廣東專插本應(yīng)用數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在微積分中，極限的定義是函數(shù)f(x)當(dāng)x趨近于某一點(diǎn)a時，f(x)趨近于某個確定的常數(shù)L，這個常數(shù)L稱為f(x)在x趨近于a時的極限。下列說法正確的是：

A.極限存在當(dāng)且僅當(dāng)左右極限存在且相等

B.極限存在當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)

C.極限存在當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)

D.極限存在與函數(shù)在該點(diǎn)是否連續(xù)無關(guān)

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2在區(qū)間[-2,2]上的最大值是：

A.2

B.8

C.10

D.12

3.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，這個定理稱為：

A.微積分基本定理

B.中值定理

C.泰勒定理

D.羅爾定理

4.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的泰勒展開式的前三項(xiàng)是：

A.1+x+x^2/2

B.1-x+x^2/2

C.1+x-x^2/2

D.1-x-x^2/2

5.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在至少一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0，這個定理稱為：

A.微積分基本定理

B.中值定理

C.泰勒定理

D.羅爾定理

6.函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[0,π]上的積分值是：

A.1

B.0

C.-1

D.2

7.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界，這個性質(zhì)稱為：

A.有界性定理

B.連續(xù)性定理

C.中值定理

D.羅爾定理

8.函數(shù)f(x)=ln(x)在區(qū)間[1,e]上的積分值是：

A.1

B.e

C.lne-1

D.0

9.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)在(a,b)內(nèi)存在且連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必定存在原函數(shù)，這個定理稱為：

A.微積分基本定理

B.中值定理

C.泰勒定理

D.羅爾定理

10.函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的定積分的幾何意義是：

A.一個三角形的面積

B.一個梯形的面積

C.一個矩形的面積

D.一個拋物線下的面積

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增的是：

A.y=x^2

B.y=e^x

C.y=ln(x)

D.y=sin(x)

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)可導(dǎo)的是：

A.y=|x|

B.y=x^3

C.y=1/x

D.y=sin(x)

3.下列說法中，正確的有：

A.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

B.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)

C.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f'(x0)=0

D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，則f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)

4.下列級數(shù)中，收斂的有：

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(1/n^2)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2

5.下列說法中，正確的有：

A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必有界

B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必有原函數(shù)

C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'(ξ)=0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的極小值點(diǎn)是_______。

2.函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[0,π/2]上的積分值是_______。

3.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=0，則稱點(diǎn)x0是f(x)的_______。

4.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n!)的和是_______。

5.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的泰勒展開式的前三項(xiàng)是_______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算極限lim(x→0)(sin(3x)/x)。

2.計算不定積分∫(x^2+2x+1)dx。

3.計算定積分∫(0to1)(x^3-3x^2+2)dx。

4.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的所有極值點(diǎn)。

5.判斷級數(shù)∑(n=1to∞)(1/(n^2+1))是否收斂。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。

2.B

解析：f(x)在[-2,2]上的駐點(diǎn)為x=1，f(-2)=-14，f(1)=0，f(2)=0，故最大值為8。

3.B

解析：這是微積分中值定理的表述。

4.A

解析：e^x的泰勒展開式為1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，前三項(xiàng)為1+x+x^2/2。

5.D

解析：這是羅爾定理的表述。

6.B

解析：∫(0toπ)sin(x)dx=-cos(x)|_(0)^(π)=-cos(π)-(-cos(0))=2。

7.A

解析：這是有界性定理的表述，也稱連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有界。

8.C

解析：∫(1toe)ln(x)dx=xln(x)-x|_(1)^(e)=e-1-(1-1)=lne-1=1。

9.A

解析：這是微積分基本定理的第一部分的表述，即連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。

10.D

解析：定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，這里函數(shù)為拋物線。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,D

解析：y=x^2在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增；y=e^x在(-∞,+∞)單調(diào)遞增；y=ln(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增；y=sin(x)在(-∞,+∞)非單調(diào)。

2.B,D

解析：y=|x|在x=0處不可導(dǎo)；y=x^3處處可導(dǎo)；y=1/x在x=0處無定義；y=sin(x)處處可導(dǎo)。

3.A,C

解析：可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)；取得極值不一定可導(dǎo)（如y=|x|在x=0處）；可導(dǎo)函數(shù)取極值時，導(dǎo)數(shù)必為0。

4.B,C,D

解析：p-級數(shù)當(dāng)p>1時收斂，p=1時發(fā)散；交錯級數(shù)當(dāng)項(xiàng)的絕對值單調(diào)遞減且趨于0時收斂；y=(-1)^n/n^2也是交錯級數(shù)，且滿足收斂條件。

5.A,B,C

解析：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有界；連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)；連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，由介值定理，存在ξ使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故x=1為極小值點(diǎn)。

2.1

解析：∫(0toπ/2)sin(x)dx=-cos(x)|_(0)^(π/2)=-cos(π/2)-(-cos(0))=0-(-1)=1。

3.極值點(diǎn)

解析：這是極值點(diǎn)的定義。

4.e

解析：級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n!)是e^x展開式中x=1的值，即e。

5.1+x+x^2/2

解析：同選擇題第4題解析。

四、計算題答案及解析

1.3

解析：利用等價無窮小lim(x→0)(sin(3x)/x)=lim(x→0)(3x/x)=3。

2.x^3/3+x^2+x+C

解析：∫(x^2+2x+1)dx=∫x^2dx+∫2xdx+∫1dx=x^3/3+x^2+x+C。

3.2/3

解析：∫(0to1)(x^3-3x^2+2)dx=[x^4/4-x^3+2x]|_(0)^(1)=(1/4-1+2)-(0)=2/3。

4.x=1

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故x=1為極小值點(diǎn)，x=2為極大值點(diǎn)。

5.收斂

解析：比較判別法，與p-級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n^2)比較，p=2>1，故原級數(shù)收斂。

知識點(diǎn)分類和總結(jié)

1.極限與連續(xù)：極限的定義，極限的性質(zhì)，極限的計算（代入法、洛必達(dá)法則、等價無窮?。瘮?shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值定理、介值定理）。

2.一元函數(shù)微分學(xué)：導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義，導(dǎo)數(shù)的計算（基本公式、運(yùn)算法則、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)），高階導(dǎo)數(shù)，微分的定義與計算，羅爾定理、中值定理、泰勒定理及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，曲線的凹凸性與拐點(diǎn)。

3.一元函數(shù)積分學(xué)：不定積分的概念與性質(zhì)，基本積分公式，不定積分的計算（換元積分法、分部積分法），定積分的概念與幾何意義，定積分的性質(zhì)，定積分的計算（牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法），反常積分。

4.級數(shù)：數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與收斂性，正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法（比較判別法、比值判別法、根值判別法），交錯級數(shù)收斂性的判別法（萊布尼茨判別法），絕對收斂與條件收斂。

各題型所考察學(xué)生的知識點(diǎn)詳解及示例

1.選擇題：主要考察學(xué)生對基本概念、定理、性質(zhì)的掌握程度和理解能力。例如，極限的定義、性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性，級數(shù)的收斂性判別法等。

2.