第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣西河池市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.z與z?是共軛復(fù)數(shù)，已知復(fù)數(shù)z=3?ii，則A.?1+3i B.?1?3i C.1?3i D.1+3i2.某校舉辦了一次環(huán)境保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽，為了解學(xué)生的環(huán)境保護(hù)知識(shí)掌握程度，學(xué)校采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從全校5000名學(xué)生中抽取了一個(gè)容量為100的樣本，已知樣本的成績(jī)?nèi)糠植荚趨^(qū)間[45,95]內(nèi)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則頻率分布直方圖中m=(

)A.0.3 B.0.03 C.0.25 D.0.0253.下列向量的概念錯(cuò)誤的是(

)A.長(zhǎng)度為0的向量是零向量，零向量的方向是任意的

B.零向量和任何向量都是共線向量

C.相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等

D.a//b，b4.在正方體ABCD?A1B1C1D1A.π6 B.π4 C.π35.如圖所示，已知在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M.設(shè)AB=a,AD=bA.AC=a?b

B.AF=a6.已知樣本空間Ω={a,b,c,d}，事件A={a,b}，事件B={a,c}，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是(

)A.P(A)=12 B.P(B)=12

C.事件A與事件B獨(dú)立 D.事件7.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB=π2,AC=4,BC=2,AA1A.4+25

B.42+2

8.某市圓形花圃，現(xiàn)要均分成24塊，種植24種不同花卉，工匠計(jì)劃將花圃按圖1方式分割.先將花圃均分成8塊，在按照?qǐng)D2將每個(gè)18角花圃近似的均分成三塊(三部分面積近似均等)，從弧AC的中點(diǎn)B出發(fā)，左右對(duì)稱分割，已知圖2中DE=DF，EB=FB，BD=AD=CD=r，則DE的長(zhǎng)度最接近(sinπ8≈0.4,π≈3.1)A.12r B.13r C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)α，β為不重合的兩平面，n，m為不重合的兩直線，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.m⊥α，m⊥n，則n⊥α

B.m//α，n//α，m?β，n?β，m∩n=P，則β//α

C.m//α，α//β，則m//β

D.m⊥α，n⊥α，則m//n10.已知復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=2?2iA.|z1+z2|=10 B.z1?z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第三象限11.在日常生活中，向量無(wú)處不在，如圖所示的情境，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包.假設(shè)行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個(gè)拉力分別為F1,F2，且|F1|=|F2|,A.θ越大越費(fèi)力，θ越小越省力

B.當(dāng)θ=π3時(shí)，|F1|=|G|

C.當(dāng)θ=π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,x),b=(?4,x)，若a⊥b，則13.3+i是關(guān)于x的方程x2?6x+m=0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)m=______．14.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為8，E為棱BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作正四面體ABCD外接球的截面，則截面面積的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a(sinA+sinB)=(c?b)(sinC+sinB)．

(1)求角C；

(2)若c=3，△ABC的面積為334，求△ABC16.(本小題15分)

2025年NBA選秀大會(huì)，我國(guó)選手楊瀚森將參加選秀，為備戰(zhàn)選秀，運(yùn)動(dòng)員參加了聯(lián)合試訓(xùn)，其中甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員開(kāi)展了隊(duì)內(nèi)三分投籃對(duì)抗賽.在對(duì)抗賽中兩人每輪投籃10次，共進(jìn)行10輪，每輪命中的成績(jī)(個(gè)數(shù))如下：甲476549107810乙7586797678(1)求甲運(yùn)動(dòng)員的樣本數(shù)據(jù)第75百分位數(shù)；

(2)分別計(jì)算這兩位運(yùn)動(dòng)員每輪投籃成績(jī)的平均數(shù)和方差；

(3)根據(jù)第二問(wèn)結(jié)果回答下列問(wèn)題：甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員誰(shuí)的發(fā)揮更穩(wěn)定，為什么？17.(本小題15分)

一個(gè)不透明的袋中裝有除了顏色外大小、質(zhì)地均一致的4個(gè)小球，其中3個(gè)紅球，1個(gè)白球，設(shè)計(jì)了兩個(gè)摸球游戲，其規(guī)則如表所示：游戲1游戲2摸球方式不放回依次摸2球有放回依次摸2球獲勝規(guī)則若摸出2個(gè)紅球，則甲獲勝，否則乙獲勝(1)寫(xiě)出游戲1與游戲2的樣本空間，并分別求出在游戲1與游戲2中甲獲勝的概率；

(2)甲與乙兩人玩游戲1，約定每局勝利的人得2分，否則得0分，先得到4分的人獲得比賽勝利，則游戲結(jié)束.每局游戲結(jié)果互不影響，求甲獲得比賽勝利的概率．18.(本小題17分)

