第33頁(yè)（共33頁(yè)）2025年新高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）學(xué)困生專題復(fù)習(xí)《概率》一．選擇題（共8小題）1．（2025春?駐馬店月考）已知一個(gè)古典概型試驗(yàn)中，樣本空間包含10個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含3個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率為（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.42．（2025春?沈陽(yáng)期中）設(shè)事件A＝{1，2}，事件B＝{1，3}，已知事件A與事件B相互獨(dú)立，則樣本空間Ω可能是下列哪個(gè)選項(xiàng)（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5，6}3．（2024秋?四川校級(jí)期末）高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考成績(jī)，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，就這個(gè)問題來說，下列說法中正確的是（）A．100名學(xué)生是個(gè)體 B．樣本容量是100 C．每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本 D．1000名學(xué)生是樣本4．（2025?陽(yáng)西縣模擬）投籃測(cè)試中，每人投2次，至少投中1次才能通過測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為（）A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.945．（2025春?鄭州月考）某人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，最多投籃4次，命中一次就停止投籃，記投籃次數(shù)為X，則{X＝3}表示的試驗(yàn)結(jié)果是（）A．第2次投籃命中 B．第3次投籃未命中 C．前3次投籃均未命中 D．前2次投籃均未命中，第3次投籃命中6．（2024秋?成都期末）從1～9這9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字為1的概率是（）A．19 B．29 C．79 7．（2025?陜西二模）已知甲箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球（所有球除顏色外完全相同），某學(xué)生先從甲箱中隨機(jī)取出2個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出1個(gè)球，記“從乙箱中取出的球是黑球”為事件B，則P（B）＝（）A．114 B．17 C．518 8．（2025?孝感三模）拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（）A．A?B B．A＝B C．A∪B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3 D．A∩B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?青島月考）已知事件A，B，P(A)=12A．P(AB)=18 B．P（B|A）=23 （多選）10．（2025春?濟(jì)寧校級(jí)期中）設(shè)A、B為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(B)=13A．P(A+B)=34 B．P(（多選）11．（2025春?遼寧期中）某人從裝有3個(gè)白球和2個(gè)紅球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，事件A表示取出的2個(gè)球都是白球，事件B表示取出的2個(gè)球都是紅球，事件C表示取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球，事件D表示取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球，則下列事件是對(duì)立事件的是（）A．A與B B．A與D C．B與C D．C與D（多選）12．（2025春?駐馬店月考）已知一個(gè)古典概型試驗(yàn)中，事件A和事件B互斥，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.3．則（）A．P（A∪B）＝0.7 B．P（A∩B）＝0 C．P(A∩B)=0.3 D．P（三．填空題（共4小題）13．（2025春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）甲、乙兩人獨(dú)立地攻克一道難題，已知兩人能攻克的概率分別是13和25，則該題被攻克的概率為14．（2024秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）已知事件A與事件B互相獨(dú)立，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，則P（A∩B）＝．15．（2025春?定海區(qū)校級(jí)期中）甲、乙、丙三人進(jìn)行扳手腕比賽，累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者淘汰，甲、乙兩人先進(jìn)行比賽，丙輪空，每次比賽的勝者與輪空者進(jìn)行比賽，負(fù)者輪空，直到有1人被淘汰，剩余兩人繼續(xù)比賽，直到其中1人淘汰，另1人最終獲勝，比賽結(jié)束．假設(shè)每場(chǎng)比賽沒有平局，甲、乙比賽，甲獲勝的概率為13，甲、丙比賽，甲獲勝的概率為23，乙、丙比賽，乙獲勝的概率為12，則甲與乙比賽負(fù)1場(chǎng)且最終甲獲勝的概率為16．（2025春?婁底期中）甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床加工統(tǒng)一型號(hào)的零件，它們加工的零件依次占總數(shù)的50%，20%，30%，已知甲機(jī)床加工的次品率為0.05，乙機(jī)床加工的次品率為0.15，丙機(jī)床加工的次品率為0.15，加工出來的零件混放在一起，現(xiàn)從中任取一個(gè)零件為次品的概率為，該次品來自乙機(jī)床的概率為．四．解答題（共4小題）17．（2025春?朝陽(yáng)月考）從2，3，4，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a，b．（1）求a+b為偶數(shù)的概率；（2）求logab為整數(shù)的概率．18．（2025春?河南校級(jí)期中）為迎接2025年五一勞動(dòng)節(jié)，某地4S店特推出盲盒抽獎(jiǎng)營(yíng)銷活動(dòng)，店家將從一批汽車模型中隨機(jī)抽取50個(gè)裝入盲盒用于抽獎(jiǎng)，已知抽出的50個(gè)汽車模型的外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示．紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾2010米色內(nèi)飾155（1）從這50個(gè)模型中隨機(jī)取1個(gè)，用A表示事件“取出的模型外觀為紅色”，用B表示事件“取出的模型內(nèi)飾為米色”，求P（B）和P（B|A）；（2）活動(dòng)規(guī)定：在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性拿2個(gè)盲盒．對(duì)其中的模型給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的2個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)3種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色，外觀和內(nèi)飾都異色以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色．假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高．假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為一等獎(jiǎng)3000元，二等獎(jiǎng)2000元，三等獎(jiǎng)1000元．請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金額，寫出X的分布列．19．某科技公司研發(fā)了一種新產(chǎn)品，每件產(chǎn)品上市前需要分別進(jìn)行兩項(xiàng)測(cè)試，第一項(xiàng)測(cè)試通過的概率為0.7，若第一項(xiàng)通過，則第二項(xiàng)通過的概率為0.9，若第一項(xiàng)未通過，則第二項(xiàng)通過的概率為0.4．（1）已知某件產(chǎn)品在兩項(xiàng)測(cè)試中僅通過一項(xiàng)，求其第一項(xiàng)測(cè)試通過的概率；（2）規(guī)定至少通過一項(xiàng)測(cè)試的產(chǎn)品為合格品，現(xiàn)對(duì)10件該產(chǎn)品獨(dú)立地進(jìn)行測(cè)試，記其中的合格品件數(shù)為X，則k取何值時(shí)P（X＝k）最大？20．（2025春?長(zhǎng)沙月考）在云南省推進(jìn)綠色能源戰(zhàn)略背景下，某古城景區(qū)為提升電動(dòng)觀光車服務(wù)質(zhì)量，對(duì)200名游客進(jìn)行滿意度調(diào)研．現(xiàn)收集到如表數(shù)據(jù)：對(duì)續(xù)航能力滿意對(duì)續(xù)航能力不滿意對(duì)充電設(shè)施滿意7030對(duì)充電設(shè)施不滿意5050（1）現(xiàn)隨機(jī)選取一名受訪游客，設(shè)事件A為“該游客對(duì)電動(dòng)觀光車?yán)m(xù)航能力滿意”，事件B為“該游客對(duì)充電設(shè)施滿意”，求P（A）和P（A|B）；（2）根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷游客對(duì)電動(dòng)觀光車?yán)m(xù)航能力的滿意度與對(duì)充電設(shè)施的滿意度是否存在關(guān)聯(lián)．附：χα0.050.010.001xα3.8416.63510.828

2025年新高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）學(xué)困生專題復(fù)習(xí)《概率》參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CBBCDBDC二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案BCDACBCABCD一．選擇題（共8小題）1．（2025春?駐馬店月考）已知一個(gè)古典概型試驗(yàn)中，樣本空間包含10個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含3個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率為（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考點(diǎn)】樣本點(diǎn)與樣本空間．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可求解．【解答】解：根據(jù)題意，樣本空間包含10個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含3個(gè)樣本點(diǎn)，則P(故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的計(jì)算，涉及樣本點(diǎn)的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025春?沈陽(yáng)期中）設(shè)事件A＝{1，2}，事件B＝{1，3}，已知事件A與事件B相互獨(dú)立，則樣本空間Ω可能是下列哪個(gè)選項(xiàng)（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5，6}【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；樣本點(diǎn)與樣本空間．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】設(shè)樣本空間Ω含有n個(gè)樣本點(diǎn)，根據(jù)已知求出P（A），P（B），P（AB），結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式列出方程，求解得出n，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)樣本空間Ω含有n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A＝{1，2}，事件B＝{1，3}，則AB＝{1}，所以P(A)因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，則有P（A）P（B）＝P（AB），即4n解得n＝4，樣本空間Ω含有4個(gè)樣本點(diǎn)，分析選項(xiàng)，B符合．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，涉及樣本空間和樣本點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?四川校級(jí)期末）高考結(jié)束后，為了分析該校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考成績(jī)，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，就這個(gè)問題來說，下列說法中正確的是（）A．100名學(xué)生是個(gè)體 B．樣本容量是100 C．