江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（

）A． B． C． D．3．某校義工社團(tuán)共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分層抽樣的方式，抽取16人參加周末的馬拉松比賽志愿者工作，則女生應(yīng)抽取的人數(shù)是（

）A．3 B．5 C．6 D．104．已知，表示兩條不同的直線，，表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．若將一個(gè)表面積為的鐵球熔鑄成一個(gè)高為9cm的實(shí)心圓錐（熔鑄過(guò)程中損耗忽略不計(jì)），則該圓錐的底面半徑為（

）A．2cm B． C．3cm D．6．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積.若，則（

）A． B． C． D．7．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)相等，記異面直線與所成角為，側(cè)棱與底面所成角為，側(cè)面與底面所成的二面角為，則（

）A． B． C． D．8．己知平面向量，，均為單位向量，若與的夾角為60°，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．5二、多選題9．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù).若連續(xù)拋擲兩次，則（

）A．事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”為互斥事件B．事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”互為對(duì)立事件C．事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次點(diǎn)數(shù)之和小于6”互為對(duì)立事件D．事件“第一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”與“第二次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”相互獨(dú)立10．在中，，則下列不等式中一定正確的是（

）A． B．C． D．11．如圖，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，高為，點(diǎn)為下底面圓周上一點(diǎn)，為上底面圓周上一點(diǎn)，則（

）A．該圓臺(tái)的體積為B．該圓臺(tái)的內(nèi)切球的半徑為C．直線與直線所成角的最大值為D．直線與平面所成角的正切值最大為三、填空題12．若，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模為.13．若，則的值為.14．若正方體的棱長(zhǎng)為1，則以為球心，為半徑的球面與底面的交線長(zhǎng)為.四、解答題15．已知四邊形是平行四邊形，且，，.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求平行四邊形的面積.16．在地平面上有一豎直的旗桿（在地平面上），為了測(cè)得它的高度，在地平面上取一基線，測(cè)得其長(zhǎng)為20m.在處測(cè)得點(diǎn)的仰角為30°，在處測(cè)得點(diǎn)的仰角為45°，又測(cè)得.(1)求旗桿的高度；(2)求點(diǎn)到平面的距離.17．某校為了了解高一新生的體質(zhì)健康狀況，在開(kāi)學(xué)初進(jìn)行了一次體質(zhì)測(cè)試，共800人參加本次測(cè)試，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)試估計(jì)本次測(cè)試的平均成績(jī)（用各組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值即“組中值”近似的表示每組的成績(jī)）；(3)立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目每人有2次測(cè)試機(jī)會(huì)，若第一跳滿分，則不再進(jìn)行第二跳.假設(shè)小明同學(xué)每一跳獲得滿分的概率均為0.8，求本次測(cè)試中，小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率.18．在等腰直角三角形中，斜邊，點(diǎn)，均在線段上（不含端點(diǎn)），且.(1)若，求的長(zhǎng)；(2)求的面積的最小值.19．如圖1，在直角梯形中，，，，A是的中點(diǎn).現(xiàn)沿把折起，使得（如圖2所示），，分別為，的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若是線段的中點(diǎn)，求與平面所成的角；(3)若平面，求的值.

