解該商場停車情況，通過抽樣，獲得了輛車一天內(nèi)的停車時(shí)長單位：小時(shí)，將數(shù)據(jù)按照，，，分成組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

估計(jì)停車費(fèi)為元的頻率；

估計(jì)停車時(shí)長的第百分位數(shù)；

假設(shè)這個(gè)商場節(jié)假日一天有輛車進(jìn)入車場停車，估計(jì)該商場節(jié)假日一天的停車費(fèi)收入．17.本小題分

已知向量，，函數(shù)．

求的解析式；

求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

若在區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．18.本小題分

如圖，梯形中，，，，，將沿翻折至，其中為動(dòng)點(diǎn)．

當(dāng)平面平面時(shí)，

求證：；

求點(diǎn)到平面的距離；

求直線與平面所成角的正弦值的最大值．19.本小題分

已知的面積為，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，點(diǎn)在內(nèi)，且滿足．

證明：；

證明：；

若，，，求及的長度．

答案解析1.【答案】D

【解析】解：52+i=5(2?i)(2+i)(2?i)=5(2?i)5=2?i．2.【答案】A

【解析】解：已知向量e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a=e1?2e2，b=λe1+4e2，且a/?/3.【答案】B

【解析】解：將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移π6個(gè)單位長度得到y(tǒng)=sin2(x+π6)=sin(2x+π3)4.【答案】C

【解析】解：由題意在△ABC中，AB=15，AC=9，cos∠BAC=35，

則由余弦定理可得BC=AB2+AC5.【答案】D

【解析】解：由題意，i=1100xi表示樣本中體育達(dá)標(biāo)的人數(shù)，

∴1100i=1100xi表示全校學(xué)生體育達(dá)標(biāo)率的估計(jì)值．

6.【答案】B

【解析】解：∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD=DC，又∠ADB+∠BDC=180°，∴sin∠ADB=sin∠BDC，

在△ABD中，ADsin45°=ABsin∠ADB，∴AB=ADsin∠ADBsin45°，

在△BCD中，DCsin30°=7.【答案】C

【解析】解：∵直線l過A且與AC垂直，

將△ABC繞直線l旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體如下圖所示：

所得幾何體的表面積由圓臺(tái)的下底面積，側(cè)面積，圓錐的側(cè)面積組成，

由圓臺(tái)的下底半徑為2，可得圓臺(tái)的下底面積為4π，

由圓臺(tái)的上底(圓錐的底面)半徑為1，圓臺(tái)的母線長為2，可得圓臺(tái)的側(cè)面積為(π×1+π×2)×2=6π，

由圓錐的母線長為2，可得圓錐的側(cè)面積為π×1×2=2π，

綜上幾何體的表面積為：4π+6π+2π=12π．

故選：C．

畫出△ABC繞直線l旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的直觀圖，結(jié)合圓臺(tái)和圓錐的側(cè)面積及底面積公式，可得答案．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握圓臺(tái)和圓錐的側(cè)面積及底面積公式是關(guān)鍵，是中檔題．8.【答案】C

【解析】解：由|OA|=2，不妨設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，

設(shè)B(x,y)，C(m,n)，

由OA?OB=2，可得2x=2，則x=1，

由OA?OC=6，可得2m=6，則m=3，

故B(1,y)，C(3,n)，則BC=(2,n?y)，

故|BC|=4+(n?y)2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)n=y時(shí)等號(hào)成立，