如圖，已知三棱錐P?ABC中，平面ABC//平面A1B1C1，BC⊥平面PAB，N為AB的中點(diǎn)，△PAB為等邊三角形，A1為PA中點(diǎn)，AB=BC=4．

(1)證明：PN⊥平面ABC；

(2)求直線AB1與平面19.(本小題17分)

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)f(x)=asinx+bcosx，稱向量OM=(a,b)為函數(shù)f(x)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)f(x)為向量OM的相伴函數(shù)．

(1)記向量ON=(2,2)的相伴函數(shù)為f(x)，若當(dāng)f(x)=2且x∈(0,π)時(shí)，求x的值；

(2)設(shè)g(x)=3cos(x+π3)+sin(x+π3)(x∈R)，試求函數(shù)g(x)的相伴特征向量OM答案解析1.【答案】A

【解析】解：由題意可知，z=3?ii=(3?i)ii2=3i+1?1=?1?3i，

所以z?2.【答案】B

【解析】解：由題意可得(0.01×2+0.015+0.035+m)×10=1，

解得m=0.03．

故選：B．

根據(jù)所有矩形面積之和為1列式求出m的值．

本題考查由頻率分布直方圖求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A，零向量的長(zhǎng)度為0，且方向是任意的，故A正確，

對(duì)于B，規(guī)定零向量與任意向量共線，故B正確，

對(duì)于C，相等向量的模長(zhǎng)和方向都相同，一定是共線向量，但共線向量是方向相同或者相反的兩個(gè)向量，模長(zhǎng)不一定相等，故共線向量不一定相等，C正確，

對(duì)于D，對(duì)于a//b，b/?/c，當(dāng)b為零向量時(shí)，此時(shí)不一定能得到a/?/c，故D錯(cuò)誤．

故選：4.【答案】C

【解析】解：連結(jié)A1D，BD，則A1D/?/B1C，

所以∠DA1B為異面直線A1B與B1C所成的角，

在正方體中，因?yàn)椤鰽1BD為正三角形，

所以∠DA1B=π3．

5.【答案】A

【解析】解：在正方形ABCD中，有AC=AB+AD=a+b，故A錯(cuò)誤；

由F為BC的中點(diǎn)，可得AF=AB+BF=a+12b，故B正確；

由E為AB的中點(diǎn)，可得DE=AE?AD=12a?b，故C正確；

6.【答案】D

【解析】解：樣本空間Ω={a,b,c,d}，事件A={a,b}，事件B={a,c}，

對(duì)于A，P(A)=24=12，故A正確；

對(duì)于B，P(B)=24=12，故B正確；

對(duì)于C，∵A∩B={a}，∴P(AB)=14=P(A)P(B)，∴事件A與事件B獨(dú)立，故C正確；

對(duì)于D，∵事件A與事件B有公共的樣本點(diǎn){a}，∴事件B與事件B不是互斥事件，故D錯(cuò)誤．

7.【答案】D

【解析】解：將平面ABC、平面AA1C1C沿AC翻折至同一平面，如下圖所示：

則當(dāng)A1、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，A1D+DB取最小值，

因?yàn)锳1C1=CC1=4，BC=2，且∠ACB=∠ACC1=90°，

延展后，B、C、C1共線，所以BC1=2+4=6，A1C1=4，∠A1C1B=90°，

8.【答案】B

【解析】解：由已知得，AD=BD=CD=r，設(shè)DF=DE=x，

則S四邊形DEFB=13×S扇形ADC=13×18πr2=124πr9.【答案】BD

【解析】解：已知α，β為不重合的兩平面，n，m為不重合的兩直線，

對(duì)于A選項(xiàng)，若m⊥α，m⊥n，

則n/?/α或n?α，

A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若m/?/α，n/?/α，m?β，n?β，m∩n=P，

則β/?/α，

B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若m/?/α，α/?/β，

則m//β或m?β，

C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，若m⊥α，n⊥α，

由線面垂直的性質(zhì)可得m/?/n，

D對(duì)．

故選：BD．

根據(jù)線面、面面的位置關(guān)系可判斷AC選項(xiàng)；利用面面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；利用線面垂直的性質(zhì)定理可判斷D選項(xiàng)．

本題考查了線面位置關(guān)系，線線位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．10.【答案】ACD

【解析】解：復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=2?2i，

對(duì)于A，|z1+z2|=|3?i|=10，故A正確，

對(duì)于B，z1?z2=?1+3i，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(?1,3)，位于第二象限，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C，z3=z1×z2=(1+i)(2?2i)=2?2i+2i?211.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于A，由|G|=|F1+F2|為定值，