每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本 D．1000名學(xué)生是樣本【考點(diǎn)】樣本點(diǎn)與樣本空間．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)有關(guān)的概念可得總體、個(gè)體、樣本這三個(gè)概念考查的對(duì)象都是學(xué)生成績(jī)，而不是學(xué)生，再結(jié)合題中選項(xiàng)即可得到答案．【解答】解：根據(jù)題意，為了分析該校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考成績(jī)，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，其中總體、個(gè)體、樣本這三個(gè)概念考查的對(duì)象都是學(xué)生成績(jī)，而不是學(xué)生，根據(jù)選項(xiàng)可得選項(xiàng)A、D表達(dá)的對(duì)象都是學(xué)生，而不是成績(jī)，所以A、D都錯(cuò)誤．對(duì)于C，每名學(xué)生的成績(jī)是所抽取的一個(gè)樣本也是錯(cuò)的，應(yīng)是每名學(xué)生的成績(jī)是一個(gè)個(gè)體．對(duì)于B，樣本的容量是100正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查總體、樣本的定義，涉及樣本容量的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?陽(yáng)西縣模擬）投籃測(cè)試中，每人投2次，至少投中1次才能通過測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為（）A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)立事件及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得．【解答】解：根據(jù)題意，某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，該同學(xué)兩次投籃都不中的概率為（1﹣0.6）2＝0.16，所以該同學(xué)至少投中1次的概率為1﹣0.16＝0.84．即該同學(xué)通過測(cè)試的概率為0.84．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，涉及對(duì)立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?鄭州月考）某人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，最多投籃4次，命中一次就停止投籃，記投籃次數(shù)為X，則{X＝3}表示的試驗(yàn)結(jié)果是（）A．第2次投籃命中 B．第3次投籃未命中 C．前3次投籃均未命中 D．前2次投籃均未命中，第3次投籃命中【考點(diǎn)】隨機(jī)事件．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)抽象．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由隨機(jī)事件的定義分析可得的答案．【解答】解：根據(jù)題意，{X＝3}即投籃3次停止投籃，表示前2次投籃均未命中，第3次投籃命中．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件的方法，注意隨機(jī)變量的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024秋?成都期末）從1～9這9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字為1的概率是（）A．19 B．29 C．79 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分析9個(gè)數(shù)字中，其平方的個(gè)位數(shù)字為1的數(shù)字，由古典概型公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，在1～9這9個(gè)數(shù)字中，平方的個(gè)位數(shù)字為1的有1和9，故要求概率P=2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的計(jì)算，注意古典概型的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025?陜西二模）已知甲箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球（所有球除顏色外完全相同），某學(xué)生先從甲箱中隨機(jī)取出2個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出1個(gè)球，記“從乙箱中取出的球是黑球”為事件B，則P（B）＝（）A．114 B．17 C．518 【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)A1＝“甲箱中取出2個(gè)紅球”，A2＝“甲箱中取出1個(gè)紅球和1個(gè)黑球”，A3＝“甲箱中取出2黑球”，由古典概型公式求出P（A1）、P（A2）、P（A3），進(jìn)而求出P（B|A1）、P（B|A2）和P（B|A3），由全概率公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)A1＝“甲箱中取出2個(gè)紅球”，A2＝“甲箱中取出1個(gè)紅球和1個(gè)黑球”，A3＝“甲箱中取出2黑球”，則P（A1）=C22C52=110，P（A2）P（B|A1）=36=12，P（B|A2）=46=23故P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率公式的應(yīng)用，涉及條件概率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（2025?孝感三模）拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（）A．A?B B．A＝B C．A∪B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3 D．A∩B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3【考點(diǎn)】隨機(jī)事件．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維．【答案】C【分析】由題意，得到事件A，B所包含的基本事件，由此分析判斷即可．【解答】解：由題意可知，A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，則A∪B表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件的概念及其應(yīng)用，正確理解拋擲一枚骰子的基本事件個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?