則|BC|的最小值為9.【答案】BC

【解析】解：復(fù)數(shù)z=3?4i，則z的虛部為?4，故A錯(cuò)誤；

|z|=32+(?4)2=5，故B正確；

z?=3+4i，故C正確；

z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(3,?4)位于第四象限，故D10.【答案】ABD

【解析】解：∵2025年高明線的參與人數(shù)是2016年的2倍，

則2016年的高明線的參與人數(shù)是1.5萬人，

對于A，根據(jù)扇形圖得到1.50.075=20萬，

∴2016年佛山50公里徙步總的參與人數(shù)是20萬，故A正確；

2016年佛山50公里徒步高明線、三水線、禪城線、順得線、南海線參與人數(shù)分別為：

1.5萬，3萬，4.5萬，5萬，6萬，

2025年佛山50公里徒步高明線、三水線、禪城線、順得線、南海線參與人數(shù)分別為：

3萬，5萬，10萬，12萬，15萬，

對于B，∵12>5+6=11，

2025年順得線的參與人超過了2016年南海線與順德線的參與人數(shù)總和，故B正確；

對于C，五條線的參與人數(shù)2025年與2016年相比增加人數(shù)最少的是高明線，故C錯(cuò)誤；

對于D，南海線的參與人數(shù)2025年與2016年相比增長率為15?66=96=32，

順德線的參與人數(shù)2025年與2016年相比增長率為12?55=75，

禪城線的參與人數(shù)2025年與2016年相比增長率為10?4545=119，

三水線的參與人數(shù)2025年與2016年相比增長率為5?33=23，

高明線的參與人數(shù)2025年與2016年相比增長率為11.【答案】ACD

【解析】解：選項(xiàng)A，由垂心定義可知，AO為BC邊上的高線，

故AO?BC=0，故A正確；

選項(xiàng)B，由O為△ABC的重心，可得AO=13(AB+AC)，

則AO?BC=13(AB+AC)?(AC?AB)

=13(AC2?AB2)=13×(52?33)=163，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，由O為△ABC的外心，

可得AO?AB=12|AB|2，12.【答案】13【解析】解：∵sinα=33，∴cos2α=1?2sin2α=1?2×13=1313.【答案】13

【解析】解：已知共點(diǎn)力F1=(2,?1)，F(xiàn)2=(4,2)，則合力為F=F1+F2=(2,?1)+(4,2)=(6,1)，

又已知位移為3=(2,1)，所以合力對物體所做的功W=F?14.【答案】12

20

【解析】解：為使正四面體棱長最小，則半徑為6的小球與正四面體的所有面均相切(為內(nèi)切球)，

設(shè)此時(shí)的正四面體棱長為a，其高?=a2?(33a)2=63a，

該正四面體的體積V=34a2??=4?34a2?6，

即63a=46，

解得a=12，

所以正四面體棱長的最小值為12；

小球可以在正四面體ABCD內(nèi)任意滾動(dòng)，小球與正四面體ABCD每個(gè)面的所有接觸點(diǎn)形成的軌跡為一正三角形，

該正三角形可視為小球球心在正四面體ABCD對應(yīng)面上的投影，

因此小球任意滾動(dòng)時(shí)，小球球心形成的軌跡為一個(gè)小正四面體，

該小正四面體的面與正四面體ABCD的對應(yīng)面平行，距離為6，

設(shè)其棱長為d，

則34d2=643，

解得d=8，高為63d=863，

令小球與共點(diǎn)A的正四面體ABCD的3個(gè)面都相切時(shí)的球心為O1，點(diǎn)A在平面BCD上的投影為O，

則O1在線段AO上，令O1在平面ACD上的投影為E，連接AE并延長交CD于F，連接OF，

顯然O是正△BCD中心，15.【答案】證明過程見詳解；

證明過程見詳解．

【解析】證明：(1)連接BD，設(shè)AC∩BD=O，連接OM，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，

所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，

又因?yàn)镸為AA1的中點(diǎn)，

所以O(shè)M//A1C，

因?yàn)镺M?平面MBD，A1C?平面MBD，

所以A1C/?/平面MBD；

(2)在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，可得AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