題號(hào)12345678910答案BBCDBDACBDABD題號(hào)11答案ABD1．B求出復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B2．B由兩角差的正弦公式逆用即可求解.【詳解】.故選：B.3．C由分層抽樣的定義即可得解.【詳解】女生應(yīng)抽取的人數(shù)是.故選：C.4．D以正方體的線面關(guān)系為例，說(shuō)明ABC是錯(cuò)誤的.【詳解】如圖，在正方體中：因?yàn)槠矫妫矫?，且與為異面直線，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫妫?，但平面，而非平面，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，平面平面，但平面，而非平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，，則，故D正確.故選：D5．B求出鐵球的半徑，再結(jié)合等體積法即可求解.【詳解】設(shè)所求為，鐵球的半徑為，則，解得，所以，解得.故選：B.6．D由余弦定理、三角形面積公式得，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，而，所以，.故選：D.7．A根據(jù)異面直線所成角的概念，線面角，二面角的平面角的概念，構(gòu)造出，，，求出它們的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較它們的大小.【詳解】如圖：不妨設(shè).取和的交點(diǎn)為，中點(diǎn)，連接，，.則，，.因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角，為，所以，所以.因?yàn)槠矫妫詾橹本€與底面所成的角，所以，所以.因?yàn)?，，所以為?cè)面與底面所成的二面角，所以.因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減.所以.故選：A8．C根據(jù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求的值，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】由題意：，.因?yàn)?又，當(dāng)時(shí)取“”.又，所以.所以.故選：C9．BD利用互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椤爸辽儆幸淮吸c(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”包含恰有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)和恰有兩次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，故事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”可能同時(shí)發(fā)生，所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”不為互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椤爸辽儆幸淮吸c(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”包含恰有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和恰有兩次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，因?yàn)樵谝淮螌?shí)驗(yàn)中“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”必然有一個(gè)事件會(huì)發(fā)生，所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)”與“至少有一次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”互為對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭录皟纱吸c(diǎn)數(shù)之和等于6”發(fā)生時(shí)，事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次點(diǎn)數(shù)之和小于6”均不會(huì)發(fā)生，所以事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于6”與“兩次點(diǎn)數(shù)之和小于6”不互為對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次共有種不同的結(jié)果，記“第一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”為事件，則事件包含種結(jié)果，故，記“第二次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件，則事件包含種結(jié)果，故，事件同時(shí)發(fā)生包含種不同的結(jié)果，故，所以事件“第一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”與“第二次點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”相互獨(dú)立，故D正確.故選：BD.10．ABD利用邊角關(guān)系及正弦定理判斷A；利用余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B；舉例說(shuō)明判斷C；利用二倍角公式結(jié)合選項(xiàng)A判斷D.【詳解】對(duì)于A，在中，，由正弦定理得，A正確；對(duì)于B，顯然，因此，B正確；對(duì)于C，取，滿足，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，，則，D正確.故選：ABD11．ABD對(duì)于A，根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，可得答案；對(duì)于B，研究圓臺(tái)的軸截面，結(jié)合等腰體形存在內(nèi)切圓的判定，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)異面直線夾角的定義，作圖，利用三角函數(shù)的定義，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)線面角的定義，作圖，利用線面垂直判定定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，高為，所以，則A選項(xiàng)正確．對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，若圓臺(tái)存在內(nèi)切球，則必有軸截面的等腰梯形存在內(nèi)切圓，如圖（1）所示，梯形的上底和下底分別為2，4，高為，易得等腰梯形的腰為，假設(shè)等腰梯形有內(nèi)切圓，則腰長(zhǎng)，所以梯形存在內(nèi)切圓，故圓臺(tái)存在內(nèi)切球，且內(nèi)切球的半徑為，則B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖（2），過(guò)作垂直于下底面于點(diǎn)，則，所以直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即為所求，而，由圓的性質(zhì)得，，所以，因?yàn)?，則C選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于D選項(xiàng)，如圖（3），平面即平面，過(guò)點(diǎn)做交于點(diǎn)，因?yàn)榇怪庇谙碌酌?，而在底面?nèi)，所以，又，且平面，所以平面，所以直線與平面所成角即為，且．設(shè)，則，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，所以D選項(xiàng)正確．故選：ABD.12．利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求得復(fù)數(shù)，進(jìn)而可求得.【詳解】由，可得，所以.故答案為：.13．利用誘導(dǎo)公式可得，再結(jié)合二倍角的余弦公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.14．/由題可得球面與底面的交線為以為圓心，為半徑的圓與正方形相交的一段弧，即可求出.【詳解】正方體中，平面，所以平面與球的截面是以為圓心的圓，且半徑為，所以球面與底面的交線為以為圓心，為半徑的圓與正方形相交的一段弧，該交線長(zhǎng)為.故答案為：.15．(1)(2)12（1）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)題意，先求出的夾角余弦值，進(jìn)而得到其正弦值，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．由題意得，．因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（2）由，，則，，，則，所以，則平行四邊形的面積為.16．(1)(2)（1）由題意，結(jié)合余弦定理即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，說(shuō)明所求為線段的長(zhǎng)度，解三角形即可得解.【詳解】（1）由題意，而，，所以由余弦定理有，即，解得；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意平面，又平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，故所求為線段的長(zhǎng)度，由（1）可知，所以.17．(1)；(2)；(3).（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算即可；（2）由頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算，即可求解；（3）小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率包括第一次滿分和第一次沒(méi)有滿分但第二次滿分兩種情況，根據(jù)概率計(jì)算即可.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得，解得；（2）設(shè)本次測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?，則根據(jù)頻率分布直方圖，可得，即本次測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)椋唬?）設(shè)小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率為，則，即小明在立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目最終獲得滿分的概率為.18．(1)或；(2)【詳解】（1）在等腰直角三角形中，斜邊，點(diǎn)，均在線段上（不含端點(diǎn)），所以，在中，，所以，所以或；（2）過(guò)作交于，則，設(shè)，所以所以的面積為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，所以面積的最小值為.19．(1)證明見(jiàn)解析；(2)與平面所成的角為；(3)【詳解】（1）證明：直角梯形中，，，，A是的中點(diǎn)，故，四邊形為矩形，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面．又為邊的中點(diǎn)，所以，故為等腰直角三角形，，故，．又由平面，平面，得，且，平面所以平面，而平面，故平面平