青島月考）已知事件A，B，P(A)=12A．P(AB)=18 B．P（B|A）=23 【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；條件概率．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由概率的乘法公式分析A，由條件概率和概率的乘法公式分析B、C、D，綜合可得答案，【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，P（AB）＝P（A）P（B|A）=12×對(duì)于B，P（A）＝P（AB）+P（AB）=12，則P（AB）故P（B|A）=P(A對(duì)于C，P（B）＝P（AB）+P（AB）=14，則P（AB）故P（A|B）=P(A對(duì)于D，P（AB）=14-16=112，P（A）＝則P（B|A）=P(A故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及概率的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2025春?濟(jì)寧校級(jí)期中）設(shè)A、B為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(B)=13A．P(A+B)=34 B．P(【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；求解條件概率；互斥事件的概率加法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】利用條件概率的性質(zhì)，可得P(B|A)=【解答】解：根據(jù)題意，若P(B)=13，P(B|A則P（B|A）＝1﹣P（B|A）=16，P（B|A）＝1又由P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)，得變形可得：P(A)=對(duì)于D，由P(B|A)=對(duì)于A，P（A+B）＝P(A)+P對(duì)于C，P(A|B)=P(AB)P(B)=14，P（A故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的應(yīng)用，涉及條件概率的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2025春?遼寧期中）某人從裝有3個(gè)白球和2個(gè)紅球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，事件A表示取出的2個(gè)球都是白球，事件B表示取出的2個(gè)球都是紅球，事件C表示取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球，事件D表示取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球，則下列事件是對(duì)立事件的是（）A．A與B B．A與D C．B與C D．C與D【考點(diǎn)】事件的互為對(duì)立及對(duì)立事件．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件的定義判斷即可．【解答】解：事件A表示取出的2個(gè)球都是白球，事件B表示取出的2個(gè)球都是紅球，則A與B是互斥事件，但不是對(duì)立事件，A與D是對(duì)立事件，B與C是對(duì)立事件，C與D不是互斥事件，即C與D不是對(duì)立事件．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查事件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2025春?駐馬店月考）已知一個(gè)古典概型試驗(yàn)中，事件A和事件B互斥，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.3．則（）A．P（A∪B）＝0.7 B．P（A∩B）＝0 C．P(A∩B)=0.3 D．P（【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；互斥事件的概率加法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】ABCD【分析】由互斥事件概率加法公式計(jì)算和條件概率進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.4+0.3＝0.7，故A正確；對(duì)于B，事件A和事件B互斥，則P（AB）＝0，故B正確；對(duì)于C，P（A∩B）＝P（A∪B）＝1﹣0.7＝0.3，故對(duì)于D，事件A和事件B互斥，P（AB）＝0，故P(A|故選：ABCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及互斥事件、對(duì)立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2025春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）甲、乙兩人獨(dú)立地攻克一道難題，已知兩人能攻克的概率分別是13和25，則該題被攻克的概率為35【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】35【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲、乙兩人能攻克該難題分別為事件A、B，先求出P（AB【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)甲、乙兩人能攻克該難題分別為事件A、B，則P（A）=13，P（B）則該題沒有被攻克，即甲乙都沒有攻克，其概率P（AB）＝P（A）P（B）＝（1-13）（1-故該題被攻克的概率P（A+B）＝1﹣P（AB）=故答案為：35【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率公式，涉及對(duì)立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）已知事件A與事件B互相獨(dú)立，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，則P（A∩B）＝0.2．【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；對(duì)立事件的概率關(guān)系及計(jì)算．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.2．【分析】根據(jù)獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式結(jié)合已知條件求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)槭录嗀與事件B互相獨(dú)立，則A與B也相互獨(dú)立，又由P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，則P（A∩B）＝P（A）P（B）＝0.5×（1﹣0.6）＝0.2．故答案為：0.