質(zhì)系動量矩定理質(zhì)系對點O的動量矩(角動量)—質(zhì)系中各質(zhì)點動量pi對點O之矩的矢量和：質(zhì)系的動量矩也是度量質(zhì)系整體運動的基本特征量。動量矩是一個矢量，它與矩心O的選擇有關(guān)。質(zhì)系的動量矩Angularmomentumρ質(zhì)系對任意點的動量矩等于質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩與質(zhì)系動量對該點之矩的矢量和。能否用質(zhì)點相對于質(zhì)心平動參考系的相對速度計算質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩？—質(zhì)點的絕對速度質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩質(zhì)系相對質(zhì)心平動參考系的動量矩iCO如果質(zhì)點系是剛體，舉例一半徑為r的勻質(zhì)圓盤在水平面上純滾動，角速度為ω，質(zhì)心O點的速度為vo。求圓盤對水平面上O1點的動量矩。質(zhì)系對任意動點的動量矩定理質(zhì)系動量矩的變化僅取決于外力系的主矩，內(nèi)力不能改變質(zhì)系的動量矩。ρ質(zhì)系對固定點的動量矩定理質(zhì)系對固定點A的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)系上的外力系對同點的主矩。質(zhì)系對定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)系的外力系對同軸之主矩。Axyz為固定坐標(biāo)系對固定點A：質(zhì)系動量矩守恒定理當(dāng)外力系對某定點的主矩等于零時，質(zhì)系對于該點的動量矩保持不變。當(dāng)外力系對某定軸的主矩等于零時，質(zhì)系對于該軸的動量矩保持不變。外力對一個動點主矩等于零如何？對該點動量矩是否守恒？對動軸會如何？質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)系對質(zhì)心C的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)系上的外力系對質(zhì)心的主矩。當(dāng)外力系對質(zhì)心的主矩等于零時，質(zhì)系對于質(zhì)心的動量矩保持不變。對質(zhì)心C：注意：對一個非質(zhì)心的動點使用動量矩定理可能產(chǎn)生附加項。例1水平桿AB可繞z軸轉(zhuǎn)動，其兩端各與桿AC及BD鉸接，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，系統(tǒng)繞z軸的角速度為ω0。如某瞬時此細(xì)線拉斷后，桿AC、BD各與鉛垂線成角α，如圖所示。不計各桿重量，求這時系統(tǒng)的角速度。解：外力系對z軸之矩為零，系統(tǒng)對z軸動量矩守恒。=芭蕾舞演員花樣滑冰運動員應(yīng)用實例質(zhì)量均為m的A和B兩人同時從靜止開始爬繩。已知A的體質(zhì)比B的體質(zhì)好，因此A相對于繩的速率u1大于B相對于繩的速率u2。試問誰先到達(dá)頂端并求繩子的移動速率u。例2解：取滑輪與A和B兩人為研究對象，系統(tǒng)對O點的外力矩為0，因此系統(tǒng)對O點動量矩守恒：設(shè)繩子移動的速率為u質(zhì)量均為m的兩小球C和D用長為2l的無質(zhì)量剛性桿連接，并以其中點固定在鉛垂軸AB上，桿與AB軸之間的夾角為α，軸AB以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。A、B軸承間的距離為h。求：1.系統(tǒng)對O點的動量矩；2.A、B軸承的約束反力。例3yACOαDBzLOYBZBmgYAmg解：1.系統(tǒng)對O點的動量矩，在COD桿上建立隨體動系Oxyz如何計算系統(tǒng)對轉(zhuǎn)動軸AB的動量矩？2.求A、B軸承的約束力由質(zhì)系的質(zhì)心運動定理得：外力系對O點的主矩為質(zhì)系對定點的動量矩定理：能否用對x軸的動量矩定理？質(zhì)系對任意平動系的動量矩定理ρx'y'建立平動參考系A(chǔ)x'y'相對平動系A(chǔ)x'y'運動的動量矩定理若ρC//aA注意：前面都是絕對動量矩，上一公式相對動量矩。例7質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤沿傾角為α的斜面上只滾不滑。試求圓盤的質(zhì)心加速度和斜面對圓盤的約束力。不計滾動摩阻。解：取x為廣義坐標(biāo)討論

