1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【劃重點】1．理解直線的方向向量與平面的法向量，會求一個平面的法向量．2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．3．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．【知識梳理】知識點一空間中直線、平面的向量表示1．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．2．平面的法向量如圖，若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱a為平面α的法向量；過點A且以a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．知識點二線線、線面、面面平行的向量表示1．設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.2．設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.3．設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.知識點三線線、線面、面面垂直的向量表示1．設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.2．設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.3．設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.【例題詳解】一、直線的方向向量例1(1)若點，在直線l上，則直線l的一個方向向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由方向向量的概念求解，【詳解】由，l的方向向量與平行，只有選項A滿足題意，故選：A(2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求直線PC的一個方向向量．【答案】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)方向向量的定義可得．【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則，，所以即為直線PC的一個方向向量.跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)l1的方向向量為=（1，2，﹣2），l2的方向向量為=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，則m等于（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【分析】由l1⊥l2，可得其兩直線的方向向量垂直，即，所以，從而可求出m的值【詳解】因為l1的方向向量為=（1，2，﹣2），l2的方向向量為=（﹣2，3，m），且l1⊥l2，所以，所以，解得，故選：B(2)在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1為正方體，棱長為1，則直線DD1的一個方向向量為________，直線BC1的一個方向向量為________．【答案】(不唯一)(0,0,1)(0,1,1)【詳解】∵DD1∥AA1，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，直線DD1的一個方向向量為(0,0,1)；BC1∥AD1，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0，1,1),故直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)．二、求平面的法向量例2如圖在長方體中，，，，M是的中點．以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)求平面的法向量；(2)求平面的法向量．【答案】(1)；(2)【分析】（1）可以觀察出y軸垂直于平面，故就是平面的一個法向量；（2）利用求解平面的法向量的方法進行求解.【詳解】(1)因為y軸垂直于平面，所以是平面的一個法向量．(2)因為，，，M是的中點，所以M，C，的坐標(biāo)分別為，，．因此，．設(shè)是平面的法向量，則，．所以所以取，則，．于是是平面的一個法向量．跟蹤訓(xùn)練2已知四棱錐S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，試建立空間直角坐標(biāo)系，求平面SAB，平面SDC的一個法向量．【答案】平面SAB的一個法向量為（1，0，0），平面SDC的一個法向量為（2，﹣1，1）．【分析】以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，能求出平面SAB的一個法向量和平面SDC的一個法向量．【詳解】∵四棱錐S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，∴以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵SA＝AB＝BC＝1，AD，∴S（0，0，1），A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），平面SAB的法向量（1，0，0），（，0，﹣1），（1，1，﹣1），設(shè)平面SDC的一個法向量（x，y，z），則，取z＝1，得平面SDC的一個法向量（2，﹣1，1）．三、證明線線平行例3在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點S在DD1上，且SD1＝2SD，點N，R分別為A1D1，BC的中點．求證：MN∥RS.【詳解】證明方法一如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，\f(4,3)))，N(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(2,3))).則eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(RS,\s\up6(→))分別為MN，RS的方向向量，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))，eq\o(RS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(RS,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(RS,\s\up6(→))，因為M?RS，所以MN∥RS.