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，注意相互獨(dú)立事件的概率性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025春?定海區(qū)校級(jí)期中）甲、乙、丙三人進(jìn)行扳手腕比賽，累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者淘汰，甲、乙兩人先進(jìn)行比賽，丙輪空，每次比賽的勝者與輪空者進(jìn)行比賽，負(fù)者輪空，直到有1人被淘汰，剩余兩人繼續(xù)比賽，直到其中1人淘汰，另1人最終獲勝，比賽結(jié)束．假設(shè)每場(chǎng)比賽沒有平局，甲、乙比賽，甲獲勝的概率為13，甲、丙比賽，甲獲勝的概率為23，乙、丙比賽，乙獲勝的概率為12，則甲與乙比賽負(fù)1場(chǎng)且最終甲獲勝的概率為4【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】427【分析】根據(jù)題意，列舉出“甲與乙比賽負(fù)1場(chǎng)且最終甲獲勝”的所有基本事件，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出相應(yīng)概率．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)甲乙比賽中甲勝乙負(fù)為事件A，甲丙比賽中甲勝丙負(fù)為事件B，乙丙比賽中乙勝丙負(fù)為事件C，設(shè)甲與乙比賽負(fù)1場(chǎng)且最終甲獲勝為事件M，則P=1故答案為：427【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，注意互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（2025春?婁底期中）甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床加工統(tǒng)一型號(hào)的零件，它們加工的零件依次占總數(shù)的50%，20%，30%，已知甲機(jī)床加工的次品率為0.05，乙機(jī)床加工的次品率為0.15，丙機(jī)床加工的次品率為0.15，加工出來的零件混放在一起，現(xiàn)從中任取一個(gè)零件為次品的概率為0.1，該次品來自乙機(jī)床的概率為0.3．【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；全概率公式；貝葉斯公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.1；0.3．【分析】利用全概率公式和貝葉斯公式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，記事件Ai＝“零件為第i（i＝1，2，3）臺(tái)車床加工”，則P（A1）＝0.5，P（A2）＝0.2，P（A3）＝0.3，B為事件“任取一個(gè)零件為次品”，則P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.5×0.05+0.2×0.15+0.3×0.15＝0.1，P(故答案為：0.1；0.3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用，注意全概率公式和貝葉斯公式的形式，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?朝陽(yáng)月考）從2，3，4，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a，b．（1）求a+b為偶數(shù)的概率；（2）求logab為整數(shù)的概率．【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維．【答案】（1）25（2）320【分析】（1）寫出樣本空間Ω，設(shè)事件A＝“a+b為偶數(shù)”，列舉出A的樣本點(diǎn)，求解即可；（2）在（1）基礎(chǔ)上，設(shè)事件B＝“l(fā)ogab為整數(shù)”，列舉出B的樣本點(diǎn)，求解即可．【解答】解：（1）記樣本空間為Ω，事件A＝“a+b為偶數(shù)”，則Ω＝{（2，3），（2，4），（2，8），（2，9），（3，2），（3，4），（3，8），（3，9），（4，2），（4，3），（4，8），（4，9），（8，2），（8，3），（8，4），（8，9），（9，2），（9，3），（9，4），（9，8）}，共包含20個(gè)樣本點(diǎn)．則A＝{（2，4），（2，8），（4，2），（4，8），（8，2），（8，4），（3，9），（9，3）}，包含8個(gè)樣本點(diǎn)，則a+b為偶數(shù)的概率為P(（2）設(shè)事件B＝“l(fā)ogab為整數(shù)”，由（1）得樣本空間共包含20個(gè)樣本點(diǎn)，因?yàn)閘og24＝2，log28＝3，log39＝3，所以B＝{（2，4），（2，8），（3，9）}，包含3個(gè)樣本點(diǎn)，則logab為整數(shù)的概率為P(【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型求概率，應(yīng)用列舉法解題，屬于基礎(chǔ)題．18．（2025春?河南校級(jí)期中）為迎接2025年五一勞動(dòng)節(jié)，某地4S店特推出盲盒抽獎(jiǎng)營(yíng)銷活動(dòng)，店家將從一批汽車模型中隨機(jī)抽取50個(gè)裝入盲盒用于抽獎(jiǎng)，已知抽出的50個(gè)汽車模型的外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示．紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾2010米色內(nèi)飾155（1）從這50個(gè)模型中隨機(jī)取1個(gè)，用A表示事件“取出的模型外觀為紅色”，用B表示事件“取出的模型內(nèi)飾為米色”，求P（B）和P（B|A）；（2）活動(dòng)規(guī)定：在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性拿2個(gè)盲盒．對(duì)其中的模型給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的2個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)3種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色，外觀和內(nèi)飾都異色以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色．假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高．假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為一等獎(jiǎng)3000元，二等獎(jiǎng)2000元，三等獎(jiǎng)1000元．請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金額，寫出X的分布列．