海淀市二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1≤x≤3}

B.{x|2<x≤3}

C.{x|1<x<3}

D.{x|x>2}

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關(guān)于哪條直線對稱（）

A.x=0

B.x=-1

C.x=1

D.x=-2

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?+a?=20，則a?+a?0等于（）

A.20

B.30

C.40

D.50

4.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)

B.(2,3)

C.(-2,-3)

D.(-2,3)

5.若sinα=1/2，且α在第二象限，則cosα的值為（）

A.√3/2

B.-√3/2

C.1/2

D.-1/2

6.函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于（）

A.75°

B.65°

C.60°

D.45°

8.拋擲兩個均勻的六面骰子，點數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

9.若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)=2，則f(-1)等于（）

A.-2

B.1

C.0

D.2

10.在直角坐標(biāo)系中，點P(a,b)到直線3x-4y+5=0的距離是（）

A.|3a-4b+5|/5

B.|3a+4b+5|/5

C.|3a-4b-5|/5

D.|3a+4b-5|/5

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x3

B.y=1/x

C.y=|x|

D.y=sin(x)

2.在等比數(shù)列{b?}中，若b?·b?=16，則b?的值可能為（）

A.2

B.4

C.8

D.16

3.過點(1,2)的直線與圓(x-1)2+(y+1)2=4相切，則該直線的方程可能為（）

A.x=1

B.y=2

C.3x-4y+5=0

D.4x+3y-10=0

4.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則log?(b)>log?(a)

C.若sinα=sinβ，則α=β

D.若cosα=cosβ，則α=2kπ+β（k∈Z）

5.從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中（去除大小王）隨機抽取兩張，下列事件中，是互斥事件的有（）

A.抽到兩張紅桃與抽到兩張黑桃

B.抽到兩張紅桃與抽到一張紅桃一張黑桃

C.抽到兩張同花色牌與抽到兩張不同花色牌

D.抽到兩張同花色牌與抽到一張紅桃一張黑桃

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復(fù)數(shù)z滿足(z+2i)/(1-3i)是實數(shù)，且|z|=√5，則z等于________。

2.函數(shù)f(x)=x3-3x+1的極小值是________。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=√7，c=2，則cosB等于________。

4.執(zhí)行以下程序段后，變量s的值是i=1；s=0；whilei<=5dos=s+i*i；i=i+1；endwhile；________。

5.一個圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則它的側(cè)面積是________cm2。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=(x-1)/(x+2)，求f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。

2.解不等式組：{2x-1>x+1;x-3≤0}。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=5，b=7，cosC=1/2，求c的長度。

4.求極限：lim(x→∞)[(3x2+2x-1)/(4x2-3x+2)]。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?=n2+n，求它的通項公式a?。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B表示既屬于A又屬于B的元素構(gòu)成的集合。A=[1,3]，B=(2,∞)，因此A∩B=(2,3]。

2.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像是y=log?(u)向左平移1個單位得到的。y=log?(u)的圖像關(guān)于y=x對稱，因此f(x)的圖像關(guān)于x=-1對稱。

3.C

解析：設(shè)等差數(shù)列{a?}的首項為a?，公差為d。則a?=a?+2d，a?=a?+7d。由a?+a?=20，得2a?+9d=20。a?=a?+4d，a??=a?+9d。a?+a??=(a?+4d)+(a?+9d)=2a?+13d。將2a?+9d=20代入，得a?+a??=20+4d=20+(2a?+9d)/2.5=20+8=28。這里推導(dǎo)有誤，正確方法為：由2a?+9d=20，得a?+4.5d=10。a?+a??=(a?+4d)+(a?+9d)=2a?+13d=2(a?+4.5d)+2.5d=20+2.5d=30。故選C。

4.A

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2。將方程x2+y2-4x+6y-3=0配方，得(x-2)2+(y+3)2=22+32+3=4+9+3=16。圓心坐標(biāo)為(h,k)=(2,-3)。

5.D

解析：sinα=1/2，且α在第二象限，則α=π-π/6=5π/6。cos(5π/6)=-cos(π/6)=-√3/2。

6.C

解析：g(x)=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上點x到點1和點-2的距離之和。當(dāng)-2≤x≤1時，g(x)=-(x-1)+(x+2)=3。當(dāng)x<-2時，g(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1，遞減，最小值在x=-2處為|-2(-2)-1|=3。當(dāng)x>1時，g(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1，遞增，最小值在x=1處為|2(1)+1|=3。故最小值為3。

7.A

解析：三角形內(nèi)角和為180°。A+B+C=180°。60°+45°+C=180°。C=180°-105°=75°。

8.A

解析：拋擲兩個六面骰子，總共有6×6=36種可能的結(jié)果。點數(shù)之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種。概率為6/36=1/6。

9.A

解析：f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)。f(-1)=-f(1)=-2。

10.A

解析：點P(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)。將直線3x-4y+5=0和點P(a,b)代入，得d=|3a-4b+5|/√(32+(-4)2)=|3a-4b+5|/√(9+16)=|3a-4b+5|/5。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。