方法二設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)c－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(RS,\s\up6(→))＝eq\o(RC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DS,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＋eq\f(1,3)c.所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(RS,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(RS,\s\up6(→)).又R?MN，所以MN∥RS.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．【詳解】證明以點D為坐標(biāo)原點，分別以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C1(0,1,1)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(FC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(FC1,\s\up6(→))，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))∥eq\o(FC1,\s\up6(→))，eq\o(EC1,\s\up6(→))∥eq\o(AF,\s\up6(→))，又∵F?AE，F(xiàn)?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四邊形AEC1F是平行四邊形．四、證明線面平行例4如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是面，面的中心．求證：平面．【答案】證明見解析【分析】以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，利用向量關(guān)系即可證明.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則可得，，，平面，平面.跟蹤訓(xùn)練4如圖，在長方體中，底面是邊長為2的正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點．求證：平面；【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，利用向量法求解線面平行即可.【詳解】證明：如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，所以，因為平面，所以平面．五、證明面面平行例5如圖，長方體中，，，(1)求證：平面平面;(2)線段上，是否存在點，使得平面.【分析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可證明面面平行；（2），當(dāng)垂直與平面的法向量時平面，求的值即可.【詳解】（1）因為長方體，所以，，兩兩垂直，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間坐標(biāo)系：由題知,則，設(shè)平面的法向量為，則，解得，設(shè)平面的法向量為，則，解得，因為，所以平面平面.（2）設(shè)線段上存在點使得平面，由（1）得，，平面的法向量，所以，由解得，即為線段中點時，平面.跟蹤訓(xùn)練5如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點，利用向量法證明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用直線的方向向量和平面的法向量的數(shù)量積為0進行證明；（2）證明兩個平面有相同的一個法向量即可..【詳解】（1）證明：以D為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方體的性質(zhì)，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個法向量.由于＝(0，1，－1)，則＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN?平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）證明：因為＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，則，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一個法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.六、證明線線垂直問題例6如圖，在直四棱柱中，，，，．求證：；【答案】證明見解析【分析】根據(jù)直四棱柱的性質(zhì)可得，，再由，即可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】證明：在直四棱柱中平面，平面．所以，．又，所以，，兩兩互相垂直，以點為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，．所以，所以．跟蹤訓(xùn)練6如圖，在直三棱柱-中，3，=4，5，(1)求證；(2)在上是否存在點，使得并說明理由【分析】（1）以C為坐標(biāo)原點，、、分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC⊥BC.（2）假設(shè)在AB上存在點D，使得AC1⊥CD，設(shè)，則利用向量法能求出在AB線上是否存在點D，使得AC1⊥CD.【詳解】（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，AC?BC?CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點，、、分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖示：則，，，，，，，，.（2）假設(shè)在上存在點，使得，利用上式所建的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，其中，于是，又，由得：，解得，此時，.在上存在點，使得，點與點重合.【點睛】本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用.七、證明線面垂直問題例7如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點，EF⊥BP于點F.求證：PB⊥平面EFD.