所以AA1⊥BD，

又因?yàn)锽D⊥A1C，AA1∩A1C=A1，

所以BD⊥平面AA1C，

AC?平面AA16.【答案】0.1；

5.5；

8480(元)．

【解析】(1)根據(jù)題意得，停車時(shí)長落在區(qū)間(6,9]的車輛停車費(fèi)為24元，頻率為1?(0.1+0.2+0.25+0.15+0.1+0.1)=0.1；

(2)根據(jù)題意得：停車時(shí)長在[0,5]的頻率為：0.1+0.2+0.25+0.15+0.1=0.8，

停車時(shí)長在[0,6]的頻率為：0.1+0.2+0.25+0.15+0.1+0.1=0.9，

設(shè)停車時(shí)長的第85百分位數(shù)為m，由題知m∈(5,6]，

所以0.1+0.2+0.25+0.15+0.1+(m?5)×0.1=0.85，解得m=5.5，

所以停車時(shí)長的第85百分位數(shù)為5.5；

(3)依題意得一臺(tái)車的停車費(fèi)用的頻率分布表如下：停車時(shí)長[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6](6,9]停車費(fèi)用04812162024頻率0.10.20.250.150.10.10.1每一臺(tái)車的停車費(fèi)用的平均值的估計(jì)值為：0×0.1+4×0.2+8×0.25+12×0.15+16×0.1+20×0.1+24×0.1=10.6(元)，

所以該商場節(jié)假日一天的停車費(fèi)收入的估計(jì)值為10.6×800=8480(元)．

(1)根據(jù)題意即可求解；

(2)根據(jù)頻率分布圖即可求解；

(3)根據(jù)頻率分布表即可求解．

本題考查了頻率分布表，屬于中檔題．17.【答案】f(x)=sin(2x?π3)?32；

π，【解析】(1)因?yàn)閙=(sinx,cosx)，n=(cosx,?3cosx)，

所以f(x)=m?n=sinxcosx?3cos2x

=12sin2x?32(1+cos2x)

=sin(2x?π3)?32；

(2)由(1)知，f(x)的最小正周期為T=2π2=π，

令?π2+2kπ≤2x?π3≤π2+2kπ，解得?π12+kπ≤x≤5π12+kπ，

所以f(x)18.【答案】(i)證明見解答；(ii)2；

10?【解析】(1)(i)證明：∵梯形ABCD中，AB/?/CD，BC⊥AB，∴BC⊥CD，

∵BC=CD=2，∴BD=22，

取AB的中點(diǎn)Q，連接DQ，易知四邊形BCDQ為正方形，

∵AB=4，可知AD=BD=22，

∵AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD.，

∵平面ABD⊥平面BPD，平面ABD∩平面BPD=BD，AD?平面ABD，

∴AD⊥平面BPD，∵BP?平面BPD，

∴AD⊥BP；

(ii)∵AD⊥BP，PD⊥BP，AD∩PD=D，AD，PD?平面APD，

∴BP⊥平面APD，

∴點(diǎn)B到平面APD的距離為BP=2；

(2)取BD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)E，連接EM，PM，

可知PM=2，

由(1)知EM⊥BD，PM⊥BD，

設(shè)P點(diǎn)在平面ABD上的射影為O，則由PB=PD，PO=PO，

可得Rt△POB≌Rt△POD，從而OB=OD，

∴O在直線EM上，

設(shè)直線AP由平面ABD所成的角為θ，

則sinθ=OPAP，

可知O分別在BD左右對稱位置時(shí)，OP長度相同，

而當(dāng)O在BD右側(cè)時(shí)，AP較長，此時(shí)sinθ=OPAP較小，

因此只需考慮O在BD上或在左側(cè)的情況，

過O作OF⊥AD，則OF=DM=2，

設(shè)OM=x∈[0,2)，則DF=x，AF=AD?DF=22?x，

∴AO=AF2+OF2=x2?42x+10，OP=PM2?OM2=2?x2，

∴AP=AO2+OP2=12?42x，

∴sinθ=OPAP=2?x212?4