得|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cosθ=2|F1|2(1+cosθ)，

解得|F1|2=|G|22(1+cosθ)；

由題意知θ∈(0,π)時(shí)，y=cosθ單調(diào)遞減，且|G|2為定值，

由符合函數(shù)的單調(diào)性可得|F1|2單調(diào)遞增，

即12.【答案】±2

【解析】解：由題意可得，a?b=?4+x2=0，解得x=±2．

故答案為：±2．13.【答案】10

【解析】解：3+i是關(guān)于x的方程x2?6x+m=0的一個(gè)根，

則3?i也是關(guān)于x的方程x2?6x+m=0的一個(gè)根，

由韋達(dá)定理，m1=(3+i)(3?i)=10．

故答案為：10．

根據(jù)已知條件，推得3?i也是關(guān)于14.【答案】16π

【解析】解：如圖，

由對(duì)稱性可知其外接球的球心在高PA所在的直線上，

設(shè)球心為O，

則DP=12×BCsinπ3=833，

AP=AD2?DP2=863，

EP=ED?DP=32BC?833=433，

設(shè)外接球的半徑為R，則AO=OD=R，

故R2=(AP?R)2+DP2，

代入AP15.【答案】C=2π3；

3+2【解析】(1)因?yàn)閍(sinA+sinB)=(c?b)(sinC+sinB)，

所以a(a+b)=(c?b)(c+b)=c2?b2，

整理可得a2+b2?c2=?ab，

所以cosC=a2+b2?c22ab=?ab2ab=?12，

又0<C<π，

所以C=2π3；

(2)由題意可得S△ABC=12absinC=34ab=16.【答案】9；

甲的平均數(shù)為7，方差為4.6，乙的平均數(shù)為7，方差為1.2；

乙發(fā)揮的更加穩(wěn)定，理由見(jiàn)解析．

【解析】(1)甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)從小到大排列為4，4，5，6，7，7，8，9，10，10，

因?yàn)?0×75%=7.5，

所以甲運(yùn)動(dòng)員的樣本數(shù)據(jù)第75百分位數(shù)為9；

(2)由題意可知，甲的平均數(shù)為4+4+5+6+7+7+8+9+10+1010=7，

所以方差為s12=110[(4?7)2+(7?7)2+(6?7)2+(5?7)2+(4?7)2+(9?7)2+(10?7)2+(7?7)2+(8?7)2+(10?717.【答案】P(A1)=12，P(A【解析】(1)根據(jù)題意，記三個(gè)紅球?yàn)?，2，3，記白球?yàn)閣，用(x,y)表示兩次摸球的情況，

記游戲1與游戲2的樣本空間分別為Ω1，Ω2

Ω1={(1,2)，(1,3)，(1,w)，(2,1)，(2,3)，(2,w)，(3,1)，(3,2)，(3,w)，(w,1)，(w,2)，(w,3)}

Ω2={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,w)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,w)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,w)，(w,1)，(w,2)，(w,3)，(w,w)}

記A1=“在游戲1中甲獲勝”，記A2=“在游戲2中甲獲勝”，

在游戲1中甲獲勝，即甲摸出2個(gè)紅球，

則A1={(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，

故P(A1)=n(A1)n(Ω1)=612=12，

在游戲2中甲獲勝，即甲摸出2個(gè)紅球，

則A2={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}，

故P(A2)=n(A2)n(Ω2)=916，

(2)根據(jù)題意，記18.【答案】證明見(jiàn)解析；

π6；

3【解析】(1)證明：因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形，N為AB的中點(diǎn)，

所以PN⊥AB，

因?yàn)锽C⊥平面PAB，PN?平面PAB，

所以PN⊥BC，

因?yàn)锳B∩BC=B，AB、BC?平面ABC，

故PN⊥平面ABC．

(2)取線段BN的中點(diǎn)E，連接B1E，如下圖所示：

因?yàn)锽1、E分別為PB、BN的中點(diǎn)，所以B1E//PN，

因?yàn)镻N⊥平面ABC，

所以B1E⊥平面ABC，

故∠BAB1為直線AB1與平面ABC所成角，

因?yàn)槠矫鍭BC/?/平面A1B1C1，平面PAB∩平面ABC=AB，

平面PAB∩平面A1B1C1=A1B1，所以A1B1/?/AB，

因?yàn)锳1為PA的中點(diǎn)，故B??1為PB的中點(diǎn)，

又因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形，故∠BAB1=π6，

因此，直線AB1與平面ABC所成角為π6．

(3)連接C