A.y=x3是奇函數(shù)，(-x)3=-x3=-x3，滿足。

B.y=1/x是奇函數(shù)，1/(-x)=-1/x=-1/x，滿足。

C.y=|x|不是奇函數(shù)，|-x|=|x|≠-|x|，不滿足。

D.y=sin(x)是奇函數(shù)，sin(-x)=-sin(x)=-sin(x)，滿足。

故選A,B,D。

2.A,B,C,D

解析：設(shè)等比數(shù)列{b?}的首項為b?，公差為q。則b?=b?q，b?=b?q?。由b?·b?=16，得(b?q)(b?q?)=b?2q?=16。b?=b?q?。b?2=b?2q?=16，即b?2=16。解得b?=±4。所以A,B,C,D都可能。

3.A,C

解析：直線過點(1,2)，代入選項檢驗。

A.x=1，過(1,2)，可能。

B.y=2，不過(1,2)，不可能。

C.3x-4y+5=0，3(1)-4(2)+5=3-8+5=0，過(1,2)，可能。

D.4x+3y-10=0，4(1)+3(2)-10=4+6-10=0，過(1,2)，可能。這里需要判斷相切。圓心(1,-1)，半徑√4=2。直線4x+3y-10=0到圓心(1,-1)的距離d=|4(1)+3(-1)-10|/√(42+32)=|4-3-10|/√(16+9)=|-9|/√25=9/5。d=9/5≠2，不過切。故D不可能。應(yīng)選A,C。

4.D

解析：

A.若a>b，則a2>b2不一定成立。例如a=1,b=-2，a>b但a2=1>b2=4。

B.若a>b，則log?(b)>log?(a)不一定成立。例如a=1/2,b=3，a>b但log(1/2)(3)=-log?(3)<-1=log(1/2)(1/2)=log?(2)。

C.若sinα=sinβ，則α=β不一定成立。例如sin(π/6)=sin(5π/6)=1/2，但π/6≠5π/6。

D.若cosα=cosβ，則α=2kπ+β（k∈Z）成立。這是因為cos函數(shù)的周期為2π，圖像關(guān)于y軸對稱。

故選D。

5.A,B

解析：互斥事件是指兩個事件不可能同時發(fā)生。

A.抽到兩張紅桃與抽到兩張黑桃，不可能同時發(fā)生，互斥。

B.抽到兩張紅桃與抽到一張紅桃一張黑桃，不可能同時發(fā)生，互斥。

C.抽到兩張同花色牌（紅桃或黑桃或方片或梅花）與抽到兩張不同花色牌（紅桃黑桃或紅桃方片或紅桃梅花等），可能同時發(fā)生，例如抽到兩張紅桃，屬于同花色牌，也屬于不同花色牌（與黑桃、方片、梅花不同花色）。不互斥。

D.抽到兩張同花色牌與抽到一張紅桃一張黑桃，可能同時發(fā)生，例如抽到的是紅桃和黑桃，那么同花色牌為空（未抽到兩張同花色），但抽到一張紅桃一張黑桃發(fā)生。不互斥。

故選A,B。

三、填空題答案及解析

1.-1+2i

解析：設(shè)z=a+bi。則(z+2i)/(1-3i)=(a+bi+2i)/(1-3i)=(a+(b+2)i)/(1-3i)。要使該表達式為實數(shù)，虛部必須為0。即(b+2)i-3ai=0。i(2+b-3a)=0。因為i≠0，所以2+b-3a=0。b=3a-2。|z|=√(a2+b2)=√5。將b=3a-2代入，得|z|=√(a2+(3a-2)2)=√(a2+9a2-12a+4)=√(10a2-12a+4)=√5。10a2-12a+4=5。10a2-12a-1=0。解得a=（12±√(144+40))/20=(12±√184)/20=(12±2√46)/20=3±√46/10。因為|z|=√5，a應(yīng)該為實數(shù)，所以取a=3/10+√46/10。b=3(3/10+√46/10)-2=9/10+3√46/10-20/10=3√46/10-11/10。z=a+bi=(3/10+√46/10)+(3√46/10-11/10)i。這個結(jié)果看起來復(fù)雜，檢查原題是否有誤。更簡單的方法是考慮z+2i=α(1-3i)（α為實數(shù)）。則z=α-3αi+2i=α+(2-3α)i。所以a=α，b=2-3α。|z|=√(α2+(2-3α)2)=√(α2+4-12α+9α2)=√(10α2-12α+4)=√5。10α2-12α+4=5。10α2-12α-1=0。α=(12±√(144+40))/20=(12±√184)/20=(12±2√46)/20=3±√46/10。取α=3/10+√46/10。z=a+bi=(3/10+√46/10)+(2-3(3/10+√46/10))i=(3/10+√46/10)+(2-9/10-3√46/10)i=(3/10+√46/10)+(20/10-9/10-3√46/10)i=(3/10+√46/10)+(11/10-3√46/10)i=3/10+√46/10+11/10i-3√46/10i=-1+2i。另一種取α=3/10-√46/10，會得到負(fù)的模長，不合理。所以z=-1+2i。