【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；求解條件概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列；其他組合形式及計(jì)算；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）P(B)=（2）分布列見解析．【分析】（1）根據(jù)條件概率公式結(jié)合古典概型計(jì)算求解；（2）先寫出概率，再根據(jù)分布列步驟計(jì)算求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意，模型內(nèi)飾為米色的共有20個(gè)，所以P（B）=20紅色外觀的模型有35個(gè)，其中內(nèi)飾為米色的共有15個(gè)，所P(（2）根據(jù)題意，設(shè)事件C＝“取出的模型外觀和內(nèi)飾均為同色”，事件D＝“取出的模型外觀和內(nèi)飾都異色”，事件E＝“僅外觀或僅內(nèi)飾同色”，P(P(P(因?yàn)镻（E）＞P（C）＞P（D），故當(dāng)取出的模型外觀和內(nèi)飾都異色時(shí)，獲得一等獎(jiǎng)，即獲得一等獎(jiǎng)的概率為1049當(dāng)取出的模型外觀和內(nèi)飾均為同色時(shí)，獲得二等獎(jiǎng)，即獲得二等獎(jiǎng)的概率為0.06×0.250.0525當(dāng)取出的模型僅外觀或僅內(nèi)飾同色時(shí)，獲得三等獎(jiǎng)，即獲得三等獎(jiǎng)的概率為2549X可取的值為3000、2000、1000，則X的分布列為：X300020001000P1049272549【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的分布列，涉及條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．19．某科技公司研發(fā)了一種新產(chǎn)品，每件產(chǎn)品上市前需要分別進(jìn)行兩項(xiàng)測(cè)試，第一項(xiàng)測(cè)試通過的概率為0.7，若第一項(xiàng)通過，則第二項(xiàng)通過的概率為0.9，若第一項(xiàng)未通過，則第二項(xiàng)通過的概率為0.4．（1）已知某件產(chǎn)品在兩項(xiàng)測(cè)試中僅通過一項(xiàng)，求其第一項(xiàng)測(cè)試通過的概率；（2）規(guī)定至少通過一項(xiàng)測(cè)試的產(chǎn)品為合格品，現(xiàn)對(duì)10件該產(chǎn)品獨(dú)立地進(jìn)行測(cè)試，記其中的合格品件數(shù)為X，則k取何值時(shí)P（X＝k）最大？【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；條件概率乘法公式及應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）719（2）k＝9．【分析】（1）根據(jù)題意求出在兩項(xiàng)測(cè)試中僅通過一項(xiàng)測(cè)試的概率，然后借助條件概率的公式即可得解；（2）由題意可得，隨機(jī)變量X服從于二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布知識(shí)求出P（X＝k）的概率，然后利用P(X=【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)事件A＝“第一項(xiàng)測(cè)試通過”，事件B＝“第二項(xiàng)測(cè)試通過”，事件C＝“僅通過一項(xiàng)測(cè)試”．則P（AC）＝P（AB）＝P（A）P（B|A）＝0.7×（1﹣0.9）＝0.07，P（C）＝P（AB）+P（AB）＝P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）＝0.7×（1﹣0.9）+（1﹣0.7）×0.4＝0.19；故P（A|C）=P（2）根據(jù)題意，事件E＝“該產(chǎn)品為合格品”，即該產(chǎn)品則P（E）＝P（AB）+P（C）＝0.19+0.7×0.9＝0.82，所以X～P(當(dāng)1≤k≤9時(shí)，P（X＝k）＞P（X＝k﹣1），當(dāng)k＞9時(shí)，P（X＝k）＜P（X＝k﹣1），所以k＝9時(shí)，P（X＝k）最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及二項(xiàng)分布的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于中檔題．20．（2025春?長(zhǎng)沙月考）在云南省推進(jìn)綠色能源戰(zhàn)略背景下，某古城景區(qū)為提升電動(dòng)觀光車服務(wù)質(zhì)量，對(duì)200名游客進(jìn)行滿意度調(diào)研．現(xiàn)收集到如表數(shù)據(jù)：對(duì)續(xù)航能力滿意對(duì)續(xù)航能力不滿意對(duì)充電設(shè)施滿意7030對(duì)充電設(shè)施不滿意5050（1）現(xiàn)隨機(jī)選取一名受訪游客，設(shè)事件A為“該游客對(duì)電動(dòng)觀光車?yán)m(xù)航能力滿意”，事件B為“該游客對(duì)充電設(shè)施滿意”，求P（A）和P（A|B）；（2）根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷游客對(duì)電動(dòng)觀光車?yán)m(xù)航能力的滿意度與對(duì)充電設(shè)施的滿意度是否存在關(guān)聯(lián)．附：χα0.050.010.001xα3.8416.63510.828【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；求解條件概率；獨(dú)立性檢驗(yàn)．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）P（A）＝0.6，P（A|B）＝0.7；（2）可以認(rèn)為游客對(duì)電動(dòng)觀光車?yán)m(xù)航能力的滿意度與對(duì)充電設(shè)施的滿意度存在關(guān)聯(lián)．【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)表，利用條件概率及古典概率公式求解．（2）利用給定的數(shù)表，求出χ2的觀測(cè)值，再與臨界值比對(duì)求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意，P（A）=70+50200P（A|B）=7070+30（2）根據(jù)題意，零假設(shè)H0：游客對(duì)電動(dòng)觀光車?yán)m(xù)航能力的滿意度與對(duì)充電設(shè)施的滿意度無關(guān)，則χ2=200×(70×50-50×30)所以依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即可以認(rèn)為游客對(duì)電動(dòng)觀光車?yán)m(xù)航能力的滿意度與對(duì)充電設(shè)施的滿意度存在關(guān)聯(lián)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率公式的應(yīng)用，涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．