【詳解】證明由題意得，DA，DC，DP兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖，設(shè)DC＝PD＝1，則P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(1,2)))，設(shè)F(x，y，z)，則eq\o(PF,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(1,2)，z－\f(1,2))).因為eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，所以x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(1,2)))＝0，即x＋y－z＝0.①又因為eq\o(PF,\s\up6(→))∥eq\o(PB,\s\up6(→))，可設(shè)eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(2,3)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,6)，\f(1,6))).方法一因為eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1,1，－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，所以eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以PB⊥DE，因為PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE?平面EFD.所以PB⊥平面EFD.方法二設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面EFD的法向量，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n2·\o(DE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－\f(1,6)y2＋\f(1,6)z2＝0，,\f(1,2)y2＋\f(1,2)z2＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－z2，,y2＝－z2.))取z2＝1，則n2＝(－1，－1,1)．所以eq\o(PB,\s\up6(→))∥n2，所以PB⊥平面EFD.跟蹤訓(xùn)練7在正四棱柱中，，為的中點.求證：（1）平面.（2）平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運算即可求證；（2）求出坐標(biāo)，結(jié)合平面的法向量，由向量共線即可求證．【詳解】根據(jù)題意以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面邊長為，則，，，，，，，，，（1）設(shè)平面的法向量，，，由，即，取，則，，得，又，因為，所以，且平面,所以平面．（2）由（1）可知平面的法向量，，，所以，所以平面．八、證明面面垂直問題例8如圖，在直三棱柱中，為的中點．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．【分析】（1）利用向量法去證明平面；（2）利用向量法去證明平面平面．【詳解】（1）在直三棱柱中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，，且平面，則平面（2），，設(shè)平面的一個法向量，則，取，得，又平面的法向量，則，則平面平面．跟蹤訓(xùn)練8如圖，在正四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱長為，底面邊長為2．點E，F(xiàn)分別CD，BC中點．求證：(1)PA⊥EF；(2)平面PAB⊥平面PCD．【分析】建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，（1）由兩直線的方向向量的數(shù)量積為0證明線線垂直；（2）由兩平面的法向量的數(shù)量積為0可得證面面垂直．【詳解】（1）連接AC，BD交于點O，連接PO，由正四棱錐性質(zhì)OA，OB，OP兩兩互相垂直，以O(shè)A，OB，OP分別為x，y，z軸建系如圖．易得，，∴，，，，，，，，，∵，∴，即PA⊥EF；（2）設(shè)平面PAB，平面PCD法向量分別為，，，取，則，，，取，則，，，∴，∴平面PAB⊥平面PCD.【課堂鞏固】1．有以下命題：①一個平面的單位法向量是唯一的②一條直線的方向向量和一個平面的法向量平行，則這條直線和這個平面平行③若兩個平面的法向量不平行，則這兩個平面相交④若一條直線的方向向量垂直于一個平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直其中真命題的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)平面單位法向量的定義可判斷①，根據(jù)直線方向向量與平面法向量的關(guān)系判斷②，根據(jù)兩平面法向量關(guān)系判斷③，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理判斷④.【詳解】因為一個平面的單位法向量方向不同，所以有2個，故①錯誤；當(dāng)一條直線的方向向量和一個平面的法向量平行時，則這條直線和這個平面垂直，故②錯誤；因為兩個平面的法向量平行時，平面平行，所以法向量不平行，則這兩個平面相交，③正確；若一條直線的方向向量垂直于一個平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，則直線和平面垂直，故④錯誤.故選：A2．已知平面的法向量，平面的法向量，若，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由題設(shè)知，結(jié)合它們的坐標(biāo)得即可求，進而求.【詳解】由，知：，則，解得，，故.故選：C3．若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則可能使的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接計算直線方向向量和平面法向量的數(shù)量積可知.【詳解】由題知，當(dāng)時，或.A選項：因為B選項：C選項：D選項：故選：C4．已知平面平面，＝（1，－1，1）為平面的一個法向量，則下列向量是平面的一個法向量的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷選項中與向量平行的向量，即得平面的一個法向量.【詳解】B中，向量，可知，所以，故是平面的一個法向量；易見，ACD中向量均不與向量平行，所以不能作為平面的一個法向量.故選：B.5．（多選）在菱形中，若是平面的法向量，則以下結(jié)論一定成立的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ACD【分析】由平面的法向量證得線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判斷即可逐一判斷各選項作答.