2.1/3

解析：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得3x2-3=0，x2=1，x=±1。f''(x)=6x。f''(1)=6>0，x=1為極小值點。f''(-1)=-6<0，x=-1為極大值點。f(1)=13-3(1)+1=1-3+1=-1。f(-1)=(-1)3-3(-1)+1=-1+3+1=3。極小值為-1。檢查x=1/3：f'(1/3)=3(1/3)2-3=3(1/9)-3=1/3-3=-8/3。所以x=1/3不是極值點。極小值是f(1)=-1。

3.1/3

解析：cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+22-72)/(2*3*2)=(9+4-49)/(12)=-36/12=-3。這里計算錯誤，72=49，9+4=13，13-49=-36。-36/12=-3。cosB應(yīng)為負(fù)數(shù)。三角形中邊長為正，所以cosB=-3不合理。檢查題目條件，a=3,b=√7,c=2。計算b2=a2+c2否？7=9+4=13，不成立。所以a=3,b=√7,c=2不能構(gòu)成三角形。題目可能有誤。假設(shè)題目意圖是已知a=3,b=√7,c=2，求cosC。cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(32+7-4)/(2*3*√7)=(9+3)/6√7=12/6√7=2/√7=2√7/7。這里假設(shè)題目求的是cosC。cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+22-(√7)2)/(2*3*2)=(9+4-7)/(12)=6/12=1/2。這里計算b2=a2+c2否？7=9+4=13，不成立。題目條件有誤。如果題目條件無誤，a=3,b=√7,c=2不能構(gòu)成三角形。如果題目求cosC，則cosC=2√7/7。如果題目求cosB，則cosB=1/2。假設(shè)題目本意是求cosB=1/2。

4.3/4

解析：lim(x→∞)[(3x2+2x-1)/(4x2-3x+2)]=lim(x→∞)[(3+2/x-1/x2)/(4-3/x+2/x2)]。因為x→∞，所以2/x,1/x2,3/x,2/x2→0。極限=3/4。

5.15π

解析：圓錐的側(cè)面積公式S=πrl。r=3cm，l=√(r2+h2)=√(32+h2)=√(9+h2)。題目未給h，但l=5cm?！?9+h2)=5。9+h2=25。h2=16。h=4cm。S=π(3)(5)=15πcm2。

四、計算題答案及解析

1.解：f(0)=(0-1)/(0+2)=-1/2。f(1)=(1-1)/(1+2)=0/3=0。f(2)=(2-1)/(2+2)=1/4。f(3)=(3-1)/(3+2)=2/5。f(4)=(4-1)/(4+2)=3/6=1/2。f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-1/2+0+1/4+2/5+1/2。通分，分母為2×4×5=40。=-20/40+0+10/40+16/40+20/40=(-20+10+16+20)/40=26/40=13/20。

2.解：解不等式組：

①2x-1>x+1=>2x-x>1+1=>x>2。

②x-3≤0=>x≤3。

所以不等式組的解集是{x|x>2}∩{x|x≤3}={x|2<x≤3}。

3.解：由余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)。a=5,b=7,c=2。cosC=(52+72-22)/(2*5*7)=(25+49-4)/70=70/70=1。這里cosC=1，意味著角C=0°，即點A、B、C共線，不能構(gòu)成三角形。題目條件有誤，a=5,b=7,c=2不能構(gòu)成三角形。如果假設(shè)題目求的是cosB，則cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(52+22-72)/(2*5*2)=(25+4-49)/20=-20/20=-1。cosB=-1，意味著角B=π，即點A、C重合，不能構(gòu)成三角形。題目條件有誤。如果假設(shè)題目本意是求cosC=1，則C=0°。如果假設(shè)題目本意是求cosB=-1，則B=π。均不合理。假設(shè)題目條件有誤，無法解答。如果題目意圖是求a2+b2-c2的值，則為70。

4.解：lim(x→∞)[(3x2+2x-1)/(4x2-3x+2)]。將分子分母同除以x2，得：

lim(x→∞)[(3+2/x-1/x2)/(4-3/x+2/x2)]。

當(dāng)x→∞時，2/x,1/x2,3/x,2/x2→0。所以極限=(3+0-0)/(4-0+0)=3/4。

5.解：數(shù)列{a?}的前n項和為S?=n2+n。求通項公式a?。

當(dāng)n=1時，a?=S?=12+1=2。

當(dāng)n≥2時，a?=S?-S???=(n2+n)-((n-1)2+(n-1))=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。

驗證n=1時是否成立：2n=2(1)=2。與a?=S?=2一致。

所以通項公式a?=2n。

知識點總結(jié)：

本試卷主要涵蓋以下數(shù)學(xué)知識：

1.集合運算：交集、并集、補集。

2.函數(shù)性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性、定義域、值域、圖像變換。

3.數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、性質(zhì)。

4.圓的方程與性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程、圓心、半徑、直線與圓的位置關(guān)系（相交、相切、相離）、點到直線的距離公式。

5.三角函數(shù)：三角函數(shù)的