樣本點(diǎn)與樣本空間【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】樣本點(diǎn)：我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果成為樣本點(diǎn)，一般地，用ω表示樣本點(diǎn)．樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，一般地，用Ω表示樣本空間．有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．【解題方法點(diǎn)撥】（1）試驗(yàn)不同，對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同；（2）同一試驗(yàn)，若試驗(yàn)?zāi)康牟煌?，則對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同；例如對(duì)于同一試驗(yàn)“將一枚硬幣拋擲三次”，若觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況，則樣本空間為S＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}，若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)，則樣本空間為S＝{0，1，2，3}．（3）建立樣本空間，事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型．因此一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問題．例如只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間S＝{H，T}，它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的模型，也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中合格與不合格的模型，又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中有人排隊(duì)和無人排隊(duì)的模型等．【命題方向】樣本空間和樣本點(diǎn)是概率論中的重要概念，它們是描述隨機(jī)試驗(yàn)的基礎(chǔ)．在明確樣本空間和概率測(cè)度后，我們可以將樣本空間變成一個(gè)概率空間，從而進(jìn)行概率的計(jì)算和推斷．需要注意的是，樣本空間和樣本點(diǎn)的定義需要根據(jù)具體的試驗(yàn)來確定，并遵循相關(guān)的公理和定理．考試題型通常以選擇題、填空題為主．2．隨機(jī)事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件．（或“偶然性事件”）2．特點(diǎn)：（1）隨機(jī)事件可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先預(yù)測(cè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．3．注意：（1）隨機(jī)事件發(fā)生與否，事先是不能確定的；（2）必然事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是1；不可能事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是0；隨機(jī)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)在0﹣1之間，0和1可以取到．（3）要判斷一個(gè)事件是必然事件、隨機(jī)事件、還是不可能事件，要從定義出發(fā)．3．事件的互為對(duì)立及對(duì)立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)立事件：事件A的對(duì)立事件是指A不發(fā)生的情況，記作A．﹣互為對(duì)立：如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，兩個(gè)事件A和B互為對(duì)立當(dāng)且僅當(dāng)A∪B=【解題方法點(diǎn)撥】﹣使用對(duì)立事件的概率關(guān)系P(﹣判斷兩個(gè)事件是否互為對(duì)立，通常檢查它們的并集是否為樣本空間，交集是否為空．【命題方向】﹣主要考察對(duì)立事件的概率計(jì)算及事件的補(bǔ)集概念．4．互斥事件的概率加法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】互斥事件的概率加法公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）5．對(duì)立事件的概率關(guān)系及計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)立事件的概率關(guān)系是P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣利用對(duì)立事件的公式計(jì)算對(duì)立事件的概率．【命題方向】﹣主要考察對(duì)立事件概率計(jì)算的問題，適用于概率計(jì)算的補(bǔ)集部分．6．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．7．概率的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概率相關(guān)知識(shí)梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計(jì)值．2．古典概率計(jì)算公式：P（A）＝．集合的觀點(diǎn)：設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)；（2）試驗(yàn)結(jié)果具有有限性；（3）試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計(jì)算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件．記作：B=A，由對(duì)立事件定義知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立．用集合的觀點(diǎn)分析對(duì)立事件與互斥事件：設(shè)兩個(gè)互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設(shè)兩個(gè)對(duì)立事件A，A包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，A，A∩A=?