【詳解】因是平面的法向量，則有平面，而平面，平面，因此，平面平面，平面平面，A，C都正確；平面，則，又四邊形為菱形，，于是得平面，平面，從而得平面平面，D成立；因是二面角的平面角，而與不一定垂直，則平面與平面不一定垂直，B不成立.故選：ACD6．（多選）已知為兩個不重合的平面，l為上的一條直線，且其方向向量為，若，則平面的法向量可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由法向量與平面內(nèi)的所有向量垂直判斷．【詳解】，，，．知ABC都有可能，D不可能．故選：ABC．7．（多選）若平面，平面的法向量為，則平面的一個法向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)平面垂直則法向量數(shù)量積為零，逐一計算，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，與平面的法向量數(shù)量積為零，對A：因為，滿足題意，故A正確；對B：因為，故B錯誤；對C：因為，滿足題意，故C正確；對D：因為，故D錯誤.故選：AC.8．放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出：（1）直線BC的一個方向向量___________；（2）點OD的一個方向向量___________；（3）平面BHD的一個法向量___________；（4）的重心坐標(biāo)___________.【答案】【分析】先求出正四面體中各邊的長度，得到各個點的坐標(biāo).對于（1）（2）：直接求出方向向量；對于（3）：根據(jù)法向量的定義列方程組，即可求得；對于（4）：利用重心坐標(biāo)公式直接求得.【詳解】由題意可得：,,..由圖示，可得：，，，，，，（1）直線BC的一個方向向量為，（2）點OD的一個方向向量為；（3）,.設(shè)為平面BHD的一個法向量，則，不妨設(shè)，則.故平面BHD的一個法向量為.（4）因為，，，，所以的重心坐標(biāo)為.故答案為：（1）；（2）；（3）（4）.9．已知平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，且平面，則______.【答案】【分析】根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】因為平面，所以，則，解得.故答案為：10．設(shè)直線的一個方向向量，平面的一個法向量，則直線與平面的位置關(guān)系為______.【答案】直線在平面內(nèi)或平行于平面【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷作答.【詳解】依題意，，則，所以直線與平面的位置關(guān)系是直線在平面內(nèi)或平行于平面.故答案為：直線在平面內(nèi)或平行于平面11．已知直線的一個方向向量，平面α的一個法向量，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)，可得，從而可求得，即可得解.【詳解】因為，所以，所以，解得，所以.故答案為：.12．已知為直線l的方向向量，為平面的法向量，且，判斷直線l與平面的位置關(guān)系是平行還是垂直．(1)，；(2)，．【答案】(1)平行；(2)垂直【分析】（1）由直線方向向量與平面的法向量垂直，得線面平行；（2）由直線方向向量與平面的法向量平行，得線面垂直．【詳解】(1)，，又，所以．(2)，即，所以．13．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE，設(shè)PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量；【答案】（1，0，2）【分析】由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．利用線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可得PC⊥BD，BD⊥平面PAC，即可證明BD⊥AC．又底面ABCD為矩形，可得ABCD為正方形．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面BPC的法向量為（x，y，z），可得，即可得出平面BPC的一個法向量為．【詳解】解：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD．∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD．又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，AC?平面PAC，∴BD⊥AC．又底面四邊形ABCD為矩形，∴矩形ABCD為正方形．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．（0，2，0），（﹣2，0，1），設(shè)平面BPC的法向量為（x，y，z），則，即，取（1，0，2）．∴平面BPC的一個法向量為（1，0，2）．14．如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，上的動點，且，其中，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系.(1)寫出點，的坐標(biāo)；(2)求證：.【答案】(1)，；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中，的位置寫出坐標(biāo)；（2）求出，證明出結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系可得，.（2）∵，，∴，.即，∴，故.15．如圖，且，，且，且，平面ABCD，.若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；【答案】證明見解析【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量判斷位置關(guān)系【詳解】因為，，平面ABCD，而AD?平面ABCD，所以，，因此以D為坐標(biāo)原點，分別以??的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因為且，且，，所以，，，，，，，，.設(shè)為平面CDE的法向量，，，則，不妨令，可得；又，所以.又∵直線平面CDE，∴平面CDE；16．如圖，正方體中，、分別為、的中點．(1)用向量法證明平面平面；(2)用向量法證明平面．【分析】（1）利用向量法可得兩平面的法向量，再根據(jù)法向量互相平行證明面面平行；（2）利用向量法證明平面的法向量與平行，即可得證.