相對運動動量矩定理不是純滾動如何？討論圓盤在斜面上不打滑的條件若圓盤又滾又滑補(bǔ)充方程：如果圓盤在水平面上作純滾動，在水平方向沒有作用力時，滑動摩擦力為0。剛體對定軸z的動量矩：剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用在剛體上的主動力系對該軸之矩。質(zhì)系對定軸z的動量矩定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動運動微分方程對于均質(zhì)物體，其轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量的比值僅與物體的幾何形狀和尺寸有關(guān)。—物體對Oz軸的回轉(zhuǎn)半徑什么是剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程？如何求約束力？例4設(shè)質(zhì)量為m的剛體懸掛在O點，并可繞一水平軸O轉(zhuǎn)動，C為剛體的質(zhì)心。已知質(zhì)心到懸掛點O的距離OC=a，求此復(fù)擺的微振動周期。解：運動微分方程令微振動：sinφ≈φ復(fù)擺微振動周期為：例4續(xù)如果復(fù)擺自水平位置釋放，求復(fù)擺擺至鉛垂位置時轉(zhuǎn)動軸的約束力。機(jī)械能守恒？兩個質(zhì)量為m1和m2的重物分別系在兩根不同的繩子上，兩繩分別繞在半徑為r1和r2并固結(jié)在一起的兩鼓輪上，如圖所示。設(shè)鼓輪對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO，重為W。求鼓輪的角加速度和軸承的約束反力。例5解：(1)鼓輪的角加速度系統(tǒng)對O軸動量矩：(2).軸承約束反力質(zhì)系動量定理如果圓輪對軸O的轉(zhuǎn)動慣量未知，如何測量它的轉(zhuǎn)動慣量？例6齒輪傳動已知：主動輪I:J1、r1、Ma。從動輪II:J2、r2、Mf。求：ε1、ε2。解：剛體系問題，可拆成兩個剛體，作定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程運動學(xué)方程FNF'剛體平面運動微分方程外力系主矢量主矩剛體平面運動平動定軸轉(zhuǎn)動+質(zhì)系的動量質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩運動量：力：運動微分方程質(zhì)心運動定理對質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運動微分方程剛體相對質(zhì)心的動量矩應(yīng)用質(zhì)心運動定理和對質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運動微分方程ivi剛體一般運動微分方程如何？長為l質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)桿AB位于鉛垂平面內(nèi)。開始時桿AB直立于墻面，受微小干擾后B端由靜止?fàn)顟B(tài)開始沿水平面滑動。求桿在任意位置受到墻的約束反力(表示為θ的函數(shù)形式)。不計摩擦。ABO例8CP解：取θ為廣義坐標(biāo)：剛體平面運動微分方程：(a)(b)(c)將式(a)和(b)代入(c)：桿脫離墻的條件：XA=0例9半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，在半徑為R的剛性圓槽內(nèi)作純滾動。在初始位置φ＝φ0，由靜止向下滾動。求：1.圓柱體的運動微分方程；2.圓槽對圓柱體的約束力；3.微振動周期。RCφ

O1.圓柱體的運動微分方程圓柱體作平面運動，由剛體平面運動微分方程得：RCφ

OmgFNC*ω大幅擺動的非線性運動微分方程解2.圓槽對圓柱體的約束力3.微振動的周期ABO均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為m，用兩根細(xì)繩懸掛。求當(dāng)把B繩突然剪斷時，桿AB的角加速度和A繩中的張力。例10yx?C解：AB桿的動力學(xué)方程：三個方程四個未知數(shù)，需補(bǔ)充方程后求解聯(lián)立求解當(dāng)突然把繩OB剪斷時，如何補(bǔ)充運動學(xué)方程？OABαl?討論

相對運動動量矩定理ABoyxCOABαl?系統(tǒng)兩個自由度:ABoyCx將代入剪斷時速度為零，討論雜技演員使雜耍圓盤高速轉(zhuǎn)動，并在地面上向前拋出，不久雜耍圓盤可自動返回到演員跟前。求完成這種運動所需的條件?(設(shè)開始時盤心速度為，盤角速度為，求與應(yīng)該滿足的關(guān)系)例11設(shè)任意時刻質(zhì)心速度為，角速度為，圓盤半徑為R，質(zhì)量為m，與地面摩擦系數(shù)為。

圓盤與地面接觸點A的速度為當(dāng)時，有由質(zhì)心運動定理由對質(zhì)心的動量矩定理解可見，如果初始時刻，則滑動摩擦力的作用將使減小，直至?xí)r刻，即由此可求出當(dāng)時，滑動摩擦力也與同時變?yōu)榱悖⒃诖丝桃院笠恢睘榱??？梢詽L回的條件為即因此當(dāng)

時，由于圓盤在水平方向不受力，而且相對質(zhì)心的動量矩也為零，因此圓盤將作等速純滾動，即剛體一般運動微分方程剛體一般運動微分方程？LC

如何求?一定存在正交矩陣，將實對稱陣對角化，相應(yīng)的坐標(biāo)系Cxyz稱為在慣性主軸坐標(biāo)系慣量矩陣JC

與坐標(biāo)系有關(guān)，一般為滿陣。剛體在兩個坐標(biāo)系中的慣量矩陣之間的關(guān)系為：固連系