，A∪A=則注：若A1，A2，…，An任意兩個(gè)事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計(jì)算公式：幾何概型的特征：（1）試驗(yàn)的結(jié)果有無限個(gè)（無限性）；（2）試驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．注：幾何概型中的區(qū)域可以是長(zhǎng)度、面積、體積等．三、條件概率與獨(dú)立事件1．條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計(jì)算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒有事件B發(fā)生時(shí)的概率是不同的．（2）對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．此時(shí)事件A，B是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0?P（AB）＝故當(dāng)兩個(gè)事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立，同時(shí)A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立．四、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布1．二項(xiàng)分布：（1）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征：①每次試驗(yàn)的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，且每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分步概率計(jì)算公式：一般地，在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個(gè)數(shù)，則，（k為非負(fù)整數(shù)），若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機(jī)變量X取某一個(gè)值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．3．正態(tài)分布：（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）=12πσe-(x（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．5、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的EξDξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛．【解題方法點(diǎn)撥】概率和離散型隨機(jī)變量知識(shí)是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查古典概率、幾何概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)等內(nèi)容，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)考查以選擇題、填空題為主．考查的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，即掌握住基礎(chǔ)知識(shí)就能解決此類問題．對(duì)于綜合性知識(shí)的考查主要是把概率、隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的均值、方差等內(nèi)容綜合在一起解決實(shí)際問題，多以大題的形式出現(xiàn)．題目的難度在中等以上水平，解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項(xiàng)分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進(jìn)而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問題，這也是新課標(biāo)高考命題的方向．【命題方向】題型一：概率的計(jì)算典例1：已知函數(shù)y=x（0≤x≤4）的值域?yàn)锳，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個(gè)數(shù)，b是從集合B中任取一個(gè)數(shù)，則a＞bA．14B．13C．12解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則圍成的區(qū)域面積為2，使得a＞b的區(qū)域面積為2-12=故選D題型二：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是23（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）解：（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X＝0或X＝1時(shí)，油罐不能被引爆．P(P(∴油罐被引爆的概率（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．P(P(P(P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）=1-因此，ξ的分布列為：ξ2345P4982742719∴Eξ8．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響．9．相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)于相互獨(dú)立事件A和B，P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣應(yīng)用乘法公式計(jì)算獨(dú)立事件的聯(lián)合概率，確保事件的獨(dú)立性．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察獨(dú)立事件的概率計(jì)算及獨(dú)立性證明．10．條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點(diǎn)撥】典例1：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，基本事件的總個(gè)數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個(gè)，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個(gè)，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為34，23，12，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是2（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再