【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，，故，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，即，故平面平面；（2）由，是線段，中點，則，，所以，則，所以平面.【課時作業(yè)】1．已知，則平面ABC的一個單位法向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出平面ABC的一個法向量，進而得出單位法向量．【詳解】因為所以，令平面ABC的一個法向量為可得，即，令，則，所以故平面ABC的單位法向量是，即或．故選：B．2．已知向量，分別為直線方向向量和平面的法向量，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由題意得到，列出方程，求出實數(shù)的值.【詳解】由題意得：，所以，解得：故選：C3．已知平面過點，它的一個法向量為，則下列哪個點不在平面內(nèi)（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)點為平面內(nèi)異于點的任意一點，由可得，然后逐一判斷即可.【詳解】設(shè)點為平面內(nèi)異于點的任意一點，則由可得，即對于A，，滿足；對于B，，滿足；對于C，，不滿足；對于D，，滿足；故選：C4．設(shè)平面的法向量的坐標(biāo)為，平面的法向量的坐標(biāo)為.若，則等于（）A．4 B．-4 C．2 D．-2【答案】A【分析】根據(jù)可得平面的法向量與平面的法向量共線，建立等式解出即可.【詳解】解：因為，則平面的法向量與平面的法向量共線，即，即，解得.故選：A5．設(shè)為直線的一個方向向量，為平面的一個法向量，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】B【分析】利用空間向量與立體幾何的關(guān)系即可得到二者的邏輯關(guān)系，進而可得“”是“”的必要非充分條件.【詳解】為直線的一個方向向量，為平面的一個法向量，則由，可得或，則“”不是“”的充分條件；由，可得，則“”是“”的必要條件.則“”是“”的必要非充分條件.故選：B6．已知平面外的直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關(guān)系是（

）A． B． C．與相交但不垂直 D．或【答案】B【分析】由確定正確答案.【詳解】由于，即，由于，所以.故選：B7．（多選）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是棱長為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是（

）A．直線的一個方向向量為B．直線的一個方向向量為C．平面的一個法向量為D．平面的一個法向量為【答案】AC【分析】求出即可判斷的正誤，求出平面的法向量判斷的正誤，求出平面的法向量判斷的正誤.【詳解】由題意，,,,,,∵，∴向量為直線的一個方向向量，故正確,不正確；設(shè)平面的法向量為，則,由，得，令得，則正確;設(shè)平面的法向量為，則，由，得，令得，則不正確.故選：.8．（多選）已知為直線l的方向向量,分別為平面,的法向量（,不重合）,那么下列說法中正確的有（

）．A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)法線面垂直平行的性質(zhì)及法向量、方向向量的概念即可選出選項.【詳解】解:若,因為,不重合,所以,若,則共線,即,故選項A正確;若,則平面與平面所成角為直角,故,若,則有,故選項B正確;若,則,故選項C錯誤;若,則或,故選項D錯誤.故選:AB9．放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出：平面BHD的一個法向量___________；【答案】（答案不唯一）【分析】利用向量法得出平面BHD的一個法向量.【詳解】由題意可知，則,.設(shè)為平面BHD的一個法向量，則，不妨設(shè)，則.故平面BHD的一個法向量為.故答案為：（答案不唯一）10．直線l的方向向量是，平面的法向量，若直線平面，則______．【答案】2【分析】根據(jù)直線平面，可得，即可得解.【詳解】若直線平面，則，∴，解得．故答案為：.11．若平面、的法向量分別為，，則與的位置關(guān)系是________．【答案】斜交【分析】判斷兩平面法向量的位置關(guān)系，即可判斷出平面與的位置關(guān)系.【詳解】，，則，且，與既不平行也不垂直，因此，平面與斜交．故答案為：斜交.【點睛】本題考查利用平面的法向量判定兩平面的位置關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.12．已知平面的法向量分別為，，若，則的值為_______．【答案】【分析】由平面互相垂直可知其對應(yīng)的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】∵，∴平面的法向量互相垂直，∴，即，解得,故答案為：.13．已知，，．(1)寫出直線BC的一個方向向量；(2)設(shè)平面經(jīng)過點A，且是的法向量，是平面內(nèi)任意一點，試寫出x，y，z滿足的關(guān)系式．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)直線方向向量的求法求得正確答案.（2）由來求得滿足的關(guān)系式.【詳解】(1)直線的一個方向向量為.(2)是的法向量，所以，即，即.14．在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：(1)平面的一個法向量；(2)平面的一個法向量.【答案】(1)

(答案不唯一)；(2)(答案不唯一)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理求解法向量；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運算求平面的法向量.【詳解】（1）由題意，可得,連接AC，因為底面為正方形，所以,又因為平面，平面，所以，且，則AC⊥平面，∴為平面的一個法向量.(答案不唯一).（2）設(shè)平面的一個法向量為，則令，得∴即為平面的一個法向量.(答案不唯一).15．已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．【答案】證明見解析.【分析】利用坐標(biāo)法，利用向量共線定理即得.【詳解】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.16．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點．試用向量的方法證明：(1)；(2)平面．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法證得結(jié)論成立.（2）利用向量的方法證得結(jié)論成立.【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，故可令，，所以平面.17．如圖，在四棱錐中，